3.3-3.4 中心对称 简单的图案设计
一、单选题
1．在以下图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．在以下四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A．4 B．-4 C．-2 D．2
6．下列说法正确的是（ ）
A．能够互相重合的两个图形成轴对称
B．图形的平移运动由移动的方向决定
C．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为120°，那么它不是中心对称图形
D．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180°，那么它是中心对称图形
7．在平面直角坐标系xoy中，点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限内，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．x＞－3
8．下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为(2，1)，(6，1)，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若ABC与关于点P成中心对称，则点的坐标为（ ）
A．(﹣4，-5) B．(﹣5，﹣4) C．(﹣3，﹣4) D．(﹣4，﹣3)
10．对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A的坐标为（2，0），点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
二、填空题
11．如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称,要得到△DEF,需要将△ABC绕点O旋转角是________
12．利用圆弧，可以设计出很多有趣的图案．下图是小宇设计的三幅图案，所有中心对称图形的序号是___________．
13．若点与点关于原点对称，则＝( )．
14．已知点A（x﹣2，3）与点B（x＋4，y﹣5）关于原点对称，则yx的值是____．
15．下列图形均可由“基本图案”通过变换得到：(只填序号)
(1)可以平移但不能旋转的是_________；
(2)可以旋转但不能平移的是__________；
(3)既可以平移，也可以旋转的是_________．
16．如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为__________．
17．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是_________．
18．如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2020A2021B2021的顶点A2021的坐标是___
三、解答题
19．在图中，有两个汉字和两个字母，其中有的是中心对称图形．标出中心对称图形的对称中心．
20．如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上，点、的坐标分别是、．
(1)点关于点中心对称的点的坐标为 ；
(2)绕点顺时针旋转后得到△，在图中画出△，并写出点的坐标： ．
21．正方形绿化场地拟种植两种不同颜色（用阴影部分和非阴影部分表示）的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分．
(1)请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴；
(2)把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P．
22．如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另外两个不同的图案．画图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形．
23．如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上．请按要求在图①，图②，图③中画图：
（1）在图①中，画等腰△ABC，使AB为腰，点C在格点上．
（2）在图②中，画面积为8的四边形ABCD，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形，C，D两点均在格点上．
（3）在图③中，画△ABC，使∠ACB=90°，面积为5，点C在格点上．
24．如图，已知△ABC中，BD是中线．
(1)尺规作图：作出以D为对称中心，与△BCD成中心对称的△EAD．
(2)猜想AB+BC与2BD的大小关系，并说明理由．
25．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，直线AC交y轴负半轴于点C，且BC＝AB．
（1）求线段AC的长度．
（2）P为线段AB（不含A，B两点）上一动点．
①如图2，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，记四边形APOQ的面积为S，点P的横坐标为t，当S＝时，求t的值．
②M为线段BA延长线上一点，且AM＝BP，在直线AC上是否存在点N，使得△PMN是以PM为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．(共46张PPT)
第三章 图形的平移与旋转
3.3-3.4中心对称 简单的图案设计
精品教学课件
北师大版八年级下册数学教学课件
3.3-3.4中心对称 简单的图案设计
第一课时
1、观察下面图形，它们都属于什么图形？
答：它们都是轴对称图形
2、什么是轴对称图形？
如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
复习引入
观察：如图1所示，图（1）经过怎样的运动变化就可以与图（2）重合？
观察图2，再试一试.
情景引入
重 合
O
A
Ｏ
D
B
C
问题1：观察下列图形的运动，说一说它们有什么共同点.
观察与思考
旋转角为180°
一、中心对称的概念及性质
知识要点
如果把一个图形(如△ABO)绕定点O旋转180 ，它能够与另一个图形(如△CDO)重合，那么就说这两个图形△ABO与图形△CDO关于点O的对称或中心对称，点O就是对称中心.
填一填：
如图，△OCD与△OAB关于点O中心对称 ，则____是对称中心，点A与_____是对称点， 点B与____是对称点.
Ｏ
B
C
A
D
O
C
D
1.中心对称是一种特殊的旋转.其旋转角是180 °.
2.中心对称是两个图形之间一种特殊的位置关系.
归纳总结
问题2 如图，旋转三角尺，画出△ABC关于点O中心对称的△A′B′C′ .
A′
C
A
B
B′
C′
O
●
找一找:
下图中△A′B′C′与△ABC关于点O是成中心对称,你能从图中找到哪些等量关系
A′
B′
C′
A
B
C
O
(1) OA=OA′、OB=OB′、 OC=OC′
（2）△ABC≌△A′B′C′
1.成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分.（即对称点与对称中心三点共线）
2.中心对称的两个图形是全等形.
知识要点
中心对称的性质
轴 对 称
中心对称
1
有一条对称轴
——
直线
有一个对称中心
——
点
2
图形沿轴对折（翻转
180°
）
图形绕中心旋转
180°
3
翻转后和另一个图形重合
旋转后和另一个图形重合
1
A
B
C
C
1
A
B
1
O
比一比
中心对称与轴对称的异同
下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
D
典型例题
试一试：你能利用中心对称的性质画出一个图形关于某个点成中心对称的图形吗？
例：如图所示，点O 是线段AE 的中点，以点O 为对称中心，画出五边形ABCDE 成中心对称的图形.
解：如图, 连接BO并延长至B′，使得OB′ =OB ;
连接CO并延长至C'，使得OC′ =OC ;
连接DO并延长至D′，使得OD′ =OD ;
顺次连接A, D′, C′, B′,E.
图形AD′C′B′E 就是以点O为对称中心、
与五边形ABCDE成中心对称的图形.
二、中心对称的作图
（1）连接原图形上的关键点和对称中心；
（2）再将以上各线段延长找对称点，使得关键点与对称中心的距离和其对称点与对称中心的距离相等；
（3）将对称点按原图形的形状连接起来，即可得出原图形关于某点中心对称的图形．
说一说：画已知图形关于某个点成中心对称的图形的步骤.
作出关键点的对称点．
练习：如图，点O是△ABC外一点，画△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于点O成中心对称.
解：△ A’B’C’如图所示.
合作探究
（1）线段
（2）平行四边形
A
B
问题 将下面的图形绕O点旋转，你有什么发现？
O
O
共同点：
（1）都绕一点旋转了180度；
（2）都与原图形完全重合.
三、中心对称图形
把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.
O
B
A
C
D
中心对称图形的定义
中心对称图形是指一个图形.
注意
知识要点
√
√
(1)
(2)
(3)
√
（4）
判一判：下列图形中哪些是中心对称图形？
×
在生活中，有许多中心对称图形，你能举出一些例子吗？
1.判断下列图形是不是中心对称图形：
练一练
2.正方形；③正五边形；④正六边形．其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【解析】选C
1．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则与△AOB成中心对称的三角形是( )
A．△BOC
B．△COD
C．△AOD
D．△ACD
B
课堂练习
2．如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是( )
A．O4
B．O3
C．O2
D．O1
D
3.在平面直角坐标系中，点P(－3，－5)关于原点对称的点的坐标是( )
A．(3，－5) B．(－3，5)
C．(3，5) D．(－3，－5)
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反.
即：点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）
C
3.3-3.4中心对称 简单的图案设计
第二课时
请大家欣赏一下这张图案，想一想它是怎么画出来的，基本图案是什么？我们可不可以画出来呢？
还记得这些画是怎样画出来的吗？
还可以只画出一个，利用变换手段即可得到
利用作全等图形，无缝隙拼接
1. 我们已经具备了简单图案设计的基本知识与技能：
用最基本的几何元素——点、线设计与制作图案；
用最简单的几何图形——三角形、矩形设计、制作图案；
割补、无缝隙拼接；
2 .在生活中，我们经常见到一些美丽的图案：
你能用平移、旋转或轴对称分析图中各个图案的形成过程吗？
你是怎样分析的？
与同伴交流。
用“平移”“旋转”“轴对称”来分析图案的形成过程
基本图案
图案的形成过程
用“平移”“旋转”“轴对称”来分析图案的形成过程
基本图案
图案的形成过程
下图的图案,并分析这个图案形成的过程.
欣赏
例1 欣赏下图的图案 ， 并分析这个图案形的过程。
分析
基本图案有几个？
分析同色“爬虫”、异色“爬虫”之间的关系。
若为旋转关系，必须先指出“旋转中心”。
三种不同颜色的“爬虫”（绿、白、黑），
形状、大小
完全相同。
练习 下图是由12个全等三角形组成的，利用平移、轴对称或旋转分析这个图案的形成过程。
解答：
这个图形可以按照以下步骤形成的。
（1）以一个三角形的一条边为对称轴作与它对称的图形。
（2）将得到的这组图形以一条边的中点为旋转中心旋转180 °。
（3）分别以这两组图形为平移的“基本图案”，各平移两次，即可得到最终的图形。
图案欣赏
图案欣赏
图案欣赏
图案欣赏
图案欣赏
图
案
欣
赏
图案欣赏
仿照上图中的某个标志,每个小组设计一个图案.
你设计的图案是如何形成的 要表现什么
作业
用直尺,圆规,三角尺再设计一个新颖的(课堂上未见过的)美丽图案.
课堂练习中小学教育资源及组卷应用平台
3.3-3.4 中心对称 简单的图案设计
一、单选题
1．在以下图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．在以下四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A．4 B．-4 C．-2 D．2
6．下列说法正确的是（ ）
A．能够互相重合的两个图形成轴对称
B．图形的平移运动由移动的方向决定
C．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为120°，那么它不是中心对称图形
D．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180°，那么它是中心对称图形
7．在平面直角坐标系xoy中，点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限内，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．x＞－3
8．下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为(2，1)，(6，1)，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若ABC与关于点P成中心对称，则点的坐标为（ ）
A．(﹣4，-5) B．(﹣5，﹣4) C．(﹣3，﹣4) D．(﹣4，﹣3)
10．对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A的坐标为（2，0），点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
二、填空题
11．如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称,要得到△DEF,需要将△ABC绕点O旋转角是________
12．利用圆弧，可以设计出很多有趣的图案．下图是小宇设计的三幅图案，所有中心对称图形的序号是___________．
13．若点与点关于原点对称，则＝( )．
14．已知点A（x﹣2，3）与点B（x＋4，y﹣5）关于原点对称，则yx的值是____．
15．下列图形均可由“基本图案”通过变换得到：(只填序号)
(1)可以平移但不能旋转的是_________；
(2)可以旋转但不能平移的是__________；
(3)既可以平移，也可以旋转的是_________．
16．如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为__________．
17．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是_________．
18．如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2020A2021B2021的顶点A2021的坐标是___
三、解答题
19．在图中，有两个汉字和两个字母，其中有的是中心对称图形．标出中心对称图形的对称中心．
20．如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上，点、的坐标分别是、．
(1)点关于点中心对称的点的坐标为 ；
(2)绕点顺时针旋转后得到△，在图中画出△，并写出点的坐标： ．
21．正方形绿化场地拟种植两种不同颜色（用阴影部分和非阴影部分表示）的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分．
(1)请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴；
(2)把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P．
22．如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另外两个不同的图案．画图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形．
23．如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上．请按要求在图①，图②，图③中画图：
（1）在图①中，画等腰△ABC，使AB为腰，点C在格点上．
（2）在图②中，画面积为8的四边形ABCD，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形，C，D两点均在格点上．
（3）在图③中，画△ABC，使∠ACB=90°，面积为5，点C在格点上．
24．如图，已知△ABC中，BD是中线．
(1)尺规作图：作出以D为对称中心，与△BCD成中心对称的△EAD．
(2)猜想AB+BC与2BD的大小关系，并说明理由．
25．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，直线AC交y轴负半轴于点C，且BC＝AB．
（1）求线段AC的长度．
（2）P为线段AB（不含A，B两点）上一动点．
①如图2，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，记四边形APOQ的面积为S，点P的横坐标为t，当S＝时，求t的值．
②M为线段BA延长线上一点，且AM＝BP，在直线AC上是否存在点N，使得△PMN是以PM为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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