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湘教版初中数学八年级下册第一单元直角三角形单元测试
一、单选题
1．（2021八上·东莞期末）到三角形三边距离相等的点是（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
2．（2021八上·丹东期末）在中，，如果，，那么的长是（ ）．
A．10 B． C．10或 D．7
3．（2022八下·长兴开学考）如图．AB=AC，BD=1，BD⊥AD，则数轴上点C所表示的数为（ ）
A． +1 B．- -1 C．- +1 D． -1
4．（2021八上·海曙期末）如图，CD是等腰三角形 △ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则 △ BCE的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
5．（2021八上·凤县期末）如图，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
6．（2021八上·南京期末）在 中， ， ， .下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③a是8的算术平方根；④ .其中，所有正确的说法的序号是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
7．（2021八上·淳安期末）下列语句中是命题的有( )
①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；②作点A关于直线l的对称点A＇； ③三边对应相等的两个三角形全等吗？④角平分线上的点到角两边的距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2021八上·淳安期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB是直角，点D是AB边上的中点，下列成立的有（ ）
①∠A+∠B=90° ②AC2+BC2=AB2③2CD=AB ④∠B= 30°
A．①②④ B．①③ C．②④ D．①②③
9．（2021八上·淳安期末）已知等边△ABC的边长为12， D是边AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
10．（2021八上·鄞州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为（ ）
A．44 B．43 C．42 D．41
11．（2021八上·开化期末）下列命题是真命题的是（ )
A．同旁内角互补
B．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形
C．两边及一角对应相等的两个三角形全等
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
12．（2021八上·本溪期末）如图，长方形OABC中，点A在y轴上，点C在x轴上．，．点D在边AB上，点E在边OC上，将长方形沿直线DE折叠，使点B与点O重合．则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2021八上·凤县期末）直角三角形的两条边长分别为3cm、4cm，则这个直角三角形的斜边长为 cm.
14．（2022八下·长兴开学考）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，BD是角平分线，BD=5，BC=4，则D点到AB的距离是 。
15．（2021八上·汉阴期末）如图，在 中， ， 平分 ， ，点D到 的距离为5.6，则 .
16．（2021八上·诸暨期末）如图，等腰△BAC中，∠BAC＝120°，BC＝6，P为射线BA上的动点，M为BC上一动点，则PM+CP的最小值为 ．
17．（2021八上·鄞州期末）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD＝ .
18．（2021八上·鄞州期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点D在BC上（BD＞CD），△AED与△ACD关于直线AD轴对称，点C的对称点是点E，AE交BC于点F，连结BE，CE.当DE⊥BC时，∠ADE的度数为 ，CE的长为 .
19．（2021八上·滨城期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，边AC的垂直平分线DE分别交边AB、AC于点D、E、P为直线DE上一点．若BC＝2，则△BCP周长的最小值为 ．
20．（2021八上·丹东期末）如图，是的角平分线，，，，则的长为 ．
21．（2021八上·延庆期末）小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是 ．
22．（2021八上·延庆期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是
三、作图题
23．（2021八上·鼓楼月考）作图题：（保留作图痕迹，不必写作法）
如图，已知△ABC中，AB＝2AC，作一条射线AD交线段BC于点D，使△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．
24．（2021八上·余杭月考）如图，已知线段，.
（1）尺规作图：作等腰，使底边长为，上的高为.
（2）若，，求的周长.
四、解答题
25．（2021八上·汉阴期末）如图，在 中，D为 的中点， ， ，垂足分别为E，F，且 ， ，求证： 是等边三角形.
26．（2021八上·南京期末）滑撑杆在悬窗中应用广泛.如图，某款滑撑杆由滑道 ，撑杆 、 组成，滑道 固定在窗台上.悬窗关闭或打开过程中，撑杆 、 的长度始终保持不变.当悬窗关闭时，如图①，此时点A与点O重合，撑杆 、 恰与滑道 完全重合；当悬窗完全打开时，如图②，此时撑杆 与撑杆 恰成直角，即 ，测量得 ，撑杆 ，求滑道 的长度.
27．（2021八上·延庆期末）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，AC＝，BD＝2．求线段DF的长度．
五、综合题
28．（2021八上·海曙期末）如图，在 中， ， ，F为 延长线上一点，点E在 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
29．（2021八上·海曙期末）如图所示， 中， ， 于点 ， ， ．
（1）求 ， 的长．
（2）若点 是射线 上的一个动点，作 于点 ，连结 ．
①当点 在线段 上时，若 是以 为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的 的长．
②设 交直线 于点 ，连结 ， ，若 ，则 的长为多少？（直接写出结果）．
30．（2021八上·南充期末）
（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， .求证： .
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.
方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长 到点N，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题.
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明.
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接 ，当 时，探究线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形 中， ， ，过点D作 ，垂足为点E，请直接写出线段 、 、 之间的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】C
【考点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵OG⊥AB，OF⊥AC，OG＝OF，
∴点O在∠A的平分线上，
同理可证：点O在∠B的平分线上，点O在∠C的平分线上，
即O是三条角平分线的交点，
故答案为：C．
【分析】依据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等可得答案。
2．【答案】B
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：，，，
故答案为：B
【分析】利用勾股定理求出AC的长即可。
3．【答案】D
【考点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：观察数轴可知：AD=2，
∵BD=1，
∴在直角三角形ADB中，由勾股定理得，AB=，
∵AB=AC，
∴AC=5，
∵A在数轴上表示的数为-1，
∴点C所表示的数为-1.
故答案为：D.
【分析】观察数轴可知：AD=2，结合BD=1，在直角三角形ADB中，利用勾股定理求出AB；由AB=AC，再进行减法运算即可求得C点在数轴上表示的数.
4．【答案】C
【考点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BC于F，
∵AC＝BC＝8，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，
∴CD⊥AB，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝×8×2=8.
故答案为：C.
【分析】过点E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质可证得CD⊥AB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE的面积.
5．【答案】A
【考点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ Rt△ABC
∴AC2+BC2=AB2=3
∴S阴影= AC2+ BC2+ AB2= （AC2+BC2）+ AB2= AB2+ AB2=AB2=3.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求出AC2+BC2=AB2=3，再利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积.
6．【答案】C
【考点】算术平方根；实数在数轴上的表示；估算无理数的大小；勾股定理；无理数的认识
【解析】【解答】解：∵ 中， ， ， ，
∴ ，
① 是无理数，说法正确；
②a可以用数轴上的一个点来表示，说法正确；
③a是8的算术平方根，说法正确；
④∵4＜8＜9，∴ ，即2＜a＜3，说法错误；
所以说法正确的有①②③.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出a的值，根据a的值，可对①作出判断；根据实数与数轴上的点成一一对应，可对②作出判断；利用正数的算术平方根是正数，可对③作出判断；利用估算无理数的大小方法，可知，可对④作出判断，综上所述可得到正确说法的个数.
7．【答案】B
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；定义、命题及定理的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，此命题是真命题；
②作点A关于直线l的对称点A＇，它不是命题；
③三边对应相等的两个三角形全等吗？它不是命题；
④角平分线上的点到角两边的距离相等，此命题是真命题；
∴是真命题的只有2个.
故答案为：B.
【分析】利用命题是判断一件事情的语句，可知②③不是命题；再利用线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，可对①④作出判断.
8．【答案】D
【考点】三角形内角和定理；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB是直角，
∴∠A+∠B=90°，故①正确；
∴AC2+BC2=AB2，故②正确；
∵点D是AB边上的中点，
∴AB=2CD，故③正确；
只有当∠A=60°时，∠B=30°，故④错误；
正确结论的序号有：①②③.
故答案为：D.
【分析】利用直角三角形的两锐角之和为90°，可对①④作出判断；利用勾股定理可对②作出判断；利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
9．【答案】C
【考点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，设BD=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AC，EF⊥BC，FG⊥AB，
∴∠AED=∠CFE=∠FDB=90°，
∴∠BFD=∠CEF=∠ADE=90°-60°=30°，
∴BF=2BD=2x，
∴CF=12-2x，
∴CE=2（12-2x）=24-4x，
∴AE=AC-CE=12-（24-4x）=4x-12，
∴AD=2AE=2（4x-12）=8x-24，
∵AD=12-x
∴8x-24=12-x
解之：x=4.
∴AD=12-4=8.
故答案为：C.
【分析】设BD=x，利用等边三角形的性质可证得∠A=∠B=∠C=60°，利用垂直的定义和三角形的内角和定理可证得∠BFD=∠CEF=∠ADE=30°，利用30° 角所对的直角边等于斜边的一半，可表示出BF，CF的长；利用同样的方法表示出AD的长；然后根据AD的长建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出AD的长.
10．【答案】C
【考点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△BDE由△BCA旋转得出，
∴BD＝BC＝12.
∵∠CBD＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD＝BC＝12.
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝ ＝13，
∴C△ACF+C△BDF＝AC+CF+AF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+12+12＝42.
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质可得BD＝BC＝12，推出△BCD为等边三角形，得到CD＝BC＝12，利用勾股定理求出AB，进而可将△ACF与△BDF的周长之和转化为AC+AB+CD+BD，据此计算.
11．【答案】D
【考点】平行线的性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；三角形相关概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，错误；
B、等腰三角形有锐角三角形，也有钝角三角形，错误；
C、 两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等 ，错误；
D、 角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题，正确；
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质判断A；利用等腰三角形的性质和三角形内角和分析判断B；根据全等三角形的判定定理判断C；根据角平分线的性质定理判断D.
12．【答案】C
【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设AD=x，由折叠的性质可知，OD=BD=8-x，
在Rt△OAD中，
∵OA2+AD2=OD2，
∴42+x2=（8-x）2，
∴x=3，
∴D，
故答案为：C．
【分析】设AD=x，由折叠的性质可知，OD=BD=8-x，再利用勾股定理列出方程42+x2=（8-x）2，求解即可。
13．【答案】4或5
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴当4是斜边时，斜边长就是4；
当4是直角边时，斜边是： ，
综上所述，这个直角三角形的斜边长为：4或5
答案是：4或5.
【分析】分情况讨论：①当4是斜边时；②当4是直角边时，利用勾股定理求出斜边的长，综合即可得出答案.
14．【答案】3
【考点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵BD是角平分线，∠C=90°，
∴DE=DC，
∵Rt△ABC，BD=5，BC=4，
∴DC=，
∴DE=3.
故答案为：3.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质定理得DE=DC，在Rt△ABC，由勾股定理得求出DC，进而求得DE，DE即为D点到AB的距离.
15．【答案】16.8
【考点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴CD⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴CD＝DE，
∵D到AB的距离等于5.6cm，
∴CD＝DE＝5.6cm，
又∵BD＝2CD，
∴BD＝11.2cm，
∴BC＝5.6＋11.2＝ cm，
故答案为：16.8.
【分析】过D作DE⊥AB于E，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得CD=DE，同时可求出CD的长，然后根据BC=BD+CD，代入计算求出BC的长.
16．【答案】
【考点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点C关于AB的对称点D，交BA的延长线于点E，过点D作DM⊥BC于点M，交AB于点P，
则PM+CP=PM+DP=DM的值最小，
∵AB=AC，∠BAC＝120°，
∴∠B=30°，
∴CE=BC=3，∠DCM=60°，
∴CD=2CE=6，∠D=30°，
∴CM=CD=3，
∴DM=，
∴PM+CP的最小值为3.
故答案为：.
【分析】作点C关于AB的对称点D，交BA的延长线于点E，过点D作DM⊥BC于点M，交AB于点P，根据垂线段最短得出PM+CP的最小值为DM的长，根据等腰三角形的性质得出∠B=30°，从而得出CD=2CE=6，∠D=30°，CM=CD=3，根据勾股定理得出DM=3. 即可得出答案.
17．【答案】
【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设CD＝x，则AD＝A′D＝4﹣x.
在直角三角形ABC中，BC＝ ＝5.则A′C＝BC﹣AB＝BC﹣A′B＝5﹣3＝2.
在直角三角形A′DC中：AD2+AC2＝CD2.
即：（4﹣x）2+22＝x2.
解得：x＝.
故答案为：.
【分析】设CD＝x，则AD＝A′D＝4-x，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出BC，则A′C＝BC-AB＝BC-A′B＝2，然后在Rt△A′DC中，应用勾股定理求解即可.
18．【答案】135°；
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝13，BC＝24，
∴BH＝CH＝12，
∴AH＝ ＝5，
∵△AED与△ACD关于直线AD轴对称，
∴∠ADC＝∠ADE，CD＝DE，
∵DE⊥BC，
∴∠BDE＝90°，
∴∠ADE＝90°+∠ADB＝∠ADC，
∴90°+∠ADB＝180°﹣∠ADB，
∴∠ADB＝45°，
∵∠AHC＝90°，
∴∠ADB＝∠HAD＝45°，
∴AH＝HD＝5，∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝135°，
∴BD＝12+5＝17，
∴CD＝DE＝24﹣17＝7，
∴CE＝ ＝7.
故答案为：135°，7 .
【分析】过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质可得BH＝CH＝12，由勾股定理求出AH，根据轴对称的性质可得∠ADC＝∠ADE，CD＝DE，易得∠BDE＝90°，∠ADB＝45°，∠ADB＝∠HAD＝45°，则AH＝HD＝5，∠ADE＝∠ADB+∠BDE，BD＝12+5＝17，CD＝DE＝7，然后利用勾股定理就可求出CE.
19．【答案】6
【考点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接PA，
∵DE是线段AC的垂直平分线，P在直线DE上，
∴PA=PC，
∴PB+PC=PB+PA，
∴要想△PBC的周长最小，则PB+PC+BC最小，即PB+PC的值最小，则PA+PB的值最小，
∴当A、P、B三点共线时，PA+PB的值最小即为AB，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=4，
∴PB+PC的最小值为4，
∴△PBC的周长的最小值为4+BC=6，
故答案为：6．
【分析】由题意可知当P点与D点重合时，PC+PB的值最小，则可求出三角形BCP周长的最小值为AB+BC=6.
20．【答案】
【考点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵，，，
∴
是直角三角形
是的角平分线，
在与中
设，则
在中，
即
解得
在中
故答案为：
【分析】过点作于点，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再证明，可得BE=BC=9，进而求出AE的长，再利用勾股定理列出方程求解即可。
21．【答案】
【考点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，
∴OB=，
∴以点O为圆心，OB为半径与正半轴交点P表示的数为．
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出OB的长，再在数轴上表示出点P的数即可。
22．【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
【考点】角平分线的判定
【解析】【解答】因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平行线.
【分析】根据角平分线的判定方法求解即可。
23．【答案】解：如图：
【考点】三角形的面积；角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交AB于点M，再分别以点C、M为圆心，以大于长为半径画弧，连接A点和弧的交点，与BC的交点即为D．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等及AB=2AC可知，点D就是∠CAB的角平分线与BC的交点，故以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交AB于点M，再分别以点C、M为圆心，以大于长为半径画弧，连接A点和弧的交点，与BC的交点即为D.
24．【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）为等腰三角形，，
，
在中，，
的周长为：.
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；作图-三角形
【解析】【分析】（1）作射线BP，在BP上截取BC=a，分别以B、C为圆心，大于BC为半径画弧，分别相交，过两交点作直线，该直线就是BC的垂直平分线，该线交BC于点D，再以D为圆心，h长为半径画弧，交垂直平分线于点A，连接AB、AC即可；
（2）由等腰三角形的性质可得BD=CD=5，根据勾股定理求出AB，进而可得△ABC的周长.
25．【答案】证明：∵ ， ，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵ ，
∴∠B=60°，
是等边三角形.
【考点】直角三角形全等的判定（HL）；等边三角形的判定
【解析】【分析】利用垂直的定义可证∠BED=∠CFD=90°，利用HL证明Rt△BED≌Rt△CFD，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠B=∠C，再求出∠B=60°，即可证得结论.
26．【答案】解：设 cm，则由图①可知 cm，
由图②可知 cm，
∵ ，
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理可得，
，
∴ ，
解得 ，
∴滑道 的长度为51cm.
【考点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设OC=MCm，利用图①可表示出BC的长，由图②表示出AC的长，再利用勾股定理建立关于m的方程，解方程求出m的值，即可得到OC的长.
27．【答案】解：∵AD和BE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝90°．
∴∠C＋∠DAC＝90°；∠C＋∠DBF＝90°．
∴∠DAC ＝∠DBF．
∵∠ABC＝45°，
∴∠DAB＝45°．
∴∠ABC＝∠DAB．
∴DA＝DB．
在△ADC与△BDF中，
∴△ADC≌△BDF（ASA）．
∴AC＝BF＝．
在Rt△BDF中，∠BDF＝90°，
∴BD2＋DF2＝BF2．
∵BD＝2，BF＝，
∴DF＝1
【考点】勾股定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】先利用“ASA”证明△ADC≌△BDF，再利用全等三角形的性质可得AC＝BF＝，再利用勾股定理求出DF即可。
28．【答案】（1）证明：如图，∵∠ABC=∠CBF=90°，
∴在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
（2）解:∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠CAE=25°，
∴∠BAE=45°-25°=20°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=20°，
∴∠CFA=90°-20°=70°．
【考点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）利用HL证明△ABE≌△CBF.
（2）利用等腰直角三角形的性质可证得∠BAC=∠BCA=45°，由此可求出∠BAE的度数；再利用全等三角形的对应角相等，可求出∠BCF的度数；然后根据∠CFA=90°-∠BCF，代入计算求出∠CFA的度数.
29．【答案】（1）解:∵ ， ，∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
由勾股定理得： ，
（2）解:①分两种情况：
ⅰ)如图1所示，
当 时，过 作 于 ，
∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ．
ⅱ)当 时，如图2所示，
在 和 中， ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
② 的长为 或 ．
【考点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（2）②分两种情况：
ⅰ）当 在线段 上时，如图3所示，
过 作 于 ，∵ ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
ⅱ）当 在线段 的延长线上时，如图4所示，过 作 于 ，
同理得 ，∵ ，∴ ，
同理得： ，∴ ，
中， ，
综上， 的长为 或 ．故直接写出答案为： 或 ．
【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠AOC=∠BOC=90°，利用勾股定理求出CO，AC的长.
（2）①分情况讨论：当AO=OE=4时，过点O作ON⊥AC于点N，利用等腰三角形的性质可证得AN=EN；再证明ON∥DE，可推出AO=OD=4；当AO=AE=4时，利用AAS证明△CAO≌△DAE，利用全等三角形的性质可求出AD的长，然后根据OD=AD-OD，可求出OD的长；②分情况讨论：当点D在线段OB上时，如图3，过点B作BG⊥EF于点G，利用两三角形的面积之比，可得到BF与CF的比值，由此可求出BF与CB的比值，即可求出BF的长；再证明BG∥AC，可推出∠GBF=∠ACB，利用平行线的性质可证得∠A=∠DBG，利用等腰三角形的性质可推出∠DBF=∠GBF，∠BDG=∠BFG，同时可求出BD，OD的长，利用勾股定理求出CD的长；当点D在线段OB的延长线上时，过点B作BG⊥DE于点G，同理可求出BF的长，利用勾股定理求出CD的长；综上所述可得到CD的长.
30．【答案】（1）解：方法1：在 上截 ，连接 ，如图.
平分 ，
.
在 和 中， ，
，
， .
， .
.
，
.
方法2：延长 到点N，使得 ，连接 ，如图.
平分 ，
.
在 和 中， ，
.
， .
，
.
，
，
.
（2）解： 、 、 之间的数量关系为： .
（或者： ， ）.
延长 到点P，使 ，连接 ，如图2所示.
由（1）可知 ，
.
为等边三角形.
， .
，
.
.
，
为等边三角形.
， .
，
，
即 .
在 和 中， ，
.
，
，
.
（3）
【考点】直角三角形全等的判定（HL）；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3） AB，CE，BC之间的数量关系为： .
（或者： ， ）
连接BD ，过点D作DF⊥AC于F，如图3所示.
， .
.
在 和 中， ，
，
， .
在 和 中，DF=DE，AF=CE，
，
.
，
，
.
【分析】（1）方法一：在BC上截取BM=BA，连接DM，利用角平分线的定义得∠ABD=∠CBD，由SAS证明△ABD≌△MBD，利用全等三角形的性质得∠A=∠BMD，AD=MD；由此可推出DM=DC，即可证得结论；方法二：延长BA至点N，使BN=BC，连接DN，由角平分线定义得∠NBD=∠CBD，利用SAS证明△NBD≌△CBD，利用全等三角形的性质可得到∠C=∠BND，ND=CD；利用补角的性质可得∠BND=∠NAD，利用等角对等边可得到DN=DA，即可证得结论；
（2）延长CB到点P，使BP=BC，连接AP，易证△ADC是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得AC=AD，∠ADC=60°，再求出∠ABC，∠PBA的度数；再证明△ABP是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到∠PAB=60°，AB=AP，可推出∠PAC=∠BAD；然后利用SAS证明△PAC≌△BAD，利用全等三角形的性质可推出PC=BD，由此可得到AB，BC，BD之间的数量关系；
（3） 连接BD，过点D作DF⊥AC于点F，由补角的性质得∠FAD=∠C，利用AAS证明△DFA≌△DEC，利用全等三角形的性质可得到利用HL证明△BDF≌△BDE，利用全等三角形的性质可推出BF=BE，由此可推出BC=BA+2CE，由此可证得结论.
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湘教版初中数学八年级下册第一单元直角三角形单元测试
一、单选题
1．（2021八上·东莞期末）到三角形三边距离相等的点是（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
【答案】C
【考点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵OG⊥AB，OF⊥AC，OG＝OF，
∴点O在∠A的平分线上，
同理可证：点O在∠B的平分线上，点O在∠C的平分线上，
即O是三条角平分线的交点，
故答案为：C．
【分析】依据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等可得答案。
2．（2021八上·丹东期末）在中，，如果，，那么的长是（ ）．
A．10 B． C．10或 D．7
【答案】B
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：，，，
故答案为：B
【分析】利用勾股定理求出AC的长即可。
3．（2022八下·长兴开学考）如图．AB=AC，BD=1，BD⊥AD，则数轴上点C所表示的数为（ ）
A． +1 B．- -1 C．- +1 D． -1
【答案】D
【考点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：观察数轴可知：AD=2，
∵BD=1，
∴在直角三角形ADB中，由勾股定理得，AB=，
∵AB=AC，
∴AC=5，
∵A在数轴上表示的数为-1，
∴点C所表示的数为-1.
故答案为：D.
【分析】观察数轴可知：AD=2，结合BD=1，在直角三角形ADB中，利用勾股定理求出AB；由AB=AC，再进行减法运算即可求得C点在数轴上表示的数.
4．（2021八上·海曙期末）如图，CD是等腰三角形 △ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则 △ BCE的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【考点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BC于F，
∵AC＝BC＝8，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，
∴CD⊥AB，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝×8×2=8.
故答案为：C.
【分析】过点E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质可证得CD⊥AB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE的面积.
5．（2021八上·凤县期末）如图，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【考点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ Rt△ABC
∴AC2+BC2=AB2=3
∴S阴影= AC2+ BC2+ AB2= （AC2+BC2）+ AB2= AB2+ AB2=AB2=3.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求出AC2+BC2=AB2=3，再利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积.
6．（2021八上·南京期末）在 中， ， ， .下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③a是8的算术平方根；④ .其中，所有正确的说法的序号是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
【答案】C
【考点】算术平方根；实数在数轴上的表示；估算无理数的大小；勾股定理；无理数的认识
【解析】【解答】解：∵ 中， ， ， ，
∴ ，
① 是无理数，说法正确；
②a可以用数轴上的一个点来表示，说法正确；
③a是8的算术平方根，说法正确；
④∵4＜8＜9，∴ ，即2＜a＜3，说法错误；
所以说法正确的有①②③.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出a的值，根据a的值，可对①作出判断；根据实数与数轴上的点成一一对应，可对②作出判断；利用正数的算术平方根是正数，可对③作出判断；利用估算无理数的大小方法，可知，可对④作出判断，综上所述可得到正确说法的个数.
7．（2021八上·淳安期末）下列语句中是命题的有( )
①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；②作点A关于直线l的对称点A＇； ③三边对应相等的两个三角形全等吗？④角平分线上的点到角两边的距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；定义、命题及定理的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，此命题是真命题；
②作点A关于直线l的对称点A＇，它不是命题；
③三边对应相等的两个三角形全等吗？它不是命题；
④角平分线上的点到角两边的距离相等，此命题是真命题；
∴是真命题的只有2个.
故答案为：B.
【分析】利用命题是判断一件事情的语句，可知②③不是命题；再利用线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，可对①④作出判断.
8．（2021八上·淳安期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB是直角，点D是AB边上的中点，下列成立的有（ ）
①∠A+∠B=90° ②AC2+BC2=AB2③2CD=AB ④∠B= 30°
A．①②④ B．①③ C．②④ D．①②③
【答案】D
【考点】三角形内角和定理；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB是直角，
∴∠A+∠B=90°，故①正确；
∴AC2+BC2=AB2，故②正确；
∵点D是AB边上的中点，
∴AB=2CD，故③正确；
只有当∠A=60°时，∠B=30°，故④错误；
正确结论的序号有：①②③.
故答案为：D.
【分析】利用直角三角形的两锐角之和为90°，可对①④作出判断；利用勾股定理可对②作出判断；利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
9．（2021八上·淳安期末）已知等边△ABC的边长为12， D是边AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
【答案】C
【考点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，设BD=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AC，EF⊥BC，FG⊥AB，
∴∠AED=∠CFE=∠FDB=90°，
∴∠BFD=∠CEF=∠ADE=90°-60°=30°，
∴BF=2BD=2x，
∴CF=12-2x，
∴CE=2（12-2x）=24-4x，
∴AE=AC-CE=12-（24-4x）=4x-12，
∴AD=2AE=2（4x-12）=8x-24，
∵AD=12-x
∴8x-24=12-x
解之：x=4.
∴AD=12-4=8.
故答案为：C.
【分析】设BD=x，利用等边三角形的性质可证得∠A=∠B=∠C=60°，利用垂直的定义和三角形的内角和定理可证得∠BFD=∠CEF=∠ADE=30°，利用30° 角所对的直角边等于斜边的一半，可表示出BF，CF的长；利用同样的方法表示出AD的长；然后根据AD的长建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出AD的长.
10．（2021八上·鄞州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为（ ）
A．44 B．43 C．42 D．41
【答案】C
【考点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△BDE由△BCA旋转得出，
∴BD＝BC＝12.
∵∠CBD＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD＝BC＝12.
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝ ＝13，
∴C△ACF+C△BDF＝AC+CF+AF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+12+12＝42.
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质可得BD＝BC＝12，推出△BCD为等边三角形，得到CD＝BC＝12，利用勾股定理求出AB，进而可将△ACF与△BDF的周长之和转化为AC+AB+CD+BD，据此计算.
11．（2021八上·开化期末）下列命题是真命题的是（ )
A．同旁内角互补
B．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形
C．两边及一角对应相等的两个三角形全等
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【答案】D
【考点】平行线的性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；三角形相关概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，错误；
B、等腰三角形有锐角三角形，也有钝角三角形，错误；
C、 两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等 ，错误；
D、 角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题，正确；
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质判断A；利用等腰三角形的性质和三角形内角和分析判断B；根据全等三角形的判定定理判断C；根据角平分线的性质定理判断D.
12．（2021八上·本溪期末）如图，长方形OABC中，点A在y轴上，点C在x轴上．，．点D在边AB上，点E在边OC上，将长方形沿直线DE折叠，使点B与点O重合．则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设AD=x，由折叠的性质可知，OD=BD=8-x，
在Rt△OAD中，
∵OA2+AD2=OD2，
∴42+x2=（8-x）2，
∴x=3，
∴D，
故答案为：C．
【分析】设AD=x，由折叠的性质可知，OD=BD=8-x，再利用勾股定理列出方程42+x2=（8-x）2，求解即可。
二、填空题
13．（2021八上·凤县期末）直角三角形的两条边长分别为3cm、4cm，则这个直角三角形的斜边长为 cm.
【答案】4或5
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴当4是斜边时，斜边长就是4；
当4是直角边时，斜边是： ，
综上所述，这个直角三角形的斜边长为：4或5
答案是：4或5.
【分析】分情况讨论：①当4是斜边时；②当4是直角边时，利用勾股定理求出斜边的长，综合即可得出答案.
14．（2022八下·长兴开学考）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，BD是角平分线，BD=5，BC=4，则D点到AB的距离是 。
【答案】3
【考点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵BD是角平分线，∠C=90°，
∴DE=DC，
∵Rt△ABC，BD=5，BC=4，
∴DC=，
∴DE=3.
故答案为：3.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质定理得DE=DC，在Rt△ABC，由勾股定理得求出DC，进而求得DE，DE即为D点到AB的距离.
15．（2021八上·汉阴期末）如图，在 中， ， 平分 ， ，点D到 的距离为5.6，则 .
【答案】16.8
【考点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴CD⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴CD＝DE，
∵D到AB的距离等于5.6cm，
∴CD＝DE＝5.6cm，
又∵BD＝2CD，
∴BD＝11.2cm，
∴BC＝5.6＋11.2＝ cm，
故答案为：16.8.
【分析】过D作DE⊥AB于E，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得CD=DE，同时可求出CD的长，然后根据BC=BD+CD，代入计算求出BC的长.
16．（2021八上·诸暨期末）如图，等腰△BAC中，∠BAC＝120°，BC＝6，P为射线BA上的动点，M为BC上一动点，则PM+CP的最小值为 ．
【答案】
【考点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点C关于AB的对称点D，交BA的延长线于点E，过点D作DM⊥BC于点M，交AB于点P，
则PM+CP=PM+DP=DM的值最小，
∵AB=AC，∠BAC＝120°，
∴∠B=30°，
∴CE=BC=3，∠DCM=60°，
∴CD=2CE=6，∠D=30°，
∴CM=CD=3，
∴DM=，
∴PM+CP的最小值为3.
故答案为：.
【分析】作点C关于AB的对称点D，交BA的延长线于点E，过点D作DM⊥BC于点M，交AB于点P，根据垂线段最短得出PM+CP的最小值为DM的长，根据等腰三角形的性质得出∠B=30°，从而得出CD=2CE=6，∠D=30°，CM=CD=3，根据勾股定理得出DM=3. 即可得出答案.
17．（2021八上·鄞州期末）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD＝ .
【答案】
【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设CD＝x，则AD＝A′D＝4﹣x.
在直角三角形ABC中，BC＝ ＝5.则A′C＝BC﹣AB＝BC﹣A′B＝5﹣3＝2.
在直角三角形A′DC中：AD2+AC2＝CD2.
即：（4﹣x）2+22＝x2.
解得：x＝.
故答案为：.
【分析】设CD＝x，则AD＝A′D＝4-x，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出BC，则A′C＝BC-AB＝BC-A′B＝2，然后在Rt△A′DC中，应用勾股定理求解即可.
18．（2021八上·鄞州期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点D在BC上（BD＞CD），△AED与△ACD关于直线AD轴对称，点C的对称点是点E，AE交BC于点F，连结BE，CE.当DE⊥BC时，∠ADE的度数为 ，CE的长为 .
【答案】135°；
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝13，BC＝24，
∴BH＝CH＝12，
∴AH＝ ＝5，
∵△AED与△ACD关于直线AD轴对称，
∴∠ADC＝∠ADE，CD＝DE，
∵DE⊥BC，
∴∠BDE＝90°，
∴∠ADE＝90°+∠ADB＝∠ADC，
∴90°+∠ADB＝180°﹣∠ADB，
∴∠ADB＝45°，
∵∠AHC＝90°，
∴∠ADB＝∠HAD＝45°，
∴AH＝HD＝5，∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝135°，
∴BD＝12+5＝17，
∴CD＝DE＝24﹣17＝7，
∴CE＝ ＝7.
故答案为：135°，7 .
【分析】过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质可得BH＝CH＝12，由勾股定理求出AH，根据轴对称的性质可得∠ADC＝∠ADE，CD＝DE，易得∠BDE＝90°，∠ADB＝45°，∠ADB＝∠HAD＝45°，则AH＝HD＝5，∠ADE＝∠ADB+∠BDE，BD＝12+5＝17，CD＝DE＝7，然后利用勾股定理就可求出CE.
19．（2021八上·滨城期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，边AC的垂直平分线DE分别交边AB、AC于点D、E、P为直线DE上一点．若BC＝2，则△BCP周长的最小值为 ．
【答案】6
【考点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接PA，
∵DE是线段AC的垂直平分线，P在直线DE上，
∴PA=PC，
∴PB+PC=PB+PA，
∴要想△PBC的周长最小，则PB+PC+BC最小，即PB+PC的值最小，则PA+PB的值最小，
∴当A、P、B三点共线时，PA+PB的值最小即为AB，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=4，
∴PB+PC的最小值为4，
∴△PBC的周长的最小值为4+BC=6，
故答案为：6．
【分析】由题意可知当P点与D点重合时，PC+PB的值最小，则可求出三角形BCP周长的最小值为AB+BC=6.
20．（2021八上·丹东期末）如图，是的角平分线，，，，则的长为 ．
【答案】
【考点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵，，，
∴
是直角三角形
是的角平分线，
在与中
设，则
在中，
即
解得
在中
故答案为：
【分析】过点作于点，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再证明，可得BE=BC=9，进而求出AE的长，再利用勾股定理列出方程求解即可。
21．（2021八上·延庆期末）小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是 ．
【答案】
【考点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，
∴OB=，
∴以点O为圆心，OB为半径与正半轴交点P表示的数为．
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出OB的长，再在数轴上表示出点P的数即可。
22．（2021八上·延庆期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是
【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
【考点】角平分线的判定
【解析】【解答】因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平行线.
【分析】根据角平分线的判定方法求解即可。
三、作图题
23．（2021八上·鼓楼月考）作图题：（保留作图痕迹，不必写作法）
如图，已知△ABC中，AB＝2AC，作一条射线AD交线段BC于点D，使△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．
【答案】解：如图：
【考点】三角形的面积；角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交AB于点M，再分别以点C、M为圆心，以大于长为半径画弧，连接A点和弧的交点，与BC的交点即为D．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等及AB=2AC可知，点D就是∠CAB的角平分线与BC的交点，故以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交AB于点M，再分别以点C、M为圆心，以大于长为半径画弧，连接A点和弧的交点，与BC的交点即为D.
24．（2021八上·余杭月考）如图，已知线段，.
（1）尺规作图：作等腰，使底边长为，上的高为.
（2）若，，求的周长.
【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）为等腰三角形，，
，
在中，，
的周长为：.
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；作图-三角形
【解析】【分析】（1）作射线BP，在BP上截取BC=a，分别以B、C为圆心，大于BC为半径画弧，分别相交，过两交点作直线，该直线就是BC的垂直平分线，该线交BC于点D，再以D为圆心，h长为半径画弧，交垂直平分线于点A，连接AB、AC即可；
（2）由等腰三角形的性质可得BD=CD=5，根据勾股定理求出AB，进而可得△ABC的周长.
四、解答题
25．（2021八上·汉阴期末）如图，在 中，D为 的中点， ， ，垂足分别为E，F，且 ， ，求证： 是等边三角形.
【答案】证明：∵ ， ，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵ ，
∴∠B=60°，
是等边三角形.
【考点】直角三角形全等的判定（HL）；等边三角形的判定
【解析】【分析】利用垂直的定义可证∠BED=∠CFD=90°，利用HL证明Rt△BED≌Rt△CFD，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠B=∠C，再求出∠B=60°，即可证得结论.
26．（2021八上·南京期末）滑撑杆在悬窗中应用广泛.如图，某款滑撑杆由滑道 ，撑杆 、 组成，滑道 固定在窗台上.悬窗关闭或打开过程中，撑杆 、 的长度始终保持不变.当悬窗关闭时，如图①，此时点A与点O重合，撑杆 、 恰与滑道 完全重合；当悬窗完全打开时，如图②，此时撑杆 与撑杆 恰成直角，即 ，测量得 ，撑杆 ，求滑道 的长度.
【答案】解：设 cm，则由图①可知 cm，
由图②可知 cm，
∵ ，
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理可得，
，
∴ ，
解得 ，
∴滑道 的长度为51cm.
【考点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设OC=MCm，利用图①可表示出BC的长，由图②表示出AC的长，再利用勾股定理建立关于m的方程，解方程求出m的值，即可得到OC的长.
27．（2021八上·延庆期末）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，AC＝，BD＝2．求线段DF的长度．
【答案】解：∵AD和BE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝90°．
∴∠C＋∠DAC＝90°；∠C＋∠DBF＝90°．
∴∠DAC ＝∠DBF．
∵∠ABC＝45°，
∴∠DAB＝45°．
∴∠ABC＝∠DAB．
∴DA＝DB．
在△ADC与△BDF中，
∴△ADC≌△BDF（ASA）．
∴AC＝BF＝．
在Rt△BDF中，∠BDF＝90°，
∴BD2＋DF2＝BF2．
∵BD＝2，BF＝，
∴DF＝1
【考点】勾股定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】先利用“ASA”证明△ADC≌△BDF，再利用全等三角形的性质可得AC＝BF＝，再利用勾股定理求出DF即可。
五、综合题
28．（2021八上·海曙期末）如图，在 中， ， ，F为 延长线上一点，点E在 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1）证明：如图，∵∠ABC=∠CBF=90°，
∴在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
（2）解:∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠CAE=25°，
∴∠BAE=45°-25°=20°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=20°，
∴∠CFA=90°-20°=70°．
【考点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）利用HL证明△ABE≌△CBF.
（2）利用等腰直角三角形的性质可证得∠BAC=∠BCA=45°，由此可求出∠BAE的度数；再利用全等三角形的对应角相等，可求出∠BCF的度数；然后根据∠CFA=90°-∠BCF，代入计算求出∠CFA的度数.
29．（2021八上·海曙期末）如图所示， 中， ， 于点 ， ， ．
（1）求 ， 的长．
（2）若点 是射线 上的一个动点，作 于点 ，连结 ．
①当点 在线段 上时，若 是以 为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的 的长．
②设 交直线 于点 ，连结 ， ，若 ，则 的长为多少？（直接写出结果）．
【答案】（1）解:∵ ， ，∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
由勾股定理得： ，
（2）解:①分两种情况：
ⅰ)如图1所示，
当 时，过 作 于 ，
∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ．
ⅱ)当 时，如图2所示，
在 和 中， ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
② 的长为 或 ．
【考点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（2）②分两种情况：
ⅰ）当 在线段 上时，如图3所示，
过 作 于 ，∵ ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
ⅱ）当 在线段 的延长线上时，如图4所示，过 作 于 ，
同理得 ，∵ ，∴ ，
同理得： ，∴ ，
中， ，
综上， 的长为 或 ．故直接写出答案为： 或 ．
【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠AOC=∠BOC=90°，利用勾股定理求出CO，AC的长.
（2）①分情况讨论：当AO=OE=4时，过点O作ON⊥AC于点N，利用等腰三角形的性质可证得AN=EN；再证明ON∥DE，可推出AO=OD=4；当AO=AE=4时，利用AAS证明△CAO≌△DAE，利用全等三角形的性质可求出AD的长，然后根据OD=AD-OD，可求出OD的长；②分情况讨论：当点D在线段OB上时，如图3，过点B作BG⊥EF于点G，利用两三角形的面积之比，可得到BF与CF的比值，由此可求出BF与CB的比值，即可求出BF的长；再证明BG∥AC，可推出∠GBF=∠ACB，利用平行线的性质可证得∠A=∠DBG，利用等腰三角形的性质可推出∠DBF=∠GBF，∠BDG=∠BFG，同时可求出BD，OD的长，利用勾股定理求出CD的长；当点D在线段OB的延长线上时，过点B作BG⊥DE于点G，同理可求出BF的长，利用勾股定理求出CD的长；综上所述可得到CD的长.
30．（2021八上·南充期末）
（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， .求证： .
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.
方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长 到点N，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题.
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明.
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接 ，当 时，探究线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形 中， ， ，过点D作 ，垂足为点E，请直接写出线段 、 、 之间的数量关系.
【答案】（1）解：方法1：在 上截 ，连接 ，如图.
平分 ，
.
在 和 中， ，
，
， .
， .
.
，
.
方法2：延长 到点N，使得 ，连接 ，如图.
平分 ，
.
在 和 中， ，
.
， .
，
.
，
，
.
（2）解： 、 、 之间的数量关系为： .
（或者： ， ）.
延长 到点P，使 ，连接 ，如图2所示.
由（1）可知 ，
.
为等边三角形.
， .
，
.
.
，
为等边三角形.
， .
，
，
即 .
在 和 中， ，
.
，
，
.
（3）
【考点】直角三角形全等的判定（HL）；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3） AB，CE，BC之间的数量关系为： .
（或者： ， ）
连接BD ，过点D作DF⊥AC于F，如图3所示.
， .
.
在 和 中， ，
，
， .
在 和 中，DF=DE，AF=CE，
，
.
，
，
.
【分析】（1）方法一：在BC上截取BM=BA，连接DM，利用角平分线的定义得∠ABD=∠CBD，由SAS证明△ABD≌△MBD，利用全等三角形的性质得∠A=∠BMD，AD=MD；由此可推出DM=DC，即可证得结论；方法二：延长BA至点N，使BN=BC，连接DN，由角平分线定义得∠NBD=∠CBD，利用SAS证明△NBD≌△CBD，利用全等三角形的性质可得到∠C=∠BND，ND=CD；利用补角的性质可得∠BND=∠NAD，利用等角对等边可得到DN=DA，即可证得结论；
（2）延长CB到点P，使BP=BC，连接AP，易证△ADC是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得AC=AD，∠ADC=60°，再求出∠ABC，∠PBA的度数；再证明△ABP是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到∠PAB=60°，AB=AP，可推出∠PAC=∠BAD；然后利用SAS证明△PAC≌△BAD，利用全等三角形的性质可推出PC=BD，由此可得到AB，BC，BD之间的数量关系；
（3） 连接BD，过点D作DF⊥AC于点F，由补角的性质得∠FAD=∠C，利用AAS证明△DFA≌△DEC，利用全等三角形的性质可得到利用HL证明△BDF≌△BDE，利用全等三角形的性质可推出BF=BE，由此可推出BC=BA+2CE，由此可证得结论.
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