2021-2022学年四川省内江市东兴区六中八年级（下）入学数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年四川省内江市东兴区六中八年级（下）入学数学试卷
一、选择题
1．下列运算正确的是（　　）
A．x x2＝x2 B．（xy）2＝xy2 C．（x2）3＝x6 D．x2+x2＝x4
2．实数a在数轴上的对应点位置如图所示，若实数b满足：|b|＜a，则b的值可以是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．4
3．在一个样本中，50个数据分别落在5个小组内，第1、2、3、5小组数据的个数分别是2、8、15、5，则第4小组的频率是（　　）
A．0.6 B．20 C．0.4 D．30
4．已知y＝++9，则y+x的平方根是（　　）
A．3 B．±3 C．4 D．±4
5．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x≠4 D．x≠﹣4
6．如果把分式中的x，y同时变为原来的4倍，那么该分式的值（　　）
A．不变 B．变为原来的4倍
C．变为原来的 D．变为原来的
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，连接BD，若CD：DB＝3：5，则△ABC的面积为（　　）
A．16 B．32 C．48 D．64
8．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF＝AC，则∠ABC的大小是（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
9．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（　　）
A．35° B．40° C．45° D．50°
10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB＝90°，且BC＝2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1＝4，S3＝12，则S2的值为（　　）
A．16 B．24 C．48 D．64
11．矩形ABCD内放入两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为S1；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为S2；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为S3，已知S1﹣S3＝3，S2﹣S3＝12，设AD﹣AB＝m，则下列值是常数的是（　　）
A．ma B．mb C．m D．a+b
12．如图，将一个等腰直角三角形△ABC按如图方式折叠，若DE＝a，DC＝b，下列四个结论：①DC′平分∠BDE；②BC长为2a+b；③△BDC′是等腰三角形；④△CED的周长等于BC的长．其中，正确的是（　　）
A．①②④ B．②③④ C．②③ D．②④
二、填空题（共5小题，满分15分）
13．因式分解：xy2+2xy+x＝　 　．
14．若2m+2m+2m+2m＝8，则m＝　 　．
15．在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为　 　cm2．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上．若AB＝10，BC＝8，则△ACE的面积为 　 　．
17．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90，直角∠EPF顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下4个结论：①AE＝CF，②△EPF是等腰Rt△，③S四边形AEPF＝S△ABC，④EF＝AP．当∠EPF在△ABC内部绕顶点P旋转时（点E不与AB重合），上述结论始终成立的是　 　．
三、解答题（共6小题，满分31分）
18．计算：﹣12018+（）﹣2++（π﹣2019）0﹣|﹣2|．
19．已知（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝49，求x2+y2与xy的值．
20．已知a＝，b＝，求代数式[（ab+1）（ab﹣2）﹣2a2b2+2]÷（﹣ab）的值．
21．本学期，我校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程，为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 　 　名；
（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是 　 　，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级共有学生1200名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为多少？
22．利用平面图形中面积相等的等量关系可以得到某些数学公式．例如：根据图①，
我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）根据图②，可以得到的数学公式是 　 　；
（2）根据图③，请写出（a+b）、（a﹣b）、ab的等量关系是 　 　．
（3）根据图④，请写出一个等式：　 　；
（4）小明同学使用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片，恰好拼成一个面积为（3a+b）（a+3b）的长方形，则可得x+y+z的值为 　 　；
（5）类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．现请你根据图⑥，写出一个等式：　 　．
23．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C，P是线段BC上一点，PA＝PD，且∠APD＝90°．
（1）如图1，若∠B＝∠C＝90°，求证：AB+CD＝BC；
（2）如图1，若∠B＝∠C＝90°，问AB2、CD2、AD2之间有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并给予证明；
（3）如图2，若∠B＝∠C＝45°，且PB＝PC，问AB2、CD2、AD2之间有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想即可，不需要证明．
参考答案
一、选择
1．下列运算正确的是（　　）
A．x x2＝x2 B．（xy）2＝xy2 C．（x2）3＝x6 D．x2+x2＝x4
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减，合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变，同底数幂的乘法，底数不变指数相加，幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
解：A、x x2＝x3同底数幂的乘法，底数不变指数相加，故本选项错误；
B、（xy）2＝x2y2，幂的乘方，底数不变指数相乘，故本选项错误；
C、（x2）3＝x6，幂的乘方，底数不变指数相乘，故本选项正确；
D、x2+x2＝2x2，故本选项错误．
故选：C．
2．实数a在数轴上的对应点位置如图所示，若实数b满足：|b|＜a，则b的值可以是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．4
【分析】直接利用数轴得出a的取值范围，再结合绝对值的性质得出b的值．
解：由数轴可得：2＜a＜3，
∵|b|＜a，
∴b的值可以是：﹣2．
故选：B．
3．在一个样本中，50个数据分别落在5个小组内，第1、2、3、5小组数据的个数分别是2、8、15、5，则第4小组的频率是（　　）
A．0.6 B．20 C．0.4 D．30
【分析】根据总数计算出第4小组的频数，用第4小组的频数除以数据总数就是第4小组的频率．
解：第4小组的频数：50﹣2﹣8﹣15﹣5＝20，
第4小组的频率为：20÷50＝0.4．
∴第4小组的频率为0.4．
故选：C．
4．已知y＝++9，则y+x的平方根是（　　）
A．3 B．±3 C．4 D．±4
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，再利用平方根的定义得出答案．
解：由题意可得：，
解得：x＝7，
故y＝9，
则y+x＝9+7＝16，
故y+x的平方根是：±4．
故选：D．
5．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x≠4 D．x≠﹣4
【分析】根据分式有意义的条件即可得出答案．
解：∵2x+4≠0，
∴x≠﹣2，
故选：B．
6．如果把分式中的x，y同时变为原来的4倍，那么该分式的值（　　）
A．不变 B．变为原来的4倍
C．变为原来的 D．变为原来的
【分析】根据题意可得＝＝ ，即可求解．
解：x，y同时变为原来的4倍，
则有＝＝ ，
∴该分式的值是原分式值的，
故选：D．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，连接BD，若CD：DB＝3：5，则△ABC的面积为（　　）
A．16 B．32 C．48 D．64
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，根据题意求出AD、CD，根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵CD：DB＝3：5，AC＝16，
∴AD＝BD＝10，CD＝6，
∴AC＝AD+CD＝16，
由勾股定理得：BC＝＝＝8，
则S△ABC＝AC BC＝×16×8＝64，
故选：D．
8．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF＝AC，则∠ABC的大小是（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】先利用AAS判定△BDF≌△ADC，从而得出BD＝DA，即△ABD为等腰直角三角形．所以得出∠ABC＝45°．
解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，
∴∠BEA＝∠ADC＝90°．
∵∠FBD+∠BFD＝90°，∠AFE+∠FAE＝90°，∠BFD＝∠AFE，
∴∠FBD＝∠FAE，
在△BDF和△ADC中，，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴BD＝AD，
∴∠ABC＝∠BAD＝45°，
故选：B．
9．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（　　）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝，∠AFB＝∠EFB＝90°，推出AB＝BE，根据等腰三角形的性质得到AF＝EF，求得AD＝ED，得到∠DAF＝∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
解：∵∠ABC＝35°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣35°﹣50°＝95°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABF＝∠EBF，
∵AE⊥BD，
∴∠AFB＝∠EFB＝90°，
在△ABF和△EBF中，
，
∴△ABF≌△EBF（ASA），
∴AB＝EB，AF＝EF，
∴∠BAE＝∠BEA，DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴∠BAE+∠DAE＝∠BEA+∠DEA，
∴∠DEB＝∠DAB＝95°，
∴∠CDE＝∠DEB﹣∠C＝45°，
故选：C．
10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB＝90°，且BC＝2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1＝4，S3＝12，则S2的值为（　　）
A．16 B．24 C．48 D．64
【分析】根据已知条件得到AB＝2，CD＝2，过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB＝∠DCB，根据平行四边形的性质得到CE＝AD，AE＝CD＝2，由已知条件得到∠BAE＝90°，根据勾股定理得到BE＝，于是得到结论．
解：∵S1＝4，S3＝12，
∴AB＝2，CD＝2，
过A作AE∥CD交BC于E，
则∠AEB＝∠DCB，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CE＝AD，AE＝CD＝2，
∵∠ABC+∠DCB＝90°，
∴∠AEB+∠ABC＝90°，
∴∠BAE＝90°，
∴BE＝，
∵BC＝2AD，
∴BC＝2BE＝8，
∴S2＝（8）2＝64，
故选：D．
11．矩形ABCD内放入两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为S1；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为S2；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为S3，已知S1﹣S3＝3，S2﹣S3＝12，设AD﹣AB＝m，则下列值是常数的是（　　）
A．ma B．mb C．m D．a+b
【分析】利用面积的和差表示出S2﹣S1，根据图①与图②分别表示出矩形的面积，进而得到b（AD﹣AB）＝12，从而求解．
解：由，
可得：S2﹣S1＝9，
由图①得：S矩形ABCD＝S1+a2+b（AD﹣a），
由图②得：S矩形ABCD＝S2+a2+b（AB﹣a），
∴S1+a2+b（AD﹣a）＝S2+a2+b（AB﹣a），
∴S2﹣S1＝b（AD﹣AB），
∵AD﹣AB＝m，
∴mb＝9．
故选：B．
12．如图，将一个等腰直角三角形△ABC按如图方式折叠，若DE＝a，DC＝b，下列四个结论：①DC′平分∠BDE；②BC长为2a+b；③△BDC′是等腰三角形；④△CED的周长等于BC的长．其中，正确的是（　　）
A．①②④ B．②③④ C．②③ D．②④
【分析】由△ABC为等腰直角三角形，得AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠C＝45°，根据折叠可得∠C′DE＝45°，∠BDC′＝∠DC′E﹣∠DBE＝22.5°，可判定①错误；而BE＝AB＝AC＝AD+CD＝DE+CD＝a+b，CE＝DE＝a，可判定②正确；由∠DBC＝∠BDC′＝22.5°，可判定③正确；又△CED的周长＝DE+EC+DC＝2a+b，可判定④正确，即可得到答案．
解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠C＝45°，
∵Rt△ABD折叠得到Rt△EBD，
∴∠DBE＝∠ABC＝22.5°，DE＝AD＝a，∠DEB＝90°，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴CE＝DE＝a，∠CDE＝45°，
∵Rt△DC′E由Rt△DCE折叠得到，
∴∠C′DE＝∠CDE＝45°，∠DC′E＝45°，
∴∠BDC′＝∠DC′E﹣∠DBE＝22.5°，
∴DC′不平分∠BDE，所以①错误；
∵BE＝AB＝AC＝AD+CD＝DE+CD＝a+b，CE＝DE＝a，
∴BC＝BE+CE＝a+b+a＝2a+b，所以②正确；
∵∠DBC＝∠BDC′＝22.5°，
∴△BDC′是等腰三角形，所以③正确；
∵△CED的周长＝DE+EC+DC＝a+a+b＝2a+b，
∴△CED的周长等于BC的长，所以④正确．
故答案为：②③④，
故选：B．
二、填空题（共5小题，满分15分）
13．因式分解：xy2+2xy+x＝　x（y+1）2　．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
解：xy2+2xy+x，
＝x（y2+2y+1），
＝x（y+1）2．
故答案为：x（y+1）2．
14．若2m+2m+2m+2m＝8，则m＝　1　．
【分析】首先合并同类项，再利用同底数幂的乘法的法则进行求解即可．
解：∵2m+2m+2m+2m＝8，
∴4×2m＝8，
∴22×2m＝8，
则有：2m+2＝23，
∴m+2＝3，
解得：m＝1．
故答案为：1．
15．在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为　126或66　cm2．
【分析】此题分两种情况：∠B为锐角或∠B为钝角已知AB、AC的值，利用勾股定理即可求出BC的长，利用三角形的面积公式得结果．
解：当∠B为锐角时（如图1），
在Rt△ABD中，
BD＝＝＝5cm，
在Rt△ADC中，
CD＝＝＝16cm，
∴BC＝21，
∴S△ABC＝＝×21×12＝126cm2；
当∠B为钝角时（如图2），
在Rt△ABD中，
BD＝＝＝5cm，
在Rt△ADC中，
CD＝＝＝16cm，
∴BC＝CD﹣BD＝16﹣5＝11cm，
∴S△ABC＝＝×11×12＝66cm2，
故答案为：126或66．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上．若AB＝10，BC＝8，则△ACE的面积为 　　．
【分析】求出AC＝6，面积法求出CD＝，在Rt△BCD中，用勾股定理得BD＝，即可得B'D＝B'C﹣CD＝，设BE＝B'E＝x，则DE＝BD﹣BE＝﹣x，在Rt△B'DE中，用勾股定理可得BE＝4，即可得到答案．
解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝6，
∵CD⊥AB，
∴2S△ABC＝AB CD＝AC BC，
∴CD＝＝，
在Rt△BCD中，BD＝＝＝，
∵将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上，
∴B'C＝BC＝8，BE＝B'E，
∴B'D＝B'C﹣CD＝8﹣＝，
设BE＝B'E＝x，则DE＝BD﹣BE＝﹣x，
在Rt△B'DE中，B'D2+DE2＝B'E2，
∴（）2+（﹣x）2＝x2，
解得x＝4，
∴BE＝4，
∴AE＝AB﹣BE＝6，
∴△ACE的面积为AE CD＝×6×＝，
故答案为：．
17．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90，直角∠EPF顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下4个结论：①AE＝CF，②△EPF是等腰Rt△，③S四边形AEPF＝S△ABC，④EF＝AP．当∠EPF在△ABC内部绕顶点P旋转时（点E不与AB重合），上述结论始终成立的是　①②③　．
【分析】由题意可证△AEP≌△CFP，可得：①AE＝CF，②△EPF是等腰Rt△，③S四边形AEPF＝S△ABC，即成立的为①②③．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝90，点P是BC的中点
∴AP＝BP＝CP，∠B＝∠C＝∠BAP＝∠PAC＝45°，AP⊥BC，S△APC＝S△ABC
∵∠APF+∠CPF＝90°，∠APF+∠APE＝90°
∴∠APE＝∠CPF且AP＝PC，∠C＝∠BAP
∴△AEP≌△CFP（ASA）
∴AE＝CF，PF＝PE，S△AEP＝S△CFP．
∴△PEF是等腰直角三角形，S△APC＝S四边形AEPF．
∴S四边形AEPF＝S△ABC
故①②③正确，
∵AP是定值，EF随PF的变化而变化，只有当PF⊥AC时，EF＝AP
∴④不正确
故答案为：①②③
三、解答题（共6小题，满分31分）
18．计算：﹣12018+（）﹣2++（π﹣2019）0﹣|﹣2|．
【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
解：﹣12018+（）﹣2++（π﹣2019）0﹣|﹣2|
＝﹣1+4+（﹣3）+1﹣2+
＝﹣1+
19．已知（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝49，求x2+y2与xy的值．
【分析】已知等式利用完全平方公式化简，相加减即可求出所求式子的值．
解：∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝1①，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝49②，
∴①+②得：2（x2+y2）＝50，即x2+y2＝25；
①﹣②得：4xy＝﹣48，即xy＝﹣12．
20．已知a＝，b＝，求代数式[（ab+1）（ab﹣2）﹣2a2b2+2]÷（﹣ab）的值．
【分析】先根据多项式乘多项式算括号里面的，合并同类项，算除法，最后代入求出答案即可．
解：[（ab+1）（ab﹣2）﹣2a2b2+2]÷（﹣ab）
＝（a2b2﹣ab﹣2﹣2a2b2+2）÷（﹣ab）
＝（﹣a2b2﹣ab）÷（﹣ab）
＝ab+1，
当a＝，b＝时，
原式＝×+1
＝2+1
＝3．
21．本学期，我校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程，为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 　40　名；
（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是 　54°　，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级共有学生1200名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为多少？
【分析】（1）根据B级的人数和所占的百分比，可以求得本次抽样测试的学生人数；
（2）根据条形统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数和C级的人数，即可将条形统计图补充完整；
（3）用总人数乘以优秀的人数所占的百分比即可．
解：（1）本次抽样测试的学生人数是：12÷30%＝40（名），
故答案为：40；
（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是：360°×＝54°，
C级的人数为：40×35%＝14，补充完整的条形统计图如图所示：
故答案为：54°；
（3）1200×＝180（人），
答：估计优秀的人数为180人．
22．利用平面图形中面积相等的等量关系可以得到某些数学公式．例如：根据图①，
我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）根据图②，可以得到的数学公式是 　（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2　；
（2）根据图③，请写出（a+b）、（a﹣b）、ab的等量关系是 　（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab　．
（3）根据图④，请写出一个等式：　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca　；
（4）小明同学使用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片，恰好拼成一个面积为（3a+b）（a+3b）的长方形，则可得x+y+z的值为 　16　；
（5）类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．现请你根据图⑥，写出一个等式：　（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3　．
【分析】（1）根据图②利用图形间面积的和差关系可以表示出此题结果；
（2）从整体和部分求和两个角度分别表示出图③中正方形的面积即可；
（3）从整体和部分求和两个角度分别表示出图④中正方形的面积即可；，
（4）由计算（3a+b）（a+3b）可得x、y、z的值，就可以求得此题的结果；
（4）从整体和部分求和两个角度分别表示出图⑥中正方体的体积．
【解答】（1）图②中左上角正方形的面积可表示为（a﹣b）2或a2﹣2ab+b2，
故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
（2）用两种方法表示图③的面积分别为：（a+b）2和（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
（3）用两种方法表示图④的面积分别为：（a+b+c）2和a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；
（4）∵（3a+b）（a+3b）＝3a2+9ab+ab+3b2＝3a2+10ab+3b2，
∴x＝3，y＝10，z＝3，
∴x+y+z＝3+10+3＝16，
故答案为：16；
（5）图⑥的体积可表示为（a+b）3或a3+3a2b+3ab2+b3，
故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
23．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C，P是线段BC上一点，PA＝PD，且∠APD＝90°．
（1）如图1，若∠B＝∠C＝90°，求证：AB+CD＝BC；
（2）如图1，若∠B＝∠C＝90°，问AB2、CD2、AD2之间有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并给予证明；
（3）如图2，若∠B＝∠C＝45°，且PB＝PC，问AB2、CD2、AD2之间有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想即可，不需要证明．
【分析】（1）证明△ABP≌△PCD（AAS），推出AB＝PC，PB＝CD，可得结论．
（2）猜想：AB2+CD2＝AD2．利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理，可得结论；
（3）结论：AB2+CD2＝AD2．如图2中，过点A作AN⊥BC由点N，过点D作DM⊥BC由点M．利用（2）中结论以及等腰直角三角形的性质解决问题即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵∠B＝∠C＝∠APD＝90°，
∴∠APB+∠PAB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，
∴∠BAP＝∠DPC，
在△ABP和△PCD中，
，
∴△ABP≌△PCD（AAS），
∴AB＝PC，PB＝CD，
∴AB+CD＝PC+PB＝BC；
（2）猜想：AB2+CD2＝AD2．
理由：在Rt△APD中，∵PA＝PD，∠APD＝90°，
∴AD2＝PA2+PD2，
∴PD2＝AD2，
在Rt△DCP中，PD2＝PC2+CD2，
∵AB＝CP，
∴AB2+CD2＝AD2；
（3）结论：AB2+CD2＝AD2．
理由：如图2中，过点A作AN⊥BC由点N，过点D作DM⊥BC由点M．
∵∠B＝∠C＝45°，∠ANB＝∠DMC＝90°，
∴△ABN，△DMC都是等腰直角三角形，
∴AB2＝2AN2，CD2＝2DM2，
由（2）可知，AN2+DM2＝AD2，
∴2AN2+2DM2＝AD2，
∴AB2+CD2＝AD2．