第7-8章 随机变量与统计分析 单元测试卷——2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册（word版含答案）

第7-8章 随机变量与统计分析（2019人教A 选择性必修3）
考试时间：120分钟 满分：150分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
一、单选题(共8题；共40分)
1．已知 ，并且 ，则方差 （　　）
A． B． C． D．
2．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 的值为（　　）
A． B． C．5 D．3
3．已知 是离散型随机变量，则下列结论错误的是(　　)
A． B．
C． D．
4．已知随机变量 ，若 ，则 ， 分别是(　　)
A．4和2.4 B．2和2.4 C．6和2.4 D．4和5.6
5．若 ，则（　　）
A． B．
C． D．
6．下表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值是（　　）
X 3 4 5 9
P
A． B． C． D．
7．某机构通过抽样调查，利用列联表和统计量研究患肺病是否与吸烟有关，计算得，经查对临界值表知，，现给出四个结论，其中正确的是（　　）
A．因为，故有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关"
B．因为，故有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”
C．因为，故有90%的把握认为“患肺病与吸烟无关”
D．因为，故有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”
8．已知某品牌客车的使用年限（年）与维护费用（千元）之间有如下数据：
使用年限（年） 2 3 4 5 6
维护费用（千元） 2 2.5 4.5 5 6.5
若与之间具有线性相关关系，且关于的线性回归方程为，据此估计，使用年限为8年时，维护费用约为（　　）
A．7.55千元 B．8.7千元 C．9.7千元 D．10.25千元
二、多选题(共8题；共40分，有选不全的得2分，有错选的不得分)
9．目前有望战胜新冠病毒的有效策略之一就是疫苗的接种预防．装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数（简称：膨胀系数）．某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数 服从正态分布 ，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数 服从正态分布 ，则下列选项正确的是（　　）
附：若随机变量 ，则 ．
A．甲生产线硼硅玻璃膨胀系数范围在 的概率约为0.6827
B．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中
C．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃膨胀系数不能超过5．则乙生产线生产的硼硅玻璃符合标准的概率更大
D．乙生产线所产的砌硅玻璃膨胀系数小于4.5的概率与大于4.8的概率相等
10．为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则（　　）
A．甲乙丙三人选择课程方案有 种方法
B．恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为
C．已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为
D．设三名同学选择课程“礼”的人数为 ，则
11．为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竞哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据：）（　　）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
12．对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据，
，下列说法中正确的是（　　）
A．数据的平均数为1
B．将数据中的每个数都加上同一个常数，所得新数据方差恒不变
C．若数据的线性回归方程是，则实数
D．变量，的线性相关系数越大，两个变量，的线性相关性越强
三、填空题(共4题；共20分)
13．设随机变量 服从标准正态分布 ，在某项测量中，已知 ，则 在 内取值的概率为　 　．
14．已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=　 　
15．已知一组鞋码与身高的数据（ 表示鞋码， 表示身高），其中 .
40 41 42 43 44
172 175 183
若用此数据计算得到回归直线 ，则由此估计当鞋码为40时身高约为　 　 .
16．观测两相关变量得如下数据：
x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
y 1 2 3 4 5 6 7
则两变量 间的回归直线必过点　 　.
四、解答题(共6题；第17题10分，其余每题12分，共70分)
17．现有甲 乙等6名来自三所大学的大学生(每所大学各2人)志愿者，为响应当地政府生活垃圾分类管理政策的推行，他们被随机分配到3个社区担任“垃圾分类指导员”工作，每个社区分配两名大学生.
（1）求甲 乙两人被分配到同一社区的概率；
（2）设有 个社区的两名“垃圾分类指导员”来自同一所大学，求 的分布列与数学期望.
18．如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．
（注：方差 ，其中 为x1，x2，…xn的平均数）
（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．
19．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：
（1）第1次抽到理科题的概率；
（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；
（3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
20．在某市举办的“中华文化艺术节”知识大赛中，大赛分预赛与复赛两个环节．预赛有4000人参赛．先从预赛学生中随机抽取100人成绩得到如下频率分布直方图：
（1）若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人，求至少1人成绩不低于80分的概率；
（2）由频率分布直方图可以认为该市全体参加预赛的学生成绩Z服从正态分布 ，其中 可以近似为100名学生的预赛平均成绩， ，试估计全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数；
（3）预赛成绩不低于91分的学生可以参加复赛．复赛规则如下：①每人复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行选择答题数量 ，每答一题需要扣掉一定分数来获取答题资格，规定回答第 题时扣掉 分；③每答对一题加2分，答错既不加分也不扣分；④答完n题后参赛学生的最后分数即为复赛分数．已知学生甲答对每题的概率为0.75，且各题答对与否相互独立，若甲期望得到最佳复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？
（参考数据 ，若 ，则 ， ， ）．
21．某超市记录了某农副产品5个月内的月平均销售价格，得到的统计数据如下表：
月份x 1 2 3 4 5
月平均销售价格（单位：元/千克） 12 10.5 10 8.5 9
参考公式：.
（1）若月平均销售价格y与月份x之间的回归直线方程为，求的值；
（2）请根据（1）预测6月份该农副产品的月平均销售价格；
（3）求该农副产品5个月内的月平均销售价格这组数据的方差.
22．“五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康 解决群众急难愁盼问题的重要举措．为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业．因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如下表：
男生 女生 总计
90分钟以上 80 x 180
90分钟以下 y z 220
总计 160 240 400
附：．
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
（1）求x，y，z的值，并根据题中的列联表，判断是否有95％的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关？
（2）学校从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取9人了解情况，甲老师再从这9人中选取3人进行访谈，求甲老师选取的3人中男生人数大于女生人数的概率．
第7-8章 随机变量与统计分析（2019人教A 选择性必修3）
答案解析部分
一、选择题： AADA ACAB
1．【答案】A
【解析】由题可知： ，
所以 ，
2．【答案】A
【解析】由正态曲线的对称性知 ， ．
3．【答案】D
【解析】在A中， ，A不符合题意；
在B中，由数学期望的性质得 ，B不符合题意；
在C中，由方差的性质得 ，C不符合题意；
在D中， ，D错误，符合题意．故答案为：D.
4．【答案】A
【解析】
5．【答案】A
【解析】因为 ，所以正态分布曲线的对称轴为 ，
有 ， 为一实数，
若 ，则 ，
由 ，可得 .A符合题意，B不符合题意.
若 ，不妨设 ，
当 时， ，
当 时，有
，
，
两式相加得， .C、D不符合题意. 故答案为：A.
6．【答案】C
【解析】 ，解得 . 故答案为：C
7．【答案】A
【解析】因为，且，由临界值表知，，，
所以有90%的把握认为“患肺病与吸烟有关”，则A符合题意，C不正确；.
因临界值3.841>3.305，则不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”，
也不能确定有95%的把握认为“患肺病与吸烟无关”，即B，D都不正确. 故答案为：A
8．【答案】B
【解析】由题意得：，，
由于回归直线过样本的中心点，即，解得，
∴回归直线方程为，
当时，（千元）. 故答案为：B.
根据题意由已知条件结合图表中的数据，利用样本中心点的坐标公式代入计算出结果，再把数字代入计算出a的取值，从而即可得出线性回归方程，然后把结果代入计算出结果即可。
9．【答案】A,C
【解析】解：由甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数 服从正态分布 知 ，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数 服从正态分布 ，
对于A选项，所以 ，即甲生产线硼硅玻璃膨胀系数范围在 的概率约为0.6827，A选项正确；
对于B选项，由于 ，故乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中，B选项错误；
对于C选项，对于甲生产线， ，
，显然 ，所以乙生产线生产的硼硅玻璃符合标准的概率更大，C选项正确；
对于D选项， ， ，D选项错误. 故答案为：AC
利用正态分布曲线的意义以及对称性,对四个选项逐一分析判断即可.
10．【答案】B,C,D
【解析】甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程，则选择方法有 种，A不符合题意；恰有三门课程没有被三名同学选中，表示三位同学每个人选择了不重复的一门课程，所以概率为 ，B符合题意；已知甲不选择课程“御”的概率为 ，甲乙丙都不选择“御”的概率为 ，所以条件概率为 ，C符合题意；三名同学选择课程“礼”的人数为 ，则 服从二项分布 ，则 ，D符合题意. 故答案为：BCD.
利用已知条件结合分步乘法计数原理，从而求出甲乙丙三人选择课程方案种数；利用已知条件结合古典概型求概率公式，从而求出恰有三门课程没有被三名同学选中的概率；利用已知条件结合条件概率公式，从而求出已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率；利用二项分布求出随机变量的期望，进而选出正确的选项。
11．【答案】C,D
【解析】设混合检测分式，样本需要检测的总次数可能取值为，
，，
故的分布列为：
1 11
，
设逐份检测方式，样本需要检测的总次数，则，
要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需要，
即，即，即，
又，，，
。 故答案为：CD
设混合检测分式，再利用已知条件，得出样本需要检测的总次数可能取值，再利用二项分布求概率公式，进而求出随机变量Y的分布列，再结合二项分布的分布列结合数学期望的公式，进而求出随机变量Y的数学期望的值，，设逐份检测方式，样本需要检测的总次数，再利用已知条件结合数学期望公式得出的值，要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需要，即，即，再利用，所以，进而结合交集的运算法则，从而求出p的取值范围，进而找出满足要求的p的值。
12．【答案】A,B,C
【解析】解：因为，，
所以，，
所以对于A选项，的平均数为，故正确；
对于B选项，数据中的每个数都加上同一个常数，方差不变，故正确；
对与C选项，若数据的线性回归方程是，则，故正确；
对于D选项，当变量，的线性负相关时，相关系数越大，两个变量，的线性相关性越弱，故错误；故选：ABC
结合期望的线性公式，即可判断A的正误；结合方差的线性公式，即可判断B的正误；结合线性回归方程的性质，即可判断C的正误；结合线性相关系数的定义，即可判断D的正误.
13．【答案】0.975
【解析】由于 ，
所以 ． 故答案为：0.975
根据正态分布的对称性， ，即可求解.
14．【答案】
【解析】随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，
可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为：．
直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可。
15．【答案】173.5
【解析】解：由题意得 ，将 代入回归直线可得 ，
故当鞋码为40时身高约为 .故答案为：173.5
根据线性回归直线方程的性质求解即可.
16．【答案】
【解析】由 ，
，
则两变量 间的回归直线必过点 .故答案为：
根据已知条件，求出x, y的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解.
17．【答案】（1）解：设事件 为：甲 乙两人被分配到同一社区，将6人分为3组，共有 种，其中甲乙分到同一组的情况有3种，所以
（2）解：由题知， 的可能取值为 ，
， ，∴ ，所以 的分布列为：
0 1 3
所以期望
【解析】(1)利用排列组合知识，结合分组分配问题，由古典概型概率公式求解即可.
（2）根据题意将离散型随机变量分布列写出，并计算期望值。
18．【答案】（1）解：当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为 =
方差为s2= [ + + + ]=
（2）解：记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：
（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），
（A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），
（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），
用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为P（C）= =
【解析】（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，由此能求出乙组同学植树棵树的平均数和方差；（2）先求出从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果，再求出选出的两名同学的植树总棵数为19的结果数，由此可得概率．
19．【答案】解：一个基本事件是从5道题中不放回地抽取2道，它包含的基本事件数是A52=5×4=20．（1）设第一次抽到理科题为事件A，则它包含的基本事件的个数为A31A41=12，于是P（A）==．
（2）设第1次和第2次都抽到理科题为事件B，则它包含的基本事件数为A31A21=6，于是P（B）==．
（3）因为5道题中有3道理科题和2道文科题，所以第一次抽到理科题的前提下，第2次抽到理科题的概率为P==．
【解析】（1）确定从5道题中不放回地抽取2道包含的基本事件数，第1次抽到理科题的基本事件数，即可求出概率；
（2）确定第1次和第2次都抽到理科题的基本事件，即可求出概率；
（3）由已知中5道题中如果不放回地依次抽取2道题．在第一次抽到理科题的条件下，剩余4道题中，有2道理科题，代入古典概型公式，得到概率．
20．【答案】（1）解：样本成绩不低于60分的学生有 人
其中成绩不低于80分的有 人
则至少有1人成绩不低于80分的概率
（2）解：由题意知样本中100名学生成绩平均分为 ，所以 ， ，所以
所以 ，则
故全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数为 人
（3）解：以随机变量 表示甲答对的题数，则 ，且 ，
记甲答完 题所加的分数为随机变量 ，则 ，
，
依题意为了获取答 题的资格，甲需要扣掉的分数为：
，
设甲答完 题的分数为 ，
则 ，
由于 ， 当 时， 取最大值 ，即复赛成绩的最大值为 ．
若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量 应该是7．
【解析】（1）利用频率分布直方图结合每小组的矩形的面积等于每小组的频率，从而结合平墅等于频率乘以样本容量，进而求出样本成绩不低于60分的学生人数，，进而求出成绩不低于80分的学生人数，再利用古典概型求概率公式结合对立事件求概率公式，进而结合组合数公式求出至少有1人成绩不低于80分的概率。
（2）利用已知条件结合平均数公式求出样本中100名学生成绩平均分，再利用方差公式求出样本中100名学生成绩的方差，再利用正态分布的期望和方差结合正态分布图象的对称性，进而估计出全市参加预赛学生中成绩不低于91分的概率，再利用频率与概率的近似关系，再结合频数等于频率乘以样本容量，从而估计出全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数。
（3) 以随机变量 表示甲答对的题数， 再结合已知条件判断出随机变量满足二项分布，再利用二项分布的数学期望推出 ， 记甲答完 题所加的分数为随机变量 ，则 ， 再结合期望的性质， ，依题意，为了获取答 题的资格，甲需要扣掉的分数为：
，设甲答完 题的分数为 ，则 ，再利用二次函数求最值的方法，进而求出当 时， 取最大值 ，即复赛成绩的最大值为 分 。
21．【答案】（1）解：依题意，有，可得；
（2）解：由（1）得，当时，，故预测6月份该农副产品的月平均销售价格为7.6元/千克；
（3）解：这组数据的方差为:
.
【解析】(1)根据题意把数值代入方程，由此计算出b的取值。
(2)由已知条件把书值代入方程，由此即可得出答案。
(3)根据题意把数值入到方差公式，计算出结果即可。
22．【答案】（1）解：由可得：；由可得：；
由可得：；所以列联表如下：
男生 女生 合计
90分钟以上 80 100 180
90分钟以下 80 140 220
合计 160 240 400
，
所以根据表格数据可判断，没有95％的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关．
（2）解：抽取的9人中，需要抽取男生：人，女生：人，
男生人数大于女生人数的情况分为：①男生2人，女生1人；②男生3人，女生0人；
所以所求概率
【解析】(1)由已知条件的图表中的数据结合观测值的公式计算出结果，再与标准值进行比较即可得出结果。
(2)根据题意即可得出男生和女生的人数，再由概率公式计算出结果即可。