苏科版七年级数学下册 第9章 数学活动 拼图·公式 教案

实验8拼图与乘法公式（数学 初一）
[教材简介]
本实验是为苏科版《义务教育教科书数学》七年级下册“9.4乘法公式”而设计的，旨在让学生体会数与形的关联，发展几何直观.
[实验目的]
通过拼图活动，探索拼图与整式乘法之间的内在联系，体会数形结合的思想方法，发展几何直观.
[实验工具]
A型纸片(边长为a的正方形)，B型纸片(边长为b的正方形)，C型纸片(长为a、宽为b的长方形)，剪刀，胶水.
[重点、难点]
教学重点：完全平方公式与平方差公式的几何、符号验证.
教学难点：设计差的完全平方公式和平方差公式对应拼图，通过拼图建立和的完全平方公式与差的完全平方公式之间的联系.
[实验内容]
创设情景 提出问题
问题1一张桌面的长宽分别是a、b，面积是？将课桌如下图排列，6张课桌排列成的长方形的面积如何表示？
师生活动：生1回答6张课桌排列成的长方形的长为2a宽为3b，则面积为2a·3b；每张课桌的面积为ab，所以6张课桌排列成的长方形的面积为6ab.桌面整体与部分的等积表示得到的两个代数式，它们相等.验证了单项式乘以单项式的法则.
设计意图：让学生利用拼课桌，体会整体与部分的等积表示，并体会拼图能验证法则.
问题2窗户的长为a，宽为b，推开铝合金窗一部分，设推开的距离为c，用两种不同的表示方法描述剩下的窗户的面积.
师生活动：剩下的窗户可以看作长为a，宽为（b-c）的长方形，所以面积为a（b-c），也可以看作是原来的面积减去推开部分的面积，就是ab-ac，所以可以得到一个等式
a（b-c）=ab-ac.验证了单项式乘以多项式法则.
设计意图：让学生体会等积表示既可以部分拼接整体，也可以整体裁切部分.
问题3用等积法计算下图菜园面积，你能得到一个怎样的等式呢？这个等式又验证了什么法则呢？
师生活动：（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，这个等式验证了多项式乘多项式法则.
设计意图：让学生体会当abcd长度发生变化时，结论仍然成立，说明等式具有一般性.
引出课题 开展实验
刚才提出的三个问题都是我们所熟悉的，大长方形都是由一些小长方形拼接或裁切而成的.发现利用两种不同的方法表示同一个图形的面积时，可以验证一些法则.那今天我们就利用拼图来研究乘法公式，发现一些新的规律！但是，桌子、窗户搬起来麻烦，拼起来费劲，所以今天利用纸片拼图.
问题4【和的完全平方公式】揭下附录5中的1张A型纸片、1张B型纸片、2张C型纸片，拼成大正方形，用不同的方法表示该正方形的面积.
操作 发现与验证
师生活动：因为拼好后的大正方形边长为a+b，面积则为（a+b）2，若看成4部分面积和，则为a2+2ab+b2，所以（a+ b）2=a2+2ab+b2.
追问1：它就是我们今天要学习的乘法公式之一“完全平方公式”.“完全平方公式”左侧的（a+b）2即为（a+b）（a+b），能用整式乘法法则验证其正确性吗？
师生活动：学生讲述，使用等积变换与多项式乘多项式的运算法则都能验证“完全平方公式”的正确性，说明等积变换和法则是相通的，“完全平方公式”不就是c=a，d=b的特殊情况嘛！它们其实是同一件事的图形表征与代数表征罢了！
设计意图：让学生利用纸片探索和的完全平方公式，体会数与形的统一.
追问2：向学生出示这样几个问题：
（1）你能用这张拼图来解释a2+b2这个代数式的几何奥秘吗？
（2）还有其他求面积的方法吗？
（3）你能根据等积法写出一个等式吗？
师生活动：a2+b2表示边长分别a、b的两个正方形面积之和，并且这两个正方形面积也可以看成最大正方形面积减去两个相同的长方形面积.所以代数恒等式为：a2+b2=（a+b）2-2ab.
追问3：观察得到的等式与“完全平方公式”，它俩有什么联系呢？
师生活动：2ab移项而已，原来同一图形转换等积计算对象，会使乘法公式变形！
设计意图：几何上转换研究对象，代数上移项，让学生体会等式数与形的统一.
问题5【差的完全平方公式】
师：我们为什么要研究“完全平方公式”呢？
因为它的几何表征与代数表征是极具对称性的，（折叠重合、正方形、和的平方），你觉得我们接下来研究什么呢？
生：差的平方！
※师：对，（a-b）2，你觉得它的几何表征是一个什么样的图形呢？
生：边长是（a-b）的正方形.
师：你能利用刚刚的四张纸片拼出这样的正方形吗？
取1张A型纸片、1张B型纸片、2张C型纸片，根据要求拼成一个新的图形，用不同的方法表示该图形的面积.
操作 发现与验证
师生活动：这个拼图中红色部分正方形边长为a-b，面积则为（a-b）2，如果看成大正方形面积减去两个长a，宽为b的长方形的面积，则多减了一个边长为b的正方形，所以还要加上这个小正方形的面积，所以是a2-2ab+b2，因此
（a-b）2=a2-2ab+b2，差的完全平方公式也可以使用符号验证.
设计意图：让学生利用纸片探索差的完全平方公式，体会覆盖裁切.
问题6【和、差的完全平方公式的关系】
取4张C型纸片，动手操作拼成如图形状，自己确认想要研究的图形，利用等积法尝试写出一个等式.
操作 发现与验证
师生活动：
（1）在图中，空白正方形边长是多少？
（2）在图中，请你用两种不同的方法表示空白正方形的面积.你能从中得到怎样的等式？
（3）你还能写出其它等式吗？
生1：空白正方形边长为（a-b），面积为（a-b）2，如果空白部分看成大正方形面积减去小正方形的面积，则面积为（a+b）2-4ab，
因此（a-b）2=（a+b）2-4ab.
生2：根据求大正方形面积的两种方法，可以写出（a+b）2=（a-b）2+4ab.
生3：从求四个长方形面积和的两种方法中，我们写出等式
（a+b）2-（a-b）2=4ab.
这样我们找到了和的完全平方与差的完全平方之间的联系！
设计意图：让学生利用纸片探索和、差的完全平方公式的关系.
问题7【平方差公式】
取出下图纸片，标注边长，将它剪成两部分然后拼写一个长方形，利用等积法尝试写出一个等式.
操作 发现与验证
师生活动：
这个图形面积可看作两个长方形面积的差，即a2-b2.
生1：沿图①剪开，拼成一个长方形，这个长方形长为（a+b），宽为（a-b），所以（a+b）（a-b）=a2-b2.
生2：沿图②剪开，拼成一个长方形，这个长方形（b+a），宽为（a-b），所以（a+b）（a-b）=a2-b2.
图① 图②
这个等式就是乘法公式中的“平方差公式”，完全平方公式是和的平方、差的平方，平方差是和与差的乘积.
设计意图：让学生体会图形裁切拼接的过程中的面积不变性.
问题8【平方差公式应用】
乘法公式其特殊性不仅会对我们以后学习一元二次方程、二次函数等后续知识有很重要的影响，也会带来一些计算上的简便，比如说：
（1）如图③是由2个边长分别为100和99的正方形重叠得到的，求图中阴影部分的面积.
（2）如图④中若由100个边长为100、99、98、 2、1的正方形重叠而成的，那么，按这种方式重叠而成的阴影部分面积是多少.
图③ 图④
师生活动：使用平方差的逆运算解决问题：
1002-992=100+99
982-972=98+97
962-952=96+95
… …
22-12=2+1
所有等式相加，得阴影部分面积为5050.
设计意图：让学生体平方差公式的简便计算，体会图形迭代的魅力.
小结与思考
（1）完全平方式的统一
师：今天我们学习了什么？
生1：两个完全平方公式，分别是……
师：其实，它们可以合二为一，将-b看成整体，则（a-b）2为（a+（-b））2，你看，他们在图形表征上也可以互相转化！
师：还学习了什么？……
设计意图：让学生体会和与差的完全平方式的统一，体会数与形的统一.
（2）互动游戏
每组派一名代表pk，组员作智囊团：
设计意图：让学生在游戏中pk，提高兴趣.
（3）三项的完全平方公式、完全立方公式与立方差公式
对于（a+b+c）2，你能设计一个拼图游戏吗？什么图形？大概切分形式？四项、五项呢？
完全立方（a+b）3对应什么图形？棱长为a+b的立方体，研究体积，利用等体积法.
立方差a3-b3呢？棱长为a的立方体挖去一个棱长为b的立方体.
课堂是有限的，对知识的探索是无限的，希望大家课后继续我们没完成的数学实验，撰写实验报告，记录你的发现！
从课后实验中选题中，自选一个你感兴趣或自定新的课题，设计实验工具、器材，利用等积法尝试写出一个新的乘法公式，参考下列格式，撰写实验报告.
实验报告
实验名称 实验 自评
实验地点 实验 日期
实验目的 探究乘法公式：
实验工具
实验内容与实验工具
部分操作图示如下 …… 操作过程有哪些疑惑的地方，如何解决的： ……
实验结论
……
第2页 共6页