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第六讲 平面向量基本定理
【基础训练】
一、单选题
1．（2021·天津高一期中）如图所示，已知在中，D是边AB上的中点，则（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用向量减法和数乘运算求得正确结论.
【详解】
.
故选：B
2．（2021·全国）如图，用向量表示向量为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据所对应的向右和向上的单位长度确定．
【详解】
指向右1个单位，向下3个单位，因此可表示为．
故选：C．
3．（2021·全国）如果是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）21·世纪*教育网
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】D
【分析】
根据题意可得：两个向量满足平面的一组基底，需这两个向量不共线，由此逐一判断可得选项．
【详解】
对于A：设，则，所以无解；
对于B：设，则，所以无解；
对于C：设，则，所以无解；
对于D：设，则，解得，所以此两向量是共线向量；
故D中向量能作为平面内所有向量的一组基底，
故选：D．
4．（2021·全国）已知是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据题意可得：两个向量满足平面的一组基底，需这两个向量不共线，由此逐一判断可得选项．
【详解】
对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；
对于B：因为，所以，所以此两个向量不可以作为基底；
对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底；
对于D：设，所以，所以此两个向量不可以作为基底；
故选：C．
5．（2021·浙江高一期末）在三角形中，点在直线上，且，点在直线上，且.若，则（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用向量的线性运算可得的表示形式，从而可求的值.
【详解】
因为，故，故，
所以，
故，则，
故选：B.
6．（2021·江苏高一课时练习）设是同一个平面内的两个向量，则有（ ）
A．平行
B．的模相等
C．同一个平面内的任一向量，有
D．若不共线，则对于同一个平面内的任一向量，有
【答案】D
【分析】
根据平面基本定理一一判定选项即可.
【详解】
A. 是同一个平面内的两个向量，不一定平行，所以A错；
B.向量长度不一定相等，即模不一定相等，所以B错；
C.如果是平面内的两个共线向量，所以C错；
D.由平面向量基本定理可得，D正确；
故选D
【点睛】
考查了平面向量基本定理的运用，基底必须选择同一平面内的不共线的两个向量.
7．（2021·全国高一课时练习）下列说法中，正确说法的个数是（ ）
①在△ABC中，，可以作为基底；
②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的；
③零向量不能作为基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
平面中两个不共线的向量可以构成基底，据此可判断各说法的正误.
【详解】
平面中两个不共线的向量可以构成基底，故①正确，③正确.
平面中不共线的向量有很多对，它们都可以作为基底向量，故②错误.
故选：C.
8．（2021·江苏高一课时练习）如图所示，矩形ABCD中，若，＝，则等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用向量减法、数乘运算以及平面向量的基本定理即可求解.
【详解】
.
故选：A
9．（2021·全国高一课时练习）如图在矩形ABCD中，若＝5，＝3，则＝（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． (5＋3) B． (5－3)
C． (3－5) D． (5－3)
【答案】A
【分析】
利用平面向量的基本定理求解.
【详解】
，
故选：A
10．（2021·赣州市赣县第三中学高一月考（文））下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）21*cnjy*com
A．＝(2，2)，＝(1，1)
B．＝(1，－2)，＝(4，－8)
C．＝(1，0)，＝(0，－1)
D．＝(1，－2)，＝
【答案】C
【分析】
可以作为基底的向量需要是不共线的向量，分别判断选项即可.
【详解】
A中，，,共线，所以A不正确；
B中，，,共线，所以B不正确；
C中，,不共线，可以作为一组基底，所以C正确；
D中，，,共线，所以D不正确；
故选：C
11．（2021·江苏高一课时练习）若，是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）21教育网
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】
根据不共线的向量作为基底即可得出选项.
【详解】
对于A， 由，所以两向量共线，故A不能选；
对于B，由，所以两向量共线，故B不能选；
对于C，由，所以两向量共线，故C不能选；
对于D，与不共线，故D选.
故选：D
12．（2021·全国高一课时练习）已知AD是的中线，，以为基底表示，则＝（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用向量的线性运算可推导得到结果.
【详解】
.
故选：B.
13．（2021·山东日照市·高一期末）在三角形中，点，在边上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用向量的加法、减法线性运算即可求解.
【详解】
，
故选：C.
14．（2021·广西玉林市·高一期末）在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由，得，而，再利用向量的加减法进行求解
【详解】
因为，
所以，．
故选：A
15．（2021·江苏）如图，在平行四边形中，E是的中点，，则=（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先用表示，再结合可得正确的表示形式.
【详解】
因为，
故，
故选：C.
16．（2021·北京高一期末）已知矩形中，，若，，则（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先由题中条件，得到，再由平面向量的线性运算，用和表示出，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，
所以.
故选：B.
17．（2021·广西钦州市·高一期末）如图，若是线段上靠近点的一个三等分点，且，则（ ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由，结合的共线关系及向量的加减法的应用，即可得解.
【详解】
,
即，得.
故选：D.
18．（2020·全国高一课时练习）在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据向量的线性运算可得选项．
【详解】
，
故选：C.
19．（2020·海南琼山中学高一期中）在中，是上的点且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由向量线性运算直接求解即可得到结果.
【详解】
( http: / / www.21cnjy.com / )
.
故选：A.
20．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高一开学考试）如图，中，E是AB的中点，点F满足，则（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据向量的运算法则计算即可．
【详解】
，
故选：A
21．（2021·四川石室中学高一月考）在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD相交于E，则（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据平面向量的线性运算求解．
【详解】
由得，所以，
所以．
故选：A．
22．（2021·天津南开中学高一期中）我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南开人”面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神，如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转后的正方形组合而成，已知向量，，则向量（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据对称性可得线段的长度关系以及点共线，再由向量的加法法则可求解.
【详解】
根据题意可得，
由该图形是由正方形中心为中心逆时针旋转后与原正方形组合而成，如图
由对称性可得,
由对称性可得点共线，点共线.
所以 ，
所以
故选：D
( http: / / www.21cnjy.com / )
23．（2021·江苏苏州市·高一期中）在中，为边上的中线，E为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，向量的运算法则，用基底表示，从而求得结果.
【详解】
由D为中点，根据向量的运算法则，
( http: / / www.21cnjy.com / )
可得，
故选：B.
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量减法的三角形法则，考查了转化能力，尤其注意向量减法运算的方向问题.2-1-c-n-j-y
24．（2021·上海高一课时练习）若直线l上不同的三个点A，B，C与直线l外一点O，使得成立，则满足条件的实数x的集合为（ ）
A．{－1，0} B．
C． D．{－1}
【答案】D
【分析】
先将向量等式通过向量减法运算转化为共起点O的向量等式，再利用三点共线条件，得到关于系数的等量关系，解方程可得，注意验证三点不重合.
【详解】
由可得，，
由A，B，C共线知，，解得或.
当时，，此时B与C重合，故舍去.
故选：D.
【点睛】
平面向量三点共线定理：A、B、P三点共线对于直线AB外任意一点O，总存在非零实数，使得成立.
25．（2020·长沙市·湖南师大附中高一月考）如图，在中，，，，是边上一点，且，则的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 B．1
C．-2 D．-1
【答案】C
【分析】
利用平面向量的加减法结合平面向量的数量积定义计算即可．
【详解】
，
故选：C.
26．（2021·全国）若＝，＝， (λ≠－1)，则等于（ ）
A．＋λ B．λ＋(1－λ)
C．λ＋ D．
【答案】D
【分析】
由平面向量的线性运算求解．
【详解】
因为，所以，
又，所以．
故选：D．
27．（2021·全国）已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有，则λ等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用平面向量中的三点共线定理求解．
【详解】
因为A，B，D三点共线，所以存在实数t，使，则．
所以.
所以，解得λ＝－.
故选：C．
28．（2021·全国）O为ABCD的对角线的交点，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据向量的线性运算法则即可求解．
【详解】
由得，即，所以
故选：B
29．（2021·全国）已知向量不共线，实数x，y满足，则x－y的值为（ ）
A．3 B．－3
C．0 D．2
【答案】A
【分析】
根据向量相等可求出，得出所求.
【详解】
，
，解得，则.
故选：A.
30．（2021·全国高一课时练习）已知平行四边形中，，，其对角线交点为，则等于（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
做出平行四边形，利用向量加法求解即可.
【详解】
因为＋＝＋＝＝ ，所以.
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故选：C.
31．（2020·甘肃兰州市·兰州一中高一期末）中，为边上一点，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由、代入化简可得关于、的表达式.
【详解】
，则，解得，
故选：A.
32．（2021·上海高一课时练习）已知，是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，不能作为一组基底的是（ ）【版权所有：21教育】
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据基底的构成条件：非零向量、不共线，由此进行逐项判断即可.
【详解】
因为，所以与共线，
所以不能作为基底，
故选：B.
33．（2021·恩施市第一中学高一月考）已知点D是所在平面上一点，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据向量的加法、减法法则运算即可得到答案．
【详解】
解：由题意：为所在平面内的一点，
，所以
所以
故选：．
34．（2021·浙江高一期末）在四边形中，，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
作出图形，将用、的表达式加以表示，再利用平面向量的减法法则可得结果.
【详解】
如下图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
在平面四边形中，由已知条件可得，
所以，平面四边形为平行四边形，可得，
为的中点，则，
为线段上靠近点的三等分点，则，
因此，.
故选：B.
35．（2021·平潭县新世纪学校高一月考）在中，点在线段上，且，若，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】
由已知得，然后结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求．
【详解】
解：因为，
所以，
所以，
故，
若，
则，，
所以．
故选：．
36．（2021·浙江高一单元测试）如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）www.21-cn-jy.com
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A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据向量的加法减法运算即可求解.
【详解】
依题意，，
故选：B
37．（2021·江苏高一课时练习）已知，为线段上距较近的一个三等分点，为线段上距较近的一个三等分点，则用表示为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由题知，，，故.
【详解】
解：，
.
而，所以，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查向量的线性运算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据几何关系得，，进而利用求解.21教育名师原创作品
38．（2021·江苏高一课时练习）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于（ ）
A．a＋b B．a＋b
C． a＋b D．a＋b
【答案】D
【分析】
由△DEF∽△BEA，可得，进而可得结果.
【详解】
∵△DEF∽△BEA，
故选：D
二、多选题
39．（2021·湖南高一月考）如图，在菱形中，，，，分别为，的中点，则（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】
根据向量表示与数量积运算依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
由题可知，，
，故A，B正确；
，故D正确；
，故C错误.
故选：ABD
【点睛】
本题考查用基底表示向量，向量数量积运算及 ( http: / / www.21cnjy.com )其运算法则，解题的关键在于用向量数列的数量积运算求解，其中D选项采用数量积的运算律大大减少了运算，是中档题.
40．（2021·临澧县第一中学高一月考）设是平面内所有向量的一个基底，下列四组向量中能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】ACD
【分析】
如果两个向量共线便不能作为基底，从而找为共线向量的一组即可，可根据共面向量基本定理进行判断．
【详解】
、是平面内所有向量的一组基底，
和，显然不共线，可以作为基底；
和，显然不共线，可以作为基底；
和，存在，使得，所以和共线，不可以作为基底；
因为和不存在，使得，故不共线，可以作为基底.
故选：ACD
三、填空题
41．（2021·全国）如图，在中，是边上的一点，且，设，，则________.（用、表示）
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【答案】
【分析】
利用平面向量加法和减法法则可得出关于、的表达式.
【详解】
.
故答案为：.
42．（2021·全国）已知，，（、是同一平面内的两个不共线向量），则________.（用、表示）
【答案】
【分析】
设，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出结果.
【详解】
设，则，
因为、不共线，则，解得，因此，.
故答案为：.
43．（2021·苏州市第三中学校高一月考）如图，在的方格中，已知向量的起点和终点均在格点，且满足向量，那么______．
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【答案】3
【分析】
先作单位向量，再用单位向量表示，，，再根据平面向量的基本定理得出关于，的方程组，解出，，即可得出的值.
【详解】
设单位向量，则，
，
又∵，∴，
∴，解得.
∴.
故答案为：3.
四、解答题
44．（2021·上海高一课时练习）在平行四边形ABCD中，，，
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（1）如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用分别表示.
（2）如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用表示.
【答案】（1），（2）.
【分析】
（1）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可；
（2）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可.
【详解】
（1），
；
（2）.
45．（2012·全国高一课时练习）如图所示，在中， ，与与 相交于点，设 ，，试用 和表示向量 ．2·1·c·n·j·y
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【答案】
【详解】
【试题分析】直接运用向量的共线关系建立方程组求解：
由A、M、D三点共线，
由C、M、B三点共线，
46．（2021·江苏高一单元测试）如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设
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（1）试用a，b表示
（2）证明：B，E，F三点共线．
【答案】（1）＝b－a，＝a＋b，＝－a＋b；（2）证明见解析.
【分析】
（1）将向量a,b作为基底表示向量，要在封闭图形中去找；
（2）运用向量共线定理，再强调有一个公共点即可证明.
【详解】
(1) 由题意，得＝b－a，
＝a＋(b－a)＝a＋b，
＝－a＋b.
(2) 因为＝－a＋b，
＝－a＋(a＋b)＝－a＋b＝a+b，
所以，所以与共线．
又与有公共点B，
所以B，E，F三点共线．
47．（2021·上海高一课时练习）如图，在△中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，求的值．
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【答案】
【分析】
先由是的中点，得到，再由题意，得到，根据三点共线的充要条件，即可得出结果.
【详解】
因为是的中点，所以．
又因为，
所以．
因为，，三点共线，所以，即．
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48．（2021·浙江高一期末）如图所示，设是三边上的点，且，，，若，，试用将表示出来．【出处：21教育名师】
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【答案】；；.
【分析】
将所求向量放入三角形中，利用向量的线性运算进行运算整理即可得到结果.
【详解】
；
；
.
49．（2020·全国）如图，已知在中，是的中点，是线段的靠近点的三等分点，和交于点，设．
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（1）用和表示向量．
（2）若，求实数的值．
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）根据向量运算法则可得，即可表示；
（2）设，通过向量运算可化简得出，即可求出.
【详解】
（1），
，，
，
．
（2）设，
，
又，且不共线．
所以由平面向量基本定理知：，
.
【点睛】
关键点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，解题的关键是根据向量的运算法则将向量用规定的基底表示出来.21世纪教育网版权所有
50．（2021·全国高一课时练习）如图，在中，、、分别是、、的中点，是三角形内一点.求证：
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（1）若是的重心，则；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由是的重心可得，，利用平面向量的加法运算可证得命题成立；
（2）由、、分别是、、的中点，可得，，，利用平面向量的加法运算可证得命题成立．
【详解】
证明：（1）是的重心，，，
则.
（2）、、分别是、、的中点，
，，，
51．（2021·全国）设，是不共线的非零向量，且，
（1）证明：可以作为一组基底；
（2）以为基底，求向量的分解式；
（3）若，求λ，μ的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）（3）λ=3，μ=1
【分析】
（1）假设共线，则可得且 ，λ无解，即可得出结果.
（2）由平面向量基本定理可得，即可得出结果.
（3）由平面向量基本定理可得，即可得出结果.
【详解】
（1）若共线，则存在λ∈R，使，即，由和不共线， 且 ，λ无解，
所以不共线，可以作为一组基底.
（2）设，则
∵与不共线，
∴
（3）由，
得
故所求λ，μ的值分别为3和1.
52．（2021·全国）在梯形ABCD中，，M，N分别是DA，BC的中点，且.设，，以为基底表示向量.
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【答案】，，
【分析】
运用平面向量加减法的运算法则、共线向量的性质，结合平面向量基本定理进行求解即可.
【详解】
因为，所以，
因为，
所以，因为M，N分别是DA，BC的中点，所以有.
53．（2021·浙江高一期末）在三角形中，，D是线段上一点，且，F为线段上一点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围；
【答案】（1），（2）
【分析】
（1）根据平面向量基本定理，由题中条件，得到，从而可求出的值，进而可求得的值；
（2）根据题意先求出，设，再由平面向量数量积运算，即可求得结果
【详解】
解：（1）因为，所以，
得，
因为，所以，
所以，
（2）因为在三角形中，，
所以，
所以，
，由题意得，
所以，
，
因为，所以，
所以的取值范围为
54．（2021·上海高一课时练习）（1）在中，点分别在上，线段过三角形的重心，设，，，，试求的值．
（2）在中，点是的中点，点是上一点，且，与相交于点，设，，试用表示．
【答案】（1）3；（2）．
【分析】
（1）利用三角形重心的向量性质，结合向量的线性运算性质进行求解即可；
（2）根据平面向量基本定理，结合向量的线性运算性质进行求解即可
【详解】
（1）设，因为三角形的重心是，
所以有，
，
所以有，
；
（2）设，一方面有：
又一方面有：
，
于是有：，
所以.
55．（2021·江苏泰州市·泰州中学高一月考）如图所示，中，点为中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，，相交于点，设，．
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（1）用，表示，；
（2）若，，求和．
【答案】（1），；（2），．
【分析】
（1）用向量的线性运算求解；
（2）由，把用表示，然后由，得出的方程组，求解可得．
【详解】
解：（1），
，
．
（2），
又，所以，则．
解方程组，得，．
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第六讲 平面向量基本定理
【基础训练】
一、单选题
1．（2021·天津高一期中）如图所示，已知在中，D是边AB上的中点，则（ ）
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A．
B．
C．
D．
2．（2021·全国）如图，用向量表示向量为（ ）
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A． B．
C． D．
3．（2021·全国）如果是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）21世纪教育网版权所有
A．与
B．与
C．与
D．与
4．（2021·全国）已知是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2021·浙江高一期末）在三角形中，点在直线上，且，点在直线上，且.若，则（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
6．（2021·江苏高一课时练习）设是同一个平面内的两个向量，则有（ ）
A．平行
B．的模相等
C．同一个平面内的任一向量，有
D．若不共线，则对于同一个平面内的任一向量，有
7．（2021·全国高一课时练习）下列说法中，正确说法的个数是（ ）
①在△ABC中，，可以作为基底；
②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的；
③零向量不能作为基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2021·江苏高一课时练习）如图所示，矩形ABCD中，若，＝，则等于（ ）
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A． B．
C． D．
9．（2021·全国高一课时练习）如图在矩形ABCD中，若＝5，＝3，则＝（ ）
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A． (5＋3) B． (5－3)
C． (3－5) D． (5－3)
10．（2021·赣州市赣县第三中学高一月考（文））下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）21·cn·jy·com
A．＝(2，2)，＝(1，1)
B．＝(1，－2)，＝(4，－8)
C．＝(1，0)，＝(0，－1)
D．＝(1，－2)，＝
11．（2021·江苏高一课时练习）若，是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）21·世纪*教育网
A．， B．，
C．， D．，
12．（2021·全国高一课时练习）已知AD是的中线，，以为基底表示，则＝（ ）
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A． B．
C． D．
13．（2021·山东日照市·高一期末）在三角形中，点，在边上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
14．（2021·广西玉林市·高一期末）在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
15．（2021·江苏）如图，在平行四边形中，E是的中点，，则=（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
16．（2021·北京高一期末）已知矩形中，，若，，则（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
17．（2021·广西钦州市·高一期末）如图，若是线段上靠近点的一个三等分点，且，则（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
18．（2020·全国高一课时练习）在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
19．（2020·海南琼山中学高一期中）在中，是上的点且满足，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高一开学考试）如图，中，E是AB的中点，点F满足，则（ ）2-1-c-n-j-y
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A． B． C． D．
21．（2021·四川石室中学高一月考）在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD相交于E，则（ ）21*cnjy*com
A． B．
C． D．
22．（2021·天津南开中学高一期中）我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南开人”面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神，如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转后的正方形组合而成，已知向量，，则向量（ ）
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A． B．
C． D．
23．（2021·江苏苏州市·高一期中）在中，为边上的中线，E为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
24．（2021·上海高一课时练习）若直线l上不同的三个点A，B，C与直线l外一点O，使得成立，则满足条件的实数x的集合为（ ）
A．{－1，0} B．
C． D．{－1}
25．（2020·长沙市·湖南师大附中高一月考）如图，在中，，，，是边上一点，且，则的值为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．2 B．1
C．-2 D．-1
26．（2021·全国）若＝，＝， (λ≠－1)，则等于（ ）
A．＋λ B．λ＋(1－λ)
C．λ＋ D．
27．（2021·全国）已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有，则λ等于（ ）
A． B．
C． D．
28．（2021·全国）O为ABCD的对角线的交点，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
29．（2021·全国）已知向量不共线，实数x，y满足，则x－y的值为（ ）
A．3 B．－3
C．0 D．2
30．（2021·全国高一课时练习）已知平行四边形中，，，其对角线交点为，则等于（ ）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
31．（2020·甘肃兰州市·兰州一中高一期末）中，为边上一点，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
32．（2021·上海高一课时练习）已知，是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，不能作为一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
33．（2021·恩施市第一中学高一月考）已知点D是所在平面上一点，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
34．（2021·浙江高一期末）在四边形中，，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（ ）www.21-cn-jy.com
A． B．
C． D．
35．（2021·平潭县新世纪学校高一月考）在中，点在线段上，且，若，则（ ）
A． B． C．2 D．3
36．（2021·浙江高一单元测试）如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）21*cnjy*com
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A． B．
C． D．
37．（2021·江苏高一课时练习）已知，为线段上距较近的一个三等分点，为线段上距较近的一个三等分点，则用表示为（ ）
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A． B．
C． D．
38．（2021·江苏高一课时练习）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于（ ）
A．a＋b B．a＋b
C． a＋b D．a＋b
二、多选题
39．（2021·湖南高一月考）如图，在菱形中，，，，分别为，的中点，则（ ）
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A． B．
C． D．
40．（2021·临澧县第一中学高一月考）设是平面内所有向量的一个基底，下列四组向量中能作为基底的是（ ）21教育名师原创作品
A．和 B．和
C．和 D．和
三、填空题
41．（2021·全国）如图，在中，是边上的一点，且，设，，则________.（用、表示）【出处：21教育名师】
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42．（2021·全国）已知，，（、是同一平面内的两个不共线向量），则________.（用、表示）21教育网
43．（2021·苏州市第三中学校高一月考）如图，在的方格中，已知向量的起点和终点均在格点，且满足向量，那么______．
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四、解答题
44．（2021·上海高一课时练习）在平行四边形ABCD中，，，
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（1）如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用分别表示.
（2）如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用表示.
45．（2012·全国高一课时练习）如图所示，在中， ，与与 相交于点，设 ，，试用 和表示向量 ．
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46．（2021·江苏高一单元测试）如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设
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（1）试用a，b表示
（2）证明：B，E，F三点共线．
47．（2021·上海高一课时练习）如图，在△中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，求的值．
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48．（2021·浙江高一期末）如图所示，设是三边上的点，且，，，若，，试用将表示出来．
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49．（2020·全国）如图，已知在中，是的中点，是线段的靠近点的三等分点，和交于点，设．
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（1）用和表示向量．
（2）若，求实数的值．
50．（2021·全国高一课时练习）如图，在中，、、分别是、、的中点，是三角形内一点.求证：【来源：21cnj*y.co*m】
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（1）若是的重心，则；
（2）.
51．（2021·全国）设，是不共线的非零向量，且，
（1）证明：可以作为一组基底；
（2）以为基底，求向量的分解式；
（3）若，求λ，μ的值.
52．（2021·全国）在梯形ABCD中，，M，N分别是DA，BC的中点，且.设，，以为基底表示向量.
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53．（2021·浙江高一期末）在三角形中，，D是线段上一点，且，F为线段上一点．
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（1）若，求的值；
（2）求的取值范围；
54．（2021·上海高一课时练习）（1）在中，点分别在上，线段过三角形的重心，设，，，，试求的值．【版权所有：21教育】
（2）在中，点是的中点，点是上一点，且，与相交于点，设，，试用表示．
55．（2021·江苏泰州市·泰州中学高一月考）如图所示，中，点为中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，，相交于点，设，．
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（1）用，表示，；
（2）若，，求和．
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