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数学（人教版）
七年级 下册
2022春人教版七下数学同步精品教学课件
6.3 实数
第六章 实数
学习目标
1、理解无理数和实数的概念。
2、对实数进行分类，判断一个数是有理数还是无理数。
3、理解实数和数轴上的点一一对应。
按整数和分数的关系分类：
按正数、负数、和零的关系分类：
回顾旧知
是有理数吗？
探究新知
使用计算器，把下列数化成小数的形式：
探究新知
无限不循环小数叫做无理数；
无理数
无限不循环的小数叫做无理数。
结合本章所学知识，举例：
无理数的分类：
结合无理数概念，举例：
.333133343…，3.3456789…,…
1.圆周率π及一些含π的数是无理数。
2.含根号的数不一定是无理数。（例： 等）
【注意】
总结归纳
1.判断下列说法是否正确；
（1）无限小数都是无理数.（ ）
（2）无理数都是无限小数.（ ）
（3）带根号的数都是无理数.（ ）
对
错
错
巩固提高
有理数集合
无理数集合
2.把下列各数分别填在相应的集合中；
巩固提高
有理数和无理数统称为实数。
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
总结归纳
每个有理数都可以用数轴上的点表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？如果可以你能在数轴上找到表示 这样的无理数的点吗？
是有理数吗？
是无理数
合作探究
数轴上的点可以表示有理数，那它可以表示无理数吗，你能在数轴上画出表示的点吗？
0
1
2
3
4
当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
合作探究
负实数
正实数
数实
正有理数
负有理数
0
正无理数
负无理数
性格开朗的大孩子
性格内向的小孩子
0
正实数
负实数
课堂小结
1．在实数中，无理数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】
解：在实数中，无理数有,这2个，
故选：B．
当堂检测
2．下列说法不正确的是( )
A．如果数轴上的点表示的数不是有理数，那么就一定是无理数
B．大小介于两个有理数之间的无理数有无数个
C．－1的立方是－1，立方根也是－1
D．两个实数，较大者的平方也较大
【详解】
∵数轴上的点和实数一一对应，故选项A正确；
无理数是无限不循环小数，故选项B正确；
-1的立方是-1，立方根也是-1，故选项C正确；
实数包括正数和负数，故选项D错误．故选D．
当堂检测
3．如图，数轴上A，B，C，D四点中，与-对应的点距离最近的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】B
【详解】
解：∵＜＜，即1＜＜2，
∴﹣2＜＜﹣1，
∴由数轴知，与对应的点距离最近的是点B，
故选：B．
当堂检测
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6.3 实数
一、单选题
1． 在实数， ，，，中，无理数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【解析】
解：是分数是有理数；、π、是无理数；＝3是整数，是有理数．
故无理数有：、π、共3个．
故选C．
如图，在数轴上的点 A、点 B 之间表示整数的点有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【答案】C
【解析】
解：∵1＜2＜4，
∴1＜＜2，
∴-2＜-＜-1；
∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴点A和点B之间表示整数的点有-1，0，1，2共4个．
故选：C．
下列各数中，为无理数的是（ ）
A． B． C．0 D．-2
【答案】B
【解析】
、0、-2是有理数；是无理数
故选：B．
【点睛】
本题考查了实数的知识；解题的关键是熟练掌握无理数的定义，从而完成求解．
下列各数为无理数的是（ ）
A． B． C．－1.232332333 D．
【答案】B
【解析】
∵π是无理数，且无理数除以2结果还是无理数，
∴是无理数，
故选：B．
【点睛】
本题考查无理数的概念，能够熟练掌握无理数概念是解决本题的关键．
下列实数中，不是无理数的是（ ）
A． B．
C． D．（每相邻两个1之间0的个数依次增加1）
【答案】C
【解析】
解：是无理数，故本选项不合题意；
．是无理数，故本选项不合题意；
是分数，属于有理数，故本选项符合题意；
（每相邻两个1之间0的个数依次增加是无理数，故本选项不合题意；
故选：C．
二、填空题
6． 在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数---“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数为“好数”，如426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除，问百位数字比十位数字大5的所有“好数”有__________个．
【答案】7
【解析】
611，617，721，723，729，831，941共7个，
理由：设十位数数字为a，则百位数字为a+5（0＜a≤4的整数），
∴百位数字和十位数字的和为a+a+5=2a+5，
当a=1时，2a+5=7，
∵7能被1，7整除，
∴满足条件的三位数有611，617；
当a=2时，2a+5=9，
∵9能被1，3，9整除，
∴满足条件的三位数有721，723，729；
当a=3时，2a+5=11，
∵11能被1整除，
∴满足条件的三位数有831；
当a=4时，2a+5=13，
∵13能被1整除，
∴满足条件的三位数有941；
∴满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．
故答案为7．
7. 请写一个小于零的无理数______（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
解：小于零的无理数可以为：等．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】
本题主要考查了估算无理数的大小，解题的关键是正确把握无理数的定义．
8.计算： = ______．
【答案】##
【解析】
解：
故答案为：
9. 写出一个小于0的无理数 _____．
【答案】-π（答案不唯一）
【解析】
解：∵π＞0，
∴-π＜0，
故答案为：-π（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了无理数的定义和实数的大小比较，能熟记无理数的定义的内容是解此题的关键．
10. 的算术平方根是_____，的立方根是_____，的倒数是_____．
【答案】 9 ##
【解析】
解：=81的算术平方根是9，=的立方根是，的倒数是，
故答案为：-9，，．
【点睛】
本题考查了算术平方根，立方根，平方根，倒数等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
三、解答题
11． 计算：
【答案】-30
【解析】
略
12．（2021·广东南海·八年级阶段练习）观察如图，每个小正方形的边长均为1．
(1)图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？
(2)估计（1）中正方形边长的值在哪两个整数之间；
(3)在数轴上作出此边长的对应点．
【答案】(1)阴影正方形的面积是10，边长是；
(2)在3与4之间；
(3)见解析
【解析】
【解析】
（1）由图形可以得到阴影正方形的面积等于原来大正方形的面积减去周围四个直角三角形的面积，由正方形的面积等于边长乘以边长，可以得到阴影正方形的边长；
（2）根据，可以估算出边长的值在哪两个整数之间；
（3）因为，所以在数轴上以原点向右数出3个单位（为点作为直角三角形的一条直角边，过点作数轴的垂线并截取为1个单位长度，连接，求得，最后以点为圆心，以为半径画弧，交数轴的正半轴于点即为所求．
(1)
解：由图可知，图中阴影正方形的面积是：，
则阴影正方形的边长为：，
即图中阴影正方形的面积是10，边长是；
(2)
，
，
即边长的值在3与4之间；
(3)
如图，
．
已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的算术平方根．
【答案】
【解析】
【解析】
直接利用平方根以及立方根和估算无理数的大小得出a，b，c的值进而得出答案．
【答案】
解：∵2a-1的平方根是±3，
∴2a-1=9，
解得：a=5，
∵3a+b-9的立方根是2，
∴15+b-9=8，
解得：b=2，
∵4＜＜5，c是的整数部分，
∴c=4，
∴a+2b+c=5+4+4=13，
∴a+2b+c的算术平方根为
若两个有理数A、B满足A+B=8，则称A、B互为“吉祥数”．如5和3就是一对“吉祥数”． 回答下列问题：
(1)求-5和2x的“吉祥数”；
(2)若3x的“吉祥数”是-4，求x的值；
(3)4|x|和9能否互为“吉祥数”？若能，请求出；若不能，请说明理由．
【答案】(1)13, 8-2x
(2)x=4
(3)不能，理由见解析
【解析】
【解析】
（1）根据由“吉祥数”的定义求解即可；
（2）由题意知，计算求解即可；
（3）由，做判断即可．
(1)
解：由“吉祥数”的定义可知
的“吉祥数”为；
的“吉祥数”为．
(2)
解：由题意知
解得
∴x的值为4．
(3)
解：若4|x|和9互为“吉祥数”，则有
∵
∴
∴4|x|和9不能互为“吉祥数”．
【点睛】
本题考查了新定义下的实数运算，解一元一次方程，绝对值的非负性等知识．解题的关键在于对新定义的理解．
如图，已知实数表示在数轴上对应的位置为点P．现对点P进行如下操作：先把点P沿数轴以每秒1个单位的速度向左移动t秒，再把所得到的点沿数轴以每秒2个单位的速度向右移动a秒，得到点．我们把这样的操作称为点P的“回移”，点为点P的“回移点”
(1)当时，
①若，求点P的回移点表示的实数；
②若回移点与点P恰好重合，求a的值；
(2)是否存在这样的情况：原点0，点P及其回移点中，一个点是以另外两点的端点的线段的三等分点 若存在，请用含a的代数式表示t；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)存在，或或或或
【解析】
【解析】
（1）①根据题意求得两次平移后点表示的数即可；②根据题意点表示的数为，表示的数为，根据重合，列出一元一次方程，解方程求解即可；
（2）根据题意分三种情形讨论，并根据对应情形中一个点是以另外两点的端点的线段的三等分点列出一元一次方程，解方程求解即可．
(1)
解：①，则点表示的数为，
当时，以每秒1个单位的速度向左移动，此时点表示的数为
再把所得到的点沿数轴以每秒2个单位的速度向右移动4秒，则点表示的数为
点表示的实数为；
②根据题意，点表示的数为，表示的数为
，与点重合
解得
(2)
存在，或或或或
点表示的数为，
则表示的数为
①当是点的三等分点时，在点左侧，
则或
解或
②当是的三等分点时，在点右侧，
则或
解得（舍）或
②当是的三等分点时，在点右侧，
或
解得或
综上所述，或或或或
【点睛】
本题考查了实数与数轴，动点问题，列代数式，一元一次方程的应用，分类讨论，数形结合是解题的关键．
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6.3 实数
一、单选题
1． 在实数， ，，，中，无理数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
如图，在数轴上的点 A、点 B 之间表示整数的点有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
下列各数中，为无理数的是（ ）
A． B． C．0 D．-2
下列各数为无理数的是（ ）
A． B． C．－1.232332333 D．
下列实数中，不是无理数的是（ ）
A． B．
C． D．（每相邻两个1之间0的个数依次增加1）
二、填空题
6． 在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数---“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数为“好数”，如426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除，问百位数字比十位数字大5的所有“好数”有__________个．
7.请写一个小于零的无理数______（写出一个即可）．
8.计算： = ______．
9. 写出一个小于0的无理数 _____．
10. 的算术平方根是_____，的立方根是_____，的倒数是_____．
三、解答题
11． 计算：
12．（2021·广东南海·八年级阶段练习）观察如图，每个小正方形的边长均为1．
(1)图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？
(2)估计（1）中正方形边长的值在哪两个整数之间；
(3)在数轴上作出此边长的对应点．
．
已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的算术平方根．
若两个有理数A、B满足A+B=8，则称A、B互为“吉祥数”．如5和3就是一对“吉祥数”． 回答下列问题：
(1)求-5和2x的“吉祥数”；
(2)若3x的“吉祥数”是-4，求x的值；
(3)4|x|和9能否互为“吉祥数”？若能，请求出；若不能，请说明理由．
如图，已知实数表示在数轴上对应的位置为点P．现对点P进行如下操作：先把点P沿数轴以每秒1个单位的速度向左移动t秒，再把所得到的点沿数轴以每秒2个单位的速度向右移动a秒，得到点．我们把这样的操作称为点P的“回移”，点为点P的“回移点”
(1)当时，
①若，求点P的回移点表示的实数；
②若回移点与点P恰好重合，求a的值；
(2)是否存在这样的情况：原点0，点P及其回移点中，一个点是以另外两点的端点的线段的三等分点 若存在，请用含a的代数式表示t；若不存在，请说明理由．
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