2.1.1 点、直线、平面之间的关系 学案（含答案）

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点、直线、平面之间的关系
【学习目标】
1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系.
2.掌握有关平面的三个公理.
3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系．
知识点一　平面
思考　几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？
答案　 没有．平行四边形．
梳理　(1)平面的概念
①平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．
②立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的．如课桌面、黑板面、平静的水面等都给我们平面的局部形象．www.21-cn-jy.com
(2)平面的画法
常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于邻边长的2倍.
一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来.
(3)平面的表示方法
①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.
②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD.
③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.
知识点二　点、直线、平面之间的关系
思考　直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？21世纪教育网版权所有
答案　点和直线、平面的位置关系可用数字符号“∈”或“ ”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号 “ ”或“ ”表示．2·1·c·n·j·y
梳理　点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
文字语言 符号语言 图形语言
A在l上 A∈l
A在l外 A l
A在α内 A∈α
A在α外 A α
l在α内 l α
l在α外 l α
l，m相交于A l∩m＝A
l，α相交于A l∩α＝A
α，β相交于l α∩β＝l
知识点三　平面的基本性质
思考1　直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有两个公共点呢？
答案　前者不在，后者在．
思考2　观察图中的三脚架，你能得出什么结论？
答案　不共线的三点可以确定一个平面．
思考3　观察正方体ABCD—A1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点B、C吗？
答案　不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.
梳理
公理 文字语言 图形语言 符号语言 作用
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α ①确定直线在平面内的依据②判定点在平面内
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①确定平面的依据②判定点线共面
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据②判定点在直线上
类型一　点、直线、平面之间的位置关系的符号表示
例1　如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
解　在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.
在(2)中，α∩β＝l，a α，b β，a∩l＝P，b∩l＝P.
反思与感悟　(1)用文字语言、 ( http: / / www.21cnjy.com )符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．21教育网
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
跟踪训练1　根据下列符号 ( http: / / www.21cnjy.com )表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B α；(2)l α，m∩α＝A，A l；(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.
解　(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.
(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.
(3)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC，如图③.
类型二　点线共面
例2　如图，已知：a α，b α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ α.
证明　因为PQ∥a，所以P ( http: / / www.21cnjy.com )Q与a确定一个平面β.所以直线a β，点P∈β.因为P∈b，b α，所以P∈α.又因为a α，所以α与β重合，所以PQ α.21cnjy.com
引申探究
将例2中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内．
证明　已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：a，b，c和l共面．
证明：
如图，∵a∥b，
∴a与b确定一个平面α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l，∴l α.
∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l β.
∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，
由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，
∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面．
反思与感悟　在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．
(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合．
跟踪训练2　已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
证明　方法一　(纳入平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2 α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
方法二　(辅助平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
类型三　点共线、线共点问题
例3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F，DA三线交于一点．21·cn·jy·com
证明　如图，连接EF，D1C，A1B.
∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EF綊A1B.
又∵A1B綊D1C，
∴EF綊D1C，
∴E，F，D1，C四点共面，
∴D1F与CE相交，设交点为P.
又D1F 平面A1D1DA，CE 平面ABCD，
∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．
又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
根据公理3，可得P∈DA，
即CE、D1F、DA相交于一点．
反思与感悟　(1)点共线：证明多点共线通常 ( http: / / www.21cnjy.com )利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．
(2)三线共点：证明三线共点问 ( http: / / www.21cnjy.com )题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练3　已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．21·世纪*教育网
证明　方法一　∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α.
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P、Q、R三点共线．
方法二　∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，
∴BC 平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，
又Q∈α，∴Q∈PR，
∴P、Q、R三点共线．
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