2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 学案（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-08 14:11:57 | ||
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文档简介
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空间中直线与直线之间的位置关系
【学习目标】
1.了解空间中两条直线的位置关系.
2.理解异面直线的概念、画法.
3.理解并掌握公理4及等角定理.
4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角．
知识点一 空间两直线的位置关系
思考 在同一平面内，两条直线有几种位置关系？
观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？
答案 平行与相交．
教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.
梳理 异面直线的概念
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交．
(4)空间两条直线的三种位置关系
①从是否有公共点的角度来分：
②从是否共面的角度来分：
知识点二 平行公理(公理4)
思考 在平面内，直线a，b，c，若a∥b，b∥c则a∥c.该结论在空间中是否成立？
答案 成立．
梳理 平行公理的内容
(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
(2)符号表示： a∥c.
知识点三 等角定理
思考 观察图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，21世纪教育网版权所有
这两组角的大小关系如何？
答案 从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.
梳理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补．
知识点四 异面直线所成的角
思考 在长方体A1B1C1D1—ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？21·cn·jy·com
答案 相等．
梳理
定义 前提 两条异面直线a，b
作法 经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b
结论 我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°.
特殊情况 当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
类型一 异面直线的判断
例1 如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是( )2·1·c·n·j·y
答案 C
解析 本题容易错选A或B或D.不能严格根 ( http: / / www.21cnjy.com )据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择．A，B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交．故选C.
反思与感悟 判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行．只要既不相交，也不平行，就是异面直线．www-2-1-cnjy-com
跟踪训练1 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？21*cnjy*com
解 还原的正方体如图所示，是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.
类型二 公理4及等角定理的应用
例2 已知E，E′分别是正方体ABCD－A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中点．
(1)求证：四边形BB′E′E为平行四边形；
(2)求证：∠BEC＝∠B′E′C′.
证明 (1)如图所示，因为E，E′分别是AD，A′D′的中点，所以AE∥A′E′，且AE＝A′E′.
( http: / / www.21cnjy.com / )
所以四边形AEE′A′是平行四边形．
所以AA′∥EE′，且AA′＝EE′.
又因为AA′∥BB′，且AA′＝BB′，
所以EE′∥BB′，且EE′＝BB′.
所以四边形BEE′B′是平行四边形．
(2)由(1)知，四边形BB′E′E为平行四边形，所以BE∥B′E′.
同理可证CE∥ C′E′.
又∠BEC与∠B′E′C′的两边方向相同，
所以∠BEC＝∠B′E′C′.
引申探究
本例2中取C′D′的中点G′，求证四边形ACG′E′为梯形．
证明 连接A′C′.
∵E′，G′分别为A′D′，C′D′的中点，
∴E′G′綊A′C′.
∵AA′綊CC′，
∴四边形ACC′A′是平行四边形，
∴A′C′綊AC，∴E′G′綊AC，
∴四边形ACG′E′是梯形．
反思与感悟 (1)公理4的作用
公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．www.21-cn-jy.com
(2)剖析“等角定理”
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
②如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补．【来源：21·世纪·教育·网】
③如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相反，那么这两个角相等．
跟踪训练2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点．求证：△EFG∽△C1DA1.21教育网
证明 如图，连接B1C.
因为G，F分别为BC，BB1的中点，
所以GF綊B1C.
又ABCD—A1B1C1D1为正方体，
所以CD綊AB，A1B1綊AB，
由公理4知CD綊A1B1，
所以四边形A1B1CD为平行四边形，
所以A1D綊B1C.又B1C∥FG，
由公理4知A1D∥FG.
同理可证：A1C1∥EG，DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两边分别对应平行且均为锐角，
所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.
所以△EFG∽△C1DA1.
类型三 求异面直线所成的角
例3 空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．2-1-c-n-j-y
解 如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
则EG綊AB，GF綊CD，
由AB＝CD知EG＝FG，
从而可知∠GEF为EF与AB所成角，∠EGF或其补角为AB与CD所成角．
∵AB与CD所成角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
反思与感悟 求两条异面直线所成的角的一般步骤
(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角．
(2)计算角：求角度，常利用三角形．
(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．21cnjy.com
跟踪训练3 在空间四边形ABCD中，两条对边 ( http: / / www.21cnjy.com )AB＝CD＝3，E，F分别是另外两条对边AD，BC上的点，且＝＝，EF＝，求AB和CD所成角的大小．21·世纪*教育网
解 如图，连接BD，过点E作AB的平行线交BD于O，连接OF.
因为EO∥AB，
所以＝＝，
＝＝.
又因为AB＝3，所以EO＝2.
又＝，所以＝，
所以OF∥DC，所以OE与OF所成的角即为AB和CD的成的角，＝＝.
因为DC＝3，所以OF＝1.
在△OEF中，OE2＋OF2＝5，EF2＝()2＝5，
所以OE2＋OF2＝EF2，∠EOF＝90°，
所以AB和CD所成的角为90°.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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空间中直线与直线之间的位置关系
【学习目标】
1.了解空间中两条直线的位置关系.
2.理解异面直线的概念、画法.
3.理解并掌握公理4及等角定理.
4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角．
知识点一 空间两直线的位置关系
思考 在同一平面内，两条直线有几种位置关系？
观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？
答案 平行与相交．
教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.
梳理 异面直线的概念
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交．
(4)空间两条直线的三种位置关系
①从是否有公共点的角度来分：
②从是否共面的角度来分：
知识点二 平行公理(公理4)
思考 在平面内，直线a，b，c，若a∥b，b∥c则a∥c.该结论在空间中是否成立？
答案 成立．
梳理 平行公理的内容
(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
(2)符号表示： a∥c.
知识点三 等角定理
思考 观察图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，21世纪教育网版权所有
这两组角的大小关系如何？
答案 从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.
梳理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补．
知识点四 异面直线所成的角
思考 在长方体A1B1C1D1—ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？21·cn·jy·com
答案 相等．
梳理
定义 前提 两条异面直线a，b
作法 经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b
结论 我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°.
特殊情况 当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
类型一 异面直线的判断
例1 如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是( )2·1·c·n·j·y
答案 C
解析 本题容易错选A或B或D.不能严格根 ( http: / / www.21cnjy.com )据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择．A，B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交．故选C.
反思与感悟 判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行．只要既不相交，也不平行，就是异面直线．www-2-1-cnjy-com
跟踪训练1 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？21*cnjy*com
解 还原的正方体如图所示，是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.
类型二 公理4及等角定理的应用
例2 已知E，E′分别是正方体ABCD－A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中点．
(1)求证：四边形BB′E′E为平行四边形；
(2)求证：∠BEC＝∠B′E′C′.
证明 (1)如图所示，因为E，E′分别是AD，A′D′的中点，所以AE∥A′E′，且AE＝A′E′.
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所以四边形AEE′A′是平行四边形．
所以AA′∥EE′，且AA′＝EE′.
又因为AA′∥BB′，且AA′＝BB′，
所以EE′∥BB′，且EE′＝BB′.
所以四边形BEE′B′是平行四边形．
(2)由(1)知，四边形BB′E′E为平行四边形，所以BE∥B′E′.
同理可证CE∥ C′E′.
又∠BEC与∠B′E′C′的两边方向相同，
所以∠BEC＝∠B′E′C′.
引申探究
本例2中取C′D′的中点G′，求证四边形ACG′E′为梯形．
证明 连接A′C′.
∵E′，G′分别为A′D′，C′D′的中点，
∴E′G′綊A′C′.
∵AA′綊CC′，
∴四边形ACC′A′是平行四边形，
∴A′C′綊AC，∴E′G′綊AC，
∴四边形ACG′E′是梯形．
反思与感悟 (1)公理4的作用
公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．www.21-cn-jy.com
(2)剖析“等角定理”
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
②如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补．【来源：21·世纪·教育·网】
③如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相反，那么这两个角相等．
跟踪训练2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点．求证：△EFG∽△C1DA1.21教育网
证明 如图，连接B1C.
因为G，F分别为BC，BB1的中点，
所以GF綊B1C.
又ABCD—A1B1C1D1为正方体，
所以CD綊AB，A1B1綊AB，
由公理4知CD綊A1B1，
所以四边形A1B1CD为平行四边形，
所以A1D綊B1C.又B1C∥FG，
由公理4知A1D∥FG.
同理可证：A1C1∥EG，DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两边分别对应平行且均为锐角，
所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.
所以△EFG∽△C1DA1.
类型三 求异面直线所成的角
例3 空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．2-1-c-n-j-y
解 如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
则EG綊AB，GF綊CD，
由AB＝CD知EG＝FG，
从而可知∠GEF为EF与AB所成角，∠EGF或其补角为AB与CD所成角．
∵AB与CD所成角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
反思与感悟 求两条异面直线所成的角的一般步骤
(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角．
(2)计算角：求角度，常利用三角形．
(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．21cnjy.com
跟踪训练3 在空间四边形ABCD中，两条对边 ( http: / / www.21cnjy.com )AB＝CD＝3，E，F分别是另外两条对边AD，BC上的点，且＝＝，EF＝，求AB和CD所成角的大小．21·世纪*教育网
解 如图，连接BD，过点E作AB的平行线交BD于O，连接OF.
因为EO∥AB，
所以＝＝，
＝＝.
又因为AB＝3，所以EO＝2.
又＝，所以＝，
所以OF∥DC，所以OE与OF所成的角即为AB和CD的成的角，＝＝.
因为DC＝3，所以OF＝1.
在△OEF中，OE2＋OF2＝5，EF2＝()2＝5，
所以OE2＋OF2＝EF2，∠EOF＝90°，
所以AB和CD所成的角为90°.
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