6.1分类加法与分步乘法计数原理 分类练习(Word含答案）

分类加法与分步乘法计数原理
◆分类加法
1．（2021·全国·高二单元测试）某班有28名男生，20名女生，从中选一名同学作为数学课代表，则不同的选法有（ ）种．
A．28 B．20
C．48 D．560
2．（2022·全国·高二）甲 乙 丙 丁四名交通志愿者申请在国庆期间到三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表：
交通路口 A B C
志愿者 甲 乙 丙 丁 甲 乙 丙 丙 丁
这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法数有（ ）
A．14种 B．11种 C．8种 D．5种
◆分步乘法
1．（2021·全国·高二课时练习）将2封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（ ）
A． B．3 C． D．
2．（2022·全国·高三专题）有六名同学报名参加三个智力项目，每项必报且限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．
◆组数问题
1．（2021·广东东莞·高二期中）由0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位偶数共有（ ）个.
A．20 B．32 C．40 D．52
2．（2021·全国·高二单元测试）设A＝（1，2，3，，10），若方程x2﹣bx﹣c＝0，满足b、c属于A，且方程至少有一根a属于A，称方程为漂亮方程，则“漂亮方程”的总个数为（ ）
A．8个 B．10个 C．12个 D．14个
◆选取与分配问题
1．（2021·全国·高二课时练习）某学校高二年级的3个班级将要去甲、乙、丙、丁4个工厂参观学习，要求每个班只能去1个工厂参观学习，且甲工厂必须有班级参观学习，则不同的参观方案有（ ）
A．16种 B．种 C．37种 D．48种
◆涂色（种植）问题
1．（2022·湖南师大附中高二期末）如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
2．（2021·广西·南宁三中高二阶段练习（理））某学校要对如图所示的5个区域进行绿化（种花），现有4种不同颜色的花供选择，要求相邻区域不能种同一种颜色的花，则共有（ ）种不同的种花方法．
A．24 B．36 C．48 D．72
巩固提升
1．我国中医药选出的“三药三方”对治疗某疾病有显著效果．若某医生“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的方法种数为（ ）
A．15 B．30 C．6 D．9
2．年月日，很多人的微信圈都在转发这样一条微信：“，所遇皆为对，所做皆称心””．形如“”的数字叫“回文数”，即从左到右读和从右到左读都一样的正整数，则位的回文数共有（ ）
A． B． C． D．
3．某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有（ ）
A．28种 B．30种
C．27种 D．29种
4．菊花是开封市花，1983年开封市人大把菊花命名为开封市“市花”，并且举办“菊花花会”，每年10月18日至11月18日为“菊花花会”的会期.如图是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
5．算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字，梁下五珠，上拨一珠记作数字（如图2中算盘表示整数）．如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ）
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
7．（多选题）有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是（ ）
A．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
B．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
C．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种
D．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种
8．已知集合，、，则对于方程的说法正确的是（ ）
A．可表示个不同的圆 B．可表示个不同的椭圆
C．可表示个不同的双曲线 D．表示焦点位于轴上的椭圆的有个
三、填空题
9．一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一个门出，共有不同走法________种．
10．如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点).
11．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表：
数字形式
纵式
横式
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图所示.如果把根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为______.
四、解答题
12．某校“数学俱乐部”有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人.
(1)从中选出1人担任总干事，有多少种不同的选法？
(2)从每一个年级各选1人担任本年级的组长，有多少种不同的选法？
13．用0,1，…，9这十个数字可以组成多少个
（1）三位整数？
（2）无重复数字的三位整数？
（3）小于500的无重复数字的三位整数？
14．用种不同的颜色给如图所示的，，，四个区域涂色，要求相邻区域不能用同一种颜色.

（1）当时，图①、图②各有多少种不同的涂色方案？
（2）若图③有180种不同的涂色方案，求的值.
◆分类加法
1．C
选一名数学课代表有2类不同的方案．
第1类：从该班的男生中选1名同学，有28种不同的选法．
第2类：从该班的女生中选1名同学，有20种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，选1名同学有28＋20＝48种不同的选法．
故选：C.
2．B
解：由题意得：
以C路口为分类标准：C路口执勤分得人口数情况有种，两个人或一个人
C路口执勤分得人口数为个，丙、丁在C路口，那么甲、乙只能在路口执勤；
C路口执勤分得人口数为个，丙或丁在C路口，具体情况如下：
丙在C路口：
A（丁）B（甲乙）C（丙）；
A（甲丁）B（乙）C（丙）；
A（乙丁）B（甲）C（丙）；
丁在C路口：
A（甲乙）B（丙）C（丁）；
A（丙）B（甲乙）C（丁）；
A（甲丙）B（乙）C（丁）；
A（乙）B（甲丙）C（丁）；
A（乙丙）B（甲）C（丁）；
A（甲）B（乙丙）C（丁）；.
所以一共有2+3+6=11种选法.
故选：B.
◆分步乘法
1．C
第一封信的投法有3种，第二封信的投法有3种，
∴根据分步计数原理可知一共有（种）投法.
故选：C.
2．120
每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．
故答案为：120．
◆组数问题
1．D
按偶数字在个位分类：
个位是2或者4时，0不能在百位，十位在余下4个数字中选择，所以有2×4×4=32，
个位是0时，百位、十位没有限制在余下5个数字中选择2个，所以有5×4=20，
共有32+20=52．
故选：D．
2．C
解：用十字相乘法，先把c分解因数，依据方程根与系数的关系，这两个因数的差就是b；
c＝2 时，有2×1＝2，b＝2﹣1＝1，则漂亮方程为x2﹣x﹣2＝0；
c＝3时，有3×1＝3，b＝3﹣1＝2，则漂亮方程为x2﹣2x﹣3＝0；
c＝4时，有4×1＝4，b＝4﹣1＝3，则漂亮方程为x2﹣3x﹣4＝0，
c＝5时，有5×1＝5，b＝5﹣1＝4，则漂亮方程为x2﹣4x﹣5＝0；
c＝6时，有6×1＝6，b＝6﹣1＝5，则漂亮方程为x2﹣5x﹣6＝0，
同时，有2×3＝6，b＝3﹣1＝2，则漂亮方程为x2﹣x﹣6＝0；
c＝7时，有7×1＝7，b＝7﹣1＝6，则漂亮方程为x2﹣6x﹣7＝0，
c＝8时，有8×1＝8，b＝8﹣1＝7，则漂亮方程为x2﹣7x﹣8＝0，
同时，有2×4＝8，b＝4﹣2＝2，则漂亮方程为x2﹣2x﹣8＝0；
c＝9时，有9×1＝9，b＝9﹣1＝8，则漂亮方程为x2﹣8x﹣9＝0；
c＝10时，有10×1＝10，b＝10﹣1＝9，则漂亮方程为x2﹣10x﹣9＝0，
同时，有2×5＝10，b＝5﹣2＝3，则漂亮方程为x2﹣3x﹣10＝0；
综合可得，共12个漂亮方程，
故选：C.
◆选取与分配问题
1．C
每个班级都可以从这4个工厂中选1个参观学习，各有4种选择，根据分步乘法计数原理，共有种参观方案，
若甲工厂没有班级参观学习，此时每个班级都可以从其余3个工厂中选1个参观学习，各有3种选择，共有种参观方案，
所以，甲工厂必须有班级参观学习，不同的参观方案有种.
故选：C
◆涂色（种植）问题
1．B
按涂色顺序进行分四步：涂A部分时，有4种涂法；涂B部分时，有3种涂法；涂C部分时，有2种涂法；涂D部分时，有2种涂法.
由分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有种.
故选：B.
2．D
解：①区域2，4同色时，有4×3×2×2＝48种；
②区域2，4不同色时，有4×3×2×1×1＝24种，
由①②可得：一共有72种着色方法．
故选：D．
巩固提升
1．D
根据提议，1药的取法有3种，1方的取法也有3种，则恰好选出1药1方的方法种数为．
故选：D.
2．C
根据“回文数”的对称性，只需计算前位数的排法种数即可，
首位数不能放零，首位数共有种选择，第二位、第三位、第四位数均有种选择，
因此，位的回文数共有个.
故选：C.
3．A
解：有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，则有人既会踢足球又会打篮球，有3人只会打篮球，有4人只会踢足球，
所以选派的方案有四类：
选派两种球都会的运动员有2种方案；
选派两种球都会的运动员中一名踢足球，只会打篮球的运动员打篮球，有（种）方案；
选派两种球都会的运动员中一名打篮球，只会踢足球的运动员踢足球，有（种）方案；
选派只会打篮球和踢足球的运动员分别打篮球和踢足球，有（种）方案.
综上可知，共有（种）方案，
故选：A.
4．D
先布置中心区域共有种方法，从开始沿逆时针方向进行布置四周的区域，则有种布置方法，有种布置方法.
如果与选用同一种菊花，则有种布置方法；如果与选用不同种类菊花，则有种布置方法，有种布置方法.按照分步乘法与分类加法计数原理，
则全部的布置方法有（种），
故选：.
5．C
由题意，拨动三枚算珠，有种拨法：
①个位拨动三枚，有种结果：、；
②十位拨动一枚，个位拨动两枚，有种结果：、、、；
③十位拨动两枚，个位拨动一枚，有种结果：、、、；
④十位拨动三枚，有种结果：、．
综上，拨动题图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为．
故选：C.
6．ABD
解：A. 从中任选1个球，有15种不同的选法，所以该选项正确；
B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法，所以该选项正确；
C. 若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误；
D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法，所以该选项正确.
故选：ABD
7．AC
对于A选项， 第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法，后面的2个同学也有3种报法，根据分步计数原理共有种结果，A正确，B错误；对于C选项，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择，第2个社团有3种选择，第3个社团有2种选择，根据分步计数原理共有种结果，C正确，D错误.
故选：AC.
8．ABD
对于A选项，若方程表示圆，则符合条件的有：、、，
A选项正确；
对于B选项，若方程表示椭圆，则符合条件的有：、、、、、，B选项正确；
对于C选项，若方程表示双曲线，则符合条件的有：、、、、、，C选项错误；
对于D选项，若方程表示焦点位于轴上的椭圆，
则符合条件的有：、、，故D选项正确.
故选：ABD.
9．16
由分步乘法计数原理得共有4×4＝16(种)走法．
故答案为：16
10．5
解：分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；
第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O 2种不同的走法；
第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O 2种不同的走法.
由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法.
故答案为：5
11．
按每一位算筹的根数分类一共有种情况，分别为、、、、、、、、、、、、、、，
根或根以上的算筹可以表示两个数字，运用分步乘法计数原理，得上面情况能表示的三位数字个数分别为：、、、、、、、、、、、、、、，
根据分类加法计数原理，得根算筹能表示的三位数字个数为：
.
故答案为：.
12．(1)25；
(2)560.
（1）从所有人中选出1人担任总干事，根据分类加法计数原理即可得出结果；
（2）从每一个年级各选1人担任本年级的组长，根据分步乘法计数原理即可得出结果.
(1)
解：由题可知，该“数学俱乐部”有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人，
从中选出1人担任总干事，则共有10+8+7=25种选法.
(2)
解：每一个年级各选1人担任本年级的组长，
则共有种.
13．（1）900个；（2）648个；（3）288个.
解：由于0不可在最高位，因此应对它进行单独考虑．
（1）百位的数字有9种选择，十位和个位的数字都各有10种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有9×10×10＝900(个)．
（2）由于数字不可重复，可知百位的数字有9种选择，十位的数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有9×9×8＝648(个)．
（3）百位只有4种选择，十位可有9种选择，个位数字有8种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有4×9×8＝288(个)．
14．（1）600，480；（2）5
（1）题图①：第一步，涂A，有6种不同的涂法；
第二步，涂，与A的颜色不相同，有5种不同的涂法；
第三步，涂，与A，的颜色都不相同，有4种不同的涂法；
第四步，涂，只需与的颜色不相同，有5种不同的涂法.
所以共有种不同的涂色方案.
题图②：第一步，涂A，有6种不同的涂法；
第二步，涂，与A的颜色不相同，有5种不同的涂法；
第三步，涂，与A，的颜色都不相同，有4种不同的涂法；
第四步，涂，与，的颜色都不相同，有4种不同的涂法
所以共有种不同的涂色方案.
（2）前三步与题图①的涂法类似，分别有，，种不同的涂法，
第四步，涂，与，A的颜色都不相同，有种不同的涂法，
所以共有种不同的涂色方案，
所以，，所以.