(共35张PPT)
数学（人教版）
七年级 下册
2022春人教版七下数学同步精品教学课件
6.1 平方根
第六章 实数
第一课时
学习目标
1.理解平方根的概念及表示方法.
2.理解并掌握平方根的性质.（难点）
3.理解开平方运算，体会数学中的互逆思想.(重点）
若一块正方形画布的面积为10平方米，那么它的边长是多少呢？
情景导入
1.填空：(1) 102= ； (2)(-10)2= ；
(3)( )2= ； (4)(- )2= ；
(5)32= ；(6)(-3)2= ；
(7)02= .
0
100
9
100
9
回顾旧知
问题1
解析：
如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
由于 ，
所以这个数是3或-3.
想一想 3和-3有什么特征？
探究新知
想一想
问题2 根据上面的研究过程填表：
如果我们把 分别叫做
的平方根，你能给出平方根的概念吗？
探究新知
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．这就是说，如果 ，那么x 叫做a的平方根．
由于x2≥0，故a≥0，所以我们在求一个数a的平方根时，a≥0是一个隐含条件.
注意
总结归纳
练一练：判断下列说法是否正确：
（1）9的平方根是－3； ( )
（2）4的平方根是±2； （ ）
（3）若x2 =16，则x=4； （ ）
（4）5是25的平方根； （ ）
（5）25的平方根是5. （ ）
×
√
×
×
√
巩固提高
探究：下列各数有平方根吗？
⑴0； ⑵ ⑶ 0.000196； ⑷-81.
因为02=0，且任何不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根只有一个，它就是0本身.
负数有平方根吗？
因为正、负、0的平方都不是负数，所以负数没有平方根.
如：-81没有平方根.
合作探究
平方根的性质
（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
（2）0只有两平方根，是0本身；
（3）负数没有平方根.
总结归纳
表示方法
正数a 的平方根记为 ，读作: 正、负根号a,
其中，a称为被开方数.
表示正数a 的正平方根；
表示正数a 的负平方根.
与 互为相反数
a为非负数
若一块正方形画布的面积为10平方米，那么它的边长是多少呢？
解决问题
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
开平方
平方
总结归纳
底数
指数
a=x2
幂（x的平方）
根号
a为x的平方
x为a的平方根
a的平方根
被开方数
对比
平方运算与开平方运算互为逆运算.
总结：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.
观察框图，说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系.
下列个数有平方根吗？如果有，写出它的平方根，如果没有，说明理由.
解：
（1）64；
（2）
（3）0；
（4） ；
（5） .
（1）有平方根，±8；
（2）有平方根，± ；
（3）有平方根，0；
（4）有平方根，± ；
（5）没有平方根，负数没有平方根.
尝试训练
求下列各数的平方根：
(1)81；(2) ；(3) 0.04.
解：(1)因为(±9)2 = 81，所以81的平方根为±9，
即± =±9.
(2)因为 ，所以 的平方根为 ，
即
(3)因为(±0.2)2 = 0. 04，所以0.04的平方根为±0.2，
即
巩固提高
平方根
开平方
定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根，也叫a的二次方根.
平方
性质：一个正数有两个平方根，它们是互为相反数； 0只有一个平方根，是0本身；负数没有平方根.
互逆
课堂小结
1、判断下列说法是否正确，并说明理由．
（1）49的平方根是7；
（2）2是4的平方根；
（3）-5是25的平方根；
（4）64的平方根是±8；
（5）-16的平方根是-4．
当堂检测
2.若一个正数m的两个平方根分别是a﹣1和4﹣2a，则m的值为 ．
3.若a+1和﹣5是实数m的平方根，则a的值是 .
4或﹣6
解析：∵a+1和﹣5是m的平方根，∴a+1＝﹣5或a+1+（﹣5）＝0，
∴a＝﹣6或4．
4
当堂检测
4.如果一个数的两个平方根时a+3,2a-15,那么这个数是多少？
解：
因为一个数正数的两个平方根互为相反数，所以（a+3）+（2a-15）=0,解得a=4，当a=4，a+3=7，2a-15=-7.即这个数是7，-7.
当堂检测
第二课时
学习目标
1.理解算术平方根的概念.
2.根据算术平方根的概念求一个数的算术平方根.(重点）
3.理解平方根与算术平方根的区别和联系.（难点）
1.什么叫平方根？
2.平方根的性质有哪些？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．这就是说，如果 ，那么x 叫做a的平方根．
（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
（2）0只有两平方根，是0本身；
（3）负数没有平方根.
回顾旧知
已知一个正数，求这个正数的平方,这是平方运算.
正方形的边长 1 2 0.5
正方形的面积
1
填表：
表1
思考：你能从表1发现什么共同点吗？
4
0. 25
探究新知
正方形的面积 1 4 0.36
49
正方形的边长
已知一个正数的平方，求这个正数.
表2
表一和表二中的两种运算有什么关系？
1
2
0.6
7
思考：你能从表2发现什么共同点吗？
探究新知
a的算术平方根
互为
逆运算
平方根号
被开方数
读作：根号a
（a≥0)
怎么用符号来表示一个数的算术平方根？
(x≥0)
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a,那么这个正数x叫做 a的算术平方根.
归纳总结
1．若一个数的算术平方根是 ，那么这个数是 ；
2． 的算术平方根是 ；
3． 的算术平方根是 ；
4．若 ，则 ．
7
16
尝试练习
1.若 的算术平方根是3，则a =________.
81
2.下列命题中，正确的个数有( )
①1的平方根是1 ；②1是1的算术平方根；
③( 1)2的平方根是 1；④0的算术平方根是它本身
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
3.已知x，y满足 ，则xy的值是( )
A.4 B.－4 C. D.
B
尝试练习
例1 分别求下列各数的算术平方根：
（1）100， （2） ， （3） .
解:（1）由于102=100，
因此 ；
（2）由于 2= ，
因此 ；
（3）由于0.72=0.49，
因此 .
不难看出：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.这个结论对所有正数都成立.
巩固提高
例2 计算：
（1） ； （2） .
解：(1)原式=7+3-1=9；
(2)原式=2+3-4=1.
巩固提高
1、这节课主要学习了算术平方根的概念和表示方法,知道了求一个正数的算术平方根与求一个正数的二次幂正好是互逆的过程，因此，求正数的算术平方根实际上可以转化为求一个数的二次幂运算. 只不过，只有正数和0才有算术平方根.
2、求一个正数的算术平方根运算和开平方求一个正数的二次幂运算互为逆运算..
课堂小结
填空：（看谁算得又对又快）
(1) 一个数的算术平方根是3，则这个数是 .
(2) 一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数
是___；和这个自然数相邻的下一个自然数是
.
(3) 的算术平方根为 .
(4) 2的算术平方根为____.
3
9
a2
a2+1
当堂检测
如果将一个长方形ABCD折叠，得到一个面积为144cm2的正方形ABFE，已知正方形ABFE的面积等于长方形CDEF面积的2倍，求长方形ABCD的长和宽．
解：
设正方形ABFE的边长为a，
有 ，所以 ，
所以 ．
又因为 ，设 ，
所以 ， ．
所以 (cm)．
所以长方形的长为18cm，宽为12cm．
应用拓展
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
6.1 平方根
一、单选题
1．0.64的平方根是（ ）
A．0.8 B．±0.8 C．0.08 D．±0.08
【答案】B
【解析】
解：∵（±0.8）2=0.64 ，
∴0.64的平方根是±0.8，
故选：B．
2．的值是（ ）
A．﹣3 B．3或﹣3 C．3 D．9
【答案】C
【解析】
解：的值是3．
故选：C．
【点睛】
本题考查了算术平方根和平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
3．可以表示（ ）
A．0.2的平方根 B．的算术平方根
C．0.2的负的平方根 D．的立方根
【答案】C
【解析】
解：可以表示0.2的负的平方根，
故选：C．
【点睛】
此题考查了算术平方根和平方根．解题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义，要注意：平方根和算术平方根的区别：一个正数的平方根有两个，互为相反数．
4．4的平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．没有平方根
【答案】C
【解析】
解：4的平方根，
即：，
故选：C．
【点睛】
题目主要考查平方根的定义和性质，熟练掌握其性质及求法是解题关键．
5．下列式子表示算术平方根的是 （ ）．
① ② ③
④ ⑤ ⑥
A．①②④ B．①④⑥ C．①⑤⑥ D．①②⑥
【答案】D
【解析】
解：∵算术平方根的专用记号是“”根号前没有“－”或“±”号，
∴①，式子表示算术平方根，符合题意；
②，式子表示算术平方根，符合题意；
③，式子表示的不是算术平方根，不符合题意；
④ ，故原式计算错误，选项错误，不符合题意；
⑤ ，式子表示的是平方根，不符合题意；
⑥，式子表示算术平方根，符合题意．
故选：D．
【点睛】
此题考查了算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根．算术平方根的专用记号是“”根号前没有“－”或“±”号．
二、填空题
6．若（x﹣2017）2+|2018+y|+＝0，则（x+y）m＝___．
【答案】
【解析】
∵（x﹣2017）2+|2018+y|+＝0，
∴，，，
∴，，，
∴原式；
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了绝对值、二次根式、偶次方的非负性和代数式求值，准确计算是解题的关键．
7．若实数a、b、c满足+(b﹣c+1)2＝0，则2b﹣2c+a＝________．
【答案】1
【解析】
解：+(b﹣c+1)2＝0，
，，
故，，
．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要是考查了绝对值以及平方数的非负性、整体代入法求解代数式的值，熟练利用非负性，求出对应字母的值，利用整体代入法，求解代数式的值，这是解决本题的关键．
8．若一个正数的两个平方根分别为 a+3与3a+1，则a=__________．
【答案】-1
【解析】
解：∵一个正数的两个平方根分别为a+3和3a+1，
∴a+3+3a+1=0，
解得：a=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了平方根的定义．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
9．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的_________．a的算术平方根记为_________，读作“根号a”，_________叫做被开方数．
规定：0的算术平方根是0
【答案】 算术平方根 a
【解析】
略
被开方数每扩大100倍，其算术平方根就扩大_________倍．
【答案】10
【解析】
略
三、解答题
11．如图将边长为2cm的小正方形与边长为xcm的大正方形放在一起．
（1）用xcm表示图中空白部分的面积；
（2）当x＝5cm时空白部分面积为多少？
（3）如果大正方形的面积恰好比小正方形的面积大165cm2，那么大正方形的边长应该是多少？
【答案】
解：（1）空白部分面积为；
（2）当x＝5时，空白部分面积为．
（3）根据题意得，，
解得x＝13或-13（舍去），
所以，大正方形的边长为13cm
【解析】
（1）空白部分面积=小正方形的面积+大正方形的面积-阴影部分两个三角形的面积，据此可得代数式；
（2）将x=5代入计算可得；
（3）根据题意列出方程求解即可．
12．比较下列各组数的大小：
（1）与；（2）与8；（3）与0.5；（4）与1．
【答案】
解：（1），
；
（2），，
，
；
（3）∵，
∴，
∴，
，
，
．
（4）∵，
∴，
∴，
，
，
．
【解析】
（1）根据即可进行比较；
（2）根据以及65＞64即可进行比较；
（3）先求出，不等式两边都减去1，再在不等式两边都除以2即可；
（4）先求出，不等式两边都减去1，再在不等式两边都除以2即可．
13．已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a＋2和3a－6．
(1)求a的值；
(2)求这个数m．
【答案】
（1）根据平方根的定义列方程解出即可；
（2）将的值代入和中，平方后可得的值．
(1)
解：数的两个不相等的平方根为和，
，
，
解得；
(2)
解：∵a=1，
，，
，
的值是9．
【解析】
本题主要考查了平方根的定义和性质，以及根据平方根求被开方数；解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
14．已知．
（1）求x与y的值；
（2）求x+y的算术平方根．
【答案】
（1）由题可得：，
解得：，
∴，；
（2），
∵4的算术平方根为2，
∴的算术平方根为2．
【解析】
（1）根据绝对值和平方根的非负性求出x与y的值；
（2）先计算的值，即可得出的算术平方根．
15．已知的一个平方根是3，的一个平方根是，求的平方根．
【答案】
解：∵2a 1的平方根为±3，3a＋b 1的平方根为±4，
∴2a 1＝9，3a＋b 1＝16，
解得：a＝5，b＝2，
∴a＋2b＝5＋4＝9，
∴a＋2b的平方根为±3．
【解析】
先根据题意得出2a 1＝9，3a＋b 1＝16，然后解出a＝5，b＝2，从而得出a＋2b＝5＋4＝9，所以a＋2b的平方根为±3．此题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
6.1 平方根
一、单选题
1．0.64的平方根是（ ）
A．0.8 B．±0.8 C．0.08 D．±0.08
2．的值是（ ）
A．﹣3 B．3或﹣3 C．3 D．9
3．可以表示（ ）
A．0.2的平方根 B．的算术平方根
C．0.2的负的平方根 D．的立方根
4．4的平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．没有平方根
5．下列式子表示算术平方根的是 （ ）．
① ② ③
④ ⑤ ⑥
A．①②④ B．①④⑥ C．①⑤⑥ D．①②⑥
二、填空题
6．若（x﹣2017）2+|2018+y|+＝0，则（x+y）m＝___．
7．若实数a、b、c满足+(b﹣c+1)2＝0，则2b﹣2c+a＝________．
8．若一个正数的两个平方根分别为 a+3与3a+1，则a=__________．
9．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的_________．a的算术平方根记为_________，读作“根号a”，_________叫做被开方数．
规定：0的算术平方根是0
被开方数每扩大100倍，其算术平方根就扩大_________倍．
【答案】10
三、解答题
11．如图将边长为2cm的小正方形与边长为xcm的大正方形放在一起．
（1）用xcm表示图中空白部分的面积；
（2）当x＝5cm时空白部分面积为多少？
（3）如果大正方形的面积恰好比小正方形的面积大165cm2，那么大正方形的边长应该是多少？
12．比较下列各组数的大小：
（1）与；（2）与8；（3）与0.5；（4）与1．
13．已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a＋2和3a－6．
(1)求a的值；
(2)求这个数m．
14．已知．
（1）求x与y的值；
（2）求x+y的算术平方根．
15．已知的一个平方根是3，的一个平方根是，求的平方根．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
