黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学试题（Word版含答案）

哈师大青冈实验中学2021--2022学年度第二学期学期初考试
高二学年数学试卷
本试卷满分150分 考试时间 120分钟
一、单选题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）。
1．在等差数列{}中，，，则的值为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
2．已知抛物线，则其焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．4
3．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设，，，N是BC的中点，用，，表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，正六边形的边长为2，取正六边形各边的中点，，，，，，作第二个正六边形；然后再取正六边形各边的中点，，，，，，作第三个正六边形；依此方法一直继续下去……，则第2022个正方形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
5．双曲线过点，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
6．空间向量，平面的一个法向量，则直线与平面所成角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列满足，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
8．已知边长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则点B到平面AEF的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．已知A，B，C是椭圆M：上三点，且A（A在第一象限），B关于原点对称，，过A作x轴的垂线交椭圆M于点D，交BC于点E，若直线AC与BC的斜率之积为，则（ ）
A. 圆M的离心率为 B．椭圆M的离心率为 C． D．
10．已知数列的前n项和为，且对任意正整数n都有，若，则（ ）．
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
二、多选题（本大题共2小题，每个小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）
11．已知点P为双曲线上一点，，为双曲线的两个焦点，下列结论正确是（ ）
A．a的取值范围是
B．该双曲线的焦点坐标为，
C．当时，该双曲线的渐近线方程为
D．当时，若时，则或13
12．小冰家向银行贷款万元，贷款时间为年，如果贷款月利率为，那么按照等额本金方式还款，她家从起始月开始，每月应还本金万元，每月支付给银行的利息（单位：万元）依次为 若小冰家完全按照合同还款（银行利率保持不变，也未提前还贷），则小冰家的还款情况下列叙述正确的是（ ）
A．小冰家每月的还款额是相等的 B．小冰家总共还款次数是次
C．小冰家最后一个月应还款是万元 D．小冰家还完款，付的利息总额是万元
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）。
13．两平行直线，之间的距离为______.
14．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则实数m的值为______.
15．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是___________.
16．若数列满足，则称为“追梦数列”.已知数列为“追梦数列”，且，则数列 的通项公式__________.
四、解答题（本大题共6小题，期中17题10分，其余每题12分，共70分）。
17．已知圆，直线．
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)过点作圆C的切线，求切线的方程．
18．已知椭圆及直线．
（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数的取值范围；
（2）求被椭圆截得的最长弦长及此时直线的方程．
19．已知等差数列的前项和满足，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，，M，N分别为AB和PC 的中点．
(1)求证：MN //平面PAD；
(2)求平面MND与平面PAD的夹角的余弦值．
21．设数列满足，，.
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
22．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（1）求椭圆标准方程；
（2）设为椭圆右顶点，过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点. 求证：，两点的纵坐标之积为定值.
2021--2022学年度第二学期高二学期初考试 数学答案
一、单选题
1-5：BBACB 6-10：ABCCC.
二、多选题
11．AC 12．BCD
三、填空题
13． 14． 15． 16．
四、解答题
17．(1)直线方程，即，则直线恒过定点(2，1).因为，则点(2，1)位于圆的内部，故直线与圆相交.。。。。。。。。。。。。3分
(2)①直线斜率不存在时，直线满足题意；。。。。。。。。。。5分
②直线斜率存在的时候，设直线方程为，即.
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得: ，
则直线方程为：.。。。。。。。。。。。。8分
综上可得，直线方程为或.。。。。。。。。。。。。。10分
18．（1）将直线方程与椭圆方程联立得：。。。。。。。。。。。。。。。3分
即：直线和椭圆有公共点 ，解得：。。。。。。。6分
（2）由（1）可知，直线与圆相交时，，即
设直线与椭圆交于，
则，
。。。。。。。。。。。。9分
当时，，则
直线被椭圆截得的最长弦长为；此时。。。。。。。。。。。。12分
19．（1）设等差数列的公差为，因为，.
所以，化简得，解得，
所以。。。。。。。。。。。。。。。6分
（2）由（1）可知，
所以，
所以。。。。。。。。12分
20．（1）取中点为，连接，如下图所示：
因为为正方形，为中点，故可得//；
在△中，因为分别为的中点，故可得//；
故可得//，则四边形为平行四边形，即//，
又面面，故//面.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
(2)因为面面，故可得，
又底面为正方形，故可得，则两两垂直；
故以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系如下所示：。。。。。。5分
故可得，
设平面的法向量为，又
则，即，不妨取，则，则，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
取面的法向量为，
故.。。。。。。。。。10分
设平面的夹角为，故可得，
即平面MND与平面PAD的夹角的余弦值为.。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
21．（1）由题意，，。。。。。。。。。。。3分
而，所以，是以-3为首项，为公比的等比数列，
所以。。。。。。。。。。。。。。6分
（2）由（1），。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
所以，
，
所以，
则.。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
22．（1）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，
所以半径等于原点到直线的距离，，即.
由离心率，可知，且，得.
故椭圆的方程为. .。。。。。。。。。。。。4分
（2）由椭圆的方程可知.
若直线的斜率不存在，则直线方程为，所以.
则直线的方程为，直线的方程为.令，得，.
所以两点的纵坐标之积为.。。。。。。。。。。。。。6分
若直线的斜率存在，设直线的方程为,
由得，
依题意恒成立.
设，
则. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
设，
由题意三点共线可知，
所以点的纵坐标为.同理得点的纵坐标为.。。。。。。。。。。。。。。。。10分
所以
综上，两点的纵坐标之积为定值-9.。。。。。。。。。。。。。。。。12分