6.4.3 余弦定理、正弦定理（第一课时）同步训练——2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（word版含答案）

6.4.3 余弦定理、正弦定理（第一课时）（同步训练）
1.(2021年武汉模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°，若b(1－cos A)＝a(1－cos B)，则A＝(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
2.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a＝7，b＝8，cos C＝，则最大角的余弦值是(　 )
A．－ B．－ C．－ D．－
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　　)
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
4.若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)
A．　　 B．8－4
C．1　　　 D．
5.锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是(　　)
A.1C.6.(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是(　　)
A．a2＝b2＋c2－2bccos A B．cos B＝
C．a＝bcos C＋ccos B D．acos B＋bcos A＝sin C
7.在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则a，b的大小关系为(　　)
A．a>b　 B．aC．a＝b　 D．不能确定
9.已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________
10.(2021年长春月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝b，c2＝b2＋bc，则内角A的大小是________
11.在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________
12.(2021年成都模拟)在已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A＋cos A＝，则△ABC的形状是________
13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2则C＝________
14.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，2cos C＋c＝2b，则
角A＝________，△ABC的周长的取值范围是________
15.(2021年合肥调研)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，
2cos(A＋B)＝1.
(1)角C的度数为________；(2)AB的长为________
16.在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
17.在△ABC中，bcos A＝acos B，试判断△ABC的形状．
18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
19.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，CD∥AO，OD＝100，CD＝150，求该扇形的半径．
参考答案：
1.D　
解析：结合余弦定理得b＝a，即2bc－b2－c2＋a2＝2ac－a2－c2＋b2，即a2－b2＝c(a－b)，即(a＋b－c)(a－b)＝0.因为三角形中，两边之和大于第三边，所以a－b＝0，即a＝b，△ABC是等腰三角形，结合C＝120°，得到A＝30°.故选D．
2.C　
解析：由余弦定理，得cos C＝＝，得c＝3，所以角B为最大角，则cos B＝＝－
3.C　
解析：由>0得－cos C>0，所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．
4.A　
解析：由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4.由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C＝2ab·cos 60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝.
5.C　
解析：若a为最大边，则b2＋c2－a2>0，即a2<5，∴a<.若c为最大边，则a2＋b2>c2，即a2>3，∴a>.故6.ABC　
解析：在A中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，故A正确；在B中，由余弦定理的推论得cos B＝，故B正确；在C中，a＝bcos C＋ccos B a＝b×＋c× 2a2＝2a2，故C正确；在D中，acos B＋bcos A＝a×＋b×＝c≠sin C，故D错误．故选ABC．
7.A　
解析：cos B＝＝＝＋≥，∵08.A　
解析：在△ABC中，c2＝a2＋b2－2ab·cos 120°＝a2＋b2＋ab.因为c＝a，所以2a2＝a2＋b2＋ab.所以a2－b2＝ab>0.所以a2>b2，所以a>b.
9.答案：0　
解析：∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.
10答案：45°　
解析：∵a＝b，a2＝b2＋c2－2bccos A，∴2b2＝b2＋c2－2bccos A．
又c2＝b2＋bc，∴cos A＝，∴A＝45°.
11.答案：4　
解析：因为b＋c＝7，所以c＝7－b.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，解得b＝4.
12.答案：直角三角形　
解析：∵sin A＋cos A＝，可得：csin A＋ccos A＝a＋b，
∴由正弦定理可得sin Csin A＋sin Ccos A＝sin A＋sin B．
∵sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
∴可得sin C·sin A＋sin Ccos A＝sin A＋sin Acos C＋cos Asin C，
∴sin Csin A＝sin A＋sin Acos C．
∵sin A≠0，∴sin C＝1＋cos C，即sin C－cos C＝1，两边平方可得1－sin 2C＝1，可得sin 2C＝0.
∵C∈(0，π)，2C∈(0，2π)，∴2C＝π，可得C＝，即△ABC的形状是直角三角形．
13.答案：　
解析：因为a2＋b2.
又因为sin C＝，所以C＝.
14.答案：，(2，3]　
解析：a＝1，2cos C＋c＝2b，∴2×＋c＝2b，整理可得，b2＋c2－1＝bc，即b2＋c2－a2＝bc，则cos A＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.∵b2＋c2－1＝bc，∴(b＋c)2＝3bc＋1≤3×＋1.∴b＋c≤2.
∵b＋c＞a＝1，∴215.答案：(1)π　(2)　
解析：(1)∵cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，且C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，∴∴AB2＝b2＋a2－2abcos＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB＝.
16.解：由余弦定理的推论得cos A＝＝＝.设所求的中线长为x，由余弦定理知：x2＝＋AB2－2··ABcos A＝42＋92－2×4×9×＝49，则x＝7.所以所求中线长为7.
17.解：因为bcos A＝acos B，所以b·＝a·.
所以b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2.
所以a2＝b2，即a＝b.所以△ABC为等腰三角形．
18.解：(1)由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin A·cos B＝0，即有sin Asin B－sin Acos B＝0.
因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0.又cos B≠0，所以tan B＝.又0(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B．
因为a＋c＝1，cos B＝，所以b2＝3＋.
又019.解：连接OC，易知∠ODC＝180°－∠AOB＝60°，因此由余弦定理，得OC2＝OD2＋CD2－2OD×CD×cos ∠ODC，即OC2＝1002＋1502－2×100×150×，解得OC＝50.所以该扇形的半径为50.