1.1.2 旋转体与简单组合体的结构特征 学案（含答案）

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旋转体与简单组合体的结构特征
【学习目标】
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.
2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.
3.了解简单组合体的概念及结构特征．
知识点一　圆柱
思考　观察如图所示的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？
答案　以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体．
梳理　圆柱的结构特征
圆柱 图形及表示
定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 图中圆柱表示为圆柱O′O
相关概念：圆柱的轴：旋转轴圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
知识点二　圆锥
思考　仿照圆柱的定义，你能定义什么是圆锥吗？
答案　以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体．
梳理　圆锥的结构特征
圆锥 图形及表示
定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 图中圆锥表示为圆锥SO
相关概念：圆锥的轴：旋转轴圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置 ，不垂直于轴的边
知识点三　圆台
思考　下图中的物体叫做圆台，也是旋转体，它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢？除了旋转得到以外，对比棱台，圆台还可以怎样得到呢？21教育网
答案　(1)圆台可以是直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其他三边旋转一周形成的面所围成的几何体．21cnjy.com
(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中垂线为轴，各边旋转180°形成的面所围成的几何体．
(3)类比棱台的定义圆台还可以如下得到：
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．
梳理　圆台的结构特征
圆台 图形及表示
定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台旋转法定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形绕旋转轴旋转一周而形成的旋转体叫做圆台 图中圆台表示为：圆台O′O
相关概念：圆台的轴：旋转轴圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
知识点四　球
思考　球也是旋转体，它是由什么图形旋转得到的？
答案　以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体．
梳理　球的结构特征
球 图形及表示
定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球 图中的球表示为球O
相关概念：球心：半圆的圆心半径：半圆的半径直径：半圆的直径
知识点五　简单组合体
思考　下图中的两个空间几何体是柱、锥、台、球体中的一种吗？它们是如何构成的？
答案　这两个几何体都不是单纯的柱、锥、台、球体，而是由柱、锥、台、球体中的两种或三种组合而成的几何体．21·cn·jy·com
梳理　简单组合体
(1)概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成的．www.21-cn-jy.com
(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．
类型一　旋转体的结构特征
例1　下列命题正确的是________．
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；
⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；
⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．
答案　④⑤⑥
解析　①以直角三角形的一条直角边所在直 ( http: / / www.21cnjy.com )线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；③它们的底面为圆面；④⑤⑥正确．2·1·c·n·j·y
反思与感悟　(1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成．
②明确旋转轴是哪条直线．
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
跟踪训练1　下列命题：
①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；
②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；
③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；
④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．
其中正确的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　②错误，截面可能是一个三角形；③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；①④正确．故选C.【来源：21·世纪·教育·网】
类型二　简单组合体
例2　观察下图中的几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的．
解　图①是由一个四棱柱挖去一个 ( http: / / www.21cnjy.com )三棱柱组成的几何体．图②是由一个四棱柱和一个底面与四棱柱上底面重合的四棱锥组合而成的几何体．图③是由一个圆台和挖去一个和圆台的上底面相同的圆锥组合而成的几何体．2-1-c-n-j-y
反思与感悟　(1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征．
(2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式．
(3)若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面)．
跟踪训练2　请描述如图所示的几何体是如何形成的．
(1)________________________________________________________________________；
(2)________________________________________________________________________；
(3)________________________________________________________________________．
答案　(1)是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体
(2)是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体
(3)是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体
例3　直角梯形ABCD如图所示，分别以CD，DA所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状．
解　以CD为轴旋转可得到一个圆台，下底挖去一个小圆锥，上底增加一个较大的圆锥，以AD为轴旋转可得到一个圆柱，上面挖去一个圆锥，如图所示．21·世纪*教育网
引申探究
例3中直角梯形分别以AB、BC所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状．
解　以AB为轴旋转可得到一个圆台，以BC为轴旋转可得一个圆柱和圆锥的组合体．如图所示．
反思与感悟　(1)判断旋转体 ( http: / / www.21cnjy.com )形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．www-2-1-cnjy-com
(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．21*cnjy*com
跟踪训练3　如图所示，已知梯形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AD∥BC，且AD解　如图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体．
类型三　旋转体中的有关计算
例4　一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：
(1)圆台的高；
(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．
解　(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．
由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.
又由题意知腰长为12 cm，
所以高AM＝＝3(cm)．
(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，
设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
则由△SAO1∽△SBO，可得＝，
解得l＝20(cm)．
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
反思与感悟　用平行于底面的平面去截柱、锥、 ( http: / / www.21cnjy.com )台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．21世纪教育网版权所有
跟踪训练4　有一根长为3π c ( http: / / www.21cnjy.com )m，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．【出处：21教育名师】
解　把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图所示)，
由题意知BC＝3π cm，AB＝4π cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．【版权所有：21教育】
AC＝＝5π cm，
故铁丝的最短长度为5π cm.
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