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第四讲 向量的数乘运算
【提升训练】
一、单选题
1．（2021·全国高一课时练习）如图，是⊙的直径，点、是半圆弧上的两个三等分点，，，则等于（ ）21·cn·jy·com
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
连接、、，分析出四边形为平行四边形，利用平面向量加法的平行四边形法则可得出结果.
【详解】
连接、、，如图．
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由于点、是半圆弧上的两个三等分点，则，
，则、均为等边三角形，，
，，同理可知，
所以，四边形为平行四边形，所以，，
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：解本题的关键在于分析出四边形为平行四边形，进而利用平面向量加法的平行四边形法则求解.
2．（2021·蕲春县第一高级中学）我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（ ）21世纪教育网版权所有
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A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用平面向量的加法法则和数乘向量求解.
【详解】
由题得
即，解得，即，
故选：B
【点睛】
方法点睛：向量的线性运算，一般主要考查平面向量的加法、减法法则、平行四边形法则和数乘向量，要根据已知条件灵活运算这些知识求解.2·1·c·n·j·y
3．（2021·浙江高一单元测试）如图，在正方形中，是线段上的一动点，交于点，若，，则（ ）【出处：21教育名师】
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A． B．1
C． D．2
【答案】B
【分析】
由与相似，可得,所以，又，可得，从而可得，得出答案.
【详解】
由，可得
由与相似，可得,所以
又,则,即
所以,所以，则
故
故选：B.
【点睛】
关键点睛：本题考查向量的线性运算和数乘运算，解答本题的关键是由由与相似得出，再根据得出，属于中档题.
4．（2021·浙江高一单元测试）已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（ ）【版权所有：21教育】
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】
在，上分别取单位向量，作，则平分，用表示出代入条件式，用表示出，则可证明，，三点共线，即平分．
【详解】
在，上分别取点，，使得，，
则．
以，为邻边作平行四边形，如图，
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则四边形是菱形，且．
为的平分线．
，
即，
．
，，三点共线，即在的平分线上．
同理可得在其他两角的平分线上，
是的内心．
故选：．
【点睛】
本题考查了三角形内心的向量表示，向量的线性运算，属于中档题.
5．（2020·全国高一）点M，N，P在所在平面内，满足，，且，则M、N、P依次是的（ ）
A．重心，外心，内心 B．重心，外心，垂心
C．外心，重心，内心 D．外心，重心，垂心
【答案】B
【分析】
由三角形五心的性质即可判断出答案．
【详解】
解：，，
设的中点，则，
，，三点共线，即为的中线上的点，且．
为的重心．
，
，
为的外心；
，
，
即，，
同理可得：，，
为的垂心；
故选：．
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【点睛】
本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题．
6．（2020·辉县市第二高级中学高一期中）在中，为中点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
选取向量，为基底，由向量线性运算，求出，即可求得结果.
【详解】
， ，
，
，，.
故选：B.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.
7．（2020·湖北高一期中）在中，，，且，，则点P的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心
【答案】A
【分析】
设，则，再利用平行四边形法则可知，P在中线上，即可得答案；
【详解】
如图，
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，∴，，
由平行四边形法则可知，P在中线上，
P的轨迹一定通过的重心.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用.21教育网
8．（2021·上海高一课时练习）设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为
A．6 B． C． D．4
【答案】A
【分析】
作，，，由已知可得是的重心，由重心性质可得所求面积比．
【详解】
作，，，如图，∵，∴是的重心，则，设，
设，
∵，，，
∴，即，同理，，
，
∴．
故选：A．
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【点睛】
本题考查三角形面积的计算，考查向量的加法与数乘法则，体现了向量在解决平面图形问题中的优越性．
9．（2021·江苏高一课时练习）已知点为内一点，满足，若，则（ ）.
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】
利用数乘的定义作图，作，，构造出是的重心，根据重心性质，及三角形面积比得出结论．
【详解】
∵点为内一点，满足，∴，
如图，作，，则，
∴是的重心，∴，
由，，知，，，
∴，
∴，解得．
故选：A．
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【点睛】
本题考查向量的线性运算，解题关键是利用数乘定义构造出以为重心的，然后利用面积比得出结论．
10．（2020·四川遂宁市·高一期末）设是的重心，且，若外接圆的半径为1，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据是三角形的重心得到，结合已知条件进行化简，求得，由此判断出三角形是等边三角形，再结合三角形外接圆半径以及正弦定理，求得三角形的边长，由此求得三角形的面积.
【详解】
∵是的重心，∴，
则，代入得，，
∵不共线，∴且，
即，∴是等边三角形，又外接圆的半径为1，
∴由正弦定理得，，则，
∴.
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查三角形重心的向量表示，考查正弦定理的运用，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
11．（2021·全国高一课时练习）已知O为所在平面内的一点，且满足，则的面积与的面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意，可得为内部一点，取中点，连接并延长至，使 于是四边形是平行四边形，由条件和共线向量定理，即可得到为中线，同理延长交于，则也为中点，即可得到是重心．
【详解】
解：由得，故在△内部，
如图，取中点，连接并延长至，使得，
则四边形为平行四边形．
则，又因为，
所以、、三点共线且，
即为的重心．
所以，
故选：．
( http: / / www.21cnjy.com / )【点睛】
本题考查平面向量的运用，考查向量加法的平行四边形法则，同时考查三角形的重心定义，属于中档题．
12．（2021·全国高一课时练习）已知所在平面内一点，满足，则与的面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题画出图形,则,整理可得,设和的中点分别为,则,即可判定点的位置,进而求解.
【详解】
如图所示,
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,所以,即,所以,
设和的中点分别为,则由可得,即,即点是的中位线上靠近点的三等分点,所以,
故选:C
【点睛】
本题考查向量的线性运算,考查利用向量处理几何问题.
13．（2021·江苏扬州市·扬州中学高一月考）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解．
【详解】
解：如图所示的，其中角为直角，则垂心与重合，
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为的外心，，即为斜边的中点，
又为中点，，
为中点，
．
故选：．
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力．
14．（2020·天津静海一中高一月考）点是所在平面上的两点，满足和，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】A
【分析】
由平面向量的加法与减法运算，将表达式化简.即可由向量数量积定义求得的关系，进而判断的形状.
【详解】
点是所在平面上的两点，满足
所以
即
因为
所以
即，所以
又因为
则
所以
即
两边同时平方并展开化简可得
即
所以
综上可知，的形状是等腰直角三角形
故选：A
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量数量积的运算律与定义，向量垂直与数量积关系，三角形形状的判断，属于中档题.21cnjy.com
15．（2020·全国高一课时练习）设，，分别是的边，，上的点，且，，，则与之间的关系为（ ）21·世纪*教育网
A．反向平行 B．同向平行 C．一定不平行 D．不能判断两个向量的关系
【答案】A
【分析】
利用向量的线性运算，求得，由此判断出两者反向平行.
【详解】
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量共线的条件，属于基础题.
16．（2020·全国高一课时练习）点为所在的平面内，给出下列关系式：
①；
②；
③.
则点依次为的（ ）
A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．重心、内心、外心 D．外心、垂心、重心
【答案】C
【分析】
逐条判断。第一条是关于重心的性质；第二条取单位长度的向量和，从而得出点在的平分线上，这就涉及三角形的内心；第三条可以推导出和垂直，从而和三角形的外心相关。
【详解】
①由于，其中为的中点，可知为边上中线的三等分点（靠近线段），故为的重心；
②向量，，分别表示在边和上取单位向量和，它们的差是向量，当，即时，则点在的平分线上，同理由，知点在的平分线上，故为的内心；【来源：21·世纪·教育·网】
③是以，为边的平行四边形的一条对角线的长，而是该平行四边形的另一条对角线的长，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，故为的外心.21*cnjy*com
故选：C
【点睛】
本题考查利用向量的方法去研究三角形的内心，外心，重心的性质，属于有一定难度的综合题。
17．（2019·胶州市实验中学高一期中）已知所在平面内的一点满足，则（ ）
A．1∶2∶3 B．1∶2∶1 C．2∶1∶1 D．1∶1∶2
【答案】B
【分析】
延长至，可得出点是的重心，再根据重心的性质可得出结论。
【详解】
延长至，使得，于是有，即点是的重心，依据重心的性质，有.由是的中点，得.
故选：B
【点睛】
本题考查了三角形重心和向量的关系，主要是用向量表达重心的数量关系。另外本题是奔驰定理直接推导得出。
18．（2018·河南郑州市·郑州外国语中学高一月考）为等边三角形内一点，且满足，若与的面积之比为，则实数的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】
根据，确定O点的基本位置，再根据面积比进一步确定，即可求得参数的值.
【详解】
取AC边中点为E，BC中点为F，连接EF，作图如下：
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，整理得
即：，故O点在中位线EF上.
因为与的面积之比为，
可得与的面积之比为，
因为这两个三角形等高，故面积比为底边长度之比，
即：，
故点O是EF上靠近E点的三等分点，
显然此时：.
故选：A.
【点睛】
本题考查向量的线性运算在三角形中的应用，属综合基础题.
19．（2020·江西南昌市·南昌二中高一月考）若点是的重心，分别是，，的对边，且.则等于（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】D
【分析】
由点是的重心可得,即,代入中可得,由不共线可得,即可求得的关系,进而利用余弦定理求解即可
【详解】
因为点是的重心,所以,
所以,
代入可得,
因为不共线,所以,
即,所以,故,
故选:D
【点睛】
本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角
20．（2020·河北石家庄市·高一期末）在中，E、F分别为BC、AB边上的中点，AE与CF相交于点G，设，，且，则的值为（ ）
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A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】
由题可知，G点为重心，故而利用向量运算法则，可求得结果.
【详解】
连接BG，延长交AC于O，作图如下：
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容易知：G点为重心，故而：
，而，又：
，，代入上式得：
故，则.
故选：A.
【点睛】
本题考查向量的基本运算在三角形中的应用，属基础题.
21．（2020·上海交大附中高一期末）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】
先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定的方向与的角平分线一致，再由可得到，可得答案．
【详解】
解：、分别表示向量、方向上的单位向量，
的方向与的角平分线一致，
又，
，
向量的方向与的角平分线一致
点的轨迹一定经过的内心.
故选：B．
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算和向量的数乘，以及对三角形内心的理解，考查化简运算能力．
22．（2020·安徽黄山市·高一期末）为三角形内部一点， 均为大于1的正实数，且满足，若 分别表示 的面积，则为（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用已知条件，结合三角形的面积的比，转化求解即可．
【详解】
解：由，
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如图设
，即是的重心
同理可得，
所以．
故选：．
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，三角形的面积的比，考查计算能力，属于中档题．
23．（2020·重庆高一期末）设为的外心，若，则是的（ ）
A．重心（三条中线交点） B．内心（三条角平分线交点）
C．垂心（三条高线交点） D．外心（三边中垂线交点）
【答案】C
【分析】
设的中点为，根据题意可得，由题中向量的等式化简得，即在边的高线上．同理可证出在边的高线上，故可得是三角形的垂心．www-2-1-cnjy-com
【详解】
在中，为外心，可得，
∵，
∴，
设的中点为，则，，
∴，可得在边的高线上．
同理可证，在边的高线上，
故是三角形两高线的交点，可得是三角形的垂心，
故选：C
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【点睛】
本题给出三角形中的向量等式，判断点是三角形的哪一个心．着重考查了向量加法法则、三角形的外接圆性质和三角形“五心”的判断等知识点，属于中档题．21教育名师原创作品
24．（2020·四川广元市·高一期中）在中，，，，为的外心，若，、，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
作出图形，先推导出，同理得出，由此得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出的值.
【详解】
如下图所示，取线段的中点，连接，则且，
，
同理可得，
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，
由，可得，即，
解得，，因此，.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用三角形外心的向量数量积 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.【来源：21cnj*y.co*m】
25．（2020·四川绵阳市·三台中学高一月考）已知点P为ABC内一点，，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面积公式确定面积之比
【详解】
解：，，如图：
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，
，
、、三点共线，且，为三角形的中位线
而
，，的面积之比等于
故选：．
【点睛】
本题考查了向量式的化简，向量加法的平行四边形法则，向量数乘运算的几何意义等向量知识，充分利用向量共线是解决本题的关键2-1-c-n-j-y
26．（2021·全国高一课时练习）已知点是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】
延长交于，利用三点共线可设，再利用三点共线可设，利用题设条件可计算的值，从而可计算所求面积之比.
【详解】
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如图，延长交于，则，
因为三点共线，所以即，
所以，则，故且，
又，故，所以，
所以，所以，故选C.
【点睛】
一般地，利用向量的线性运算可计算 ( http: / / www.21cnjy.com )平面几何中线段的比值，从而得到相应的面积之比，在计算线段比值时，应利用基底法，把向量的关系转化为基底向量的系数关系，从而得到欲求的线段长度的比值.
27．（2020·衡水市第十四中学）已知点是所在平面内一点，且满足，则直线必经过的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【分析】
两边同乘以向量，利用向量的数量积运算可求得从而得到结论．
【详解】
两边同乘以向量,得
即点P在BC边的高线上，所以P的轨迹过△ABC的垂心，
故选D.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义，属中档题．
28．（2021·全国高一课时练习）如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题，延长AP交BC于点D，利用共线定理，以及向量的运算求得向量的关系，可得与的比值，再利用面积中底面相同可得结果.
【详解】
延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线，
所以，设
代入可得
即
又因为，即，且
解得
所以可得
因为与有相同的底边，所以面积之比就等于与之比
所以与的面积之比为
故选D
【点睛】
本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目.
二、多选题
29．（2019·全国高一课时练习）若点D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，且，，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
结合图形，根据向量的加法、减法及数乘运算一一判断。
【详解】
如图，
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在中，，故A正确；
，故B正确；
，，故C正确；
，故D不正确．
故选：ABC
【点睛】
本题考查向量的线性运算，属于基础题。
30．（2019·山东烟台市·）下列关于平面向量的说法中不正确的是
A．已知，均为非零向量，则存在唯-的实数，使得
B．若向量，共线，则点，，，必在同一直线上
C．若且，则
D．若点为的重心，则
【答案】BC
【分析】
利用向量共线的概念即可判断A正确，B错误；利用向量垂直的数量积关系即可判断C错误，利用三角形重心的结论即可判断D正确，问题得解.
【详解】
对于选项A，由平面向量平行的推论可得其正确；
对于选项B，向量，共线，只需两向量方向相同或相反即可，点，，，不必在同一直线上，故B错误；
对于选项C，，则，不一定推出，故C错误；
对于选项D，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.
故选BC
【点睛】
本题主要考查了平面向量共线（平行）的定义，考查了平行向量垂直的数量积关系，还考查了平面向量中三角形重心的推论，属于中档题．
三、填空题
31．（2021·浙江高一期末）已知为内的一点，满足，则与的面积之比为________．
【答案】
【分析】
取中点，利用向量的线性运算可求得，从而得到的值，根据可求得结果.
【详解】
分别取的中点，连接，
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，，即，
，，；
又为中点，，.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查平面向量在三角形中的应用，解题关键是能够利用平面向量的线性运算得到共线向量与的模长的比例关系，通过模长的比例关系得到面积之比.
32．（2020·山西大同市·大同一中高一月考）中，角平分线交AB于点C．设， ，，且.给出下列结论：① ；②，；③ ，；④；⑤ .其中命题一定正确的序号是 ______ .（把你认为正确的都填上）
【答案】①④
【分析】
由三点共线，但不确定在线段的位置，判断①成立，②、③不一定成立，
再由角平分线性质得，再结合，即可求出与之间的关系，即可求出结论.
【详解】
根据三点共线的充要条件①成立，
而点在线段位置不能确定，
所以②、③不一定成立.
又，
∴，，由得，
∴，
∴即④成立⑤不成立.
故答案为:①④.
【点睛】
本题考查向量基本定理、共线向量的充要条件、角平分线的向量表示，属于中档题.
四、解答题
33．（2021·江苏高一课时练习）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点.
（1）若点O满足，求证：；
（2）已知E为AC边中点，O在线段DE上，且满足，△BOC的面积为2，求△ABC的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）面积为12.
【分析】
（1）根据D为BC的中点，从而根据向量加法的平行四边形法则得到，从而得到，这便可得出；
（2）同上，从而得到，进一步便可得到AB=6DO，从而有S△ABC=6S△BOC，这样便可得出△ABC的面积.
【详解】
（1）∵D为BC边中点；
∴；
∴由得，；
∴；
（2）如图，
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根据条件：；
∴，∴DE=3DO；
又AB=2DE，∴AB=6DO，
所以，
即△ABC的面积为12.
【点睛】
关键点点睛：利用向量加法的平行四边形法则，向量的加法和数乘运算，以及向量数乘的几何意义，三角形的面积公式求解是解题关键.
34．（2020·全国高一课时练习）如图，已知四边形为平行四边形，与相交于，，，设，，试用基底表示向量，，.
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【答案】，，
【分析】
利用平面的向量的线性运算法则：共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则，依次可求得到答案.
【详解】
是平行四边形，，，，
，
，
.
【点睛】
方法点睛：本题考查平面向量的线性运算，常见类型及解题策略：
（1）向量加法或减法的几何意义，向量加法和减法均适合三角形法则．
（2）求已知向量的和，一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
35．（2019·山东菏泽市·高一期中）已知平面上三点A，B，C的坐标依次为，，.
（1）若为直角三角形，且角A为直角，求实数k的值；
（2）在（1）的条件下，设，，若，证明：.
【答案】（1）（2）证明见解析
【分析】
（1）根据为直角三角形，且角A为直角，可知，即，解得值；（2）利用向量三角形法则得出和，由知，利用向量平行性质即可证明.
【详解】
解：（1）因为A，B，C的坐标依次为，，.
所以，，
因为为直角三角形，且角A为直角，
所以，
所以，
所以
（2）
，
因为，所以，
所以，
整理得.
【点睛】
本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数乘，平行向量的坐标关系，属于基础题.
36．（2021·江苏高一）如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．
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(1)设，将用，，表示；
(2)设，，证明：是定值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）寻找包含的图形，利用向量的加法法则知 ，再根据和 即可
（2）根据（1）结合，知： ，再根据是 的重心知：
，最后根据 不共线得到关于 的方程组即可求解
【详解】
(1)解 ＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.
(2)证明 一方面，由(1)，得
＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；①
另一方面，∵G是△OAB的重心，∴＝＝× (＋)＝＋.②
而，不共线，∴由①②，得 ( http: / / www.21cnjy.com / )解得 ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴＋＝3(定值)．
【点睛】
本题考查了向量的加减法，三角形的重心的性质，平面向量的定值问题，属于基础题．
37．（2020·全国）已知向量，求证：．
【答案】见解析
【解析】
试题分析：根据题设条件可得，，从而可证.
试题解析：∵
∴
∵
∴
∴
38．（2019·全国高一课时练习）已知是未知向量，解下列方程：
（1） （2）
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：利用一元一次方程的求解方法，先去括号，再移项合并同类项，系数化为1，即可求得向量
试题解析：（1）
39．（2019·全国高一课时练习）化简
【答案】
【解析】
试题分析：先去括号，再合并同类项即可.
试题解析：
40．（2021·江苏扬州市·扬州中学高一月考）已知中，过重心G的直线交边于P，交边于Q，设的面积为，的面积为，，.www.21-cn-jy.com
（1）求证：.
（2）求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）设，可得，，利用三点共线可得，即可建立关系求证结论；
（2）利用三角形面积公式化简可知，再结合及的取值范围，利用二次函数求最值即可得到结果.
【详解】
设，又，
，
三点共线，则存在，使得，即
即
，整理得，即，
两边同除以得，
（2）由，
利用三角形面积公式得：
，则，可知
，
则当时，取得最小值，当时，取得最小值，
又，故的取值范围为
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【点睛】
关键点点睛：本题考查向量的线性运算，向量的共线定理，三角形的重心，其中根据向量共线，根据共线基本定理知，存在实数，使得，进而得到的关系式，是解题的关键，考查学的逻辑推理与转化化归能力，属于较难题.
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第四讲 向量的数乘运算
【提升训练】
一、单选题
1．（2021·全国高一课时练习）如图，是⊙的直径，点、是半圆弧上的两个三等分点，，，则等于（ ）21cnjy.com
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A． B． C． D．
2．（2021·蕲春县第一高级中学）我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（ ）www-2-1-cnjy-com
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A． B．
C． D．
3．（2021·浙江高一单元测试）如图，在正方形中，是线段上的一动点，交于点，若，，则（ ）2-1-c-n-j-y
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A． B．1
C． D．2
4．（2021·浙江高一单元测试）已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（ ）21*cnjy*com
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．（2020·全国高一）点M，N，P在所在平面内，满足，，且，则M、N、P依次是的（ ）21教育名师原创作品
A．重心，外心，内心 B．重心，外心，垂心
C．外心，重心，内心 D．外心，重心，垂心
6．（2020·辉县市第二高级中学高一期中）在中，为中点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·湖北高一期中）在中，，，且，，则点P的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心
8．（2021·上海高一课时练习）设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为
A．6 B． C． D．4
9．（2021·江苏高一课时练习）已知点为内一点，满足，若，则（ ）.
A． B． C． D．2
10．（2020·四川遂宁市·高一期末）设是的重心，且，若外接圆的半径为1，则的面积为（ ）21教育网
A． B． C． D．
11．（2021·全国高一课时练习）已知O为所在平面内的一点，且满足，则的面积与的面积的比值为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
12．（2021·全国高一课时练习）已知所在平面内一点，满足，则与的面积的比值为（ ）【版权所有：21教育】
A． B． C． D．
13．（2021·江苏扬州市·扬州中学高一月考）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
14．（2020·天津静海一中高一月考）点是所在平面上的两点，满足和，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
15．（2020·全国高一课时练习）设，，分别是的边，，上的点，且，，，则与之间的关系为（ ）21·cn·jy·com
A．反向平行 B．同向平行 C．一定不平行 D．不能判断两个向量的关系
16．（2020·全国高一课时练习）点为所在的平面内，给出下列关系式：
①；
②；
③.
则点依次为的（ ）
A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．重心、内心、外心 D．外心、垂心、重心
17．（2019·胶州市实验中学高一期中）已知所在平面内的一点满足，则（ ）
A．1∶2∶3 B．1∶2∶1 C．2∶1∶1 D．1∶1∶2
18．（2018·河南郑州市·郑州外国语中学高一月考）为等边三角形内一点，且满足，若与的面积之比为，则实数的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
19．（2020·江西南昌市·南昌二中高一月考）若点是的重心，分别是，，的对边，且.则等于（ ）21世纪教育网版权所有
A．90° B．60° C．45° D．30°
20．（2020·河北石家庄市·高一期末）在中，E、F分别为BC、AB边上的中点，AE与CF相交于点G，设，，且，则的值为（ ）2·1·c·n·j·y
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A． B． C． D．1
21．（2020·上海交大附中高一期末）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
22．（2020·安徽黄山市·高一期末）为三角形内部一点， 均为大于1的正实数，且满足，若 分别表示 的面积，则为（ ）21·世纪*教育网
A． B． C． D．
23．（2020·重庆高一期末）设为的外心，若，则是的（ ）
A．重心（三条中线交点） B．内心（三条角平分线交点）
C．垂心（三条高线交点） D．外心（三边中垂线交点）
24．（2020·四川广元市·高一期中）在中，，，，为的外心，若，、，则（ ）【出处：21教育名师】
A． B． C． D．
25．（2020·四川绵阳市·三台中学高一月考）已知点P为ABC内一点，，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
26．（2021·全国高一课时练习）已知点是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为
A． B． C．3 D．
27．（2020·衡水市第十四中学）已知点是所在平面内一点，且满足，则直线必经过的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
28．（2021·全国高一课时练习）如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于
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A． B． C． D．
二、多选题
29．（2019·全国高一课时练习）若点D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，且，，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
30．（2019·山东烟台市·）下列关于平面向量的说法中不正确的是
A．已知，均为非零向量，则存在唯-的实数，使得
B．若向量，共线，则点，，，必在同一直线上
C．若且，则
D．若点为的重心，则
三、填空题
31．（2021·浙江高一期末）已知为内的一点，满足，则与的面积之比为________．
32．（2020·山西大同市·大同一中高一月考）中，角平分线交AB于点C．设， ，，且.给出下列结论：① ；②，；③ ，；④；⑤ .其中命题一定正确的序号是 ______ .（把你认为正确的都填上）【来源：21cnj*y.co*m】
四、解答题
33．（2021·江苏高一课时练习）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点.
（1）若点O满足，求证：；
（2）已知E为AC边中点，O在线段DE上，且满足，△BOC的面积为2，求△ABC的面积.
34．（2020·全国高一课时练习）如图，已知四边形为平行四边形，与相交于，，，设，，试用基底表示向量，，.
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35．（2019·山东菏泽市·高一期中）已知平面上三点A，B，C的坐标依次为，，.
（1）若为直角三角形，且角A为直角，求实数k的值；
（2）在（1）的条件下，设，，若，证明：.
36．（2021·江苏高一）如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．21*cnjy*com
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(1)设，将用，，表示；
(2)设，，证明：是定值．
37．（2020·全国）已知向量，求证：．
38．（2019·全国高一课时练习）已知是未知向量，解下列方程：
（1） （2）
39．（2019·全国高一课时练习）化简
40．（2021·江苏扬州市·扬州中学高一月考）已知中，过重心G的直线交边于P，交边于Q，设的面积为，的面积为，，.www.21-cn-jy.com
（1）求证：.
（2）求的取值范围.
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