7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 同步训练-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（word版含答案）

7.2.1复数的加、减运算及其几何意义（同步训练）
1.若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(　　)
A．－2　 B．4　
C．3　 D．－4
2.设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的(　　)
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3.若复数z＝(a－1)＋3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y＝x＋2上，则a的值等于(　　)
A．1 B．2
C．5 D．6
4.在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为(　　)
A．　 B．5　
C．2　 D．10
5.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是(　　)
A．2＋4i B．－2＋4i
C．－4＋2i D．4－2i
6.平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i，3＋4i，3－5i，则点D对应的复数是(　　)
A．2－3i　 B．4＋8i C．4－8i　 D．1＋4i
7.(2021年河南模拟)(多选)已知i为虚数单位，下列说法中正确的是(　　)
A．若复数z满足|z－i|＝，则复数z对应的点在以(1，0)为圆心，为半径的圆上
B．若复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝15＋8i
C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D．复数z1对应的向量为，复数z2对应的向量为，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则⊥
8.设复数z满足|z－3－4i|＝1，则|z|的最大值是(　　)
A．3　 B．4　
C．5　 D．6
9.已知复数z1＝cosθ＋i，z2＝sinθ－i，则|z1－z2|的最大值为(　　)
A．　 B．　
C．6　　　　 D．
10.已知复数z1＝2＋ai，z2＝a＋i(a∈R)，且复数z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是________
11.若a，b，c∈R，复数z1＝1＋3i，z2＝－2＋ai，且z1＋z2＝b＋8i，z2－z1＝－3＋ci，则a＝________，b＝________，c＝________
12.(2021年长春月考)若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝________
13.已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|为________
14.设z1＝1＋i，z2＝－2＋2i，复数z1和z2在复平面内对应点分别为A，B，O为坐标原点，则△AOB的面积为________
15.已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值是________
16.计算：
(1)(2＋i)－[(6＋5i)－(4＋3i)]＋(－1＋i)；
(2)(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 016＋2 017i)＋(2 017－2 018i)．
17.已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点．
(1)求对应的复数；(2)求对应的复数；(3)求△APB的面积．
18.已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积．
19.(2021年南昌月考)在复平面内，A，B，C三点所对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i，其中i为虚数单位．
(1)求，，对应的复数；(2)判断△ABC的形状；(3)求△ABC的面积．
参考答案：
1.B　
解析：z＝1－(3－4i)＝－2＋4i.故选B．
2.A　
解析：z是纯虚数 x＝1.故选A．
3.B　
解析：复数z＝(a－1)＋3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y＝x＋2上，可得3＝a－1＋2，解得a＝2.
4.B　
解析：依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5.
5.D　
解析：依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即对应的复数为4－2i.故选D．
6.C　
解析：对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i.设点D对应的复数为z，则对应的复数为(3－5i)－z.由平行四边形知＝，∴－1＋3i＝(3－5i)－z.∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故选C．
7.CD　
解析：满足|z－i|＝的复数z对应的点在以(0，1)为圆心，为半径的圆上，A错误；在B中，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝.由z＋|z|＝2＋8i，得a＋bi＋＝2＋8i，∴解得∴z＝－15＋8i，B错误；由复数的模的定义知C正确；由|z1＋z2|＝|z1－z2|的几何意义知，以，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确．故选CD．
8.D　
解析：因为|z－3－4i|＝1，所以复数z所对应点在以C(3，4)为圆心，半径为1的圆上．
由几何性质得|z|的最大值是＋1＝6.
9.D　
解析：|z1－z2|＝|(cos θ－sin θ)＋2i|＝＝＝≤，故|z1－z2|的最大值为.
10.答案：(2，＋∞)　
解析：因为复数z1－z2＝2＋ai－a－i＝(2－a)＋(a－1)i在复平面内对应的点位于第二象限，所以
解得a＞2.
11.答案：5　－1　2　
解析：z1＋z2＝(1－2)＋(3＋a)i＝－1＋(3＋a)i＝b＋8i，z2－z1＝(－2－1)＋(a－3)i＝－3＋(a－3)i＝－3＋ci，
所以解得
12.答案：－4i　
解析：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则所以所以z＝－4i.
13.答案：2　
解析：由复数加法、减法的几何意义知，以复平面上对应z1，z2的向量为邻边的平行四边形为正方形，
所以|z1－z2|＝2.
14.答案：2　
解析：∵z1对应向量＝(1，1)，z2对应向量＝(－2，2)，·＝－2＋2＝0，∴OA⊥OB，又||＝，||＝2，∴△AOB的面积S＝××2＝2.
15.答案：4　
解析：∵复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，∴|x＋yi－4i|＝|x＋yi＋2|，
∴|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，∴＝，化为x＋2y＝3.
则2x＋4y≥2＝2＝4，当且仅当x＝，y＝时取等号．因此2x＋4y的最小值是4.
16.解：(1)原式＝(2＋i)－[(6－4)＋(5－3)i]＋(－1＋i)＝(2＋i)－(2＋2i)＋(－1＋i)＝－i＋(－1＋i)＝－1.
(2)原式＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2 015－2 016)＋2 017]＋[(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－2 016＋2 017)－2 018]i＝(－1 008＋2 017)＋(1 008－2 018)i＝1 009－1 010i.
17.解：(1)由于ABCD是平行四边形，所以＝＋，于是＝－，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即对应的复数是－2＋2i.
(2)由于＝－，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即对应的复数是5.
(3)由于＝＝－＝，＝＝，于是·＝－，
而||＝，||＝，所以··cos ∠APB＝－，因此cos ∠APB＝－，故sin ∠APB＝，
故S△APB＝||||·sin ∠APB＝×××＝，即△APB的面积为.
18.解：(1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.因为＝，
所以向量对应的复数为3－i，即＝(3，－1)．
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，所以
解得所以点D对应的复数为5.
(2)因为·＝||||cos B，所以cos B＝＝＝.所以sin B＝.
所以S＝||||sin B＝××＝7，即平行四边形ABCD的面积为7.
19.解：(1)对应的复数为2＋i－1＝1＋i，对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，
对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i.
(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，∴||2＋||2＝||2，
∴△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝××2＝2.