2.2.3 直线与平面平行的性质 学案（含答案）

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直线与平面平行的性质
【学习目标】
1.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行.
2.结合具体问题体会化归与转化的数学思想．
知识点　直线与平面平行的性质
思考1　如图，直线l∥平面α，直线a 平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？
答案　不一定，因为还可能是异面直线．
思考2　如图，直线a∥平面α，直线a 平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？21世纪教育网版权所有
答案　无数个．a∥b.
梳理　线面平行的性质
文字语言 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
符号语言 a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
图形语言
类型一　线面平行的性质定理的应用
例1　如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．21教育网
证明　因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB 平面ABC，
所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.
同理AB∥PQ，
所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形．
引申探究
1．若本例条件不变，求证：＝.
证明　由例1知：PQ∥AB，∴＝.
又QM∥DC，∴＝，∴＝.
2．若本例中添加条件：AB⊥CD，AB＝10，CD＝8，且BP∶PD＝1∶1，求四边形MNPQ的面积．
解　由例1知，四边形MNPQ是平行四边形，
∵AB⊥CD，∴PQ⊥QM，∴四边形MNPQ是矩形．
又BP∶PD＝1∶1，∴PQ＝5，QM＝4，
∴四边形MNPQ的面积为5×4＝20.
反思与感悟　(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤
(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．21cnjy.com
跟踪训练1　如图，正方体ABCD－A1B1 ( http: / / www.21cnjy.com )C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段FE的长度等于________．21·cn·jy·com
答案　
解析　∵EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF 平面ADC，∴EF∥AC，∵E是AD的中点，
∴EF＝AC＝×2＝.
类型二　线面平行性质定理与判定定理的综合应用
例2　如图所示，已知P是 ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.www.21-cn-jy.com
(1)求证：l∥BC；
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
证明　(1)因为BC∥AD，BC 平面PAD，AD 平面PAD，所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.
解　(2)平行．证明如下：
如图，取PD的中点E，连接AE，NE，
可以证得NE∥AM且NE＝AM，
所以四边形MNEA是平行四边形，所以MN∥AE.
又AE 平面PAD，MN 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
反思与感悟　判定定理与性质定理常常交 ( http: / / www.21cnjy.com )替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下：2·1·c·n·j·y
线线平行线面平行线线平行．
跟踪训练2　如图所示，四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.【来源：21·世纪·教育·网】
求证：GH∥平面PAD.
证明　如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，∴PA∥MO，
而AP 平面BDM，OM 平面BDM，
∴PA∥平面BMD，
又∵PA 平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.
又PA 平面PAD，GH 平面PAD，
∴GH∥平面PAD.
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