2021-2022学年山东省青岛市市南区初级中学九年级（下）期初数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年山东省青岛市市南区初级中学九年级（下）期初数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）.
1．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（　　）
A．小明的影子比小强的影子长
B．小明的影子比小强的影子短
C．小明的影子和小强的影子一样长
D．无法判断谁的影子长
2．如图，该几何体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＜1且k≠0
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（　　）
A． B． C． D．
5．将函数y＝（x+1）2﹣4的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，则得到的函数解析式为（　　）
A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣8 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x+3）2﹣8
6．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）
A．x（x+1）＝1056 B．x（x﹣1）＝1056×2
C．x（x﹣1）＝1056 D．2x（x+1）＝1056
7．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2：1，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）
C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）
8．如图，已知一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜的解集为（　　）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2
C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
9．如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是（　　）
A．2π B．4π C．6π D．8π
10．如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（　　）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
11．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′的位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB＝3，则△AEC的面积为（　　）
A．2 B． C．3 D．1.5
12．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+b2﹣4ac与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题。（本题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若＝，则＝　 　．
14．一个不透明的盒子中装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验500次，其中有301次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有　 　个．
15．如图是一张长20cm、宽10cm的矩形纸板．将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积是144cm2的无盖长方体纸盒，则x的值为　 　．
16．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为　 　．
17．将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱三等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到27个小正方体，其中三面涂色的小正方体有8个，两面涂色的小正方体有12个，一面涂色的小正方体有6个，各面都没有涂色的小正方体有1个；现将这个正方体的棱n等分，如果得到各面都没有涂色的小正方体216个，那么n的值为 　 　．
18．正方形ABCD的边长AB＝2，E是AB的中点，F是BC的中点，AF分别与DE，BD相交于点M，N，则MN的长为　 　．
三、作图题：请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
19．已知：线段a．求作：正方形ABCD，使其对角线AC＝a．
四、解答题：（本题共7道小题，满分62分）
20．电影《长津湖之水门桥》上映后，好评不断，小亮和小丽都想去观看这部电影，但是只有一张电影票，于是他们决定采用摸球的办法决定胜负，获胜者去看电影，游戏规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号为1，2，3的三个小球（除编号外都相同）．从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字，若两次数字之和为奇数，则小亮胜，若两次数字之和为偶数，则小丽胜．
（1）请用列表或画树状图的方法表示摸球所有可能出现的结果；
（2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
21．如图，在坡角为28°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为10米，落在广告牌上的影子CD的长为6米，求铁塔AB的高．（AB、CD均与水平面垂直，结果保留一位小数，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88）
22．如图，已知点A（1，a）是反比例函数y＝﹣的图象上一点，直线y＝﹣与反比例函数y＝﹣的图象在第四象限的交点为点B．
（1）求直线AB的解析式；
（2）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标．
23．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF，AF．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的长．
24．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
时间x（天） 1≤x＜9 9≤x＜15 x≥15
售价（元/斤） 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格
销量（斤） 80﹣3x 120﹣x
储存和损耗费用（元） 40+3x 3x2﹣64x+400
（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
25．问题提出：我们已经学习了一元二次方程，二次函数，能否利用所学知识来求一元二次不等式的解集？
例如：解一元二次不等式：x2﹣5x＞0．
解：根据不等式特征构造二次函数y＝x2﹣5x；
当y＝0时，可得方程x2﹣5x＝0，解得x1＝0，x2＝5，则抛物线y＝x2﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．
画出二次函数y＝x2﹣5x的大致图象（如图1所示），
由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，
此时y＞0，即x2﹣5x＞0，
所以，一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为：x＜0，或x＞5．
（1）仿照上题的解题方法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，根据图象回答下列问题：
①不等式ax2+bx+c≥0的解集为 　 　；
②若不等式ax2+bx+c＞k无解，则k的取值范围为 　 　．
（3）一元二次不等式x2+ax+2a﹣3＞0的解集为全体实数，则a的取值范围为 　 　．
26．如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，AD＝12，BD＝16．动点E在线段AD上，从点A出发沿AD方向以每秒2个单位匀速运动．动点F在线段CD上，从点C出发沿CD方向以每秒4个单位匀速运动．过点E作EG⊥AD交AB于G．若点E、F同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之停止，设运动时间为t秒（0＜t≤5）．
（1）是否存在某一时刻t，使四边形BCFG为平行四边形，若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
（2）是否存在某一时刻t，使四边形BDEG的面积占△ABD面积的，若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
（3）是否存在某一时刻t，使点G在∠ADC的平分线上，若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
（4）是否存在某一时刻t，使∠GEF＝45°，若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.
1．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（　　）
A．小明的影子比小强的影子长
B．小明的影子比小强的影子短
C．小明的影子和小强的影子一样长
D．无法判断谁的影子长
【分析】在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长．
解：在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长．
故选：D．
2．如图，该几何体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
解：从左边看，是一个正方形，正方形的右上角有一条虚线，
故选：D．
3．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＜1且k≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．
故选：B．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据sin2A+cos2A＝1，进行计算即可解答．
解：由题意得：
sin2A+cos2A＝1，
∴cos2A＝1﹣＝，
∴cosA＝，
故选：C．
5．将函数y＝（x+1）2﹣4的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，则得到的函数解析式为（　　）
A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣8 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x+3）2﹣8
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
解：将函数y＝（x+1）2﹣4的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，则得到的函数解析式为：y＝（x+1﹣2）2﹣4+4，即y＝（x﹣1）2．
故选：A．
6．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）
A．x（x+1）＝1056 B．x（x﹣1）＝1056×2
C．x（x﹣1）＝1056 D．2x（x+1）＝1056
【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．
解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x﹣1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1056．
故选：C．
7．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2：1，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）
C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）
【分析】由在直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，按2：1的相似比把△EFO缩小为△E′F′O，利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点E′的坐标．
解：∵点E（﹣4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把△EFO缩小为△E′F′O，
∴点E的对应点E′的坐标为：（2，﹣1）或（﹣2，1）．
故选：C．
8．如图，已知一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜的解集为（　　）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2
C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
解：观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式ax+b＜的解集是﹣2＜x＜0或x＞1．
故选：D．
9．如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是（　　）
A．2π B．4π C．6π D．8π
【分析】由三视图得出该几何体是底面直径为2、高为4的圆柱体，再根据圆柱体的体积公式计算即可．
解：由三视图知，该几何体是底面直径为2、高为4的圆柱体，
所以该几何体的体积是π （）2 4＝4π，
故选：B．
10．如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（　　）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
【分析】设A（a，h），B（b，h），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah＝k1，bh＝k2．根据三角形的面积公式得到S△ABC＝AB yA＝（a﹣b）h＝（ah﹣bh）＝（k1﹣k2）＝4，求出k1﹣k2＝8．
解：∵AB∥x轴，
∴A，B两点纵坐标相同．
设A（a，h），B（b，h），则ah＝k1，bh＝k2．
∵S△ABC＝AB yA＝（a﹣b）h＝（ah﹣bh）＝（k1﹣k2）＝4，
∴k1﹣k2＝8．
故选：A．
11．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′的位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB＝3，则△AEC的面积为（　　）
A．2 B． C．3 D．1.5
【分析】先由旋转的性质及直角三角形的性质求出∠ACD＝30°，进而可算出CE、AD，再算出△AEC的面积．
解：由旋转的性质可知：AC＝AC'，
∵D为AC'的中点，
∴AD＝AC'＝AC，
∵ABCD是矩形，
∴AD⊥CD，
∴∠ACD＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠CAB＝30°，
∴∠C'AB'＝∠CAB＝30°，
∴∠EAC＝30°，
∴AE＝EC，
∴DE＝AE＝EC，
∴CE＝CD＝AB＝2，DE＝AB＝1，AD＝，
∴S△AEC＝EC AD＝＝，
故选：B．
12．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+b2﹣4ac与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题需要根据抛物线的位置，反馈数据的信息，即a+b+c，b，b2﹣4ac的符号，从而确定反比例函数、一次函数的图象位置．
解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即（1，a+b+c）在第四象限，因此a+b+c＜0；
∴双曲线的图象在第二、四象限；
由于抛物线开口向上，所以a＞0；
对称轴x＝＞0，所以b＜0；
抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0；
∴直线y＝bx+b2﹣4ac经过第一、二、四象限．
故选：D．
二、填空题。（本题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若＝，则＝　　．
【分析】设＝k，则a＝bk，c＝dk，e＝fk，代入式子再整理即可．
解：设＝＝k，
则a＝bk，c＝dk，e＝fk，
∴＝＝＝k＝，
故答案为：．
14．一个不透明的盒子中装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验500次，其中有301次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有　9　个．
【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到白球的概率为0.602，然后根据概率公式计算这个口袋中白球的数量．
解：设盒子中的白球大约有x个，
根据题意，得：＝，
解得x≈9，
经检验：x＝9是分式方程的解，
所以盒子中白球的个数约为9个，
故答案为：9．
15．如图是一张长20cm、宽10cm的矩形纸板．将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积是144cm2的无盖长方体纸盒，则x的值为　1　．
【分析】根据矩形纸板的长、宽，结合剪去正方形的边长可得出无盖纸盒的长、宽；根据矩形的面积公式结合无盖长方体纸盒的底面积为144cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
解：∵纸板是长为20cm，宽为13cm的矩形，且纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，
∴无盖纸盒的长为（20﹣2x）cm，宽为（10﹣2x）cm．
依题意，得：（20﹣2x）（10﹣2x）＝144，
整理，得：x2﹣15x+14＝0，
解得：x1＝1，x2＝14（不合题意，舍去）．
答：x的值为1．
故答案为：1．
16．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为　2.25m　．
【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a值，则x＝0时得的y值即为水管的长．
解：由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：
y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），
代入（3，0）求得：a＝﹣．
将a值代入得到抛物线的解析式为：
y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3），
令x＝0，则y＝＝2.25．
则水管长为2.25m．
故答案为：2.25m．
17．将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱三等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到27个小正方体，其中三面涂色的小正方体有8个，两面涂色的小正方体有12个，一面涂色的小正方体有6个，各面都没有涂色的小正方体有1个；现将这个正方体的棱n等分，如果得到各面都没有涂色的小正方体216个，那么n的值为 　8　．
【分析】求出没有涂色的部分的棱长，进而求出原正方体的棱长，确定n的值即可．
解：∵6×6×6＝216，
∴没有涂色的小正方体所组成的大正方体的棱长为6，
∴n＝6+1+1＝8，
故答案为：8．
18．正方形ABCD的边长AB＝2，E是AB的中点，F是BC的中点，AF分别与DE，BD相交于点M，N，则MN的长为　　．
【分析】根据△BNF∽△DNA，可求出AN的长；再根据△AME∽△ABF，求出AM的长，利用MN＝AN﹣AM即可解决．
解：∵BF∥AD
∴△BNF∽△DNA
∴
而BF＝BC＝1，AF＝
∴AN＝
又∵△DAE≌△ABF（SAS）
∴∠AED＝∠BFA
∴△AME∽△ABF
∴
即：
∴AM＝
∴MN＝AN﹣AM＝﹣＝
故答案为．
三、作图题：请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
19．已知：线段a．求作：正方形ABCD，使其对角线AC＝a．
【分析】作AC＝a，再作AC的垂直平分线l交AC于O，然后在直线l上截取OB＝OA，OD＝OA，则四边形ABCD为正方形．
解：如图，正方形ABCD为所作．
四、解答题：（本题共7道小题，满分62分）
20．电影《长津湖之水门桥》上映后，好评不断，小亮和小丽都想去观看这部电影，但是只有一张电影票，于是他们决定采用摸球的办法决定胜负，获胜者去看电影，游戏规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号为1，2，3的三个小球（除编号外都相同）．从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字，若两次数字之和为奇数，则小亮胜，若两次数字之和为偶数，则小丽胜．
（1）请用列表或画树状图的方法表示摸球所有可能出现的结果；
（2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【分析】（1）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数即可；
（2）根据概率公式求出小亮和小丽分别获胜的概率，再进行比较即可得出答案．
解：（1）根据题意列表如下；
和 1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
由图表知，共有9种等可能的情况数．
（2）共有9种等可能的情况数，两次数字之和为奇数的有4种情况，两次数字之和为偶数的有5种情况，
则P（小亮胜）＝，P（小丽胜）＝，
∵，
∴游戏对双方不公平．
21．如图，在坡角为28°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为10米，落在广告牌上的影子CD的长为6米，求铁塔AB的高．（AB、CD均与水平面垂直，结果保留一位小数，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88）
【分析】过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，在Rt△BFD中，分别求出DF、BF的长度，在Rt△ACE中，求出AE、CE的长度，继而可求得AB的长度．
解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，
在Rt△BFD中，
∵∠DBF＝28°，BD＝10，
∴DF＝BD×sin∠DBF≈10×0.47＝4.7，
BF＝BD×cos∠DBF≈10×0.88＝8.8，
∵AB∥CD，CE⊥AB，BF⊥CD，
∴四边形BFCE为矩形，
∴BF＝CE＝8.8，CF＝BE＝CD﹣DF＝1.3，
在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝8.8，
∴AB＝8.8+1.3＝10.1．
答：铁塔AB的高为10.1m．
22．如图，已知点A（1，a）是反比例函数y＝﹣的图象上一点，直线y＝﹣与反比例函数y＝﹣的图象在第四象限的交点为点B．
（1）求直线AB的解析式；
（2）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标．
【分析】（1）先把A（1，a）代入反比例函数解析式求出a得到A点坐标，再解方程组得B点坐标，然后利用待定系数法求AB的解析式；
（2）直线AB交x轴于点Q，如图，利用x轴上点的坐标特征得到Q点坐标，则PA﹣PB≤AB（当P、A、B共线时取等号），于是可判断当P点运动到Q点时，线段PA与线段PB之差达到最大，从而得到P点坐标．
解：（1）把A（1，a）代入y＝﹣得a＝﹣3，则A（1，﹣3），
解方程组得或，则B（3，﹣1），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（1，﹣3），B（3，﹣1）代入得，解得，
所以直线AB的解析式为y＝x﹣4；
（2）直线AB交x轴于点Q，如图，
当y＝0时，x﹣4＝0，解得x＝4，则Q（4，0），
因为PA﹣PB≤AB（当P、A、B共线时取等号），
所以当P点运动到Q点时，线段PA与线段PB之差达到最大，此时P点坐标为（4，0）．
23．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF，AF．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的长．
【分析】（1）先根据对角线互相平分证得四边形ABCD为平行四边形，再证得△DOF≌△BOE，从而得到DF∥BE，DF＝BE，得到四边形DEBF为平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形从而证得结论；
（2）过点F作FG⊥AB于点G，根据勾股定理求得AD、AB的长度，从而得到∠ABD＝30°，根据菱形性质得到△BEF为等边三角形，再根据勾股定理求出AG和GF的长度，根据勾股定理求出AF的长．
【解答】（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形；
（2）过点F作FG⊥AB于点G，如图，
∵AD∥EF，EF⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，
∵AD+AB＝12，BD＝4，
∴AD2+（4）2＝（12﹣AD）2，
解得AD＝4，AB＝8，
∴sin∠ABD＝，
∴∠ABD＝30°，
∵四边形DEBF是菱形，
∴∠EBF＝2∠ABD＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∵OB＝OD，EF∥AD，
∴AE＝BE＝4，
∵FG⊥BE，
∴EG＝BG＝2，
在Rt△BGF中，BF＝4，BG＝2，
根据勾股定理得，FG＝，
在Rt△AGF中，AG＝6，
根据勾股定理得，
AF＝＝＝4．
24．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
时间x（天） 1≤x＜9 9≤x＜15 x≥15
售价（元/斤） 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格
销量（斤） 80﹣3x 120﹣x
储存和损耗费用（元） 40+3x 3x2﹣64x+400
（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
【分析】（1）设这个百分率是x，根据某商品原价为10元，由于各种原因连续两次降价，降价后的价格为8.1元，可列方程求解；
（2）根据两个取值先计算：当1≤x＜9时和9≤x＜15时销售单价，由利润＝（售价﹣进价）×销量﹣费用列函数关系式，并根据增减性求最大值，作对比；
（3）设第15天在第14天的价格基础上可降a元，根据第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，列不等式可得结论．
解：（1）设该种水果每次降价的百分率是x，
10（1﹣x）2＝8.1，
x＝10%或x＝190%（舍去），
答：该种水果每次降价的百分率是10%；
（2）当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）＝9，
∴y＝（9﹣4.1）（80﹣3x）﹣（40+3x）＝﹣17.7x+352，
∵﹣17.7＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y有最大值，
y大＝﹣17.7×1+352＝334.3（元），
当9≤x＜15时，第2次降价后的价格：8.1元，
∴y＝（8.1﹣4.1）（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）＝﹣3x2+60x+80＝﹣3（x﹣10）2+380，
∵﹣3＜0，
∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，
当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，
∴当x＝10时，y有最大值，
y大＝380（元），
综上所述，y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式为：y＝，
第10天时销售利润最大；
（3）设第15天在第14天的价格基础上可降a元，
由题意得：380﹣127.5≤（8.1﹣4.1﹣a）（120﹣15）﹣（3×152﹣64×15+400），
252.5≤105（4﹣a）﹣115，
a≤0.5，
答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．
25．问题提出：我们已经学习了一元二次方程，二次函数，能否利用所学知识来求一元二次不等式的解集？
例如：解一元二次不等式：x2﹣5x＞0．
解：根据不等式特征构造二次函数y＝x2﹣5x；
当y＝0时，可得方程x2﹣5x＝0，解得x1＝0，x2＝5，则抛物线y＝x2﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．
画出二次函数y＝x2﹣5x的大致图象（如图1所示），
由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，
此时y＞0，即x2﹣5x＞0，
所以，一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为：x＜0，或x＞5．
（1）仿照上题的解题方法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，根据图象回答下列问题：
①不等式ax2+bx+c≥0的解集为 　﹣1≤x≤3　；
②若不等式ax2+bx+c＞k无解，则k的取值范围为 　k≥2　．
（3）一元二次不等式x2+ax+2a﹣3＞0的解集为全体实数，则a的取值范围为 　2＜a＜6　．
【分析】（1）令x2﹣2x﹣3＝0，由抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点及开口方向求解．
（2）①根据图象求出抛物线与x轴交点，进而求解．
②求出抛物线y＝x2+ax+2a﹣3的顶点坐标，由抛物线开口向上可得顶点纵坐标大于0符合题意，进而求解．
解：（1）令x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），开口向上，
∴x2﹣2x﹣3＞0的解集为x＜﹣1或x＞3．
（2）①∵抛物线对称轴为直线x＝1，点A坐标为（﹣1，0），
∴点B坐标为（3，0），
∵抛物线开口向下，
∴ax2+bx+c≥0的解集为：﹣1≤x≤3．
②由图象可得y＝ax2+bx+c的最大值为y＝2，
∴ax2+bx+c≤2，
当ax2+bx+c＞k时，k≥2，
∴k的取值范围是k≥2，
故答案为：﹣1≤x≤3．k≥2．
（3）∵y＝x2+ax+2a﹣3＝（x+）2﹣+2a﹣3，
∴抛物线顶点坐标为（﹣，﹣+2a﹣3），抛物线开口向上，
当﹣+2a﹣3＞0时满足题意，
解得2＜a＜6，
故答案为：2＜a＜6．
26．如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，AD＝12，BD＝16．动点E在线段AD上，从点A出发沿AD方向以每秒2个单位匀速运动．动点F在线段CD上，从点C出发沿CD方向以每秒4个单位匀速运动．过点E作EG⊥AD交AB于G．若点E、F同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之停止，设运动时间为t秒（0＜t≤5）．
（1）是否存在某一时刻t，使四边形BCFG为平行四边形，若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
（2）是否存在某一时刻t，使四边形BDEG的面积占△ABD面积的，若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
（3）是否存在某一时刻t，使点G在∠ADC的平分线上，若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
（4）是否存在某一时刻t，使∠GEF＝45°，若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据CF＝BG，构建方程求解即可；
（2）由四边形BDEG的面积占△ABD面积的可得△AGE的面积占△ABD面积的，证明△AGE∽△ABD．根据相似三角形的性质，即可解决问题；
（3）连接GD，由点G在∠ADC的平分线上，根据平行线的性质可得∠AGD＝∠CDG＝∠ADG，等角对等边得AG＝AD，则t＝12，即可解决问题；
（4）过点F作FH⊥AD交AD的延长线于H，证明△DFH∽△ABD．根据相似三角形的性质求出FH，DH，由∠GEF＝45°，EG⊥AD可得∠FED＝45°，则FH＝EH，构建方程求解即可．
解：（1）存在，t＝，理由如下：
∵BD⊥AD，AD＝12，BD＝16．
∴AB＝＝＝20，
∵EG⊥AD，
∴EG∥BD，
∴，
∴＝，
∴AG＝t，GE＝t，
∴BG＝AB﹣AG＝20﹣t，
当CF＝BG时，四边形BCFG是平行四边形，
∴4t＝20﹣t，
∴t＝；
（2）存在，t＝，理由如下：
∵四边形BDEG的面积占△ABD面积的，
∴△AGE的面积占△ABD面积的，
∵BD⊥AD，EG⊥AD，
∴EG∥BD，
∴△AGE∽△ABD．
∴（）2＝，
∴＝＝，
∴t＝；
（3）存在，t＝，理由如下：
连接GD，
∵点G在∠ADC的平分线上，
∴∠CDG＝∠ADG，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AGD＝∠CDG＝∠ADG，
∴AG＝AD，
由（1）知AG＝t，
∴t＝12，
∴t＝；
（4）存在，t＝，理由如下：
过点F作FH⊥AD交AD的延长线于H，
∵EG⊥AD，
∴∠H＝∠BDA＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CDH＝∠A，
∴△DFH∽△ABD．
∴，
∴，
∴FH＝，DH＝，
∵∠GEF＝45°，EG⊥AD，
∴∠FED＝45°，
∵FH⊥AD，
∴FH＝EH＝ED+DH＝，
∴12﹣2t+＝，
∴t＝．