福建省四地六2013届高三上学期第三次月考数学理试题

“四地六校”联考
2012-2013学年上学期第三次月考
高三数学（理科）试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）

★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。
一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若集合，则=（ ）
A．{4} B．{1，2，3，4，5} C． D．
2.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知为等差数列,若,则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知．下列四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（ ）
A． B． C． D．
5.某几何体的三视图及尺寸如图示，则该几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6．若双曲线的渐近线方程为则双曲线的一个焦
点F到渐近线的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
7．已知是实数，则函数的图象不可能是（ ）
8．在△ABC中，a、b、c分别为三个内角A、B、C所对的边，设向量，若，则角A的大小为 （ ）
A． B． C． D．
9．O为ΔABC的内切圆圆心，且AB=5,BC=4,CA=3，下列结论中正确的是（ ）
A． B. >
C. == D. <=
10．函数在区间上的最大值的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分) 21世纪教育网
11．若变量满足约束条件，则的最大值为 .
12. 已知点在直线上，则的最小值为 .
13．过点P（1，-2）的直线将圆截成两段弧，若其中劣弧的长度最短，那么直线的方程为 。
14．一个四面体所有棱长都为,四个顶点在同一球面上，则此球表面积为 。
15．对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则实数的取值范围是 。
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分13分）
如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边分别与单位圆交于两点．
（Ⅰ）如果，点的横坐标为，求的值；
（Ⅱ）已知点，求函数的值域．
17．（本小题满分13分）
已知数列满足：，其中为数列的前项和.
（Ⅰ）试求的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：，试求的前项和公式.
18．（本小题满分13分）
直线y＝kx＋b与曲线交于A、B两点，记△AOB的面积为S（O是坐标原点）。
（1）求曲线的离心率；
（2）求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
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19．（本小题满分13分）
如图, 是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为.
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.
20．(本小题满分14分) 已知函数，其中。。
（1）若是函数的极值点，求实数a的值；
（2）若函数的图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数在上有两个零点，求实数a的取值范围。
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21．（本小题满分14分）
选修4-2：矩阵及其变换
（1）如图，向量被矩阵M作用后分别变成，
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）并求在M作用后的函数解析式；
选修4-4：坐标系与参数方程
（ 2）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为。
（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆与直线交于点。若点的坐标为（3，），求。
选修4－5：不等式选讲
（3）已知为正实数，且，求的最小值及取得最小值时的值．21世纪教育网“四地六校”联考
2012-2013学年上学期第三次月考
高三数学（理科）试题参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
A
A
D
C
D
C
A
B
二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)
11. 3 12. 4 13. x-y-3=o 14. 15．
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16．解：（Ⅰ）∵　是锐角，，
∴　．21世纪教育网2分
根据三角函数的定义，得，21世纪教育网
又∵　是锐角，
∴　． 4分
∴　． 7分
（Ⅱ）由题意可知，，．
∴　， 9分
∵　，
∴　， 10分
∴　，从而， 12分
∴　函数的值域为． 13分
17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ） ① ②……………2分
②-①得 ……………………4分
又时，
……………………6分
（Ⅱ） ③……8分
④……………………9分
③-④得……………………11分整理得：…………13分-
18.（1）曲线的方程可化为：，-------------------1分21世纪教育网
∴此曲线为椭圆，-------------------4分
∴此椭圆的离心率------------------6分
（2）设点A的坐标为，点B的坐标为，
由，解得，-----------------------------8分
所以 -----------------------------１1分
当且仅当时， S取到最大值1．-----------------------------13分
19.解：(Ⅰ)证明： 因为平面，
所以. ……………………2分
因为是正方形，
所以，
又相交
从而平面. ……………………4分
(Ⅱ)解：因为两两垂直，
所以建立空间直角坐标系如图所示.
因为与平面所成角为，即， …………5分
所以.
由可知，. ………6分
则，，，，，
所以，， ………7分
设平面的法向量为，则，即，
令，则. ………8分
因为平面，所以为平面的法向量，，
所以. ……9分
因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. ………10分
(Ⅲ)解：点是线段上一个动点，设.
则，
因为平面，
所以， ……11分
即，解得. ………12分
此时，点坐标为，，符合题意. ……13分
20.解：
------------------2分
（1）且 ---------4分
（2）对任意的恒成立 ------21世纪教育网-5分
对任意的恒成立

而当时，取最大值为1，
，且， --------------------7分
（3），且
；或； 在和上递增；而在上递减。 ---------8分
当时
i），则在上递增，在上不可能有两个零点。
-----------9分
ii），则在上递减，而在上递增。
在上有极小值（也就是最小值）
而

时，在上有两个零点。 ---------------------12分
iii），则在上递减，在上不可能有两个零点。----------------------13分
综上所述： -------------------14分
21.(1)待定系数设M=求得，-----------4分
再坐标转移法得-----------7分
（2）解：（Ⅰ）
（Ⅱ）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得
由，故可设是上述方程的两根
所以 ，又直线过点，故结合t的几何意义得
=
（3）解：由柯西不等式得
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……………………………………………………………………………………4分
当且仅当时等号成立，…………………………………5分
此时…………………………………6分
所以当时，取得最小值36………… 7分