4.2.1 直线与圆的位置关系 学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 4.2.1 直线与圆的位置关系 学案（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-08 14:11:57 | ||
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文档简介
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直线与圆的位置关系
【学习目标】
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.
2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.
3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．
知识点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离为d＝ dr
代数法：由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
类型一 直线与圆的位置关系的判断
例1 求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：①相交；②相切；③相离．21教育网
解 圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4，
故圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝，圆的半径为r＝2.
①若相交，则d＜r，即＜2，所以m＜－2或m＞2；
②若相切，则d＝r，即＝2，所以m＝±2；
③若相离，则d＞r，即＞2，所以－2＜m＜2.
反思与感悟 直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．21·cn·jy·com
跟踪训练1 对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
答案 C
解析 直线y＝kx＋1恒 ( http: / / www.21cnjy.com )过定点(0,1)，由定点(0,1)在圆x2＋y2＝2内，则直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2一定相交．又直线y＝kx＋1的斜率存在，则该直线必不过圆心(0,0)，故选C.www-2-1-cnjy-com
类型二 切线问题
例2 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．
解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
所以点A在圆外．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.
设圆心为C，
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，
所以＝1，即|k＋4|＝，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.
所以切线方程为－x－y＋－3＝0，
即15x＋8y－36＝0.
②若直线斜率不存在，
圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1，
这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
引申探究
若本例的条件不变，求其切线长．
解 因为圆心C的坐标为(3,1)，
设切点为B，则△ABC为直角三角形，
|AC|＝＝，
又|BC|＝r＝1，
则|AB|＝＝＝4，
所以切线长为4.
反思与感悟 求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目．
(1)求过圆上一点P(x0 ( http: / / www.21cnjy.com )，y0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0.2·1·c·n·j·y
(2)求圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解：
设切线方程为y－y0＝k ( http: / / www.21cnjy.com )(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出．但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出．2-1-c-n-j-y
跟踪训练2 若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
答案 x＋2y－5＝0
解析 点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆 ( http: / / www.21cnjy.com )上，可得此圆的方程为x2＋y2＝5，所以该圆在点P处的切线方程为1×x＋2×y＝5，即x＋2y－5＝0.21*cnjy*com
例3 过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为_______．
答案 (x－3)2＋y2＝2
解析 由已知kAB＝0，
所以AB的中垂线方程为x＝3. ①
过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0， ②
联立①②，解得
所以圆心坐标为(3,0)，
半径r＝＝，
所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.
反思与感悟 此类题易错点 ( http: / / www.21cnjy.com )是求最值时，对参数无法破解而致错，避免此类错误的关键：一是会用公式，即会利用点到直线的距离公式求距离；二是会转化，把要求的半径最大问题，转化为求代数式的最值；三是会利用圆的标准方程写出圆的方程. 【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练3 已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
答案 B
解析 设圆心为C(a，－a)，
则＝，解得a＝1，
所以r＝＝，
圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选B.
类型三 弦长问题
例4 (1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________．www.21-cn-jy.com
(2)圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2的圆的方程为_________________．
答案 (1) (2)(x－2)2＋(y＋1)2＝4
解析 (1)方法一 (交点法)
由题意知，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0.
由
解得A(，)，B(，)．
∴|AB|＝＝.
方法二 (弦长公式)
由题意知，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0.
由
消去y，得2x2－2x－7＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝1，x1x2＝－.
∴|AB|＝·＝·＝.
方法三 (几何法)
由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0，
圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝＝，
则有|AB|＝2＝2 ＝.
(2)设圆的半径为r，由条件，得
圆心到直线y＝x－1的距离为d＝＝.
又直线y＝x－1被圆截得的弦长为2，
即半弦长为，∴r2＝2＋2＝4，得r＝2，
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A、B两点，截得的弦长为4，求直线l的方程．
解 方法一 若直线l的斜率不存在，
则l：x＝5与圆C相切，不合题意，
∴直线l的斜率存在，
设其方程为y－5＝k(x－5)，
即kx－y＋5(1－k)＝0.
如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，
|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，
在Rt△AHO中，|OA|＝5，
|AH|＝|AB|＝·4＝2.
∴|OH|＝＝，
∴＝，
解得k＝或k＝2.
∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
方法二 若直线l的斜率不存在，
则l：x＝5与圆C相切，不合题意，
∴直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，
且与圆相交于A(x1，y1), B(x2，y2)两点．
由消去y，
得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0，
∴Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，
解得k>0.
又∵x1＋x2＝－，x1x2＝，
由斜率公式， 得y1－y2＝k(x1－x2)．
∴|AB|＝＝
＝＝＝4，
两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，
解得k＝或k＝2，均符合题意．
故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
反思与感悟 求直线与圆相交时的弦长有三种方法
(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式 |AB|＝求解．21世纪教育网版权所有
(2)弦长公式：
如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设 ( http: / / www.21cnjy.com )直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝ |y1－y2|(直线l的斜率k存在)．21cnjy.com
(3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有()2＋d2＝r2，即|AB|＝2.21·世纪*教育网
通常采用几何法较为简便．
跟踪训练4 已知直线l：kx－y＋k＋2＝0与圆C：x2＋y2＝8.
(1)证明：直线l与圆相交；
(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长．
(1)证明 ∵l：kx－y＋k＋2＝0，
直线l可化为y－2＝k(x＋1)，
∴直线l经过定点(－1,2)，
∵(－1)2＋22<8，
∴(－1,2)在圆C内，
∴直线l与圆相交．
(2)解 由(1)知，直线l过定点P(－1,2)，
又圆C：x2＋y2＝8的圆心为原点O，
则与OP垂直的直线截得的弦长最短．
∵kOP＝－2，
∴kl＝，
∴直线l：y－2＝(x＋1)，
即x－2y＋5＝0.
设直线l与圆交于A、B两点，
|AB|＝2＝2＝2.
∴直线l的方程为x－2y＋5＝0，弦长为2.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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直线与圆的位置关系
【学习目标】
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.
2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.
3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．
知识点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离为d＝ d
代数法：由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
类型一 直线与圆的位置关系的判断
例1 求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：①相交；②相切；③相离．21教育网
解 圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4，
故圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝，圆的半径为r＝2.
①若相交，则d＜r，即＜2，所以m＜－2或m＞2；
②若相切，则d＝r，即＝2，所以m＝±2；
③若相离，则d＞r，即＞2，所以－2＜m＜2.
反思与感悟 直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．21·cn·jy·com
跟踪训练1 对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
答案 C
解析 直线y＝kx＋1恒 ( http: / / www.21cnjy.com )过定点(0,1)，由定点(0,1)在圆x2＋y2＝2内，则直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2一定相交．又直线y＝kx＋1的斜率存在，则该直线必不过圆心(0,0)，故选C.www-2-1-cnjy-com
类型二 切线问题
例2 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．
解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
所以点A在圆外．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.
设圆心为C，
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，
所以＝1，即|k＋4|＝，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.
所以切线方程为－x－y＋－3＝0，
即15x＋8y－36＝0.
②若直线斜率不存在，
圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1，
这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
引申探究
若本例的条件不变，求其切线长．
解 因为圆心C的坐标为(3,1)，
设切点为B，则△ABC为直角三角形，
|AC|＝＝，
又|BC|＝r＝1，
则|AB|＝＝＝4，
所以切线长为4.
反思与感悟 求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目．
(1)求过圆上一点P(x0 ( http: / / www.21cnjy.com )，y0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0.2·1·c·n·j·y
(2)求圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解：
设切线方程为y－y0＝k ( http: / / www.21cnjy.com )(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出．但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出．2-1-c-n-j-y
跟踪训练2 若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
答案 x＋2y－5＝0
解析 点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆 ( http: / / www.21cnjy.com )上，可得此圆的方程为x2＋y2＝5，所以该圆在点P处的切线方程为1×x＋2×y＝5，即x＋2y－5＝0.21*cnjy*com
例3 过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为_______．
答案 (x－3)2＋y2＝2
解析 由已知kAB＝0，
所以AB的中垂线方程为x＝3. ①
过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0， ②
联立①②，解得
所以圆心坐标为(3,0)，
半径r＝＝，
所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.
反思与感悟 此类题易错点 ( http: / / www.21cnjy.com )是求最值时，对参数无法破解而致错，避免此类错误的关键：一是会用公式，即会利用点到直线的距离公式求距离；二是会转化，把要求的半径最大问题，转化为求代数式的最值；三是会利用圆的标准方程写出圆的方程. 【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练3 已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
答案 B
解析 设圆心为C(a，－a)，
则＝，解得a＝1，
所以r＝＝，
圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选B.
类型三 弦长问题
例4 (1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________．www.21-cn-jy.com
(2)圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2的圆的方程为_________________．
答案 (1) (2)(x－2)2＋(y＋1)2＝4
解析 (1)方法一 (交点法)
由题意知，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0.
由
解得A(，)，B(，)．
∴|AB|＝＝.
方法二 (弦长公式)
由题意知，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0.
由
消去y，得2x2－2x－7＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝1，x1x2＝－.
∴|AB|＝·＝·＝.
方法三 (几何法)
由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0，
圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝＝，
则有|AB|＝2＝2 ＝.
(2)设圆的半径为r，由条件，得
圆心到直线y＝x－1的距离为d＝＝.
又直线y＝x－1被圆截得的弦长为2，
即半弦长为，∴r2＝2＋2＝4，得r＝2，
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A、B两点，截得的弦长为4，求直线l的方程．
解 方法一 若直线l的斜率不存在，
则l：x＝5与圆C相切，不合题意，
∴直线l的斜率存在，
设其方程为y－5＝k(x－5)，
即kx－y＋5(1－k)＝0.
如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，
|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，
在Rt△AHO中，|OA|＝5，
|AH|＝|AB|＝·4＝2.
∴|OH|＝＝，
∴＝，
解得k＝或k＝2.
∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
方法二 若直线l的斜率不存在，
则l：x＝5与圆C相切，不合题意，
∴直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，
且与圆相交于A(x1，y1), B(x2，y2)两点．
由消去y，
得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0，
∴Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，
解得k>0.
又∵x1＋x2＝－，x1x2＝，
由斜率公式， 得y1－y2＝k(x1－x2)．
∴|AB|＝＝
＝＝＝4，
两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，
解得k＝或k＝2，均符合题意．
故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
反思与感悟 求直线与圆相交时的弦长有三种方法
(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式 |AB|＝求解．21世纪教育网版权所有
(2)弦长公式：
如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设 ( http: / / www.21cnjy.com )直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝ |y1－y2|(直线l的斜率k存在)．21cnjy.com
(3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有()2＋d2＝r2，即|AB|＝2.21·世纪*教育网
通常采用几何法较为简便．
跟踪训练4 已知直线l：kx－y＋k＋2＝0与圆C：x2＋y2＝8.
(1)证明：直线l与圆相交；
(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长．
(1)证明 ∵l：kx－y＋k＋2＝0，
直线l可化为y－2＝k(x＋1)，
∴直线l经过定点(－1,2)，
∵(－1)2＋22<8，
∴(－1,2)在圆C内，
∴直线l与圆相交．
(2)解 由(1)知，直线l过定点P(－1,2)，
又圆C：x2＋y2＝8的圆心为原点O，
则与OP垂直的直线截得的弦长最短．
∵kOP＝－2，
∴kl＝，
∴直线l：y－2＝(x＋1)，
即x－2y＋5＝0.
设直线l与圆交于A、B两点，
|AB|＝2＝2＝2.
∴直线l的方程为x－2y＋5＝0，弦长为2.
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