7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义(共23张PPT)

(共23张PPT)
第七章
7.2　复数的四则运算
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则，理解复数加、减法的几何意义.
课标要求
素养要求
通过本节课的学习，体会数学运算素养及数学抽象素养.
课前预习
知识探究
1
1.复数的加法法则
(1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝_________________，两个复数的和仍然是一个确定的______.
(a＋c)＋(b＋d)i
复数
向量
图(1)
(3)加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝____________，(z1＋z2)＋z3＝______________________.
z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
2.复数的减法法则
(1)运算法则
复数的减法是______的逆运算；
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则(a＋bi)－(c＋di)＝_______________，两个复数的差是一个确定的______.
加法
(a－c)＋(b－d)i
复数
图(2)
1.思考辨析，判断正误
×
(1)复数与复数相加减后结果只能是实数.( )
(2)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小.( )
(3)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.( )
(4)若z1，z2，z3∈C，则(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立.( )
提示　(1)复数与复数相加减后结果为确定的复数.
(2)虚数不能比较大小，但虚数的模可以比较大小.
(4)(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)根据复数的运算法则可知是成立的.
×
√
×
2.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于(　　)
A.8i B.6
C.6＋8i D.6－8i
解析　根据复数的加法法则得z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝6.
B
3.设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析　∵z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，
∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限.
D
4.计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.
解析　原式＝|3－1＋1＋(－1＋2＋3)i|＝|3＋4i|＝5.
5
课堂互动
题型剖析
2
题型一　复数的加、减运算
【例1】　(1)(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)＝________.
(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________.
1＋i
解析　(1)原式＝(1－2＋2)＋(3＋1－3)i＝1＋i.
(2)因为z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]
＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，
所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，
1.复数的加、减运算类似于多项式的合并同类项.
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项.
2.对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算，运算的结果仍然是一个复数.
思维升华
【训练1】　(1)计算(2＋4i)＋(3－4i)；
(2)计算(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i).
解　(1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i＝5.
(2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i.
【例2】　如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i.求：
题型二　复数加、减法的几何意义
解　因为0－(3＋2i)＝－3－2i，
思维升华
(－∞，1)
(2)z2－z1＝1＋(a－1)i，
由题意知a－1<0，即a<1.
题型三　复数加、减法及几何意义的综合应用
C
解析　由|z＋1|－|z－i|＝0，得|z＋1|＝|z－i|.
∴复数z表示以A(－1，0)，B(0，1)为端点的线段的垂直平分线OM，
|z＋i|表示点Z到点C(0，－1)的距离，设复数－i对应点C(0，－1).
当CM⊥OM时，|z＋i|取到最小值|CM|.
解　设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则z－4＝(x－4)＋yi，
故复数z＝4＋2i或4－2i.
1.设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用.
2.在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB满足：(1)为平行四边形；(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形.
思维升华
【训练3】　设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z＋1|的取值范围是________.
[0，3]
解析　由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点B(－1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，dmin＝0，当点A与点C(2，0)重合时，dmax＝3，∴0≤|z＋1|≤3.
1.由于复数具有数与形的多重性，因此复数加减法也应从数与形等方面领会，即从代数形式上领会，复数加减法类似于多项式合并同类项；从几何形式上，复数加法等同于向量加法运算.
2.两个复数的和、差是一个确定的复数.
3.复数作为数的一种形式，运算为其核心内容，且复数的加法满足交换律、结合律.
4.d＝|z1－z2|表示复平面上两复数对应点间的距离，利用其几何直观可求相关的最值问题.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课堂小结