2021-2022学年浙江省杭州市西湖区十三中八年级（下）开学数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年浙江省杭州市西湖区十三中八年级（下）开学数学试卷
一、选择题
1．下列冬奥会会徽中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．有下列长度的三条线段，其中能组成三角形的是（　　）
A．4，5，9 B．2.5，6.5，10 C．3，4，5 D．5，12，17
3．点P（a，1）在第一象限，则a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a≥0 C．a＜0 D．a≤0
4．下列各式中，是二次根式有（　　）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．若x＞y，则下列式子中错误的是（　　）
A．x﹣2＞y﹣2 B．x+2＞y+2 C．﹣2x＞﹣2y D．＞
6．一次函数y＝kx﹣2k的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
7．在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是2816cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　）
A．（60+x）（40+2x）＝2816 B．（60+x）（40+x）＝2816
C．（60+2x）（40+x）＝2816 D．（60+2x）（40+2x）＝2816
8．已知点A的坐标为（a+1，3﹣a），点A关于x轴的对称点A'落在一次函数y＝2x+1的图象上，则a的值可以是（　　）
A．﹣4 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣7
9．如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（　　）
A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC
B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC
C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°
D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°
10．如图为甲、乙两人训练跑步中路程s关于时间t的函数图象，下列信息：①甲跑800m用了150s；②乙跑400m用了90s；③甲的平均速度是乙的倍；④乙的平均速度是甲的倍，其中正确的是（　　）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
二.填空题
11．如果y＝++2，那么xy的值是 　 　．
12．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 　 　．
13．若不等式组的解集为x≤﹣m，则m　 　n．
14．在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，AB＝6，点P在AB上且P到另两边的距离相等，则AP的长为 　 　．
15．如图，直线l1：y＝kx+5与直线l2：y＝﹣x+n交于点P（﹣1，3），则不等式kx+5＞﹣x+n
的解集为 　 　．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右侧作△ACE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为 　 　．
三.解答题
17．计算：
（1）；
（2）．
18．（1）；
（2）+2＝．
19．小聪去购买笔记本和钢笔共30件，每本笔记本2元，每支钢笔5元，若购买的钢笔数量不少于笔记本的数量．
（1）小聪至多能买几本笔记本？
（2）若小聪只带了130元钱，此时他至少要买几本笔记本？
20．已知一次函数y＝kx+b的图象过（1，6）和（﹣1，2）．
（1）求一次函数y＝kx+b的关系式；
（2）求一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若AC＝10，BE＝3，F为AB中点，求DF的长．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上（不与点A，点C重合），连接BD，BD＝AB．
（1）设∠C＝α，∠ABD＝β．
①当α＝50°时，求β．
②直接写出β与α之间的等量关系及α的取值范围．
（2）若AB＝5，BC＝6，求AD的长．
23．设函数y1＝ax+b，y2＝bx+a（a，b为常数，ab≠0且a≠b），函数y和y的图象的交点为点P．
（1）求证：点P在y轴的右侧．
（2）已知点P在第一象限，函数y的值随x的增大而增大．
①当x＝2时，y1﹣y2＝2，求a的取值范围．
②若点P的坐标是（1，1），且a＞b，求证：当x＝2时，y1﹣y2＜﹣．
参考答案
一、选择题
1．下列冬奥会会徽中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
2．有下列长度的三条线段，其中能组成三角形的是（　　）
A．4，5，9 B．2.5，6.5，10 C．3，4，5 D．5，12，17
【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．
解：A、4+5＝9，故不能组成三角形，不符合题意；
B、2.5+6.5＜10，不能组成三角形，不符合题意；
C、4+3＞5，能组成三角形，符合题意；
D、5+12＝17，不能组成三角形，不符合题意；
故选：C．
3．点P（a，1）在第一象限，则a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a≥0 C．a＜0 D．a≤0
【分析】由第一象限内点的坐标符号特点求解即可．
解：∵点P（a，1）在第一象限，
∴a＞0，
故选：A．
4．下列各式中，是二次根式有（　　）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据二次根式的概念进行分析判断．
解：①是二次根式，
②没有意义，不是二次根式，
③是三次根式，不是二次根式，
④没有意义，不是二次根式，
⑤是二次根式，
⑥是二次根式，
∴①⑤⑥是二次根式，共3个，
故选：B．
5．若x＞y，则下列式子中错误的是（　　）
A．x﹣2＞y﹣2 B．x+2＞y+2 C．﹣2x＞﹣2y D．＞
【分析】A：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，据此判断即可．
B：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，据此判断即可．
C：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此判断即可．
D：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，据此判断即可．
解：∵x＞y，
∴x﹣2＞y﹣2，
∴选项A正确；
∵x＞y，
∴x+2＞y+2，
∴选项B正确；
∵x＞y，
∴﹣2x＜﹣2y，
∴选项C不正确；
∵x＞y，
∴，
∴选项D正确．
故选：C．
6．一次函数y＝kx﹣2k的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】一次函数解析式为y＝kx﹣2k，易得其图象与x轴的交点为（2，0），分析选项可得答案．
解：函数的解析式为y＝kx﹣2k
即函数图象与x轴的交点为（2，0），
分析可得，B选项符合题意．
故选：B．
7．在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是2816cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　）
A．（60+x）（40+2x）＝2816 B．（60+x）（40+x）＝2816
C．（60+2x）（40+x）＝2816 D．（60+2x）（40+2x）＝2816
【分析】根据题意可知：矩形挂图的长为（60+2x）cm，宽为（40+2x）cm；则运用面积公式列方程即可．
解：挂图长为（60+2x）cm，宽为（40+2x）cm，
所以根据矩形的面积公式可得：（60+2x）（40+2x）＝2816．
故选：D．
8．已知点A的坐标为（a+1，3﹣a），点A关于x轴的对称点A'落在一次函数y＝2x+1的图象上，则a的值可以是（　　）
A．﹣4 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣7
【分析】根据对称的性质求出点A′的坐标，再把点A′的坐标代入y＝2x+1，即可求出a．
解：∵点A的坐标为（a+1，3﹣a），
∴点A关于x轴的对称点A'的坐标是（a+1，﹣3+a），
∵点A′在一次函数y＝2x+1的图象上，
∴﹣3+a＝2（a+1）+1，
解得：a＝﹣6，
故选：C．
9．如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（　　）
A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC
B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC
C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°
D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°
【分析】根据直角三角形的性质逐项判定可求解．
解：A．∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠CAP＝∠B+∠C＝90°，
∵∠BAP＝∠B，
∴∠CAP＝∠C，
∴AP＝PC，
只有当∠B＝30°时，AC＝PC，故错误；
B．∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠CAP＝90°，
∵∠BAP＝∠C，
∴∠C+∠CAP＝90°，
∴∠APC＝180°﹣（∠C+∠CAP）＝90°，
即AP⊥BC，故正确；
C．∵AP⊥BC，PB＝PC，
∴AP垂直平分BC，
而∠BAC不一定等于90°，故错误；
D．根据PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，无法证明∠BAC＝90°，故错误，
故选：B．
10．如图为甲、乙两人训练跑步中路程s关于时间t的函数图象，下列信息：①甲跑800m用了150s；②乙跑400m用了90s；③甲的平均速度是乙的倍；④乙的平均速度是甲的倍，其中正确的是（　　）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【分析】根据函数图象中的数据，可以直接判断①、②，再根据图象中的数据，计算出甲、乙的速度，然后即可判断③、④．
解：由图象可得，
甲跑800m用了150s，故①正确；
乙跑400m用了150﹣90＝60（s），故②错误；
甲的平均速度是800÷150＝（m/s），乙的平均速度是400÷60＝（m/s），
则甲的平均速度是乙的：÷＝＝倍，故③错误；
乙的平均速度是甲的＝＝倍，故④正确；
故选：C．
二.填空题
11．如果y＝++2，那么xy的值是 　25　．
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式组求解确定x和y的值，从而代入求值．
解：由题意可得，
解得：x＝5，
∴y＝＝2，
∴原式＝52＝25，
故答案为：25．
12．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 　两个角相等三角形是等腰三角形　．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．
13．若不等式组的解集为x≤﹣m，则m　≥　n．
【分析】根据口诀：同小取小可得﹣m≤﹣n，再由不等式的基本性质即可得出答案．
解：∵不等式组的解集为x≤﹣m，
∴﹣m≤﹣n，
则m≥n，
故答案为：≥．
14．在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，AB＝6，点P在AB上且P到另两边的距离相等，则AP的长为 　　．
【分析】根据勾股定理求出AC的值，过点P作PD⊥BC于D，进而利用勾股定理解答即可．
解：如图所示：过点P作PD⊥BC于D，连接PC，
∵∠A＝90°，BC＝10，AB＝6，
∴AC＝，
∵点P在AB上且P到另两边的距离相等，
∴PA＝PD，
设AP＝x，BP＝6﹣x，
在Rt△APC与Rt△DPC中，
，
∴Rt△APC≌Rt△DPC（HL），
∴CD＝AC＝8，
∴BD＝BC﹣CD＝10﹣8＝2，
在Rt△BPD中，BP2＝PD2+BD2，
即（6﹣x）2＝x2+22，
解得：x＝，
∴AP＝．
故答案为：．
15．如图，直线l1：y＝kx+5与直线l2：y＝﹣x+n交于点P（﹣1，3），则不等式kx+5＞﹣x+n
的解集为 　x＞﹣1　．
【分析】写出直线y＝kx+5在直线y＝﹣x+n上方部分的x的取值范围即可．
解：由图可知，当x＞﹣1时，直线y＝kx+5在直线y＝﹣x+n上方，
所以不等式kx+5＞﹣x+n的解集为x＞﹣1；
故答案为：x＞﹣1．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右侧作△ACE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为 　92°　．
【分析】根据已知条件证明△DAB≌△EAC，可得∠B＝∠ACE，再根据CE∥AB，可得∠B+∠ACB+∠ACE＝180°，然后证明△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，进而根据三角形内角和定理即可解决问题．
解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠B+∠BCE＝180°，
∴∠B+∠ACB+∠ACE＝180°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB＝∠ACE＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∵∠BAD＝28°，
∴∠OAD＝60°﹣28°＝32°，
∴∠DOC＝∠OAD+∠ADE＝32°+60°＝92°．
故答案为：92°．
三.解答题
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用二次根式的乘法与除法法则运算；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝3+﹣2+
＝+2．
18．（1）；
（2）+2＝．
【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1），
由①得：x≤，
由②得：x＞﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤；
（2）去分母得：1+2（x﹣2）＝x﹣1，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：x﹣2＝0，
∴x＝2是增根，分式方程无解．
19．小聪去购买笔记本和钢笔共30件，每本笔记本2元，每支钢笔5元，若购买的钢笔数量不少于笔记本的数量．
（1）小聪至多能买几本笔记本？
（2）若小聪只带了130元钱，此时他至少要买几本笔记本？
【分析】（1）设小聪买x本笔记本，则买（30﹣x）支钢笔，由题意：购买的钢笔数量不少于笔记本的数量．列出一元一次不等式，解不等式即可；
（2）设小聪买y本笔记本，则买（30﹣y）支钢笔，由题意：每本笔记本2元，每支钢笔5元，小聪只带了130元钱，列出一元一次不等式，解不等式即可．
解：（1）设小聪买x本笔记本，则买（30﹣x）支钢笔，
由题意得：30﹣x≥x，
解得：x≤15，
答：小聪至多能买15本笔记本；
（2）设小聪买y本笔记本，则买（30﹣y）支钢笔，
由题意得：2y+5（30﹣y）≤130，
解得：y≥6，
答：若小聪只带了130元钱，此时他至少要买7本笔记本．
20．已知一次函数y＝kx+b的图象过（1，6）和（﹣1，2）．
（1）求一次函数y＝kx+b的关系式；
（2）求一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【分析】（1）把已知点的坐标代入y＝kx+b得到k、b的方程组，然后解方程组即可；
（2）利用坐标轴点的坐标特征求出一次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式求解．
解：（1）根据题意得，
解得，
所以一次函数解析式为y＝2x+4；
（2）当x＝0时，y＝2x+4＝4，则一次函数图象与y轴的交点坐标为（0，4），
当y＝0时，2x+4＝0，解得x＝﹣2，则一次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），
所以一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积＝×2×4＝4．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若AC＝10，BE＝3，F为AB中点，求DF的长．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，再利用等角的余角相等证明∠D＝∠AFD即可解答；
（2）由（1）得△ADF是等腰三角形，想到等腰三角形的三线合一性质，所以过点A作AG⊥DE，垂足为G，先在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，然后证明△AGF≌△BEF即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠D＝∠BFE，
∵∠BFE＝∠AFD，
∴∠D＝∠AFD，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）过点A作AG⊥DE，垂足为G，
∵AB＝AC，AC＝10，
∴AB＝10，
∵F为AB中点，
∴AF＝BF＝AB＝5，
在Rt△BFE中，BE＝3，
∴EF＝＝＝4，
∵∠AGF＝∠BEF＝90°，∠AFG＝∠BFE，
∴△AFG≌△BFE（AAS），
∴GF＝EF＝4，
∵AD＝AF，AG⊥DF，
∴DF＝2GF＝8．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上（不与点A，点C重合），连接BD，BD＝AB．
（1）设∠C＝α，∠ABD＝β．
①当α＝50°时，求β．
②直接写出β与α之间的等量关系及α的取值范围．
（2）若AB＝5，BC＝6，求AD的长．
【分析】（1）①由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C＝50°，则可求出答案；
②由等腰三角形的性质得出∠A＝∠ADB，∠ABC＝∠C＝α，则可求出β，由三角形外角的性质可得出答案；
（2）过点B作BM⊥BC于点M，BN⊥AC于点N，由勾股定理可得出AM＝4，由勾股定理得出25﹣x2＝36﹣（5﹣x）2，则可得出答案．
解：（1）①∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝80°，
∵BD＝AB，
∴∠BDA＝∠A＝80°，
∴β＝180°﹣∠A﹣∠BDA＝20°；
②∵AB＝BD，
∴∠A＝∠ADB，
∴β＝180°﹣2∠A，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝α，
∴∠A＝180°﹣2∠C＝180°﹣2α，
∴β＝180°﹣2（180°﹣2α）
＝4α﹣180°；
∵∠A＝∠ADB，∠ADB＞∠C，
∴180°﹣2α＞α，
∴α＜60°，
又∵4α﹣180°＞0，
∴α＞45°，
∴α的取值范围是45°＜α＜60°；
（2）过点B作BM⊥BC于点M，BN⊥AC于点N，
设AN＝x，则CN＝5﹣x，
∵AB＝5，BC＝6，
∴AM＝＝＝4，
∵BN2＝AB2﹣AN2＝BC2﹣CN2，
∴25﹣x2＝36﹣（5﹣x）2，
∴x＝，
∴AD＝2AN＝．
23．设函数y1＝ax+b，y2＝bx+a（a，b为常数，ab≠0且a≠b），函数y和y的图象的交点为点P．
（1）求证：点P在y轴的右侧．
（2）已知点P在第一象限，函数y的值随x的增大而增大．
①当x＝2时，y1﹣y2＝2，求a的取值范围．
②若点P的坐标是（1，1），且a＞b，求证：当x＝2时，y1﹣y2＜﹣．
【分析】（1）由ax+b＝bx+a，解得x＝1，即知点P在y轴的右侧．
（2）①由函数y2的值随x的增大而增大，得b＞0，点P在第一象限，可得a+b＞0，当x＝2时，y2﹣y1＝2，可得b＝a﹣2，即可得a＞2；
②根据点P的坐标是（1，1），知b＝1﹣a，由a＞b，b＞0，可得＜a＜1，而当x＝2时，y2﹣y1＝2a﹣1，﹣＝，即可证明y1﹣y2＜﹣．
【解答】（1）证明：令ax+b＝bx+a，解得x＝1，
∴函数y1和y2的图象的交点P的横坐标为1，
∴点P在y轴的右侧．
（2）解：①∵函数y2的值随x的增大而增大，
∴b＞0，
由（1）知P（1，a+b），
∵点P在第一象限，
∴a+b＞0，
当x＝2时，y1＝2a+b，y2＝2b+a，
∵y2﹣y1＝2，
∴（2a+b）﹣（2b+a）＝2，
∴a﹣b＝2，即b＝a﹣2，
∵b＞0，
∴a﹣2＞0，
∴a＞2；
此时满足a+b＞0，
∴a的取值范围是a＞2；
②证明：∵点P的坐标是（1，1），
∴a+b＝1，
∴b＝1﹣a，
∵a＞b，b＞0，
∴a＞1﹣a且1﹣a＞0，
∴＜a＜1，
当x＝2时，y1﹣y2＝（2a+b）﹣（2b+a）＝a﹣b＝a﹣（1﹣a）＝2a﹣1，
﹣＝﹣＝＝，
∵＜a＜1，
∴0＜a（1﹣a）＜1，2a﹣1＞0，
∴＞1，
∴＞2a﹣1，
∴y1﹣y2＜﹣．