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第五讲 平面向量的数量积
【提升训练】
一、单选题
1．（2021·浙江高一期末）设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数，无最小值，则以下说法正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A．若和确定，则唯一确定
B．若和确定，则有最大值
C．若确定，则
D．若不确定，则与的大小关系不确定
2．（2021·江苏苏州市·高一期中）若平面向量、、两两的夹角相等，且，，，则（ ）21教育网
A． B． C．或 D．或
3．（2021·上海高一课时练习）已知向量满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高一月考）设非零向量，的夹角为，定义运算“”，，为任意非零向量，下列命题：21cnjy.com
①若，则；
②若，则；
③；
④若，则.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2021·全国高一课时练习）已知非零向量满足，且与的夹角为120°，则＝（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
6．（2021·全国高一课时练习）已知，是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高一月考）的外接圆的圆心为则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考）已知，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·浙江高一期末）在中，，，动点位于直线上，当取得最小值时，向量与的夹角余弦值为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
10．（2021·浙江高一期末）在所在的平面内，点满足，若，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·浙江高一单元测试）在中，角所对的边分别为，且点满足，若，则的最大值为（ ）2-1-c-n-j-y
A． B． C． D．
12．（2021·浙江高一单元测试）若非零向量满足，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·湖北宜昌市·高一月考）已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ）【出处：21教育名师】
A． B． C． D．
14．（2021·江苏高一课时练习）已知＝(－，－1)，＝(1，)，那么的夹角θ＝（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·江苏高一单元测试）已知单位向量，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
16．（2021·南昌市·江西师大附中高一期末）已知与的夹角为，，则()的最小值为（ ）21·世纪*教育网
A． B． C． D．
17．（2020·北京师范大学万宁附属中学高一开学考试）已知向量满足，，且，则与的夹角为（ ）【版权所有：21教育】
A． B． C． D．
18．（2020·全国高一单元测试）设向量，满足，，则（ ）
A．2 B． C． D．
19．（2021·全国高一课时练习）已知向量，满足，若对任意模为2的向量，均有，则向量的夹角的取值范围是（ ）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
20．（2021·浙江高一单元测试）均为单位向量，且它们的夹角为45°，设，满足，则的最小值为（ ）21教育名师原创作品
A． B． C． D．
21．（2020·重庆高一月考）平面上的两个向量和，，，，若向量，且，则的最大值为（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
22．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知，是平面内两个夹角为的单位向量，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
23．（2020·河南洛阳市·高一期末（文））已知四边形中，，，，点在四边形上运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
24．（2020·湖州市菱湖中学高一期中）已知向量，的夹角为，且，，则与的夹角等于
A． B． C． D．
25．（2019·广州市·广东实验中学高一期末）已知是圆上的三点，（ ）
A． B． C． D．
26．（2019·浙江绍兴市·诸暨中学高一期中）已知是两个非零向量，且，，则的最大值为
A． B． C．4 D．
27．（2020·全国高一课时练习）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是
A． B． C．2 D．
二、多选题
28．（2021·江苏苏州市·苏州中学高一期中）称为两个向量，间的“距离”.若向量，满足：①；②；③对任意的，恒有，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
29．（2021·江苏泰州市·泰州中学高一月考）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．已知平面向量、、满足，且，则是等边三角形
B．若，则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．若，则点为的内心
三、填空题
30．（2021·浙江高一期末）已知向量满足，，则的取值范围是_________．
31．（2021·江苏高一期中）在中，，若，则的取值范围为_________．
32．（2021·浙江高一期末）如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________.21·cn·jy·com
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四、双空题
33．（2021·天津市滨海新区塘沽第一中学）如图，在中，，，为上一点，且满足，________ ；若的面积为，则的最小值为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
34．（2021·全国高一课时练习）已知平面向量，其中，的夹角是，则____________；若为任意实数，则的最小值为____________．www-2-1-cnjy-com
五、解答题
35．（2021·江苏苏州市·高一期中）已知是圆O的一条直径，且，C，D是直径同侧的半圆弧上两个三等分点，其中C是靠近A的三等分点．21*cnjy*com
（1）求的值；
（2）求的值．
36．（2021·天津静海一中高一月考）在梯形中，，，，，P，Q分别为线段和上的动点．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求与的数量积；
（2）若，求；
（3）若，，求的最大值．
（4）求数量积是向量中常见常考的问题，根据本题试总结常用的求数量积的方法．
37．（2021·浙江高一期末）在中，满足，M是中点．
（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若O是线段上任意一点，且，求的最小值．
38．（2021·江苏高一课时练习）已知平面上三个向量 的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.
（1）求证：(－)⊥；
（2）若|＋＋|>1(k∈R)，求k的取值范围.
39．（2021·江苏高一课时练习）设，，若存在不同时为零的实数k和t，使，，且.
（1）试求函数表达式；
（2）求使的取值范围.
40．（2021·江苏高一课时练习）设向量满足||及|3|.
（1）求夹角的大小；
（2）求|3|的值.
41．（2020·重庆一中高一月考）已知，，设.
（1）当时，求的值域；
（2）若锐角满足，且不等式恒成立，求的取值范围.
42．（2021·全国高一课时练习）已知向量，且，与的夹角为.，.
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值；
（4）若与的夹角为，求的值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第五讲 平面向量的数量积
【提升训练】
一、单选题
1．（2021·浙江高一期末）设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数，无最小值，则以下说法正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
A．若和确定，则唯一确定
B．若和确定，则有最大值
C．若确定，则
D．若不确定，则与的大小关系不确定
【答案】B
【分析】
令，其对称轴为，结合题意要使得无最小值，则对称轴不在，从而可得或，进而可选出正确答案.
【详解】
由题意知，，令，则函数的图象的对称轴为，因为无最小值，所以或，所以或，所以和确定，则有最大值21世纪教育网版权所有
故选：B．
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键在于利用二次函数的性质，分析对称轴的位置，从而得出和确定，则有最大值.www-2-1-cnjy-com
2．（2021·江苏苏州市·高一期中）若平面向量、、两两的夹角相等，且，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】
分两种情况讨论：（1）三个向量、、的夹角均为；（2）三个向量、、的夹角均为.利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.
【详解】
分以下两种情况讨论：
（1）三个向量、、的夹角均为，则；
（2）三个向量、、的夹角均为，则，，
所以，，
.
综上所述，或.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：求向量模的常见思路与方法：
（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用，勿忘记开方；
（2）或，此性质可用来求向量的模，可实现实数运算与向量运算的相互转化；
（3）一些常见的等式应熟记：如，等.
3．（2021·上海高一课时练习）已知向量满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用数量积的运算律可求得，根据向量夹角公式可求得结果.
【详解】
，
.
故选：D.
【点睛】
结论点睛：（1）求夹角的大小：若为非零向量，则由平面向量的数量积公式得 (夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题；
（2）确定夹角的范围：数量积大于说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于说明不共线的两向量的夹角为钝角．
4．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高一月考）设非零向量，的夹角为，定义运算“”，，为任意非零向量，下列命题：
①若，则；
②若，则；
③；
④若，则.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
根据新定义计算可判断ABD的正误，利用反例可判断C是错误的，从而可得正确的选项.
【详解】
对于A，若，则，
因为，均为非零向量，故，而，故或，
故，故A正确.
对于B，，，
其中为，的夹角，为，的夹角，
所以，因为均为非零向量，
故，该式推不出，故B错误.
对于C，如图：，的夹角为，共线反向，
故，而，
，故C错误.
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对于D，因为，故，当且仅当时等号成立,
，故D正确.
故选：C.
【点睛】
思路点睛：对于与向量有关的新定义问题，首先要弄清楚新定义运算的实质，并根据它结合已知的一些常见计算来判断衍生出的性质是否成立.21·世纪*教育网
5．（2021·全国高一课时练习）已知非零向量满足，且与的夹角为120°，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由向量垂直得，利用向量数量积的运算律有且，，可得齐次方程，即可求.
【详解】
∵，
∴，，
∵，，
∴，化简得，
∴.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：由向量垂直及向量数量积的运算律求、、，得到关于的齐次方程.
6．（2021·全国高一课时练习）已知，是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用两个向量垂直，数量积等于0，得到，代入两个向量的夹角公式得到夹角的余弦值，进而得到夹角.
【详解】
，
设与的夹角为，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：求解向量夹角长选择夹角公式，还要注意向量的夹角范围.
7．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高一月考）的外接圆的圆心为则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
分别取的中点，连接，则可得，而，结合图形分别求出和的值，从而可求出结果
【详解】
解：分别取的中点，连接，则
，
所以，
所以，
，
所以
故选：C
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【点睛】
关键点点睛：此题考查平面向量的数量积运算，解题的关键是分别取的中点，连接，从而可得，进而可得和的值，考查数形结合思想，属于中档题
8．（2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考）已知，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用向量的乘法及夹角公式求出.
【详解】
∵，∴
∵， ，∴
∴
∵，∴.
故选：C
9．（2021·浙江高一期末）在中，，，动点位于直线上，当取得最小值时，向量与的夹角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
计算出，设，将表示为的二次函数，利用二次函数的基本性质求出的最小值及其对应的的值，求出、，利用平面向量数量积可求得向量与的夹角余弦值.
【详解】
，即，，
设，，，
所以，
，
当时，取得最小值，此时，
，
所以，，则.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题解答的关键在于以下两点：
（1）根据已知条件建立关于的二次函数；
（2）利用二次函数确定最值时要注意求出对应的的值.
10．（2021·浙江高一期末）在所在的平面内，点满足，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意可知，为的外心，推导出，，由此可求得的值.
【详解】
在所在的平面内，点满足，则为的外心，如下图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
取的中点，连接，则，
，同理可得，
因此，.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
11．（2021·浙江高一单元测试）在中，角所对的边分别为，且点满足，若，则的最大值为（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用向量知识可得，两边平方可得，再利用不等式知识可求得结果.
【详解】
因为，所以，所以，
所以，
所以，整理得，
所以，
因为，所以，
所以，解得.
所以的最大值为
故选：A
【点睛】
关键点点睛：将向量条件化为，利用向量数量积的运算律运算得到是解题关键.
12．（2021·浙江高一单元测试）若非零向量满足，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】
，，
又 ，
又向量夹角范围为，所以与的夹角为，
故选：C.
【点睛】
方法点睛：本题考查利用平面向量数量积计算向量夹角与垂直问题，求向量夹角，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为，考查学生的转化与化归、数学计算能力，属于基础题.．www.21-cn-jy.com
13．（2021·湖北宜昌市·高一月考）已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ）【出处：21教育名师】
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设，求出，，再根据向量在向量上的投影向量的定义列式求出，最后利用平面向量的夹角公式可求得结果.【版权所有：21教育】
【详解】
因为是与向量方向相同的单位向量，设，
则，所以，得，所以，
因为向量在向量上的投影为，且向量在向量上的投影向量为，
所以，所以，所以，所以，
设与的夹角为，则，
又，所以，
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：利用向量在向量上的投影向量的定义以及平面向量的夹角公式求解是解题关键.
14．（2021·江苏高一课时练习）已知＝(－，－1)，＝(1，)，那么的夹角θ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求出，再代入向量的夹角公式即得解.
【详解】
由题得，
所以，
因为，所以.
故选：D
【点睛】
方法点睛：求向量的夹角常用的有两种方法：（1）（无坐标背景下使用）；（2）（坐标背景）.要根据已知条件灵活选择公式求解.【来源：21·世纪·教育·网】
15．（2021·江苏高一单元测试）已知单位向量，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由已知得，进而两边平方得，故或（舍），故，进而得答案.
【详解】
由，得，两边平方，得，
即，整理得，
所以或
因为，所以，所以，
所以.
故选:B.
【点睛】
本题考查向量模的运算，考查方程思想与运算求解能力，是中档题.解题的关键在于根据已知将问题转化为关于的方程，进而得，最后结合向量模与二次函数性质求最值即可.【来源：21cnj*y.co*m】
16．（2021·南昌市·江西师大附中高一期末）已知与的夹角为，，则()的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据向量的模的表示方法得，再配方即可得答案.
【详解】
解：根据向量模的计算公式得：
，当且仅当时等号成立；
所以，当且仅当时等号成立；
故选：A.
【点睛】
方法点睛：向量模的计算公式：
17．（2020·北京师范大学万宁附属中学高一开学考试）已知向量满足，，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题得，化简即得解.
【详解】
因为，
所以，
所以.
因为，
所以.
故选：D
【点睛】
结论点睛：，.
18．（2020·全国高一单元测试）设向量，满足，，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用和解出，再求
【详解】
解：因为向量，满足，，
所以，
可得，
所以．
故选：B．
【点睛】
利用可实现向量与向量的模的互化.
19．（2021·全国高一课时练习）已知向量，满足，若对任意模为2的向量，均有，则向量的夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据向量不等式得到，平方得到，代入数据计算得到得到答案.
【详解】
由，，若对任意模为2的向量，均有
可得：
可得:,
平方得到，即
故选：B
【点睛】
本题考查了向量夹角的计算，利用向量三角不等式的关系进行求解是解题的关键.
20．（2021·浙江高一单元测试）均为单位向量，且它们的夹角为45°，设，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
建立直角坐标系，求得向量，的终点轨迹方程是圆和直线，利用圆心到直线距离减去半径得到最小值得解
【详解】
设，
以所在直线为轴，垂直于所在直线为轴，建立平面直角坐标系
均为单位向量，且它们的夹角为45°，则，
，设
满足
，设
,故 ，
则，则的最小值为圆上的点到直线距离的最小值
其最小值为
故选:C.
【点睛】
向量模长最值问题转化为点到直线距离是解题关键，属于中档题.
21．（2020·重庆高一月考）平面上的两个向量和，，，，若向量，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意得出，画出图形，取的中点D，求出，说明C在以D为圆心的圆上，利用求O点到圆上点的最大值的方法即可求出.
【详解】
∵，∴，
∵，，，
∴，取的中点D，且，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴C在以D为圆心，为半径的圆上，
∴的最大值为.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积及模长公式，考查与圆有关的最值问题，属于较难题.
22．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知，是平面内两个夹角为的单位向量，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
根据数量积的定义求出，用表示、，求出、即可求得、从而用t表示出，根据几何意义利用对称性可求得最小值.
【详解】
由题意知，，，
，
则，
，
则，
，
记，几何意义表示点到点与点的距离的和，
点关于x轴的对称点坐标为，
，
的最小值为.
故选：B
【点睛】
本题考查向量的数量积运算、小马饮水问题，涉及数量积的运算律、向量模长的求解、两点间的距离公式，属于较难题.
23．（2020·河南洛阳市·高一期末（文））已知四边形中，，，，点在四边形上运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意分析可知四线性关于直线对称，且，只需考虑点在边上的运动情况即可，然后分类讨论求出的最小值.
【详解】
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图所示，因为，且，所以垂直且平分，则△为等腰三角形，又，所以△为等边三角形.
则四边形关于直线对称，故点在四边形上运动时，只需考虑点在边上的运动情况即可，
因为，易知，即，则，
①当点在边上运动时，设，则，
∴，当时，的最小值为；
②当点在边上运动时，设，则，
∴，当时，的最小值为；
综上，的最小值为；
故选：C .
【点睛】
本题考查向量的数量积及数量积的最值问题，考查数形结合思想的运用、分类讨论思想的运用，难度稍大.
24．（2020·湖州市菱湖中学高一期中）已知向量，的夹角为，且，，则与的夹角等于
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件即可求出，从而可求出，，，然后可设与的夹角为，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．
【详解】
，；
，，；
设与的夹角为，则；
又，，故选．
【点睛】
本题主要考查向量数量积的定义运用，向量的模的求法，以及利用数量积求向量夹角．
25．（2019·广州市·广东实验中学高一期末）已知是圆上的三点，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先由等式，得出，并计算出，以及与的夹角为，然后利用平面向量数量积的定义可计算出的值．
【详解】
由于是圆上的三点，，
则，，故选C．
【点睛】
本题考查平面向量的数量积的计算，解题的关键就是要确定向量的模和夹角，考查计算能力，属于中等题．
26．（2019·浙江绍兴市·诸暨中学高一期中）已知是两个非零向量，且，，则的最大值为
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】
先根据向量的模将转化为关于的函数，再利用导数求极值，研究单调性，进而得最大值.
【详解】
,, ,，
令,则，令，得当时， ，当时， ， 当时， 取得最大值，故选B.
【点睛】
向量的两个作用：①载体作用：关 ( http: / / www.21cnjy.com )键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.21*cnjy*com
27．（2020·全国高一课时练习）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.
【详解】
设，
则由得，
由得
因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
【点睛】
以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量 ( http: / / www.21cnjy.com )与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.
二、多选题
28．（2021·江苏苏州市·苏州中学高一期中）称为两个向量，间的“距离”.若向量，满足：①；②；③对任意的，恒有，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
由题意知的终点在单位圆上，由恒成立得恒成立，从而 即．
【详解】
解：如图：，
的终点在单位圆上，
用表示，用表示，用表示，
设，
，，
由恒成立得，
所以恒成立，
，，
所以在方向的投影即为，所以
故选：．
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29．（2021·江苏泰州市·泰州中学高一月考）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．已知平面向量、、满足，且，则是等边三角形
B．若，则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．若，则点为的内心
【答案】AC
【分析】
直接利用向量的线性运算及向量的数量积，三角形的内心、外心，重心，垂心的应用，向量垂直的充要条件，单位向量的应用判断、、、的结论．
【详解】
解：选项A，平面向量、、满足，
且，
，，
即，
，
，的夹角为，同理、的夹角也为，
是等边三角形，故A正确；
选项B，向量，分别表示在边和上的单位向量，
设为和，则它们的差是向量，
则当，即时，点在的平分线上，
同理由，知点在的平分线上，
故为的内心而不一定是垂心，故B错误；
选项C，是以，为邻边的平行四边形的一条对角线，
而是该平行四边形的另一条对角线，
表示对角线垂直，从而这个平行四边形是菱形，即，
同理有，于是为的外心，故C正确；
选项D，由得，
，即，，
同理可证，，
，，，即点是的垂心而不一定时内心，故D错误．
故选：AC．
【点睛】
本题考查的知识要点：向量的线性运算，三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的内心、外心，重心，垂心的应用，向量垂直的充要条件，单位向量，主要考查学生的运算能力和数学思维能力．（1）重心：三角形三条中线的交点；
与向量相关的性质：
①是的重心；
②三点坐标为、、，则重心坐标为；
③点是的重心，则；
④若，则点经过的重心；
⑤若，则点经过的重心；
三、填空题
30．（2021·浙江高一期末）已知向量满足，，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】
由数量积公式结合得出，再由结合二次函数的性质得出所求范围.
【详解】
可得可变形为
由可知，，解得
故答案为：
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键在于由得出，从而由二次函数的性质得出范围.
31．（2021·江苏高一期中）在中，，若，则的取值范围为_________．
【答案】
【分析】
利用数量积得到，设，消去，根据关于λ的方程有根，只需，求出t的范围即可.
【详解】
∵，
∴.
∵，∴，
∴，即
∴
设，则，代入得：
，整理得：，
要使关于λ的方程有根，只需，
解得：.
所以的取值范围为.
故答案为：
【点睛】
进行向量运算:
(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；
(2)树立“基底”意识，利用基向量进行运算.
32．（2021·浙江高一期末）如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________.21cnjy.com
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【答案】
【分析】
连接，，设是线段的中点，连接，则有.设为和的夹角.求出 ,利用二次函数即得解.
【详解】
解：连接，，设是线段的中点，连接，则有.
设为和的夹角.
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则
，
，
（当即时取等）
因为，所以当时，有最小值.
，
（当即时取等）
当时，有最大值为3，
即有最大值3，所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是利用向量的运算建立函数模型，再利用二次函数的图象和性质求解.
四、双空题
33．（2021·天津市滨海新区塘沽第一中学）如图，在中，，，为上一点，且满足，________ ；若的面积为，则的最小值为________．
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【答案】
【分析】
设，可得出，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值；利用三角形的面积公式得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值.21·cn·jy·com
【详解】
设，则
，
所以，，解得.
，，
，
当且仅当时，即当时，等号成立.
所以，的最小值为.
故答案为：；.
【点睛】
方法点睛：求向量的模的两种基本策略：
（1）字母表示下的运算：利用，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题；
（2）坐标表示下的运算：若，则，于是有.
34．（2021·全国高一课时练习）已知平面向量，其中，的夹角是，则____________；若为任意实数，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】
根据平面向量的数量积和模的运算公式，即可求得的值，再由模的运算公式，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】
由题意，平面向量，其中，的夹角是，
可得，
则，所以，
又由，
所以当时，的最小值为.
故答案为：；.
【点睛】
求平面向量的模的2种方法：
1、利用及，把向量模的运算转化为数量积的运算；
2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
五、解答题
35．（2021·江苏苏州市·高一期中）已知是圆O的一条直径，且，C，D是直径同侧的半圆弧上两个三等分点，其中C是靠近A的三等分点．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由题得，再利用向量模的公式求解；
（2）如图，连接求出，再利用平面向量的数量积公式得解.
【详解】
（1）由题得，
∴
∴
（2）如图，连接
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由题得．
∴.
【点睛】
方法点睛：求平面向量的模和数量积常用的方 ( http: / / www.21cnjy.com )法有：（1）坐标法（建立坐标系，再利用模和数量积的坐标公式求解）；（2）非坐标法（直接利用向量的模和数量积的非坐标公式求解）.要根据已知条件，灵活选择方法求解.
36．（2021·天津静海一中高一月考）在梯形中，，，，，P，Q分别为线段和上的动点．
（1）求与的数量积；
（2）若，求；
（3）若，，求的最大值．
（4）求数量积是向量中常见常考的问题，根据本题试总结常用的求数量积的方法．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）详见解析.
【分析】
（1）根据角和模，直接利用向量数量积的公式求解；（2）首先转化，再代入数量积公式求模；（3）首先转化向量，再结合向量的运算律和数量积公式展开，转化为关于的函数，再结合对勾函数，判断函数的单调性，求最大值；（4）根据所学知识总结.
【详解】
（1）；
（2），
；
（3），，
则
，
，解得：，
，当且仅当时等号成立，即，
在上单调递增，当时，函数取得最大值，
的最大值是；
（4）求数量积的方法：
1.根据数量积的定义，直接求 ( http: / / www.21cnjy.com )解；2.根据向量加法或减法，以及数乘，将向量用基底表示，再结合向量的运算律，和定义求解向量的数量积；3.利用向量数量积的坐标表示求数量积.2-1-c-n-j-y
【点睛】
关键点点睛：本题考查平面向量的线性运算以及平面向量的数量积的运算问题，以及最值问题，本题的关键是第三问，求得的解析式是解答的关键.
37．（2021·浙江高一期末）在中，满足，M是中点．
（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若O是线段上任意一点，且，求的最小值．
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）利用平面向量的夹角公式可求得结果；
（2）设，将化为的二次函数，利用二次函数知识可求得结果.
【详解】
（1）因为，所以，
设向量与向量的夹角为，
则
.
（2）因为，M是中点，，
所以，
设，则，
所以
，
因为，所以当时，取得最小值.
所以的最小值为.
【点睛】
关键点点睛：第（2）问，设，将化为的二次函数，利用二次函数知识求解是解题关键.
38．（2021·江苏高一课时练习）已知平面上三个向量 的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.
（1）求证：(－)⊥；
（2）若|＋＋|>1(k∈R)，求k的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）(－∞，0)∪(2，＋∞).
【分析】
（1）计算(－)·＝0，证明(－)⊥；
（2）先计算|＋＋|，得到不等式k2－2k>0，解出k的取值范围.
【详解】
（1）证明 因为||＝||＝||＝1，
且，，之间夹角均为120°，
所以(－)·＝·－·
＝||||cos 120°－||||·cos 120°＝0，
所以(－)⊥.
（2）解 因为|k＋＋|>1，
所以(k＋＋)·(ka＋＋)>1，
即k22＋2＋2＋2k·＋2k·＋2·>1.
因为·＝·＝·＝cos 120°＝－，
所以k2－2k>0，解得k<0或k>2，
即k的取值范围是 (－∞，0)∪(2，＋∞).
【点睛】
向量的数量积有较为广泛的应用：
（1）证明垂直： ·=0；（2）求模长：；（3）求角：；（4）利用向量的射影求距离.
39．（2021·江苏高一课时练习）设，，若存在不同时为零的实数k和t，使，，且.
（1）试求函数表达式；
（2）求使的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）根据列方程即可得出k关于t的函数；
（2）解不等式得出t的范围.
【详解】
（1）∵，∴，即
，
，，
，
，∴，
即.
（2）由可得：，解得或，
所以t的取值范围是或.
【点睛】
本题考查了向量的运算，解题的关键点是由得到，考查了学生的基本运算.
40．（2021·江苏高一课时练习）设向量满足||及|3|.
（1）求夹角的大小；
（2）求|3|的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据向量数量积的运算性质和向量模的公式，结合题意算出，再根据向量的夹角公式即可算出夹角的大小；21教育网
（2）由（1）的结论，算出|3|2=19，两边开方即可得到|3|的值.
【详解】
解：（1）∵，|3|，
∴|3|2=(3)2=9127，
即9127，可得13﹣127，解之得.
设夹角等于α，则cosα，
∵α∈(0，π)，
∴α，即夹角的大小为；
（2）∵.
|3|2=99+124=19，
∴
【点睛】
关键点点睛：本题给出单位向量满足的条件，在已知|3|的情况下求的夹角，并求|3|的大小.着重考查了向量数量积的运算性质 向量模的公式和向量的夹角公式等知识，解题的关键是灵活运用向量数量积的运算性质 向量模的公式和向量的夹角公式，属于中档题.21教育名师原创作品
41．（2020·重庆一中高一月考）已知，，设.
（1）当时，求的值域；
（2）若锐角满足，且不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【分析】
（1）根据向量的数量积，求得的表达式化简，再根据的取值范围求出的值域即可.
（2）根据，可求的角的值，再根据不等式
转化为,结合基本不等式即可求出的取值范围.
【详解】
解: （1）已知，，
,
因为,则,
,
故的值域为:.
（2）由（1）得,
因为锐角满足,
,
解得,
又因为
即①
又因为
带入不等式①
因为在锐角中,
所以,
所以
故的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查向量的数量积、三角函数及基本不等式的应用。
42．（2021·全国高一课时练习）已知向量，且，与的夹角为.，.
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值；
（4）若与的夹角为，求的值.
【答案】（1）见解析（2）或.（3）（4）
【分析】
（1）根据条件计算，即可证明；
（2）由可得，计算即可求出的值；
（3）由可得，计算可得的值；
（4）先计算，再计算，，代入向量夹角公式计算即可.
【详解】
（1）证明：因为，与的夹角为，
所以，
所以.
（2）由得，即.
因为，，
所以，，
所以，
即.所以或.
（3）由知，即，即.
因为，，所以，，
所以.所以.
（4）由前面解答知，，.
而，
所以.
因为，
由得，
化简得，
所以或.
经检验知不成立，故.
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积运算，夹角公式，模的运算，考查了计算能力，属于中档题.
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