2.3.1 直线与平面垂直的判定 学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 2.3.1 直线与平面垂直的判定 学案（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-08 14:11:57 | ||
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文档简介
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直线与平面垂直的判定
【学习目标】
1.理解直线与平面垂直的定义.
2.掌握直线与平面垂直的判定定理的内容及其应用.
3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问题．
知识点一 直线与平面垂直的定义
思考 在阳光下观察直立于 ( http: / / www.21cnjy.com )地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？www.21-cn-jy.com
答案 不变，90°.
梳理
定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
知识点二 直线和平面垂直的判定定理
将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．如图，观察折痕AD与桌面的位置关系．2·1·c·n·j·y
思考1 折痕AD与桌面一定垂直吗？
答案 不一定．
思考2 当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？
答案 当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．
梳理
文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
图形语言
知识点三 直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA
斜足 斜线和平面的交点，图中点A
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中∠PAO规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°
取值范围 设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90°
类型一 直线与平面垂直的定义
例1 如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，求证：BC⊥平面PAC.21世纪教育网版权所有
证明 ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.
而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
引申探究 若本例中其他条件不变，作AE⊥PC交PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.
证明 由例1知BC⊥平面PAC，
又∵AE 平面PAC，∴BC⊥AE.
∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，
∴AE⊥平面PBC.
反思与感悟 (1)使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．21教育网
(2)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义．
②线面垂直的判定定理．
③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
跟踪训练1 如图，已知PA ( http: / / www.21cnjy.com )垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，作AF⊥PB于F，求证：PB⊥平面AEF.21cnjy.com
证明 由引申探究知AE⊥平面PBC.
∵PB 平面PBC，∴AE⊥PB，
又AF⊥PB，且AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.
类型二 直线与平面所成的角
例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角．
解 (1)∵AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.
∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，
∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角．
设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝.
又∵∠A1OB＝90°，
∴sin∠A1BO＝＝，又∠A1BO∈[0°，90°]，
∴∠A1BO＝30°，
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
反思与感悟 求斜线与平面所成角的步骤
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内 ( http: / / www.21cnjy.com )的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．21·cn·jy·com
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
跟踪训练2 如图，在三棱锥A－SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，求直线AS与平面SBC所成的角．【来源：21·世纪·教育·网】
解 因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB与△SAC都是等边三角形．
因此，AB＝AC.
如图，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC.
设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝a，CD＝SD＝a.
在Rt△ADC中，AD＝＝a，
则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.
又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.
因此，∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．
在Rt△ASD中，SD＝AD＝a，
所以∠ASD＝45°.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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直线与平面垂直的判定
【学习目标】
1.理解直线与平面垂直的定义.
2.掌握直线与平面垂直的判定定理的内容及其应用.
3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问题．
知识点一 直线与平面垂直的定义
思考 在阳光下观察直立于 ( http: / / www.21cnjy.com )地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？www.21-cn-jy.com
答案 不变，90°.
梳理
定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
知识点二 直线和平面垂直的判定定理
将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．如图，观察折痕AD与桌面的位置关系．2·1·c·n·j·y
思考1 折痕AD与桌面一定垂直吗？
答案 不一定．
思考2 当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？
答案 当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．
梳理
文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
图形语言
知识点三 直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA
斜足 斜线和平面的交点，图中点A
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中∠PAO规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°
取值范围 设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90°
类型一 直线与平面垂直的定义
例1 如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，求证：BC⊥平面PAC.21世纪教育网版权所有
证明 ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.
而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
引申探究 若本例中其他条件不变，作AE⊥PC交PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.
证明 由例1知BC⊥平面PAC，
又∵AE 平面PAC，∴BC⊥AE.
∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，
∴AE⊥平面PBC.
反思与感悟 (1)使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．21教育网
(2)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义．
②线面垂直的判定定理．
③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
跟踪训练1 如图，已知PA ( http: / / www.21cnjy.com )垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，作AF⊥PB于F，求证：PB⊥平面AEF.21cnjy.com
证明 由引申探究知AE⊥平面PBC.
∵PB 平面PBC，∴AE⊥PB，
又AF⊥PB，且AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.
类型二 直线与平面所成的角
例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角．
解 (1)∵AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.
∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，
∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角．
设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝.
又∵∠A1OB＝90°，
∴sin∠A1BO＝＝，又∠A1BO∈[0°，90°]，
∴∠A1BO＝30°，
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
反思与感悟 求斜线与平面所成角的步骤
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内 ( http: / / www.21cnjy.com )的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．21·cn·jy·com
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
跟踪训练2 如图，在三棱锥A－SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，求直线AS与平面SBC所成的角．【来源：21·世纪·教育·网】
解 因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB与△SAC都是等边三角形．
因此，AB＝AC.
如图，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC.
设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝a，CD＝SD＝a.
在Rt△ADC中，AD＝＝a，
则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.
又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.
因此，∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．
在Rt△ASD中，SD＝AD＝a，
所以∠ASD＝45°.
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