2021-2022学年湖南省永州市冷水滩区九年级（上）期末数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年湖南省永州市冷水滩区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
已知点在双曲线上，则下列哪个点也在该双曲线上
A. B. C. D.
若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
A. B. 且 C. D. 且
某射击队要从四名运动员中选拔一名运动员参加比赛，选拔赛中每名队员的平均成绩与方差如下表所示，如果要选择一个成绩高且发挥稳定的人参赛，则应该选
选手 甲 乙 丙 丁
平均数
方差
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
在反比例函数的图象中，阴影部分的面积不等于的是
A. B.
C. D.
将方程配方后所得的方程正确的是
A. B. C. D.
下列的正方形网格中，小正方形的边长均为，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是
A.
B.
C.
D.
某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由元降为元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为，下面所列的方程中正确的是
A. B.
C. D.
把米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为
A. B. C. D.
如图，中，，，，则的值是
A.
B.
C.
D.
如图，在正方形中，是的中点，是上一点，，则下列结论正确的有
；；；∽．
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
若是方程的一个根，则代数式的值等于______．
如果两个相似三角形的周长分别是、，小三角形的面积是，那么大三角形的面积是______．
一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛海里的处，沿正西方向航行小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为______ 海里小时．
如图，在菱形中，是边上的点，交于点，若，则的值是______．
如图，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点，若，则的值为______．
正方形网格中，如图放置，则的值为______．
如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为：，，，若，则点的坐标为______．
下面是马虎同学在一次测验中解答的填空题：若，则；方程的解为；若，令，则或经计算整式与的积为，则一元二次方程的所有根是，则其中答案完全正确的题目为______将正确结论的序号填写在横线上
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）
计算：．
解下列方程：
；
．
今年是中国共产党建党周年，为了更好地对于中学生开展党史学习教育活动，甲、乙两校进行了相关知识测试．在两校各随机抽取名学生的测试成绩百分制，并对数据成绩进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
甲校名学生成绩的频数分布表和频数分布直方图；
表甲校学生样本成绩频数分布
成绩分 频数人 频率
合计
甲校成绩在的这一组的具体成绩是：
甲、乙两校成绩的统计数据如表所示：
学校 平均分 中位数 众数
甲
乙
根据以如图表提供的信息，解答下列问题：
表中______；表中______；并补全图甲校学生样本成绩频数分布直方图；
在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是______校的学生填“甲”或“乙”，理由______；
若甲校共有人，成绩不低于分为“优秀”，则甲校成绩“优秀”的人数约为多少人？
城南大桥是永州市第一座大型斜拉桥，横跨湘江连通冷水滩区与经开区，主桥结构为矮塔斜拉桥，主桥长米．图是从图引申出的平面图．假设你站在桥上测得拉索与水平桥面的夹角是，拉索与水平桥面的夹角是，两拉索顶端的距离为米，两拉索底端距离为米，请求出立柱的长．结果精确到米，．
某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商店可自行定价，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价元，则可卖出件．如果商店计划要获利元，则每件商品的售价应定为多少元？需要卖出这种商品多少件？
如图，在四边形中，，，点，分别在，上，且．
求证：∽；
若，，，求的长．
已知如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点．
求，的值；
求的面积；
直接写出时的取值范围．
已知点、分别是四边形边、上的点，且与相交于点．
如图，若，，，且，求证：；
如图，若，，且时，求证：；
如图，若，，设，当时，试判断是否为定值，并证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：点在双曲线上，
，
只需把各点横纵坐标相乘，结果为的点在函数图象上．
A、因为，所以该点不在双曲线上．故A选项错误；
B、因为，所以该点不在双曲线上．故B选项错误；
C、因为，所以该点在双曲线上．故C选项正确；
D、因为，所以该点不在双曲线上．故D选项错误．
故选：．
只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是的，就在此函数图象上．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
2.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即，
解得且．
故选：．
根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于的不等式组，求出的取值范围即可．
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键．
3.【答案】
【解析】解：观察图形可知甲、丙方差相等，都小于乙、丁，
只要比较甲、丙就可得出正确结果，
甲的平均数小于丙的平均数，
丙的成绩高且发挥稳定；
故选C．
看图识图，先计算平均数、方差，选择平均数大，方差小的人参赛即可．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4.【答案】
【解析】解：、图形面积为；
B、阴影是梯形，面积为；
C、面积均为两个三角形面积之和，为．
故选：．
根据反比例函数中的几何意义，过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为解答即可．
主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即．
5.【答案】
【解析】
【分析】
首先把二次项系数化为，然后进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】
解：移项得，，
，
则，
即．
故选D．
6.【答案】
【解析】解：根据勾股定理，，，
所以，夹直角的两边的比为，
观各选项，只有选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．
故选：．
可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．
此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：设每次降价的百分率为，由题意得：
，
故选：．
设每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
8.【答案】
【解析】解：较短的线段长；
故选：．
根据黄金分割的定义列式进行计算即可得解．
本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：在，中，，，，
由勾股定理，得
．
，
故选：．
根据勾股定理，可得的长，根据余弦等于邻边比斜边，可得答案．
本题考查了锐角三角函数，利用勾股定理求出斜边，再利用余弦等于邻边比斜边．
10.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及正方形的性质．熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
首先根据正方形的性质与同角的余角相等证得：∽，则可证得正确，错误，利用三边对应成比例的三角形相似即可证得∽，即可求得答案．
【解答】
解：四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
∽，
，
，
．
，
，
故正确，错误，
，
，
，故错误；
设，则，，，
，，，
，．
，
，
∽，故正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：把代入方程，可得：，
即．
故答案为：．
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将代入原方程即可求的值．
本题考查了一元二次方程的解的定义及求代数式的值，此题利用了整体代入的思想．
12.【答案】
【解析】解：两个相似三角形的周长分别是、，
其相似比，
小三角形的面积是，
，解得．
故答案为：．
先根据相似三角形的周长得出其相似比，再根据相似三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
13.【答案】
【解析】解：如图所示：
设该船行驶的速度为海里时，
小时后到达小岛的北偏西的处，
由题意得：海里，海里，
在直角三角形中，，
，
，，
在直角三角形中，，
，
，
解得：．
即该船行驶的速度为海里时；
故答案为：．
设该船行驶的速度为海里时，由已知可得，，，，海里，在直角三角形中求出、，再在直角三角形中求出，得出，解方程即可．
本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键．
14.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，
∽，
，
，，
，
故答案为：．
根据菱形的性质得出，，求出，根据相似三角形的判定得出∽，根据相似得出比例式，代入求出即可．
本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
15.【答案】
【解析】
【分析】
可设点，由根据勾股定理得到的值，进一步得到点坐标，再根据待定系数法可求的值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是仔细审题，能够求得点的坐标，难度不大．
【解答】
解：设点，
，
，
解得，不合题意舍去，
点，
，
解得．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：如图，为边上的格点，连接，设小正方形边长为，
根据勾股定理，，
，
，
所以，，
所以，是直角三角形，
．
故答案为：．
找出边上的格点，连接，利用勾股定理求出、、的长度，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后根据余弦计算即可得解．
本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，勾股定理逆定理，找出格点并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：，，，等腰与等腰是位似图形，点的坐标为，
，则，
，
等腰与等腰是位似图形，为位似中心，相似比为：，
点的坐标为：．
故答案为：．
首先利用等腰直角三角形的性质得出点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形和以原点为位似中心，相似比是，上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出即可．
此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：故错；
即
解得或故错；
解得或；
但因为，因此故错；
解得，故对；
故本题答案为．
本题可对方程进行一一计算看是否是所给的答案，若是，则答案正确，若不是则答案错误，由此可解本题．
本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
19.【答案】解：原式
．
【解析】直接利用有理数的乘方运算法则以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了有理数的乘方运算以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．
20.【答案】解：，
，
，即，
，
，；
，
，
或，
，．
【解析】根据所给方程的特点，用配方法解答．
根据所给方程的系数特点，方程左边可以进行因式分解，故用因式分解法解答．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
21.【答案】 乙 乙校的中位数甲校的中位数
【解析】解：由题意可得：
，
，
，
故答案为：，；
补全图甲校学生样本成绩频数分布直方图，如图所示：
由表可知：
在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是乙校学生，
理由：乙校的中位数甲校的中位数，
故答案为：乙；
人，
校成绩“优秀”的人数约为人．
根据表中的数据，可以求得、的值，进而由中位数的定义可得的值，可补全图甲校学生样本成绩频数分布直方图；
根据表中的数据，可以得到该名学生是哪个学校的，并说明理由；
根据表中的数据，可以计算出甲校绩“优秀”的人数约为多少人．
本题考查了频数分布直方图，频数分布表，用样本估计总体，中位数等知识，明确题意，数形结合是解决问题的关键．
22.【答案】解：设的长为米，
在中，，
米，
米，
在中，，
米，
，
，
解得：，
米，
米，
答：立柱的长约为米．
【解析】设的长为米，根据正切的定义用表示出，再根据正切的定义用表示出，根据题意列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23.【答案】解：根据每件售价元，物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的，
所以：，
由题意得，
解得 ，不合题意，舍去，
．
答：每件商品的售价应定为元，需要卖出这种商品件．
【解析】根据关键语句“物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的”可得；根据等量关系：售价进价售出件数利润可得方程，解方程即可得到答案．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系：每一件的利润销售量总利润，再列出方程即可．
24.【答案】解：，
，
，
，
，
，
∽；
∽，
，
，，，
．
【解析】根据相似三角形的判定即可求出答案．
根据∽，利用相似三角形的性质即可求出的长度．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
25.【答案】解：把点、点坐标分别代入反比例函数得，
解得：，
故、的值分别为，；
由得：点、的坐标分别为、，
一次函数解析式是，当时，，，，
；
，，
根据图象可知：反比例函数值大于一次函数值时，或．
【解析】把点、点坐标分别代入反比例函数表达式，即可求解；
，即可求解；
观察函数图象即可求解．
本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，这里体现了数形结合的思想．
26.【答案】证明：如图，，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
证明：如图，，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
．
解：为定值，
证明：如图，作于点，交的延长线于点，连接，设，
，
四边形是矩形，
，，，
，，，
≌，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
解得，不符合题意，舍去，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
为定值．
【解析】先证明四边形是矩形，则，再将变形为比例的形式，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明∽，得，再进一步导出；
先证明∽，得，变形为，再证明∽，得，所以有，则；
为定值，作于点，交的延长线于点，连接，设，先证明四边形是矩形，再证明≌，得，可推出，证明∽，推得，在中根据勾股定理列方程求出的值，即得到的长，再证明∽，即可求出的值，从而证明为定值．
此题重点考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识与方法，通过作辅助线构造相似三角形是解第题的关键，此题难度较大，属于考试压轴题．
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