6.4.3 余弦定理、正弦定理（第三课时）同步训练-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（word版含答案）

6.4.3 余弦定理、正弦定理（第三课时）（同步训练）
1.(2021年河南模拟)学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为(　　)
A．12 m B．8 m C．3 m D．4 m
2.(2021年哈尔滨月考)一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为(　　)
A． n mile/h B．34 n mile/h
C． n mile/h D．34 n mile/h
3.(多选)在△ABC中，已知(a＋b)∶(c＋a)∶(b＋c)＝6∶5∶4，给出下列结论，其中正确的结论是(　　)
A．由已知条件，这个三角形被唯一确定 B．△ABC一定是钝三角形
C．sin A∶sin B∶sin C＝7∶5∶3 D．若b＋c＝8，则△ABC的面积是
4.在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为(　　)
A．20 m　　 B．30 m
C．40 m　　 D．60 m
5.(2021年武汉模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆的面积为(　　)
A． B．π
C．2π D．4π
6.如图所示，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60 m，则河流的宽度BC是(　　)
A．240(－1) m B．180(－1) m
C．120(－1) m D．30(＋1) m
7.(2021年聊城期末)如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为(　　)
A．15 m B．20 m C．25 m D．30 m
8.有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长________千米．
9.(2021年沈阳月考)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，D为边BC的中点，AD＝，则△ABC的面积是________
10.一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船实际航程为________km.
11.(2021年郑州模拟)甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应沿________方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了________n mile.
12.如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B．灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°，与A相距3海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处，此时乙船与灯塔A之间的距离为________海里，两艘轮船之间的距离为________海里．
13.为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km内不能收到手机信号．检查员抽查某市一考点，在考点正西约 km处有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 km/h的速度沿公路行驶，最长需要________min，检查员开始收不到信号，并至少持续________min，该考点才算合格．
14.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos B＝，b＝2.
(1)当A＝时，求a的值；(2)若△ABC的面积为3，求a＋c的值．
15.(2021年信阳月考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.
(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．
参考答案：
1.D　
解析：由题意知∠A＝∠B＝30°，所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，
由正弦定理得＝，即AB＝＝＝4(m)．
2.A　
解析：如图所示，在△PMN中，＝，∴MN＝＝34，∴v＝＝ (n mile/h)．
3.BC　
解析：∵(a＋b)∶(c＋a)∶(b＋c)＝6∶5∶4，∴设a＋b＝6k，c＋a＝5k，b＋c＝4k(k＞0)，得a＝k，b＝k，c＝k，则a∶b∶c＝7∶5∶3，则sin A∶sin B∶sin C＝7∶5∶3，故C正确．由于△ABC的边长不确定，则三角形不确定，故A错误．cos A＝＝＝－＜0，则A是钝角，即△ABC是钝角三角形，故B正确．若b＋c＝8，则k＋k＝4k＝8，则k＝2，即b＝5，c＝3，A＝120°，∴△ABC的面积S＝bcsin A＝×5×3×＝，故D错误．故选BC．
4.C　
解析：如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，在△ABD中，易知∠A＝30°，∠ADB＝60°－30°＝30°，∴△ABD为等腰三角形，即AB＝BD＝40(m)．
5.B　
解析：在△ABC中，A＝75°，B＝45°，所以C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆的半径为R，则由正弦定理，可得2R＝＝＝2，解得R＝1，故△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝π.
6.C　
解析：在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60 m，∴AC＝120 m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝＝＝120(－1)(m)．
7.D　
解析：设建筑物的高度为h m，由题图知PA＝2h，PB＝h，PC＝h，
∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA＝，①
cos∠PBC＝.②
∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③
由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为30 m.
8.答案：　
解析：如图，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.
在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴AC＝＝＝(千米)．
9.答案：　
解析：在△ABC中，由中线长定理可得：c2＋22＝2×＋2×，化为2c2＋1＝a2.由余弦定理可得a2＝c2＋22－4ccos A，化为a2＝c2＋4－2c.联立解得c＝1.∴S△ABC＝×bcsin A＝×2×1×＝.
10.答案：6　
解析：如图所示，在△ACD中，AC＝2，CD＝4，∠ACD＝60°，∴AD2＝12＋48－2×2×4×＝36.∴AD＝6.即该船实际航程为6 km.
11.答案：北偏东30°，a　
解析：如图所示，设在C处甲船追上乙船，乙船到C处用的时间为t，乙船的速度为v，则BC＝tv，AC＝tv，又B＝120°，则由正弦定理＝，得＝，∴sin∠CAB＝，∴∠CAB＝30°，∴甲船应沿北偏东30°方向行驶．又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，∴BC＝AB＝a n mile，∴AC＝＝＝a(n mile)．
12.答案：5，　
解析：连接AC，由题意可知AB＝BC＝5，∠ABC＝60°，可得AC＝5，∠BAC＝60°.在△ACD中，∠CAD＝45°，根据余弦定理可得CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cos ∠CAD＝25＋18－2×5×3×＝13.故乙船与灯塔A之间的距离为5海里，两艘轮船之间的距离为海里．
13.答案：5，5　
解析：如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C，D两点到考点的距离为1 km.在△ABC中，AB＝，AC＝1，∠ABC＝30°，由正弦定理得sin∠ACB＝＝，∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)．∴∠BAC＝30°.∴BC＝AC＝1.在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1.∵×60＝5，∴在BC上需要5 min，CD上需要5 min.∴最长需要5 min检查员开始收不到信号，并持续至少5 min才算合格．
14.解：(1)因为cos B＝>0，所以B∈.所以sin B＝.
由正弦定理＝，得＝，解得a＝.
(2)由△ABC的面积S＝acsin B，得ac×＝3，得ac＝10.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20，
所以(a＋c)2－2ac＝20，即(a＋c)2＝40.所以a＋c＝2.
15.解：(1)由题设得acsin B＝，即csin B＝.
由正弦定理得sin Csin B＝. 故sin Bsin C＝.
(2)由题设及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，
即cos(B＋C)＝－，所以B＋C＝，故A＝.
(方法一)由题设得bcsin A＝，即bc＝8.
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝.
故△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋.
(方法二)因为a＝3，所以2R＝＝2(R为△ABC外接圆的半径)，
所以sin Bsin C＝·＝＝＝，则bc＝8.
由余弦定理得b2＋c2－2bc·cos＝9，即b2＋c2－bc＝9，所以(b＋c)2－3bc＝9，
所以(b＋c)2＝9＋3bc＝9＋3×8＝33，故b＋c＝.
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋.