2.1. 第1课时 曲线与方程
一、选择题
1．已知A(1,0)，B(－1,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝2，则点M的轨迹方程是( )
A．y＝0(－1≤y≤1)
B．y＝0(x≥1)
C．y＝0(x≤－1)
D．y＝0(|x|≥1)
[答案] C
[解析] 由|MA|－|MB|＝2，可设M(x，y)，则－＝2.
整理得y＝0，又|MA|－|MB|>0，
∴x≤－1，故选C.
2．若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条曲线的交点在方程x2＋y2＝9的曲线上，则k( )
A．±3
B．0
C．±2
D. 一切实数
[答案] A
[解析] 两曲线的交点为(0，－k)，由已知点(0，－k)在曲线x2＋y2＝9上，故可得k2＝9，
∴k＝±3.
3．曲线y＝x2与x2＋y2＝5的交点坐标是( )
A．(2,1)
B．(±2,1)
C．(2,1)或(2，5)
D．(±2,1)或(±2，5)
[答案] B
[解析] 易知x2＝4y代入x2＋y2＝5得y2＋4y－5＝0得(y＋5)(y－1)＝0
解得y＝－5，y＝1，y＝－5不合题意舍去，
∴y＝1，解得x＝±2.
4．曲线C的方程为y＝x(1≤x≤5)，则下列四点在曲线C上的是( )
A．(0,0) B.
C．(1,5) D．(4,4)
[答案] D
[解析] 由1≤x≤5，排除A、B，
∵y＝x，排除C，∴选D.
5．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝4(x>0)
C．y＝－ D．y＝－(0
[答案] D
[解析] ∵点在第四象限内，
∴06．“点M在曲线y＝|x|上”是“点M到两坐标轴距离相等”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 到两坐标轴距离相等点的轨迹如图(1)，y＝|x|的曲线如图(2)．
∴“点M在曲线y＝|x|上”?“点M到两坐标轴距离相等”．故选B.
7．已知命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点，都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题中正确的是( )
A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上
B．曲线C上的点是坐标都不满足方程f(x，y)＝0
C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点，有些在曲线C上，有些不在曲线C上
D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程f(x，y)＝0
[答案] D
8．已知点M(－2,0)、N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝4(x≠±2) B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝16 D．x2＋y2＝16(x≠±4)
[答案] A
[解析] 由直角三角形斜边上中线等于斜边长的一半知|PO|＝2，即x2＋y2＝4，但M、N、P不能共线，故P点轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故答案为A.
9．设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝2，直线l的方程为x＋y－3＝0，点P的坐标为(2,1)，那么( )
A．点P在直线l上，但不在圆M上
B．点P在圆M上，但不在直线l上
C．点P既在圆M上，也在直线l上
D．点P既不在圆M上，也不在直线l上
[答案] C
[解析] 将P(2,1)代入圆M和直线l的方程得，(2－3)2＋(1－2)2＝2且2＋1－3＝0，
∴点P(1,2)既在圆(x－3)2＋(y－2)2＝2上也在直线l：x＋y－3＝0上，故选C.
10．若曲线y＝x2－x＋2和y＝x＋m有两个交点，则( )
A．m∈R B．m∈(－∞，1)
C．m＝1 D．m∈(1，＋∞)
[答案] D
[解析] 两方程联立得x的二次方程，由Δ>0可得m>1.
二、填空题
11．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的方程是______________．
[答案] 4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
[解析] |AB|＝＝＝5，S△ABC＝10，
∴C到AB距离为4.
设C点坐标为(x，y)，求出直线AB方程利用点到直线距离公式可得方程为4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
12．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则P点的轨迹方程为______________．
[答案] y2＝x＋6
[解析] ＝(－2－x，－y)
＝(3－x，－y)
·＝(x＋2)·(x－3)＋y2＝x2
整理得y2＝x＋6.
13．已知直线y＝2x－5与曲线x2＋y2＝k(k>0)，当k________时，有两个公共点；当k________时，有一个公共点；当k________时，无公共点．
[答案] k>5；k＝5；0[解析] 首先应用k>0，再联立y＝2x－5和x2＋y2＝k组成方程组，利用“△”去研究．
14．|x|＋|y|＝1表示的曲线围成的图形面积为____．
[答案] 2
[解析] 当x≥0，y≥0时，有x＋y＝1；x≥0，y≤0时，x－y＝1；x≤0，y≥0时，有－x＋y＝1；x≤0，y≤0时，－x－y＝1，作出图形为一个正方形如图，其边长为，面积为2.
三、解答题
15．画出方程(x＋y－1)＝0所表示的曲线．
[解析] 把方程(x＋y－1)＝0可等价变形为或x－y－2＝0
由得∴
表示射线x＋y－1＝0(x≥)
∴原方程表示射线x＋y－1＝0(x≥)和直线x－y－2＝0，如下图所示．
16．已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个公共点，求b的取值范围．
[解析] 解法一：由方程组
得
消去x，得到2y2－2by＋b2－1＝0(y≥0)．
l与c有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，
可得
解得1≤b<
解法二：在同一直线坐标系内作出y＝x＋b与y＝的图形，如图所示，易得b的范围为1≤b<.
17．已知曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离之比为的点的轨迹，求此曲线的方程．
[解析] 设点M(x，y)是曲线上的任一点，则点M属于集合，有＝，
化简得x2＋y2＋2x－3＝0.
这就是所要求的方程，配方得(x＋1)2＋y2＝4.
故所求曲线是以C(－1,0)为圆心，半径为2的圆．
18．已知平面上两定点A、B，|AB|＝2a, 平面上一动点M到A、B距离之比为2∶1，求动点M的轨迹方程．
[解析] 以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设A(a,0)，则B(－a,0)，设M(x，y)为所求轨迹上任一点，那么点M属于集合P＝{M||MA|?|MB|＝2?1}．
由距离公式，点M适合的条件可表示为
?＝2?1，
两边平方化简得，3x2＋3y2＋10ax＋3a2＝0.
2.1 第2课时 曲线方程的求法
一、选择题
1．已知0≤α≤2π，点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为( )
A. B.
C.或 D.或
[答案] C
[解析] 将P坐标代入曲线方程为(cosα－2)2＋sin2α＝3，
∴cos2α－4cosα＋4＋sin2α＝3.
∴cosα＝.∵0≤α≤2π，∴α＝或π.
2．下面所给的方程是图中曲线的方程的是( )
[答案] D
[解析] A不是，因为x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1的圆，以方程的解为坐标的点不都是曲线上的点，如(，－)的坐标适合方程x2＋y2＝1，但不在所给曲线上；B不是，理由同上，如点(－1,1)适合x2－y2＝0，但不在所给曲线上；C不是，因为曲线上的点的坐标都不是方程的解，如(－1，－1)在所给曲线上，但不适合方程lgx＋lgy＝1.
3．平行四边形ABCD的顶点A，C的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D在直线3x－y＋1＝0上移动，则顶点B的轨迹方程为( )
A．3x－y－20＝0 B．3x－y－10＝0
C．3x－y－12＝0 D．3x－y－9＝0
[答案] A
[解析] 设AC、BD交于点O
∵A、C分别为(3，－1)(2，－3)
∴O为(，－2)，设B为(x，y)
∴D为(5－x，－4－y)
∵D在3x－y＋1＝0上，∴15－3x＋4＋y＋1＝0
即3x－y－20＝0，选A.
4．设动点P是抛物线y＝2x2＋1上任意一点，点A(0，－1)，点M使得＝2，则M的轨迹方程是( )
A．y＝6x2－ B．y＝3x2＋
C．y＝－3x2－1 D．x＝6y2－
[答案] A
[解析] 设M为(x，y)
∵＝2 A(0，－1)，
∴P(3x,3y＋2)
∵P为y＝2x2＋1上一点，
∴3y＋2＝2×9x2＋1＝18x2＋1
∴y＝6x2－.故选A.
5．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π B．4π C．8π D．9π
[答案] B
[解析] 设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，∴(x－2)2＋y2＝4，可知圆面积为4π.
6．曲线y＝－与曲线y＋|ax|＝0(a∈R)的交点个数是( )
A．4个 B．2个
C．0个 D．与a的取值有关
[答案] B
[解析] 曲线y＝－即x2＋y2＝1(y≤0)，曲线y＋|ax|＝0(a∈R)，即y＝－|ax|，两曲线如图所示，必有2个交点．故选B.
7．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
[答案] A
[解析] 设P1、P2为P的轨迹上两点，则AP1⊥BD1，AP2⊥BD1.∵AP1∩AP2＝A，
∴直线AP1与AP2确定一个平面α，与面BCC1B1交于直线P1P2，且知BD1⊥平面α，
∴P1P2⊥BD1，
又∵BD1在平面BCC1B1内的射影为BC1，∴P1P2⊥BC1，而在面BCC1B1内只有B1C与BC1垂直，
∴P点的轨迹为B1C.
8．一条线段长等于10，两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，M在线段AB上，且＝4，则M的轨迹方程是( )
A．x2＋16y2＝64 B．16x2＋y2＝64
C．x2＋16y2＝8 D．16x2＋y2＝8
[答案] B
[解析] 设M(x，y)，因为＝4，且A、B分别在x轴和y轴上，则A(5x,0)，B(0，y)，又(AB)＝10所以(5x2)＋(y)2＝100，即16x2＋y2＝64，故选B.
9．已知log2x，log2y,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为( )
[答案] A
[解析] 由2log2y＝log2x＋2得
log2y2＝log2x＋log24＝log24x，
即y2＝4x，又x>0，y>0，故选A.
10．(2010·湖北理，9)若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是( )
A．[－1,1＋2] B．[1－2，1＋2]
C. [1－2，3] D．[1－，3]
[答案] C
[解析] 由y＝3－可知其图像为圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的下半圆，当直线y＝x＋b过点(0,3)时b＝3，当直线与圆相切时＝2，解得b＝1－2或b＝1＋2(舍去)，故当1－2≤b≤3时直线和半圆有交点．
二、填空题
11．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为______．
[答案] x2＋y2＝4
[解析] 设P(x，y)，x2＋y2＝1的圆心为O，
∵∠APB＝60°，OB＝2，∴x2＋y2＝4.
12．与点(2，－3)的连线的倾斜角为的点M的轨迹方程是________．
[答案] x＋y＋3－2＝0(x≠2)
13．如图，已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且·＝·，动点P的轨迹C的方程为________．
[答案] y2＝4x
[解析] 设点P(x，y)，则Q(－1，y)，由·＝·得，(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得C：y2＝4x.
14．直线x－3y＝0和直线3x－y＝0的夹角的角平分线所在直线方程为________．
[答案] x＋y＝0或x－y＝0
[解析] 设P(x，y)为角平分线上任意一点，根据角平分线的性质，P到直线x－3y＝0和3x－y＝0的距离相等，∴＝，
∴|x－3y|＝|3x－y|，∴x－3y＝±(3x－y)，
∴x－3y＝3x－y或x－3y＝－(3x－y)，
∴x＋y＝0或x－y＝0
∴所求角平分线方程为x＋y＝0或x－y＝0.
三、解答题
15．设△ABC的两顶点分别是B(1,1)、C(3,6)，求第三个顶点A的轨迹方程，使|AB|＝|BC|.
[解析] 设A(x，y)为轨迹上任一点，那么
＝，
整理，得(x－1)2＋(y－1)2＝29.
因为A点不在直线BC上，虽然点C(3,6)及点C关于点B的对称点C′(－1，－4)的坐标是这个方程的解，但不在已知曲线上，所以所求轨迹方程为(x－1)2＋(y－1)2＝29(去掉(3,6)和(－1，－4)点)．
16．如图，圆O1和圆O2的半径都等于1，O1O2＝4.过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得PM＝PN.试建立平面直角坐标系，求动点P的轨迹方程．
[解析] 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)．
由已知PM＝PN，
∴PM2＝2PN2.
又∵两圆的半径均为1，
所以PO－1＝2(PO－1)．设P(x，y)，
则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
即(x－6)2＋y2＝33.
∴所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
17．已知两点M(－1,0)，N(1,0)且点P使·，·，·成公差小于0的等差数列．则点P的轨迹是什么曲线？
[解析] 设P(x，y)由M(－1,0)，N(1,0)得
＝－＝(－1－x，－y)
＝－＝(1－x，－y)，
＝－＝(2,0)，
∴·＝2(1＋x)，·＝x2＋y2－1，
·＝2(1－x)
于是·，·，·是公差小于零的等差数列等价于
即
∴点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆(不含端点．)
18．已知点H(－3,0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足HP⊥PM， ＝－.当点P在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．
[解析] 设M(x，y)，P(0，b)，Q(a,0)，其中a>0，则＝(x，y－b)，＝(a－x，－y)．
∵＝－，即(x，y－b)＝－(a－x，－y)．
∴y－b＝－(－y)，b＝－.
∴＝(－3，)，＝(x，y)．
∵PH⊥PM.
∴·＝0，即－3x＋·＝0，y2＝4x.
∴动点M的轨迹方程为y2＝4x(x>0)．
2.2第1课时 椭圆及其标准方程
一、选择题
1．平面上到点A(－5,0)、B(5,0)距离之和为10的点的轨迹是( )
A．椭圆 B．圆
C．线段 D．轨迹不存在
[答案] C
[解析] 两定点距离等于定常数10，所以轨迹为线段．
2．椭圆ax2＋by2＋ab＝0(aA．(±，0) B．(±，0)
C．(0，±) D．(0，±)
[答案] D
[解析] ax2＋by2＋ab＝0可化为＋＝1
∵a－b>0，∴＋＝1，
焦点在y轴上，c＝＝
∴焦点坐标为(0，±)
3．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为( )
A. B．3 C. D.
[答案] D
[解析] a2＝16，b2＝9?c2＝7?c＝.
∵△PF1F2为直角三角形．
∴P是横坐标为±的椭圆上的点．(P点不可能是直角顶点)
设P(±，|y|)，把x＝±代入椭圆方程，知＋＝1?y2＝?|y|＝.
4．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点P的纵坐标是( )
A．± B．±
C．± D．±
[答案] C
[解析] 设F1(－3,0)∴P点横坐标为3代入＋＝1得＝1－＝，y2＝，∴y＝±
5．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝( )
A. B. C. D．4
[答案] C
[解析] 如图所示，由＋y2＝1知，F1、F2的坐标分别为(－，0)、(，0)，即P点的横坐标为xp＝－，代入椭圆方程得yp＝，
∴|PF1|＝，
∵|PF1|＋|PF2|＝4.
∴|PF2|＝4－|PF1|＝4－＝.
6．(09·陕西理)“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆?>>0?m>n>0.故选C.
7．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是( )
A．5 B．3或8 C．3或5 D．20
[答案] C
[解析] 2c＝2，c＝1，故有m－4＝12或4－m＝12，∴m＝5或m＝3且同时都大于0，故答案为C.
8．过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF2的周长是( )
A．2 B．4 C. D．2
[答案] B
[解析] ∵|AF1|＋|AF2|＝2，|BF1|＋|BF2|＝2，
∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4，
即|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4.
9．已知椭圆的方程为＋＝1，焦点在x轴上，则m的取值范围是( )
A．－4≤m≤4 B．－4C．m>4或m<－4 D．0[答案] B
[解析] 因为焦点在x轴上，故m2<16且m2≠0，解得－410．若△ABC的两个顶点坐标为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
[答案] D
[解析] 顶点C满足|CA|＋|CB|＝10>|AB|，由椭圆定义知2a＝10,2c＝8
所以b2＝a2－c2＝25－16＝9，
故椭圆方程为＋＝1(y≠0)．
二、填空题
11．如图所示，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2＝______.
[答案] 2
[解析] 由题意S△POF2＝c2＝，则c2＝4?c＝2
∴P＝(1，)代入椭圆方程＋＝1中得，
＋＝1，求出b2＝2.
12．已知A(－，0)，B是圆F：(x－) 2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为____________．
[答案] x2＋y2＝1
[解析] 如图所示，由题意知，|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2，
∴|PA|＋|PF|＝2，且|PA|＋|PF|>|AF|，
即动点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，a＝1，c＝，b2＝.
∴动点P的轨迹方程为x2＋＝1，即x2＋y2＝1.
13．(08·浙江)已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
[答案] 8
[解析] (|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)
＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝20，∴|AB|＝8.
14．如图，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1、P2、…、P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝________.
[答案] 35
[解析] 设椭圆右焦点为F′，由椭圆的对称性知，
|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，
∴原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋(|P4F|＋|P4F′|)＝7a＝35.
三、解答题
15．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．
(2)坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B(，)
[解析] (1)由于椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)
由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
∴?
故所求椭圆的方程为＋x2＝1.
(2)设所求椭圆的方程为＋＝1(m>0，n>0)．
∵椭圆过A(0,2)，B(，)，
∴解得
∴所求椭圆方程为x2＋＝1.
16．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程．
[解析] 当焦点在x轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，代入得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为＋y2＝1.
当焦点在y轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为＋＝1.
故椭圆的标准方程为＋＝1或＋y2＝1.
17．已知m为常数且m>0，求证：不论b为怎样的正实数，椭圆＋＝1的焦点不变．
[解析] ∵m>0，b2＋m>b2，∴焦点在x轴上，由＝，得椭圆的焦点坐标为(±，0)，由m为常数，得椭圆的焦点不变．
18．在面积为1的△PMN中，tanM＝，tanN＝－2，建立适当的坐标系，求以M、N为焦点且过点P(x0，y0)(y0>0)的椭圆方程．
[解析] 以线段MN的中点为原点，MN所在直线为x轴，建立坐标系．
设M(－c,0)，N(c,0)，c>0，
又P(x0，y0)，y0>0.
由??P(，)．
设椭圆方程为＋＝1，又P在椭圆上，
故b2()2＋(b2＋)()2＝b2(b2＋)，
整理得3b4－8b2－3＝0?b2＝3.
所以所求椭圆方程为＋＝1.
2.2第2课时 椭圆的简单几何性质
一、选择题
1．将椭圆C1∶2x2＋y2＝4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C2，则C2与C1有( )
A．相等的短轴长 B．相等的焦距
C．相等的离心率 D．相等的长轴长
[答案] C
[解析] 把C1的方程化为标准方程，即
C1：＋＝1，从而得C2：＋y2＝1.
因此C1的长轴在y轴上，C2的长轴在x轴上．
e1＝＝e2，故离心率相等，选C.
2．若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
[答案] D
[解析] △ABF1为等边三角形，
∴2b＝a，∴c2＝a2－b2＝3b2
∴e＝＝＝＝.
3．(2010·广东文，7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 本题考查了离心率的求法，这种题目主要是设法把条件转化为含a，b，c的方程式，消去b得到关于e的方程，由题意得：4b＝2(a＋c)?4b2＝(a＋c)2?3a2－2ac－5c2＝0?5e2＋2e－3＝0(两边都除以a2)?e＝或e＝－1(舍)，故选B.
4．已知椭圆2x2＋y2＝2的两个焦点为F1，F2，且B为短轴的一个端点，则△F1BF2的外接圆方程为( )
A．x2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝4
C．x2＋y2＝4 D．x2＋(y－1)2＝4
[答案] A
[解析] 椭圆的焦点为F1(0,1)，F2(0，－1)，短轴的一个端点为(1,0)，于是△F1BF2的外接圆是以原点为圆心，以1为半径的圆，其方程为x2＋y2＝1.
5．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是( )
A．[6,10] B．[6,8]
C．[8,10] D．[16,20]
[答案] C
[解析] 由题意知a＝10，b＝8，设椭圆上的点M(x0，y0)，
由椭圆的范围知，|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8，点M到椭圆中心的距离d＝.
又因为＋＝1，所以y＝64(1－)＝64－x，则d＝＝，因为0≤x≤100，所以64≤x＋64≤100，所以8≤d≤10.
6．椭圆C1：＋＝1和椭圆C2：＋＝1 (0A．等长的长轴 B．相等的焦距
C．相等的离心率 D．等长的短轴
[答案] B
[解析] 依题意知椭圆C2的焦点在y轴上，对于椭圆C1：焦距＝2＝8，对于椭圆C2：焦距＝2＝8，故答案为B.
7．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为( )
A. B. C. D.
[答案] A
[解析] 由题意知b＝c，∴a＝c，∴e＝＝.
8．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1或＋＝1
D.＋＝1
[答案] C
[解析] ∵长轴长2a＝12，∴a＝6，又e＝∴c＝2，
∴b2＝a2－c2＝32，∵焦点不定，
∴方程为＋＝1或＋＝1.
9．已知点(3,2)在椭圆＋＝1上，则( )
A．点(－3，－2)不在椭圆上
B．点(3，－2)不在椭圆上
C．点(－3,2)在椭圆上
D．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上
[答案] C
[解析] ∵点(3,2)在椭圆＋＝1上，∴由椭圆的对称性知，点(－3,2)、(3，－2)、(－3，－2)都在椭圆上，故选C.
10．椭圆＋＝1和＋＝k(k>0)具有( )
A．相同的长轴 B．相同的焦点
C．相同的顶点 D．相同的离心率
[答案] D
[解析] 椭圆＋＝1和＋＝k(k>0)中，不妨设a>b，椭圆＋＝1的离心率e1＝，椭圆＋＝1(k>0)的离心率e2＝＝.
二、填空题
11．(2009·广东理)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
[答案] ＋＝1
[解析] 设椭圆G的标准方程为＋＝1 (a>b>0)，半焦距为c，则
，∴，
∴b2＝a2－c2＝36－27＝9，
∴椭圆G的方程为＋＝1.
12．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．
[答案] 2 120°
[解析] 依题知a＝3，b＝，c＝，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝6，∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2.
又|PF1|＝4，|PF2|＝2，|F1F2|＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－，∴∠F1PF2＝120°.
13．椭圆＋＝1上一点到两焦点的距离分别为d1、d2，焦距为2c，若d1、2c、d2成等差数列，则椭圆的离心率为________．
[答案]
[解析] 由题意得4c＝d1＋d2＝2a，∴e＝＝.
14．经过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为________．
[答案]
[解析] ∵垂直于椭圆长轴的弦所在直线为x＝±c，
由，得y2＝，
∴|y|＝，故弦长为.
三、解答题
15．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
[解析] 椭圆方程可化为＋＝1，
∵m－＝>0，
∴m>.
即a2＝m，b2＝，c＝＝.
由e＝得，＝，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F1(－，0)，F2(，0)；四个顶点分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1(0，－)，B2(0，)．
16．已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为－，求这个椭圆的方程．
[解析] 由于椭圆中心在原点，焦点在x轴上，可设其方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆的对称性知，|B1F|＝|B2F|，又B1F⊥B2F，因此△B1FB2为等腰直角三角形，于是|OB2|＝|OF|，即b＝c.
又|FA|＝－即a－c＝－，且a2＋b2＝c2.
将以上三式联立，得方程组，
解得
所求椭圆方程是＋＝1.
17．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.求椭圆的方程．
[解析] 由e＝＝，得3a2＝4c2，再由c2＝a2－b2，得a＝2b.
由题意可知×2a×2b＝4，即ab＝2.
解方程组得a＝2，b＝1，
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
2.2第3课时 直线与椭圆的位置关系
一、选择题
1．点P为椭圆＋＝1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为( )
A．(±，1) B．(，±1)
C．(，1) D．(±，±1)
[答案] D
[解析] 设P(x0，y0)，∵a2＝5，b2＝4，∴c＝1，
∴S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝|y0|＝1，∴y0＝±1，
∵＋＝1，
∴x0＝±.故选D.
2．已知m、n、m＋n成等差数列，m、n、mn成等比数列，则椭圆＋＝1的离心率为( )
A. B. C. D.
[答案] C
[解析] 由已知得：，
解得，∴e＝＝，故选C.
3．在△ABC中，BC＝24，AB＋AC＝26，则△ABC面积的最大值为( )
A．24 B．65 C．60 D．30
[答案] C
[解析] ∵AB＋AC>BC，∴A点在以BC为焦点的椭圆上，因此当A为短轴端点时，△ABC面积取最大值Smax＝BC×5＝60，∴选C.
4．已知P是以F1、F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，若·＝0，tan∠PF1F2＝，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
[答案] D
[解析] 由·＝0知∠F1PF2为直角，
设|PF1|＝x，由tan∠PF1F2＝知，|PF2|＝2x，
∴a＝x，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2得c＝x，
∴e＝＝.
5．如图F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.－1
[答案] D
[解析] 连结AF1，由圆的性质知，∠F1AF2＝90°，
又∵△F2AB是等边三角形，
∴∠AF2F1＝30°，
∴AF1＝c，AF2＝c，
∴e＝＝＝＝－1.故选D.
6．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )
A．8,6 B．4,3
C．2， D．4,2
[答案] B
[解析] 椭圆过焦点的弦中最长的是长轴，最短的为垂直于长轴的弦(通径)是.
∴最长的弦为2a＝4，最短的弦为＝2·＝3
故选B.
7．(09·江西理)过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 把x＝－c代入椭圆方程可得yc＝±，
∴|PF1|＝，∴|PF2|＝，
故|PF1|＋|PF2|＝＝2a，即3b2＝2a2
又∵a2＝b2＋c2，
∴3(a2－c2)＝2a2，
∴()2＝，即e＝.
8．已知点P是椭圆＋＝1在第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直．若点P到直线4x－3y－2m＋1＝0的距离不大于3，则实数m的取值范围是( )
A．[－7,8] B．[－，]
C．[－2,2] D．(－∞，－7]∪[8，＋∞)
[答案] A
[解析] 椭圆＋＝1的两焦点坐标分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，设椭圆上点P(x，y)(x<0，y<0)，由题意得
解得P(－3，－4)
由点到直线的距离公式可得
≤3，
解得－7≤m≤8，故选A.
9．设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)( )
A．必在圆x2＋y2＝2上
B．必在圆x2＋y2＝2外
C．必在圆x2＋y2＝2内
D．以上三种情形都有可能
[答案] C
[解析] e＝?＝?c＝，
＝?＝
?＝?b＝a
∴ax2＋bx－c＝0?ax2＋ax－＝0
?x2＋x－＝0，x1＋x2＝－，x1x2＝－
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋1＝<2
∴在圆x2＋y2＝2内，故选C.
10．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0，]
C．(0，) D．[，1)
[答案] C
[解析] 依题意得，c∴c2又0二、填空题
11．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c.以点O为圆心，a为半径作圆M.若过点P作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________．
[答案]
[解析] 设切点为Q、B，如图所示．切线QP、PB互相垂直，又半径OQ垂直于QP，所以△OPQ为等腰直角三角形，可得
a＝，∴e＝＝.
12．若过椭圆＋＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是______________．
[答案] x＋2y－4＝0
[解析] 设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减并把x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入得，＝－，
∴所求直线方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
13．设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右两个焦点，若椭圆C上的点A(1，)到F1，F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程是________，焦点坐标是________．
[答案] ＋＝1；(±1,0)
[解析] 由|AF1|＋|AF2|＝2a＝4得a＝2
∴原方程化为：＋＝1，
将A(1，)代入方程得b2＝3
∴椭圆方程为：＋＝1，焦点坐标为(±1,0)
14．如图所示，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．
若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l约为________．(精确到0.1米)
[答案] 33.3米
[解析] 如图所示，建立直角坐标系，
则点P(11,4.5)，
椭圆方程为＋＝1.
将b＝h＝6与点P坐标代入椭圆方程，得a＝，
此时l＝2a＝≈33.3
因此隧道的拱宽约为33.3米．
三、解答题
15．(2010·北京文，19)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，直经y＝t与椭圆C交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．
[分析] 本题考查了圆和椭圆的标准方程，以及放缩法和三角换元在求最值中的应用．
[解析] (1)∵＝且c＝，∴a＝，b＝1.
∴椭圆c的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知点P(0，t)(－1由得x＝±
∴圆P的半径为，
又∵圆P与x轴相切，
∴|t|＝，解得t＝±，
故P点坐标为.
16．中心在原点O，焦点在坐标轴上的椭圆与直线x＋y＝1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程．
[分析] 由于不知道椭圆的焦点在哪个坐标轴上，可设方程为ax2＋by2＝1(a>0，b>0，a≠b)欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为，OA⊥OB易得a、b的两个方程．
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2), M(，)．由
∴(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
∴＝，＝1－＝.
∴M(，)，∵kOM＝，∴b＝a.①
∵OA⊥OB，∴·＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0.
∵x1x2＝，
y1y2＝(1－x1)(1－x2)＝1－(x1＋x2)＋x1x2
＝1－＋＝.
∴＋＝0，∴a＋b＝2.②
由①②得a＝2(－1)，b＝2(2－)．
∴所求方程为2(－1)x2＋2(2－)y2＝1.
[点评] 直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，但不是真的求出x1、y1、x2、y2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题. 由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0是解决本题的关键．
17．A、B是两定点，且|AB|＝2，动点M到A的距离为4，线段MB的垂直平分线l交MA于P.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若点P到A、B两点的距离之积为m，当m取最大值时，求P的坐标．
[解析] (1)以直线AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)．
∵l为MB的垂直平分线，
∴|PM|＝|PB|，
∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PM|＝4，
∴点P的轨迹是以A，B为两个焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为＋＝1.
(2)∵m＝|PA|·|PB|≤()2＝4，
∴当且仅当|PA|＝|PB|时，m最大，这时P的坐标(0，)或(0，－)．
18．已知A(4,0)、B(2,2)是椭圆＋＝1内的两个点，M是椭圆上的动点，求|MA|＋|MB|的最大值和最小值．
[解析] 如下图所示，由＋＝1，得a＝5，b＝3，c＝4.
所以点A(4,0)为椭圆一个焦点，记另一个焦点为F(－4,0)．
又因为|MA|＋|MF|＝2a＝10，
所以|MA|＋|MB|＝10－|MF|＋|MB|，
又|BF|＝2，
所以－2＝－|FB|≤|MB|－|MF|≤|FB|＝2.
所以10－2≤|MA|＋|MB|≤10＋2.
当F、B、M三点共线时等号成立．所以|MA|＋|MB|的最大值为10＋2，最小值为10－2.
[点评] 本题应用三角形中两边之差小于第三边，两边之和大于第三边的思想，并结合椭圆定义求解．
2.3第1课时 双曲线及其标准方程
一、选择题
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，其焦点为F1、F2，过F1作直线交双曲线同一支于A、B两点，且|AB|＝m，则△ABF2的周长是( )
A．4a B．4a－m
C．4a＋2m D．4a－2m
[答案] C
2．设θ∈(，π)，则关于x、y的方程－＝1 所表示的曲线是( )
A．焦点在y轴上的双曲线
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的椭圆
[答案] C
[解析] 方程即是＋＝1，因θ∈(，π)，
∴sinθ>0，cosθ<0，且－cosθ>sinθ，故方程表示焦点在y轴上的椭圆，故答案为C.
3．(2010·安徽理，5)双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A. B.
C. D．(，0)
[答案] C
[解析] 将方程化为标准方程x2－＝1
∴c2＝1＋＝，∴c＝，故选C.
4．k>9是方程＋＝1表示双曲线的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] k>9时，方程为－＝1表示焦点在y轴上的双曲线，方程表示双曲线时，(k－9)(k－4)<0，∴k<4或k>9，故选B.
5．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于( )
A. B．1 C．2 D．4
[答案] D
[解析] NO为△MF1F2的中位线，所以|NO|＝|MF1|，又由双曲线定义知，|MF2|－|MF1|＝10，因为|MF2|＝18，所以|MF1|＝8，所以|NO|＝4，故选D.
6．已知双曲线x2－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且·＝0，则点M到x轴的距离为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 由条件知c＝，∴|F1F2|＝2，
∵·＝0，∴|MO|＝|F1F2|＝，
设M(x0，y0)，则，
∴y＝，∴y0＝±，故选C.
7．已知方程ax2－ay2＝b，且a、b异号，则方程表示( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线
[答案] D
[解析] 方程变形为－＝1，由a、b异号知<0，故方程表示焦点在y轴上的双曲线，故答案为D.
8．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )
A.－y2＝1 B．y2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] B
[解析] 由题意知双曲线的焦点在y轴上，
且a＝1，c＝2，∴b2＝3，
双曲线方程为y2－＝1.
9．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] B
[解析] 由条件知P(，4)在双曲线－＝1上，∴－＝1，
又a2＋b2＝5，∴，故选B.
10．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线上一点P使∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是( )
A．12 B．16 C．24 D．32
[答案] B
[解析] 由定义||PF1|－|PF2||＝6，
∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，
∴|PF1||PF2|＝32，
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝16.
二、填空题
11．若双曲线x2－y2＝1右支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离是，则a＋b＝________.
[答案]
[解析] 由条件知，，
∴或，∵a>0，∴a＋b＝.
12．已知圆(x＋4)2＋y2＝25的圆心为M1，圆(x－4)2＋y2＝1的圆心为M2，动圆与这两圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为____________．
[答案] －＝1(x≥2)
[解析] 设动圆圆心为M，动圆半径为r，根据题意得，|MM1|＝5＋r，|MM2|＝1＋r，两式相减得|MM1|－|MM2|＝4<8＝|M1M2|，故M点在以M1(－4,0)，M2(4,0)为焦点的双曲线的右支上，故圆心M的轨迹方程为－＝1(x≥2)．
13．若双曲线－＝1(m>0，n>0)和椭圆＋＝1(a>b>0)有相同的焦点F1，F2，M为两曲线的交点，则|MF1|·|MF2|等于________．
[答案] a－m
[解析] 由双曲线及椭圆定义分别可得
|MF1|－|MF2|＝±2①
|MF1|＋|MF2|＝2②
②2－①2得，4|MF1|·|MF2|＝4a－4m，
∴|MF1|·|MF2|＝a－m.
14．已知双曲线x2－y2＝m与椭圆2x2＋3y2＝72有相同的焦点，则m的值为________．
[答案] 6
[解析] 椭圆方程为＋＝1，c2＝a2－b2＝36－24＝12，∴焦点F1(－2，0)，F2(2，0)，
双曲线－＝1与椭圆有相同焦点，
∴2m＝12，∴m＝6.
三、解答题
15．设声速为a米/秒，在相距10a米的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．
[解析] 以A、B两哨所所在直线为x轴，它的中垂线为y轴，建立直角坐标系，得炮弹爆炸点的轨迹方程为－＝1.
16．已知双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．
[解析] 椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，且c＝3，a2＋b2＝9.
由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A(，4)、B(－，4)，
由点A在双曲线上知，－＝1.
解方程组得
∴所求曲线的方程为－＝1.
17．已知定点A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求椭圆的另一焦点F的轨迹方程．
[解析] 设F(x，y)为轨迹上的任意一点，
因为A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上，
所以|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a，(其中a表示椭圆的长半轴长)，
所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，
所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝－＝2.
由双曲线的定义知，F点在以A、B为焦点的双曲线的下半支上，
所以点F的轨迹方程是y2－＝1(y≤－1)．
18．如图，已知双曲线的离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，求双曲线的标准方程．
[解析] 设双曲线方程为－＝1
∵e＝＝2，∴a＝
由双曲线定义：|PF1|－|PF2|＝2a＝c.
由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|(1－cos60°)，
∴4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|
又S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝12
得|PF1|·|PF2|＝48，
即c2＝16，∴a2＝4，b2＝12，
所求方程为－＝1.
2.3第2课时 双曲线的简单几何性质
一、选择题
1．已知双曲线与椭圆＋＝1共焦点，它们的离心率之和为，双曲线的方程应是( )
A.－＝1 B.－＝1
C．－＋＝1 D．－＋＝1
[答案] C
[解析] ∵椭圆＋＝1的焦点为(0，±4)，
离心率e＝，
∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为－＝＝2，
∴双曲线方程为：－＝1.
2．焦点为(0，±6)且与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] B
[解析] 与双曲线－y2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为－y2＝λ(λ≠0)，
又因为双曲线的焦点在y轴上，
∴方程可写为－＝1.
又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，
∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12.
∴双曲线方程为－＝1.
3．若0A．相同的实轴 B．相同的虚轴
C．相同的焦点 D．相同的渐近线
[答案] C
[解析] ∵00.
∴c2＝(a2－k2)＋(b2＋k2)＝a2＋b2.
4．中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[答案] D
[解析] ∵＝，∴＝＝，∴＝，
∴＝，∴＝.
又∵双曲线的焦点在y轴上，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
5．(2009·四川文，8)已知双曲线－＝1(b>0)的左右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·＝( )
A．－12 B．－2 C．0 D．4
[答案] C
[解析] 本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质．
由题意得b2＝2，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，
又点P(，y0)在双曲线上，∴y＝1，
∴·＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)＝－1＋y＝0，故选C.
6．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵△MF1F2为等腰三角形，∠F1MF2＝120°，
∴∠MF1F2＝30°，∴tan30°＝＝，＝，
＝1－()2＝，()2＝，∴e＝.
7．已知a、b、c分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax2＋bx＋c＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．1C．1[答案] D
[解析] 由已知Δ＝b2－4ac<0，
∴c2－a2－4ac<0.
∴()2－4()－1<0，即e2－4e－1<0.
∴2－又e>1，故18．已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )
A．x＝±y B．y＝±x
C．x＝±y D．y＝±x
[答案] D
[解析] 由题意c2＝3m2－5n2＝2m2＋3n2，
∴m2＝8n2，
∴双曲线渐近线的斜率k＝±＝±.
方程为y＝±x.
9．(2010·海口期末)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．24 B．36 C．48 D．96
[答案] C
[解析] 依题意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝6，∴|PF1|＝16，因此△PF1F2的面积等于×16×＝48，选C.
10．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于( )
A．－ B．－4 C．4 D.
[答案] A
[解析] 双曲线方程化为标准形式：y2－＝1，
则有：a2＝1，b2＝－，
由题设条件知，∴2＝，
∴m＝－.
[点评] 双曲线作为圆锥曲线的一种，其几何性质常作为高考命题的热点问题．但难度一般不大，掌握其实轴、虚轴、焦距之间的关系和渐近线方程是解决双曲线问题的突破口．
二、填空题
11．若双曲线＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是____________．
[答案] (，0)(－，0)
[解析] 由双曲线方程得出其渐近线方程为y＝±x，∴m＝－3，求得双曲线方程为－＝1，从而得到焦点坐标(，0)(－，0)
12．(2010·福建文，13)若双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，则b等于________．
[答案] 1
[解析] 本题主要考查双曲线的渐近线方程．
双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，
∴＝，即b＝1.
13．已知双曲线与椭圆x2＋4y2＝64共焦点，它的一条渐近线方程为x－y＝0，则双曲线的方程为________．
[答案] －＝1
[解析] 解法一：由于双曲线的一条渐近线方程为x－y＝0，则另一条为x＋y＝0，可设双曲线方程为
x2－3y2＝λ(λ>0)，即－＝1
由椭圆方程＋＝1可知
c2＝a2－b2＝64－16＝48
双曲线与椭圆共焦点，则λ＋＝48
∴λ＝36.
故所求双曲线方程为－＝1.
解法二：双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为
－＝1
由渐近线方程y＝x可得＝
∴λ＝28
故所求双曲线方程为－＝1.
解法三：椭圆＋＝1，c2＝64－16＝48.
设双曲线的实半轴长，虚半轴长分别为a、b，则由条件知
，∴，
∴双曲线方程为－＝1.
14．已知双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则其离心率为________．
[答案] 或
[解析] 若双曲线焦点在x轴上，依题意得，＝4，
∴＝16，即＝16，∴e2＝17，e＝.
若双曲线焦点在y轴上，依题意得，＝4.
∴＝，＝，即＝.
∴e2＝，故e＝，
即双曲线的离心率是或.
三、解答题
15．双曲线与圆x2＋y2＝17有公共点A(4，－1)，圆在A点的切线与双曲线的一条渐近线平行，求双曲线的标准方程．
[解析] ∵点A与圆心O连线的斜率为－，
∴过A的切线的斜率为4.
∴双曲线的渐近线方程为y＝±4x.
设双曲线方程为x2－＝λ.
∵点A(4，－1)在双曲线上，∴16－＝λ，λ＝.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
16．焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为2x±y＝0，焦点到渐近线的距离为8，求此双曲线方程．
[解析] 因双曲线的渐近线方程为2x±y＝0，
故设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)．
当λ>0时，a2＝，b2＝λ，∴c2＝a2＋b2＝λ.
即焦点坐标为(±λ，0)．
据点到直线的距离公式有＝8，得λ＝8.
此时双曲线方程为－＝1.
当λ<0时，双曲线方程可化为－＝1.
则a2＝－λ，b2＝－，
∴c2＝a2＋b2＝－λ.
故焦点坐标为(0，±λ)，
据点到直线的距离公式有＝3，得λ＝－16.
此时双曲线方程为－＝1.
故所求双曲线的方程为－＝1或－＝1.
17．双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，焦距为2c，左顶点为A，虚轴的上端点为B(0，b)，若·＝3ac，求该双曲线的离心率．
[解析] 由条件知F(c,0)，A(－a,0)，
∴＝(－a，－b)，＝(c，－b)，
∵·＝3ac，∴－ac＋b2＝3ac，
又b2＝c2－a2，∴c2－a2－4ac＝0，
∵e>1，∴e＝＝2＋.
18．若F1，F2是双曲线－＝1的左、右两个焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
[分析] 条件给出了|PF1|·|PF2|＝32，自然联想到定义式||PF1|－|PF2||＝2a＝6，欲求∠F1PF2可考虑应用余弦定理．
[解析] 由双曲线的方程，知a＝3，b＝4，所以c＝5.
由双曲线的定义得，
||PF1|－|PF2||＝2a＝6.
上式两边平方得，
|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝100，
由余弦定理得，
cos∠F1PF2＝
＝＝0，
所以∠F1PF2＝90°.
[点评] 在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关系．
2.3第3课时 双曲线的综合应用
一、选择题
1．如图，椭圆C1，C2与双曲线C3，C4的离心率分别是e1，e2，e3与e4，则e1，e2，e3，e4的大小关系是( )
A．e2C．e1[答案] A
[解析] 椭圆离心率越大越扁，双曲线离心率越大，开口越广阔．
2．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] D
[解析] 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，依题意c＝，
∴方程可化为－＝1.
由得，
(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝.
∵＝－，∴＝－，解得a2＝2.
故所求双曲线方程为－＝1，故选D.
3．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的( )
[答案] C
[解析] 方程可化为y＝ax＋b和＋＝1.从B，D中的两椭圆看a，b∈(0，＋∞)，但B中直线有a<0，b<0矛盾，应排除；D中直线有a<0，b>0矛盾，应排除；再看A中双曲线的a<0，b>0，但直线有a>0，b>0，也矛盾，应排除；C中双曲线的a>0，b<0和直线中a，b一致．应选C.
4．(2010·潍坊模拟)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 在直角△MF1F2中，∠F1F2M＝90°，∠MF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，于是＝cos30°＝，＝tan30°＝，从而有|MF1|＝c，|MF2|＝c，代入|MF1|－|MF2|＝2a，得c＝2a，故e＝＝，故选B.
5．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1,3) B．(1,3]
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
[答案] B
[解析] 由双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a，|PF1|＝2|PF2|＝4a，∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，
∴6a≥2c，≤3，故离心率的范围是(1,3]，选B.
6．已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有( )
A.＋＝4 B．e＋e＝4
C.＋＝2 D．e＋e＝2
[答案] C
[解析] 设椭圆长半轴长为a，双曲线实半轴长为m，则
①2＋②2得：2(|PF1|2＋|PF2|2)＝4a2＋4m2，
又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2代入上式得4c2＝2a2＋2m2，
两边同除以2c2得2＝＋，故选C.
7．(08·山东)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] A
[解析] 由已知得椭圆中a＝13，c＝5，曲线C2为双曲线，由此知道在双曲线中a＝4，c＝5，故双曲线中b＝3，双曲线方程为－＝1.
8．已知a>b>0，e1，e2分别为圆锥曲线＋＝1和－＝1的离心率，则lge1＋lge2的值( )
A．大于0且小于1 B．大于1
C．小于0 D．等于0
[答案] C
[解析] ∵lge1＋lge2＝lg＋lg＝lg9．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( )
A．双曲线的一支 B．圆
C．抛物线 D．双曲线
[答案] A
[解析] 设动圆半径为r，圆心为O，x2＋y2＝1的圆心为O，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，
由题意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，
∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4，
由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．
10．(2010·浙江理，8)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为( )
A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0
C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0
[答案] C
[解析] 如图：
由条件|F2A|＝2a，|F1F2|＝2c
又知|PF2|＝|F1F2|，知A为PF1中点，由a2＋b2＝c2，有|PF1|＝4b由双曲线定义：
|PF1|－|PF2|＝2a，则4b－2c＝2a
∴2b＝c＋a，又有c2＝a2＋b2，(2b－a)2＝a2＋b2，
∴4b2－4ab＋a2＝a2＋b2
3b2＝4ab，∴＝，
∴渐近线方程：y＝±x.故选C.
二、填空题
11．设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是________．
[答案] ＋y2＝1
[解析] 双曲线为－＝1.
∴双曲线的焦点为(1,0)和(－1,0)，离心率为.则椭圆的离心率为，又e＝＝，c＝1，
∴a＝，b＝1.∴椭圆的方程是＋y2＝1.
12．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于____________．
[答案] 2
[解析] 由题意得，a＋c＝，
即a2＋ac＝b2，a2＋ac＝c2－a2，
∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0.
解得e＝2或e＝－1(舍去)．
13．双曲线－＝1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为____________．
[答案] 3.2
[解析] 设|PF1|＝m，|PF2|＝n(m>n)，∴a＝3，b＝4，c＝5.由双曲线的定义知，m－n＝2a＝6，
又PF1⊥PF2.
∴△PF1F2为直角三角形．
即m2＋n2＝(2c)2＝100.
由m－n＝6，得m2＋n2－2mn＝36，
∴2mn＝m2＋n2－36＝64，mn＝32.
设点P到x轴的距离为d，
S△PF1F2＝d|F1F2|＝|PF1|·|PF2|，
即d·2c＝mn.∴d＝＝＝3.2，
即点P到x轴的距离为3.2.
14．(2010·北京理，13)已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．
[答案] (±4,0) y＝±x
[解析] 双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为(±4,0)，又双曲线离心率为2，即＝2，c＝4，故a＝2，b＝2，渐近线为y＝±x＝±x.
三、解答题
15．求以椭圆＋＝1的长轴端点为焦点，且经过点P(4，3)的双曲线的标准方程．
[解析] 椭圆＋＝1长轴的顶点为A1(－5,0)，A2(5,0)，则双曲线的焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，由双曲线的定义知，
|PF1|－|PF2|
＝－
＝－＝8，
即2a＝8，a＝4，c＝5，∴b2＝c2－a2＝9.
所以双曲线的方程为－＝1.
16．直线l被双曲线－＝1截得弦长为4，其斜率为2，求直线l在y轴上的截距．
[解析] 设直线l的方程为y＝2x＋m，
由得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.
设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由韦达定理，得x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋2)．
又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，
∴y1－y2＝2(x1－x2)，
∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2
＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝5[m2－4×(m2＋2)]
∵|AB|＝4，∴m2－6(m2＋2)＝16.
∴3m2＝70，m＝±.
17．设P点是双曲线－＝1上除顶点外的任意一 点，F1，F2分别为左、右焦点，c为半焦距，△PF1F2的内切圆与边F1F2切于点M，求|F1M|·|F2M|之值．
[解析] 如图所示．P是双曲线上任一点(顶点除外)，由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝±2a，
根据切线定理，可得|F1M|－|F2M|＝|PF1|－|PF2|＝±2a.
又|F1M|＋|F2M|＝2c，
∴当P在双曲线左支上时，|F1M|＝c－a，|F2M|＝c＋a.
当P在双曲线右支上时，|F1M|＝c＋a，|F2M|＝c－a.
故|F1M|·|F2M|＝c2－a2＝b2.
18．已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A、B两点．
(1)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值，
(2)是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y＝x对称？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)由消去y得，
(3－a2)x2－2ax－2＝0①
依题意
即－设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB.
∴x1x2＋y1y2＝0，但y1y2＝a2x1x2＋a(x1＋x2)＋1，
由③④知，x1＋x2＝，x1x2＝.
∴(a2＋1)·＋a·＋1＝0.
解得a＝±1且满足②.
(2)假设存在实数a，使A、B关于y＝x对称，则直线y＝ax＋1与y＝x垂直，∴a＝－2.
直线l的方程为y＝－2x＋1.
将a＝－2代入③得x1＋x2＝4.
∴AB中点横坐标为2，
纵坐标为y＝－2×2＋1＝－3.
但AB中点(2，－3)不在直线y＝x上．
即不存在实数a，使A、B关于直线y＝x对称．
2.4第1课时 抛物线及其标准方程
一、选择题
1．抛物线y＝x2的焦点关于直线x－y－1＝0的对称点的坐标是( )
A．(2，－1) B．(1，－1)
C．(，－) D．(，－)
[答案] A
[解析] y＝x2?x2＝4y，焦点为(0,1)，其关于x－y－1＝0的对称点为(2，－1)．
2．抛物线x2＝4ay的准线方程为( )
A．x＝－a B．x＝a
C．y＝－a D．y＝a
[答案] C
3．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[答案] D
[解析] 解法一：∵y＝4，∴x2＝4·y＝16，∴x＝4，
∴A(4,4)，焦点坐标为(0,1)，
∴所求距离为＝＝5.
解法二：抛物线的准线为y＝－1，∴A到准线的距离为5，又∵A到准线的距离与A到焦点的距离相等．
∴距离为5.
4．抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋＝x0＋＝2，
∴x0＝，∴y0＝±.
5．抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标x＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] B
[解析] 抛物线y2＝4x，焦点F(1,0)，准线x＝－1，
∵M到准线的距离为3，∴xM－(－1)＝3，∴xM＝2.
6．双曲线－＝1(mn≠0)离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为( )
A. B. C. D.
[答案] A
[解析] 由条件知，解得 .
∴mn＝，故选A.
7．已知抛物线C1：y＝2x2与抛物线C2关于直线y＝－x对称，则C2的准线方程是( )
A．x＝－ B．x＝
C．x＝ D．x＝－
[答案] C
[解析] 抛物线C1：y＝2x2的准线方程为y＝－，其关于直线y＝－x对称的抛物线C2：y2＝－x的准线方程为x＝.故应选C.
8．已知抛物线y2＝2px(p>0)上有一点M(4，y)，它到焦点F的距离为5，则△OFM的面积(O为原点)为( )
A．1 B. C．2 D．2
[答案] C
[解析] 抛物线准线方程为x＝－，由于M(4，y)到焦点F的距离为5，故有|4＋|＝5，由于p>0，故p＝2，|OF|＝1，抛物线方程为y2＝4x，则M(4，±4)，于是S△OFM＝2.
9．动点P到直线x＋4＝0的距离减去它到点M(2,0)的距离之差等于2，则点P的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案] D
[解析] 根据所给条件，结合图形可知动点P到定直线x＝－2及定点M(2,0)的距离相等，故选D.
10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点， 若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( )
A．直线 B．圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案] D
[解析] ∵P到直线BC与直线C1D1的距离相等，又ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴D1C1⊥侧面BCC1B1.
∴D1C1⊥PC1，
∴PC1为P到直线D1C1的距离，即PC1等于P到直线BC的距离，由圆锥曲线的定义知，动点P的轨迹所在的曲线是抛物线．
二、填空题
11．(2010·安徽文，12)抛物线y2＝8x的焦点坐标是____________．
[答案] (2,0)
[解析] 该题考查抛物线的基础知识．
要认清形式：本题形如y2＝2px(p>0)，焦点坐标为(，0)，故为(2,0)．
12．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A(2,0)，则抛物线的准线方程为________．
[答案] x＝－2
[解析] 由抛物线的几何性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行，及直线y＝－2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点，故准线方程为x＝－2.
13．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)．若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．
[答案] x＝－
[解析] OA的垂直平分线y＝－2x＋交x轴于，此为焦点，故准线方程为x＝－.
14．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P(3,1)是一个定点，则|MP|＋|MF|的最小值是____________．
[答案] 4
[解析] 过P作垂直于准线的直线，垂足为N，交抛物线于M，则|MP|＋|MF|＝|MP|＋|MN|＝|PN|＝4为所求最小值．
三、解答题
15．已知椭圆C1：＋＝1的左、右两个焦点为F1、F2，离心率为，又抛物线C2：y2＝4mx(m>0)与椭圆C1有公共焦点F2(1,0)．求椭圆和抛物线的方程．
[解析] 椭圆中c＝1，e＝，所以a＝2，b＝＝，椭圆方程为：＋＝1，抛物线中＝1，
所以p＝2，抛物线方程为：y2＝4x.
16．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的横坐标及抛物线方程．
[解析] ∵点M到对称轴的距离为6，
∴设点M的坐标为(x,6)，
∴62＝2px(1)
∵点M到准线的距离为10，
∴x＋＝10(2)
由(1)(2)解得或
故当点M的横坐标为9时，抛物线方程为y2＝4x，当点M的横坐标为1时，抛物线方程为y2＝36x.
17．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过抛物线y2＝2mx的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝6.
(2)抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点P(－5,2)到焦点的距离是6.
[解析] (1)设抛物线的准线为l，交x轴于K点，l的方程为x＝－，如图，作AA′⊥l于A′，BB′⊥l于B′，则|AF|＝|AA′|＝|FK|＝|m|，同理
|BF|＝|m|.又|AB|＝6，则2|m|＝6.
∴m＝±3，故所求抛物线方程为y2＝±6x.
(2)设焦点F(a,0)，|PF|＝＝6，即a2＋10a＋9＝0，解得a＝－1或a＝－9.当焦点为
F(－1，0)时，p＝2，抛物线开口方向向左，其方程为y2＝－4x；当焦点为F(－9,0)时，p＝18，抛物线开口方向向左，其方程为y2＝－36x.
18．一辆卡车高3 米，宽1.6米，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a米，求使卡车通过的a的最小整数值．
[解析] 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则B点的坐标为(，－)，如图所示，设隧道所在抛物线方程为x2＝my，则()2＝m·(－)，
∴m＝－a，即抛物线方程为x2＝－ay.
将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82＝－ay，
即y＝－.
欲使卡车通过隧道，应有y－(－)>3，
即－>3，由于a>0，得上述不等式的解为a>12.21，∴a应取13.
2.4第2课时 抛物线的简单几何性质
一、选择题
1．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1) 、B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么，|AB|等于( )
A．8 B．10
C．6 D．4
[答案] A
[解析] 由题意，|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝(x1＋x2)＋2＝6＋2＝8，选A.
2．到点(－1,0)与直线x＝3的距离相等的点的轨迹方程为( )
A．x2＝－4y＋4
B．y2＝－4x＋4
C．x2＝－8y＋8
D．y2＝－8x＋8
[答案] D
[解析] 由已知得＝|x－3|，
变形为：y2＝－8x＋8，故选D.
3．(2010·湖南文，5)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6
C．8 D．12
[答案] B
[解析] 本题考查抛物线的定义．
由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.
4．已知A、B在抛物线y2＝2px(p>0)上，O为坐标原点，如果|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是( )
A．x－p＝0 B．4x－3p＝0
C．2x－5p＝0 D．2x－3p＝0
[答案] C
[解析] 如图所示：
∵F为垂心，F为焦点，OA＝OB，∴OF垂直平分AB.
∴AB为垂直于x轴的直线
设A为(2pt2,2pt)(t>0)，B为(2pt2，－2pt)，
∵F为垂心，∴OB⊥AF
∴kOB·kAF＝－1，
即＝－1，解得t2＝
∴AB为x＝2pt2＝p，∴选C.
5．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则·的值是( )
A．12 B．－12
C．3 D．－3
[答案] D
[解析] 设A(，y1)，B(，y2)，则＝(，y1)，＝(，y2)，则·＝(，y1)·(，y2)＝＋y1y2，又∵AB过焦点，则有y1y2＝－p2＝－4，
∴·＝＋y1y2＝－4＝－3，故选D.
6．(2010·中山市高二期末)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案] D
7．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x＋2y＝3距离相等的点的轨迹是( )
A．直线 B．抛物线
C．圆 D．双曲线
[答案] A
[解析] 点(1,1)在直线x＋2y＝3上，∴轨迹为过点(1,1)且与x＋2y＝3垂直的直线．
8．抛物线y＝－x2上的点，到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是( )
A. B.
C. D．3
[答案] A
[解析] 抛物线y＝－x2上到直线4x＋3y－8＝0的距离最小的点也就是抛物线y＝－x2的与4x＋3y－8＝0平行的切线的切点．
设切线方程为4x＋3y＋b＝0，联立与y＝－x2组成的方程组，解得切点为(，－)
∴最小距离为d＝＝.
9．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条
B．有且仅有两条
C．有无穷多条
D．不存在
[答案] B
[解析] 由定义|AB|＝5＋2＝7，
∵|AB|min＝4，∴这样的直线有两条．
10．直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，且与抛物线交于P、Q两点，由P、Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R、S.如果|PF|＝a，|QF|＝b，M为RS的中点，则|MF|的值为( )
A．a＋b B.(a＋b)
C．ab D.
[答案] D
[解析] 根据抛物线的定义，有|PF|＝|PR|，|QF|＝|QS|.
∵∠RFO＝∠FRP＝∠RFP，∠SFO＝∠FSQ＝∠SFQ，
∴∠RFS＝∠RFP＋∠SFQ.
∴△RFS为直角三角形，故|MF|为直角三角形斜边上的中线．在直角梯形PRSQ中，|RS|＝＝2.
故|FM|＝|RS|＝.
二、填空题
11．已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则·取得最小值时的点P的坐标是______．
[答案] (0,0)
[解析] 设P，则＝，＝，·＝＋y2＝＋y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)．
12．已知点A(4,0)，M是抛物线y2＝6x上的动点，当点M到A距离最小时，M点坐标为________．
[答案] (1，±)
[解析] 设M，则|MA|2＝2＋y
＝y－y＋16＝(y－6)2＋15≥15，
当且仅当y＝6，即y1＝±，x1＝＝1时，|MA|取最小值，此时M(1，±)．
13．(2010·全国Ⅱ文，15)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若A＝M，则p＝________.
[答案] 2
[解析] 本题考查了抛物线与直线的位置关系．
由斜率为，∠M＝60°，
又＝，∴M为中点．
∴BP＝BM，∴M为焦点，
即＝1，∴p＝2.
14．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，且抛物线上一点(－3，m)到焦点的距离为5，则抛物线的方程为________．
[答案] x2＝2y，x2＝－2y，x2＝18y，x2＝－18y
[分析] 应分焦点在y轴正半轴，负半轴两种情况考虑，利用抛物线的定义，结合待定系数法求抛物线方程．
[解析] 解法一：若焦点在y轴的正半轴上，则可设方程为x2＝2py(p>0)
准线方程为y＝－，所以m－＝5.
又因为9＝2pm，所以m＝，所以＋＝5.
得p＝1或p＝9.
所以抛物线方程为x2＝2y，或x2＝18y.
若焦点在y轴负半轴上，则方程为x2＝－2py(p>0)，
准线方程为y＝，所以－m＝5，所以＋＝5，得p＝1或p＝9，
所以抛物线的方程为x2＝－2y，或x2＝－18y.
解法二：设抛物线的方程为x2＝2ay(a≠0)，
则p＝|a|，准线方程为y＝－.
依题意有
解此方程组可得四组解：
所以所求抛物线方程为：
x2＝2y，x2＝－2y，x2＝18y，x2＝－18y.
[点评] 注意焦点在x轴或y轴上的抛物线方程可统一设成y2＝2ax(a≠0)或x2＝2ay(a≠0)的形式，以简化运算．
此题没要求求m的值，故解方程组可只求a即可，这样，解法二就更加简捷．
三、解答题
15．已知点A在平行于y轴的直线l上，且l与x轴的交点为(4,0)．动点P满足平行于x轴，且⊥，求P点的轨迹．
[解析] 设动点P的坐标为(x，y)，则由已知有A的坐标为(4，y)，所以＝(4，y)，＝(x，y)．
因为⊥，所以·＝0，因此4x＋y2＝0，
即P的轨迹方程为4x＋y2＝0.∴轨迹是抛物线．
16．(2010·湖北文，20)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
[分析] 本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质等基础知识，同时考查推理运算的能力．
[解析] (1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：
－x＝1(x>0)
化简得y2＝4x(x>0)
(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
设l的方程为x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，
此时Δ＝16(t2＋m)>0.
于是①
又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)
·<0?(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2<0②
又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－(＋)＋1<0?＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1<0③
由①式，不等式③等价于m2－6m＋1<4t2④
对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1<0，即3－2由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任意一直线，都有·<0，且m的取值范围是(3－2，3＋2)．
17．求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线准线相切．
[证明] 如图，作AA′⊥l于A′，BB′⊥l于B′，M为AB的中心，作MM′⊥l于M′，
则由抛物线定义可知|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，
在直角梯形BB′A′A中，|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)
＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|，
即|MM′|等于以|AB|为直径的圆的半径．
故以|AB|为直径的圆与抛物线的准线相切．
18．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．
[解析] 解法1：焦点F(，0)，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，若AB⊥Ox，则|AB|＝2p<p
所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝k(x－)，k≠0.
由消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.
由韦达定理得，y1＋y2＝，y1y2＝－p2.
∴|AB|＝
＝
＝·＝2p(1＋)＝p.
解得k＝±2.
∴AB所在直线方程为y＝2(x－)或y＝－2(x－)．
解法2：如图所示，抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，A(x1，y1)，B(x2，y2)，设A、B到准线的距离分别为dA，dB，由抛物线的定义知，|AF|＝dA＝x1＋，|BF|＝dB＝x2＋，
于是|AB|＝x1＋x2＋p＝p；x1＋x2＝p.
当x1＝x2时，|AB|＝2p<p，直线AB与Ox不垂直．
设直线AB的方程为y＝k(x－)．
由得k2x2－p(k2＋2)x＋k2p2＝0.
x1＋x2＝，即＝p，解得k＝±2.
∴直线AB的方程为y＝2(x－)或y＝－2(x－)．
2.4第3课时 直线与抛物线的位置关系
一、选择题
1．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A、B两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为( )
A．48 B．56
C．64 D．72
[答案] A
[解析] 由消去y得，
x2－10x＋9＝0，∴x＝1或9，
∴或，
∴|AP|＝10，|BQ|＝2或者|BQ|＝10，|AP|＝2，|PQ|＝8，梯形APQB的面积为48，选A.
2．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px (p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则||为( )
A. B.
C.p D.p
[答案] B
[解析] 依题意可设AF所在直线方程为
y－0＝(x－)tan60°，∴y＝(x－)．
联立，解得x＝与.
∵与x轴正向夹角为60°，∴x＝，y＝p.
∴||＝＝.
3．抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由已知得抛物线方程为y2＝4x，直线方程为2x＋y－4＝0，抛物线y2＝4x的焦点坐标是F(1,0)，到直线2x＋y－4＝0的距离d＝＝.
4．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||等于( )
A．9 B．6
C．4 D．3
[答案] B
[解析] 设A、B、C三点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)．由题意知F(1,0)，因为＋＋＝0，所以x1＋x2＋x3＝3.根据抛物线定义，有||＋||＋||＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝3＋3＝6.故选B.
5．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为( )
A．(2，±2) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2)
[答案] B
[解析] 设点A的坐标为(x0，y0)，∴y＝4x0①
又F(1,0)，∴＝(x0，y0)，＝(1－x0，－y0)，
∵·＝－4，∴x0－x－y＝－4②
解①②组成的方程组得或.
[点评] 向量与解析几何相结合，向量往往要化为坐标的形式．
6．(08·宁夏、海南)已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为( )
A. B.
C．(1,2) D．(1，－2)
[答案] A
[解析] 过点Q作准线的垂线QM，交抛物线于P′点，连结P′F，此时|P′Q|＋|P′F|＝|P′Q|＋|P′M|＝|QM|，此时|MQ|最小，所以所求坐标为.
7．(09·全国Ⅱ理)已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 设A、B两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
由消去y得，k2x2＋4x(k2－2)＋4k2＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝4.
由抛物线定义得|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，
又∵|AF|＝2|BF|，∴x1＋2＝2x2＋4，
∴x1＝2x2＋2代入x1x2＝4，得x＋x2－2＝0，
∴x2＝1或－2(舍去)，∴x1＝4，
∴＝5，∴k2＝，
∵k>0，∴k＝.
8．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作两弦AB和CD，其所在直线的倾斜角分别为与，则|AB|与|CD|的大小关系是( )
A．|AB|>|CD| B．|AB|＝|CD|
C．|AB|<|CD| D．|AB|≠|CD|
[答案] A
[解析] 由抛物线的焦点弦公式l＝知，
|AB|>|CD|，故选A.
9．(09·全国Ⅰ理)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )
A. B．2
C. D.
[答案] C
[解析] 双曲线的渐近线方程为y＝±x.
∵渐近线与y＝x2＋1相切，
∴x2±x＋1＝0有两相等根，
∴Δ＝－4＝0，∴b2＝4a2，
∴e＝＝＝＝.
10．(09·四川理)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A．2 B．3
C. D.
[答案] A
[解析] 如图|PA|＋|PB|＝|PF|＋|PB|
∴所求最小值为点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离
d＝＝2，故选A.
二、填空题
11．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米，当水面升高1米后，水面宽度是________米．
[答案] 4
[解析] 设抛物线拱桥的方程为x2＝－2py，当顶点距水面2米时，量得水面宽8米，
即抛物线过点(4，－2)代入方程得16＝4p
∴p＝4，则抛物线方程是x2＝－8y，
水面升高1米时，即y＝－1时，x＝±2.
则水面宽为4米．
12．已知抛物线y2＝4x的一条过焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直线与y轴交点坐标(0,2)，则＋＝________.
[答案]
[解析] 弦AB是过焦点F(1,0)的弦，
又过点(0,2)，∴其方程为x＋＝1，
2x＋y－2＝0与y2＝4x联立得
y2＋2y－4＝0，y1＋y2＝－2，y1y2＝－4，
＋＝＝＝.
13．在已知抛物线y＝x2上存在两个不同的点M、N关于直线y＝kx＋对称，则k的取值范围为________．
[答案] k>或k<－
[解析] 设M(x1，x)，N(x2，x)关于已知抛物线对称，依MN⊥l：y＝kx＋，
∴＝－，即x1＋x2＝－.设MN的中点为(x0，y0)，则x0＝－，y0＝k×(－)＋＝4.
因中点在y＝x2内，有4>(－)2?k2>，
∴k>或k<－.
14．(2010·重庆理，14)已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A、B满足＝3，则弦AB的中点到准线的距离为________．
[答案]
[解析] 如右图，设||＝m，||＝n，
由＋＝得＋＝1，
即＋＝1，
∴n＝，m＝4，∴AB中点到准线的距离d＝＝＝.
三、解答题
15．过抛物线y2＝x上一点A(4,2)，作倾斜角互补的两直线AB、AC交抛物线于B、C.求证直线BC的斜率为定值．
[证明] 设B(x，x1)，C(x，x2)(|x1|≠|x2|)，
则kBC＝＝；kAB＝，kAC＝.
∵AB，AC的倾斜角互补．∴kAB＝－kAC.
∴＝－，∴x1＋2＝－(x2＋2)，
∴x1＋x2＝－4.∴kBC＝－为定值．
16．已知抛物线y2＝6x的弦AB经过点P(4,2)，且OA⊥ OB(O为坐标原点)，求弦AB的长．
[解析] 由A、B两点在抛物线y2＝6x上，可设A(，y1)，B(，y2)．
因为OA⊥OB，所以·＝0.
由＝(，y1)，＝(，y2)，得＋y1y2＝0.
∵y1y2≠0，∴y1y2＝－36，①
∵点A、B与点P(4,2)在一条直线上，
∴＝，化简，得＝，
即y1y2－2(y1＋y2)＝－24.
将①式代入，得y1＋y2＝－6.②
由①和②，得y1＝－3－3，y2＝－3＋3，从而点A的坐标为(9＋3，－3－3)，点B的坐标为(9－3，－3＋3)，
所以|AB|＝＝6.
17．设抛物线y2＝8x的焦点是F，有倾角为45°的弦AB，|AB|＝8，求△FAB的面积．
[解析] 设AB方程为y＝x＋b
由消去y得：x2＋(2b－8)x＋b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2b，x1·x2＝b2.
∴|AB|＝·|x1－x2|
＝×
＝＝8，
解得：b＝－3.
∴直线方程为y＝x－3.即：x－y－3＝0
∴焦点F(2,0)到x－y－3＝0的距离为d＝＝.
∴S△FAB＝×8×＝2.
18．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，求A、B两点间的距离．
[分析] 本题考查抛物线上的对称问题，可利用A、B两点在抛物线上，又在直线上，设出直线方程利用条件求解．
[解析] 由题意可设lAB为：y＝x＋b，把直线方程代入y＝－x2＋3中得，x2＋x＋b－3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，y1＋y2＝x1＋b＋x2＋b＝(x1＋x2)＋2b＝2b－1.
∴AB的中点坐标为(－，b－)，则该点在直线x＋y＝0上．
∴－＋(b－)＝0，得b＝1.
∴|AB|＝|x1－x2|＝
＝ ＝3.
所以A、B两点间距离为3.
