7.2.2　复数的乘除运算(共21张PPT)

(共21张PPT)
第七章
7.2.2　复数的乘除运算
掌握复数代数形式的乘法和除法运算，理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
课标要求
素养要求
通过本节课的学习，体会数学抽象及数学运算素养.
课前预习
知识探究
1
1.复数的乘法及其运算律
(1)复数代数形式的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝______________________.
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
交换律 z1·z2＝____________
结合律 (z1·z2)·z3＝________________
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝____________
z2·z1
z1·(z2·z3)
z1z2＋z1z3
点睛
2.复数的除法法则
1.思考辨析，判断正误
×
(1)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减.( )
(2)两个复数互为共轭是它们的模相等的必要条件.( )
√
×
(4)两个虚数相乘的结果可能为实数.( )
提示　(2)两个复数互为共轭是它们的模相等的充分条件.
√
B
D
1
∴虚部为1.
课堂互动
题型剖析
2
题型一　复数代数形式的乘法运算
【例1】　计算下列各题：
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
解　(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
1.复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简.
2.对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等.
思维升华
【训练1】　若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，1) B.(－∞，－1)
C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)
B
解析　因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1，1－a)，
又此点在第二象限，
题型二　复数代数形式的除法运算
D
D
思维升华
C
－2＋i
【例3】　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数).
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是否为方程的根.
题型三　复数范围内解方程
解　(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得
x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，
∴1－i也是方程的一个根.
解决复数方程问题的方法
与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解.根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用.
思维升华
【训练3】　已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根及实数k的值.
1.复数乘法与实数多项式乘法类似，在计算两个复数的乘积时，先按照多项式的乘法展开，再将i2换成－1，最后合并同类项即可.
2.三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致.
3.(1)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似.
(2)复数除法运算的结果要进行化简，通常要写成复数的代数形式.
课堂小结