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北师大版 八年级下
4.2.2提公因式法（2）
情境引入
正确找多项式各项公因式的方法是：
(1)定系数：公因式的系数是多项式各项中系数的最大公约数．
(2)定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母．
(3)定指数：相同字母的指数取相同字母的指数中最低次数．
1.分别写出下列多项式的公因式：
（1）ax+ay：________；
（2）3x3y4+12x2y：__________；
（3）25a3b2+15a2b-5a3b3：__________.
a
3x2y
5a2b
提炼概念
令n=a+3
公因式:n
公因式(a+3)
想一想：
(1)还能运用提公因式法分解因式吗？
(2)提公因式时，公因式可以是多项式吗？
1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
典例精讲
例2：把下列各式因式分解
(1)a(x-3)+2b(x-3)
(2)y(x+1)+y2(x+1)2
解：原式=(x-3)(a+2b)
解：原式=y(x+1)[1+y(x+1)]
公因式:y(x+1)
=y(x+1)(1+xy+y)
公因式: (x-3)
有中括号,要化简
步骤：一看系数 二看字母 三看指数
关键：确定公因式
最大公约数
相同字母或多项式
提公因式法
第一步，找出公因式；
第二步，提取公因式,(即将多项式化为几个因式的乘积)
最低次幂
例3：把下列各式分解因式
（1）a(x-y)+b(y-x)
（2）6(m-n)3-12(n-m)2
解：a(x-y)+b(y-x)
=a(x-y) -b(x-y)
= (x-y)(a-b)
解：6(m-n)3-12(n-m)2
=6(m-n)3 -12[-(m-n)]2
= 6(m-n)3-12(m-n)2
=6(m-n)2(m-n-2)
做一做：请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立.
(1) 2-a= (a-2)
(2) y-x= (x-y)
(3) b+a= (a+b)
－
(6)-m-n= (m+n)
(5) –s2+t2= (s2-t2)
(4) (b-a)2= (a-b)2
－
＋
＋
－
－
添括号法则：
(1)添上括号和“＋”号，括到括号里的各项都不变.
(2)添上括号和“－”号，括到括号里的各项都改变符号.
两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法:
(1)当相同字母前的符号相同时,
则两个多项式相等.
如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a
(2)当相同字母前的符号均相反时,
则两个多项式互为相反数.
如: a-b 和 b-a 即 a-b = -(a-b)
归纳概念
(1)a-b 与 -a+b 互为相反数
(a-b)n = (b-a)n (n是偶数）
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇数）
(2) a+b与b+a 为相同数
(a+b)n = (b+a)n (n是整数）
a+b 与 -a-b 互为相反数
(-a-b)n = (a+b)n (n是偶数）
(-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数）
a-b 与 -b+a 为相同数
(a-b)n = (-b+a)n (n是整数）
互为相反数的两个数的偶次幂相同。
课堂练习
C
2 . 因式分解2x(－x＋y)2－(x－y)3时应提取的公因式是( )
A．－x＋y B．x－y
C．(x－y)2 D．以上都不对
C
3.判断下列各式是否正确
(1) (y-x) 2 = -(x-y) 2 （ ）
(3+2x) 3 = -(2x+3) 3 （ ）
(3) a-2b = -(-2b+a) （ ）
(4) -a+b = -(a+b) （ ）
(5) (a-b)(x-2y) = (b-a)(2y-x) （ ）
X
√
X
X
X
(1)a(m－2)＋b(2－m)；
(2)2(y－x)2＋3(x－y)；
(3)mn(m－n)－m(n－m)2
解：原式＝a(m－2)－b(m－2)＝(m－2)(a－b)．
解：原式＝2(x－y)2＋3(x－y)
＝(x－y)[2(x－y)＋ 3]
＝(x－y)(2x－2y＋3)．
4.把下列各式因式分解
解：原式＝ mn(m－n)－m(m－n)2
＝ m(m－n)[n－(m－n)]＝m(m－n)(n－m＋n)
＝m(m－n)(2n－m)
6.因式分解：(x-y)2+y(y-x).
解法1：(x-y)2+y(y-x)
=（x-y)2-y(x-y)
=(x-y)(x-y-y)
=(x-y)(x-2y).
解法2：(x-y)2+y(y-x)
=（y-x)2+y(y-x)
=(y-x)(y-x+y)
=(y-x)(2y-x).
5.因式分解：p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 ).
解：p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )=(a2+b2)(p-q).
因式
分解
公因式为多项式
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
分两步：（整体思想）
第一步找公因式；第二步提公因式
注意
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号
课堂总结
作业布置
教材课后配套作业题。
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4.2.2提公因式法（2）学案
课题 4.2.2提公因式法（2） 单元 第4单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1.准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解。2.能运用整体思想进行因式分解。
重点 探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式各项的公因式；
难点 掌握用提公因式法把多项式分解因式。
教学过程
导入新课 【引入思考】 1.分别写出下列多项式的公因式：（1）ax+ay：________；（2）3x3y4+12x2y：__________；（3）25a3b2+15a2b-5a3b3：__________.想一想：(1)还能运用提公因式法分解因式吗？(2)提公因式时，公因式可以是多项式吗？
新知讲解 提炼概念添括号法则：(1)添上括号和“＋”号，括到括号里的各项都不变.(2)添上括号和“－”号，括到括号里的各项都改变符号.两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法:(1)当相同字母前的符号相同时, 则两个多项式相等. 如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a (2)当相同字母前的符号均相反时, 则两个多项式互为相反数. 如: a-b 和 b-a 即 a-b = -(a-b) 典例精讲 .co例2、把下列各式因式分解：（1）a（x-3）+2b（x-3）世（2）y(x+1)+y2(x+1)2．例3、把下列各式因式分解：（1）a(x-y)+b(y-x) (2)6(m-n)3-12(n-m)2 请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”，使等式成立：（1）2 - a =_________( a - 2 )； （2）y - x =_________ ( x - y )；（3）b + a =_________ ( a + b )； （4）( b - a )2 =_________ ( a - b )2 ；（5）- m - n =_________ ( m + n )； （6）- s2 + t2 =_________ ( s2 - t2 ) ．
课堂练习 巩固训练 1．下列各式成立的是( )A．－x－y＝－(x－y) B.y－x＝x－yC．(x－y)2＝(y－x)2 D.(x－y)3＝(y－x)32 . 因式分解2x(－x＋y)2－(x－y)3时应提取的公因式是( )A．－x＋y B．x－yC．(x－y)2 D．以上都不对3.判断下列各式是否正确 (1) (y-x) 2 = -(x-y) 2 （ ）(3+2x) 3 = -(2x+3) 3 （ ）(3) a-2b = -(-2b+a) （ ）(4) -a+b = -(a+b) （ ）(5) (a-b)(x-2y) = (b-a)(2y-x) （ ）4.把下列各式因式分解(1)a(m－2)＋b(2－m)；(2)2(y－x)2＋3(x－y)； (3)mn(m－n)－m(n－m)2 5.因式分解：p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 ). 6.因式分解：(x-y)2+y(y-x).
答案引入思考a,3x2y,5a2b归纳：1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.提炼概念典例精讲 世例2、把下列各式因式分解：（1）a（x-3）+2b（x-3）分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x-3）与2b（x-3），每项中都含有（x-3），因此可以把（x-3）作为公因式提出来．21·cn·jy·com解：a(x-3)+2b(x-3) =(x-3)(a+2b) （2）y(x+1)+y2(x+1)2．分析：多项式可看成y(x+1)与+y2(x+1)两项， 相同的部分是y(x+1)， 则公因式为y(x+1) www.21-cn-jy.com解：y(x+1)+y2(x+1)2 =y(x+1)[1+y(x+1)]=y(x+1)(xy+y+1 ) 例3、把下列各式因式分解：（1）a(x-y)+b(y-x) 分析：多项式可看成a(x-y)与+b( ( http: / / www.21cnjy.com )y-x)两项，其中x-y与y-x互为相反数， 可将+b(y-x)变为-b(x-y)， 则a(x-y)与-b(x-y)的公因式为(x-y)2·1·c·n·j·y解：a(x-y)+b(y-x) =a(x-y)-b(x-y) =(x-y)(a-b) (2)6(m-n)3-12(n-m)2 分析：其中(m-n)与(n- ( http: / / www.21cnjy.com )m)互为相反数，可将-12(n-m)2变为-12(m-n)2， 则6(m-n)3与-12(m-n)2公因式为6(m-n)2【来源：21·世纪·教育·网】解：6(m-n)3-12(n-m)2 =6(m-n)3-12(m-n)2 =6(m-n)2(m-n-2) 注意：①指数为奇数时，交换位置，要添加“-”②指数为偶数时，只要交换位置即可。 M请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”，使等式成立：（1）2 - a =_________( a - 2 )； （2）y - x =_________ ( x - y )；（3）b + a =_________ ( a + b )； （4）( b - a )2 =_________ ( a - b )2 ；（5）- m - n =_________ ( m + n )； （6）- s2 + t2 =_________ ( s2 - t2 ) ．巩固训练1.C2.C3.×，×，×，×，√4.解：原式＝a(m－2)－b(m－2)＝(m－2)(a－b)．解：原式＝2(x－y)2＋3(x－y) ＝(x－y)[2(x－y)＋ 3] ＝(x－y)(2x－2y＋3)．解：原式＝ mn(m－n)－m(m－n)2 ＝ m(m－n)[n－(m－n)]＝m(m－n)(n－m＋n) ＝m(m－n)(2n－m)5.解：p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )=(a2+b2)(p-q).6.解法1：(x-y)2+y(y-x) =（x-y)2-y(x-y) =(x-y)(x-y-y) =(x-y)(x-2y).解法2：(x-y)2+y(y-x) =（y-x)2+y(y-x) =(y-x)(y-x+y) =(y-x)(2y-x).
课堂小结
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4.2.2提公因式法（2） 教案
课题 4.2.2提公因式法（2） 单元 第4单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 1.准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解。2.能运用整体思想进行因式分解。
重点 探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式各项的公因式；
难点 掌握用提公因式法把多项式分解因式。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题1.分别写出下列多项式的公因式：（1）ax+ay：________；（2）3x3y4+12x2y：__________；（3）25a3b2+15a2b-5a3b3：__________.a,3x2y,5a2b想一想：(1)还能运用提公因式法分解因式吗？(2)提公因式时，公因式可以是多项式吗？归纳：1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. 思考自议准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解。 探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式各项的公因式；
讲授新课 提炼概念添括号法则：(1)添上括号和“＋”号，括到括号里的各项都不变.(2)添上括号和“－”号，括到括号里的各项都改变符号.两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法:(1)当相同字母前的符号相同时, 则两个多项式相等. 如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a (2)当相同字母前的符号均相反时, 则两个多项式互为相反数. 如: a-b 和 b-a 即 a-b = -(a-b) 三、典例精讲1.co例2、把下列各式因式分解：（1）a（x-3）+2b（x-3）分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x-3）与2b（x-3），每项中都含有（x-3），因此可以把（x-3）作为公因式提出来．21·cn·jy·com解：a(x-3)+2b(x-3) =(x-3)(a+2b) （2）y(x+1)+y2(x+1)2．分析：多项式可看成y(x+1)与+y2(x+1)两项， 相同的部分是y(x+1)， 则公因式为y(x+1) www.21-cn-jy.com解：y(x+1)+y2(x+1)2 =y(x+1)[1+y(x+1)]=y(x+1)(xy+y+1 ) 例3、把下列各式因式分解：（1）a(x-y)+b(y-x) 分析：多项式可看成a(x-y)与+b( ( http: / / www.21cnjy.com )y-x)两项，其中x-y与y-x互为相反数， 可将+b(y-x)变为-b(x-y)， 则a(x-y)与-b(x-y)的公因式为(x-y)2·1·c·n·j·y解：a(x-y)+b(y-x) =a(x-y)-b(x-y) =(x-y)(a-b) (2)6(m-n)3-12(n-m)2 分析：其中(m-n)与(n- ( http: / / www.21cnjy.com )m)互为相反数，可将-12(n-m)2变为-12(m-n)2， 则6(m-n)3与-12(m-n)2公因式为6(m-n)2【来源：21·世纪·教育·网】解：6(m-n)3-12(n-m)2 =6(m-n)3-12(m-n)2 =6(m-n)2(m-n-2) 注意：①指数为奇数时，交换位置，要添加“-”②指数为偶数时，只要交换位置即可。 M请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”，使等式成立：（1）2 - a =_________( a - 2 )； （2）y - x =_________ ( x - y )；（3）b + a =_________ ( a + b )； （4）( b - a )2 =_________ ( a - b )2 ；（5）- m - n =_________ ( m + n )； （6）- s2 + t2 =_________ ( s2 - t2 ) ． 能运用整体思想进行因式分解。 掌握用提公因式法把多项式分解因式。
课堂检测 四、巩固训练 1．下列各式成立的是( )A．－x－y＝－(x－y) B.y－x＝x－yC．(x－y)2＝(y－x)2 D.(x－y)3＝(y－x)3C2 . 因式分解2x(－x＋y)2－(x－y)3时应提取的公因式是( )A．－x＋y B．x－yC．(x－y)2 D．以上都不对C3.判断下列各式是否正确 (1) (y-x) 2 = -(x-y) 2 （ ）(3+2x) 3 = -(2x+3) 3 （ ）(3) a-2b = -(-2b+a) （ ）(4) -a+b = -(a+b) （ ）(5) (a-b)(x-2y) = (b-a)(2y-x) （ ）×，×，×，×，√4.把下列各式因式分解(1)a(m－2)＋b(2－m)；(2)2(y－x)2＋3(x－y)； (3)mn(m－n)－m(n－m)2 解：原式＝a(m－2)－b(m－2)＝(m－2)(a－b)．解：原式＝2(x－y)2＋3(x－y) ＝(x－y)[2(x－y)＋ 3] ＝(x－y)(2x－2y＋3)．解：原式＝ mn(m－n)－m(m－n)2 ＝ m(m－n)[n－(m－n)]＝m(m－n)(n－m＋n) ＝m(m－n)(2n－m)5.因式分解：p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 ). 解：p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )=(a2+b2)(p-q).6.因式分解：(x-y)2+y(y-x).解法1：(x-y)2+y(y-x) =（x-y)2-y(x-y) =(x-y)(x-y-y) =(x-y)(x-2y).解法2：(x-y)2+y(y-x) =（y-x)2+y(y-x) =(y-x)(y-x+y) =(y-x)(2y-x).
课堂小结
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