黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学2021-2022学年高一下学期开学考试数学试题（Word版含答案）

哈尔滨师范大学青冈实验中学2021-2022学年高一下学期开学考试
数学试题
一、单选题
1．已知集合，集合，实数，则m可能是（ ）．
A． B．-1 C．1 D．2
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知，，，则该玉佩的面积为（ ）
A． B．
C． D．
5．函数（，且）的图象恒过定点，且点在角的终边上，则（ ）
A． B． C． D．
6．方程的解所在的区间是
A． B． C． D．
7．若，求：（ ）
A． B． C． D．
8．设函数，则函数的图像可能为（ ）
A． B． C． D．
9．已知 ，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．
10．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.已知在上为“局部奇函数”，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．已知函数的最小正周期为4π ，其图像关于直线轴对称，给出下面四个结论，其中正确的是（ ）
A．函数f(x)在区间上先增后减；
B．将函数f(x)的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于原点对称
C．点是函数f(x)图像的一个对称中心；
D．函数f(x)在上的最大值为1．
12．已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（ ）．
A．是偶函数 B．的周期
C． D．在单调递减
三、填空题
13．若“，”的否定是真命题，则实数的取值范围是______．
14．已知幂函数过定点，且满足，则的范围为________．
15．若直线过点，则的最小值为________．
16．已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为___________.
四、解答题
17．已知全集，，.
(1)当时，求和
(2)若，求实数a的取值范围，
18．求下列各式的值：
(1)；
(2)．
19．已知.
(1)若，且，求的值.
(2)若，且，求的值.
20．已知函数.
（1）若 ，试求函数的最小值；
（2）对于任意的，不等式成立，试求a的取值范围.
21．已知函数，在一周期内，当时，取得最大值3，当时，取得最小值，求
（1）函数的解析式；
（2）求出函数的单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标；
（3）当时，求函数的值域.
22．已知函数在上的值域为.
（1）求，的值；
（2）设函数，若存在，使得不等式成立，求的取值范围试卷第1页，共3页
参考答案：
一选择题：1．D 2．A 3．D 4．A 5．D 6．C 7．A 8．B 9．D 10．B
11．AC 12．ABC
二填空题：13． 14． 15．8 16．
三解答题：
17．(1)，或；
(2)
【解析】
【分析】
（1）解不等式，求出，进而求出与；（2）利用交集结果得到集合的包含关系，进而求出实数a的取值范围.
(1)
，解得：，所以，当时，，所以，或；
(2)
因为，所以，要满足，所以实数a的取值范围是
18．(1)；
(2)3.
【解析】
【分析】
（1）利用指数幂的运算化简求值；
（2）利用对数的运算化简求值.
(1)
解：原式．
(2)
解：原式．
19．(1)或；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式结合化简，再解方程结合即可求解；
（2）结合（1）中将已知条件化简可得，再由同角三角函数基本关系即可求解.
(1)
.
所以，因为，则，或.
(2)
由（1）知：，
所以，
即，所以，
所以，即，
可得或.
因为，则，所以.
所以，故.
20．（1）最小值为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由．利用基本不等式即可求得函数的最小值；
（2）由题意可得不等式成立”只要“在恒成立”．不妨设，则只要在[0，2]恒成立．结合二次函数的图象列出不等式解得即可．
【详解】
解：（1）依题意得.
因为x>0，所以 .
当且仅当，即时，等号成立.
所以.
故当时，的最小值为 .
（2）因为，所以要使得“任意的，不等式成立”，只要“在上恒成立”.
不妨设，
则只要在上恒成立.
所以 即
解得.
所以a的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了基本不等式的应用，以及恒成立问题等，考查学生的运算求解能力，属于中档题．
21．（1）；（2）增区间为，对称轴方程为，，对称中心为（）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据正弦函数的性质先求出最值和周期，最后代入特殊值计算的值即可；（2）根据正弦函数的性质，整体代入求单调区间，对称轴，对称中心，解出即可；（3）求出整体的范围，代入正弦型函数中计算，可求出值域.
【详解】
(1)由题设知，，
周期，，由得.
所以.
又因为时，取得最大值3，
即，，解得，又，
所以，所以.
(2)由，得.
所以函数的单调递增区间为.
由，，得，.
对称轴方程为，..
由，得（）.
所以，该函数的对称中心为（）.
(3)因为，所以，则，
所以.所以值域为：.
所以函数的值域为.
【点睛】
本题考查由三角函数特殊点的取值求三角函数解析式，考查求正弦型函数的单调区间，对称轴，对称中心以及值域，数学正弦函数的性质是解题的关键，属于基础题.
22．(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）先求得函数的对称轴，然后根据函数在上的单调性列方程组，解方程组求得的值.
（2）由（1）求得函数的解析式，进而求得的解析式，将不等式分离常数，利用换元法，结合二次函数的性质，求得的取值范围.
【详解】
（1）由已知可得，对称轴为.
因为，所以在上单调递增，
所以即解得
（2）由（1）可得，则.
因为，所以.
又，所以.
令，则.
因为，所以.
记，，
所以当时，，
所以，解得，故的取值范围是.
【点睛】
本小题主要考查根据二次函数的对称轴、单调性和值域求解析式，考查存在性问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.