1.3.2 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积 学案（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积
【学习目标】
1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.
2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.
3.会求简单组合体的体积及表面积．
知识点一　柱体、锥体、台体的体积公式
1．柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；
2．锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；
3．台体的体积公式V＝(S′＋＋S)h(S′、S为上、下底面面积，h为高)；
4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh.
知识点二　球的表面积和体积公式
1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)；
2．球的体积公式V＝πR3.
类型一　柱体、锥体、台体的体积
例1　(1)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为(　　)21世纪教育网版权所有
A. B.
C. D.
答案　A
解析　三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.www.21-cn-jy.com
(2)现有一个底面直径为20 ( http: / / www.21cnjy.com )cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降(　　)
A．0.6 cm B．0.15 cm C．1.2 cm D．0.3 cm
答案　A
解析　设杯里的水下降h cm，由题意知π()2h＝×20×π×32，解得h＝0.6 cm.
反思与感悟　(1)常见的求几何体体积的方法
①公式法：直接代入公式求解．
②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．
③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
(2)求几何体体积时需注意的问题
柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练1　(1)如图所示，在长 ( http: / / www.21cnjy.com )方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．21cnjy.com
解　设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，
∴VC－A′D′D＝CD·S△A′D′D＝a·bc＝abc，
∴剩余部分的体积为VABCD－A′B′C′D′－VC－A′D′D＝abc－abc＝abc，
∴棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．www-2-1-cnjy-com
解　如图，在三棱台ABC－A′B′C ( http: / / www.21cnjy.com )′中，取上、下底面的中心分别为O′，O，BC，B′C′的中点分别为D，D′，则DD′是梯形BCC′B′的高．21·世纪*教育网
所以S侧＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′.
又因为A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)．
由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325，
所以DD′＝(cm)，O′D′＝×20＝(cm)，
OD＝×30＝5(cm)，
所以棱台的高h＝O′O＝
＝＝4(cm)．
由棱台的体积公式，可得棱台的体积为
V＝(S上＋S下＋)＝×(×202＋×302＋×20×30)＝1 900(cm3)．
类型二　球的表面积与体积
例2　(1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．
解　如图等边△ABC为圆锥的轴截面，截球面得圆O.
设球的半径OE＝R，
OA＝＝2OE＝2R，
∴AD＝OA＋OD＝2R＋R＝3R，
BD＝AD·tan 30°＝R，
∴V球＝πR3，
V圆锥＝π·BD2×AD＝π(R)2×3R＝3πR3，
则V球∶V圆锥＝4∶9.
(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2
答案　B
解析　长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为＝a，
得球的半径为a，则球的表面积为4π(a)2＝6πa2.
反思与感悟　(1)正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图①.21·cn·jy·com
(2)球与正方体的各条棱相切
球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝a，如图②.
(3)长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称 ( http: / / www.21cnjy.com )球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝，如图③.2-1-c-n-j-y
(4)正方体的外接球
正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.
(5)正四面体的外接球
正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.
跟踪训练2　(1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为(　　)
A．1∶ B．1∶3 C．1∶3 D．1∶9
答案　C
解析　设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为，外接球的直径为正方体的体对角线，
∴外接球的半径为，
∴其体积比为π×()3∶π×()3＝1∶3.
(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为、、，则它的外接球表面积为_______．
答案　9π
解析　设长方体共顶点的三条棱长分别为a、b、c，
则解得
∴外接球半径为＝，
∴外接球表面积为4π×()2＝9π.
例3　在球内有相距9 cm的两个平行截面面积分别为49π cm2和400π cm2，求此球的表面积．
解　方法一　(1)若两截面位于球心的同侧 ( http: / / www.21cnjy.com )，如图(1)所示的是经过球心O的大圆截面，C，C1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm，截面圆的半径分别为r cm，r1 cm.【来源：21cnj*y.co*m】
由πr＝49π，得r1＝7(r1＝－7舍去)，
由πr2＝400π，得r＝20(r＝－20舍去)．
在Rt△OB1C1中，OC1＝＝，
在Rt△OBC中，OC＝＝.
由题意可知OC1－OC＝9，即－＝9，
解此方程，取正值得R＝25.
(2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC1＝，OC＝.
由题意可知OC1＋OC＝9，
即＋＝9.
整理，得＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．
综上所述，此球的半径为25 cm.
∴S球＝4πR2＝4π×252＝2 500π(cm2)．
方法二　(1)若截面位于球心的同侧，同方法一，得OC＝R2－49，OC2＝R2－400，
两式相减，得OC－OC2＝400－49
(OC1＋OC)(OC1－OC)＝351.
又OC1－OC＝9，∴OC1＋OC＝39，
解得OC1＝24，OC＝15，
∴R2＝OC2＋r2＝152＋202＝625，
∴R＝25 cm.(以下略)
反思与感悟　设球的截面圆上一点A，球心 ( http: / / www.21cnjy.com )为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．
跟踪训练3　把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是(　　)2·1·c·n·j·y
A．1 B．2 C．1或7 D．2或6
答案　C
解析　画出球的截面图，如图所示．
两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：
①两个平行截面在球心的两侧，
②两个平行截面在球心的同侧．
对于①，m＝＝4，n＝＝3，
两平行截面间的距离是m＋n＝7；
对于②，两平行截面间的距离是m－n＝1.
故选C.
类型三　组合体的体积
例4　某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
A.＋π B.＋π
C.＋2π D.＋2π
答案　A
解析　由三视图可知该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V＝π×12×2＋×(×1×2)×1＝π＋.故选A.21教育网
反思与感悟　此类问题的关键是把 ( http: / / www.21cnjy.com )三视图还原为空间几何体，再就是代入公式计算，注意锥体与柱体两者的体积公式的区别．解答组合体问题时，要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体．21*cnjy*com
跟踪训练4　如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台，求这个奖杯的体积．
解　三视图复原的几何体下部是底座是正四棱台，中部是圆柱，上部是球．
这个奖杯的体积V＝h(S上＋＋S下)＋22π·16＋×33＝336＋100π(cm3)．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)