1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积 学案（含答案）

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柱体、锥体、台体的表面积
【学习目标】
1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.
2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式，能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题．21教育网
知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积
思考1　正方体与长方体的展开图如图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？
答案　相等．
思考2　棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？
答案　是．
梳理　
图形 表面积
多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积
知识点二　圆柱、圆锥、圆台的表面积
思考1　圆柱OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？
答案　S侧＝2πrl，
S表＝2πr(r＋l)．
思考2　圆锥SO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？
答案　底面周长是2πr，利用扇形面积公式得
S侧＝×2πrl＝πrl，
S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．
思考3　圆台OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？
答案　如图，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，
如图，＝，解得
x＝l.
S扇环＝S大扇形－S小扇形
＝(x＋l)×2πR－x·2πr
＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，
所以S圆台侧＝π(r＋R)l，
S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．
梳理　
图形 表面积公式
旋转体 圆柱 底面积：S底＝2πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πr(r＋l)
圆锥 底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πr(r＋l)
圆台 上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
类型一　棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
例1　(1)如图所示，在斜三棱柱 ( http: / / www.21cnjy.com )ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，∠BB1C1＝90°.侧棱长为b，则其侧面积为(　　)2·1·c·n·j·y
A.ab B.ab
C．(＋)ab D.ab
答案　C
解析　斜棱柱的侧面积等于各个侧 ( http: / / www.21cnjy.com )面面积之和，斜棱柱的每个侧面都是平行四边形．由题意知斜三棱柱的底面是等腰直角三角形．∵AB＝AC＝a，∴BC＝a.【来源：21·世纪·教育·网】
∵∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，AB＝AC＝a，AA1＝b，
∴＝absin 60°＝ab.
又∵∠BB1C1＝90°，∴侧面BB1C1C为矩形，
∴＝ab，
∴S斜三棱柱侧＝ab＋ab＋ab＝(＋)ab.
故选C.
(2)已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．2-1-c-n-j-y
解　如图，E、E1分别是B ( http: / / www.21cnjy.com )C、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12.连接OE、O1E1，21*cnjy*com
则OE＝AB＝×12＝6，O1E1＝A1B1＝3.
过E1作E1H⊥OE，垂足为H，
则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，
HE＝OE－O1E1＝6－3＝3.
在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝153，
所以E1E＝3.
所以S侧＝4××(B1C1＋BC)×E1E
＝2×(6＋12)×3＝108.
引申探究
本例(2)中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求出棱台的侧面积吗？
解　如图，将正四棱台的侧棱延长交于一点P.
取B1C1、BC的中点E1、E，则EE ( http: / / www.21cnjy.com )1的延长线必过P点．O1、O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心．由正棱锥的定义，CC1的延长线过P点，21·cn·jy·com
且有O1E1＝A1B1＝3，OE＝AB＝6，
则有＝＝，
即＝，所以PO1＝O1O＝12.
在Rt△PO1E1中，PE＝PO＋O1E＝122＋32＝153，
在Rt△POE中，PE2＝PO2＋OE2＝242＋62＝612，
所以E1E＝PE－PE1＝6－3＝3.
所以S侧＝4××(BC＋B1C1)×E1E
＝2×(12＋6)×3＝108.
反思与感悟　棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．【来源：21cnj*y.co*m】
跟踪训练1　已知正三棱锥V－ABC的正视图、俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝2，求该三棱锥的表面积．【出处：21教育名师】
解　由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图，如图所示，
且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2，
取BC的中点D，连接VD，则VD⊥BC，
所以VD＝＝＝，
则S△VBC＝VD·BC＝××2＝，
S△ABC＝×(2)2×＝3，
所以三棱锥V－ABC的表面积为
3S△VBC＋S△ABC＝3＋3＝3(＋)．
类型二　圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积
例2　(1)已知圆柱与圆锥的高、底面半径分别相等．若圆柱的底面半径为r，圆柱的侧面积为S，则圆锥的侧面积为________．www-2-1-cnjy-com
答案　
解析　设圆柱的高为h，则2πrh＝S，∴h＝.
设圆锥的母线为l，∴l＝＝.
∴圆锥的侧面积为πrl＝πr＝.
(2)圆台的上、下底面半径 ( http: / / www.21cnjy.com )分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是________．(结果中保留π)21·世纪*教育网
答案　1 100π cm2
解析　如图所示，设圆台的上底面周长为c，
因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，
所以SA＝20，同理可得SB＝40，
所以AB＝SB－SA＝20，
所以S表面积＝S侧＋S上＋S下
＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．
故圆台的表面积为1 100π cm2.
反思与感悟　解决台体的问题通常要还台为锥，求面积时要注意侧面展开图的应用，上、下底面圆的周长是展开图的弧长．21cnjy.com
跟踪训练2　(1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　设圆柱的母线长为l，∴l＝2πr，r＝，
则圆柱的表面积为2πr2＋l2＝2π＋l2＝l2，侧面积为l2，
∴圆柱的表面积与侧面积的比是l2∶l2＝.
故选A.
(2)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的(　　)
A．4倍 B．3倍 C.倍 D．2倍
答案　D
解析　设圆锥底面半径为r，由题意知母线长l＝2r，则S侧＝πr×2r＝2πr2，∴＝＝2.
类型三　简单组合体的表面积
例3　如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)
A．20π B．24π C．28π D．32π
答案　C
解析　由三视图可知，组合体的底面圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l＝＝4，所以圆锥的侧面积为S锥侧＝×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.21世纪教育网版权所有
反思与感悟　求组合体的表面积，首先弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求面积，然后根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．www.21-cn-jy.com
跟踪训练3　某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是______ cm2.
答案　7＋
解析　其直观图如图．
由直观图可知，该几何体为一个正方体和一个三棱柱的组合体，
∴其表面积S＝6×(1×1)＋2××1×1＋1×＝7＋.
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