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第六讲 平面向量基本定理
【提升训练】
一、单选题
1．（2021·吉林东北师大附中高一期中）如图，在等边中，，向量在向量上的投影向量为（ ）【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
将向量用表示，求得模长及，从而利用投影公式求得向量在向量上的投影向量即可.
【详解】
由题知D点是BC的四等分点，设三角形边长为a，
则，
，，
则向量在向量上的投影向量为：
，
故选：D
【点睛】
关键点点睛：表示出，计算得到，利用投影公式求解.
2．（2021·浙江高一期末）已知，点C在线段上，且，设，则m，n的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用三角形的性质和向量的线性表示可得选项.
【详解】
如下图所示，因为，所以在中，，且，，
又，所以是等边三角形，，所以，所以点C是AB的中点，所以，
故选：C.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
关键点点睛：本题考查向量的线性运算，关键在于运用三角形的相关性质得出点C是AB的中点，再运用向量的加法法则得以解决.
3．（2021·上海高一课时练习）在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，若的最小值为，则正数的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】
利用平面向量的线性运算法则求得，可得，则，展开后利用基本不等式可得的最小值为，结合的最小值为列方程求解即可.
【详解】
( http: / / www.21cnjy.com / )
因为点是的三等分点，则，
又由点三点共线，则，
，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值为 ，则有,
解可得或(舍），故，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查平面向量的运算法则，以及利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
4．（2021·江苏高一期中）已知中，，，，为所在平面内一点，且，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
取为基底，把都用表示，再计算.
【详解】
【点睛】
向量运算的技巧:
(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；
(2)树立“基底”意识，利用基向量进行运算.
5．（2021·上海高一课时练习）与的夹角为，与的夹角为，若，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】
将沿与方向进行分解，易得，再在中，，代入相关值即可得到答案.
【详解】
将沿与方向进行分解，延长、至、，以、为邻边、为对角线画出平行四边形，如图，
由平行四边形法则有，且，所以，
，又，，在中，，
即.
故选：D
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查平面向量的基本定理的应用，关键点是数形结合得到，考查了学生的计算能力.
6．（2021·江苏高一课时练习）ABC中，＝，DE∥BC，且与边AC相交于点E，ABC的中线AM与DE相交于点N，设＝，＝，用，表示等于（ ）
A． () B． ()
C． () D． ()
【答案】D
【分析】
直接运用向量的减法法则和数乘运算求解即可.
【详解】
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意得
故选：D.
7．（2021·全国高一课时练习）已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设，则等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由题意2①；2.②
消去即得3，进而运算可得答案.
【详解】
由题意
所以2，①
同理得2
即2.②
①×2＋②得4+2，
即3，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查向量的线性运算，利用向量的中点公式，并灵活消元是关键.
8．（2020·江苏省如皋中学高一月考）如图，直角梯形 中，已知，，动点在线段上运动，且，则的最小值是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】
设，可以用表示和，从而得到与的关系，再利用均值不等式求解.
【详解】
设
因为
所以
所以，所以
当且仅当，即取等，此时，与重合，符合题意.
故选：C.
【点睛】
本题的关键是利用平面向量基本定理找到与的关系，从而把问题转化为均值不等式问题.
9．（2021·全国高一课时练习）已知所在的平面内一点（点与点，，不重合），且，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由，化简得到，得出，得到点为中位线的靠近点的三等分点，再结合和，即可求解.
【详解】
根据平面向量的线性运算，
由，
所以，
设线段的中点为，线段的中点为（如图所示），
所以，可得，
所以点为的中位线的靠近点的三等分点，
所以，
，
所以，即与的面积之比为.
故选：A.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
应用平面向量的线性运算、平面向量的基本定理解题的策略：
1、应用平面向量的线性运算、平面向量的基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘的运算；
2、用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
10．（2021·全国高一课时练习）在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设，由，，得到，结合平面向量的基本定理，化简得到，即可求解.
【详解】
由题意，设，则在平行四边形ABCD中，
因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且，
所以，
又因为，且，
所以，
所以，解得，所以。
故选：B.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
平面向量的基本定理的实质及应用思路：
1、应用平面向量的基本定理表示向量的实质时利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；
2、用平面向量的基本定理解决实际问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
11．（2020·江西宜春市·高一期末）已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分别取、的中点、，连接、，由平面向量的线性运算可得，进而可得，即可得解.
【详解】
分别取、的中点、，连接、，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
所以是的中位线，
因为，所以，
所以，所以、、三点共线，
所以，
所以即，所以即.
故选：A.
【点睛】
本题考查了平面向量共线、线性运算及基本定理的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.
12．（2020·全国高一课时练习）如图，在中，为中点，在线段上，且，则（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
求得关于、的表达式，利用平面向量的减法法则可得出关于、的表达式.
【详解】
为的中点，则，
，，
.
故选：B.
【点睛】
本题考查平面向量的基底分解，考查了平面向量减法法则的应用，考查计算能力，属于中等题.
13．（2021·赣州市赣县第三中学高一月考（文））在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）.21教育网
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据向量共线转化为，利用三点共线求实数的取值.
【详解】
，又因为，
所以，即，
所以，
因为点三点共线，所以，
解得：.
故选：D
【点睛】
本题考查向量共线，平面向量基本定理，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型.
14．（2020·界首中学高一期末）如图，在梯形ABCD中，，，，E是CD的中点，，若，则梯形ABCD的高为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】
以为一组基底，表示向量，然后利用，求得，然后由梯形ABCD的高为求解.
【详解】
因为，，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴梯形ABCD的高为．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的运算以及平面向量的基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
15．（2020·雅安市教育科学研究所高一期末）如下图，四边形是边长为1的正方形，点D在的延长线上，且，点P为内(含边界)的动点，设，则的最大值等于( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】
以为原点，边和所在的直线分别为和轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，易得，则，再将原问题转化为线性规划问题，求目标函数在可行域内(含边界)的最大值，即可求出结果．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
以为原点，边和所在的直线分别为和轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，如下图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
设，
∵ ，
∴，
∴，即，
∴，
令则，其中为直线在轴上的截距，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由图可知，当该直线经过点时，其在轴上的截距最大为，
∴的最大值为．
故选：D．
【点睛】
本题考查平面向量在几何中的应用， ( http: / / www.21cnjy.com )建立坐标系后，可将原问题转化为线性规划中的最值问题，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16．（2020·湖南益阳市·高一期中）在中，、、分别是、、上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由三角形的重心定理和平面向量的共线定理可得答案．
【详解】
中，、、分别是、、上的中线，它们交于点G，可得G为重心，则，，且
故选：C
【点睛】
本题考查了三角形的重心定理和向量共线定理，属于中档题．
17．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高一期末）如图，已知点D为的边BC上一点，，为AC边的一列点，满足，其中实数列中，，，则的通项公式为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
以和为基底，表示，根据，A，C三点共线，可得，构造等比数列，即可求出通项公式.
【详解】
,
又
因为，A，C三点共线
，
即，即，
所以数列是等比数列，首项为2，公比为3．
，即，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理和等比数列的通项公式，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题.
18．（2020·辽宁沈阳市·高一期中）已知是边长的等边三角形，点，分别是，上的点，且，，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设，以为基底，根据已知的关系，利用向量的线性运算表示出，再利用向量的数量积的运算律化简求值.
【详解】
作示意图如图所示：
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设，则，
由，，得，且，又，
则，即，又，得，
，
则
.
故选：C.
【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理，平面向量的基本定理，数量积的运算，属于中档题.
19．（2021·江苏高一课时练习）如图，在中，，，和相交于点，则向量等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
过点分别作交于点，作交于点，由平行线得出三角形相似，得出线段成比例，结合，，证出和，最后由平面向量基本定理和向量的加法法则，即可得和表示.
【详解】
解：过点分别作交于点，作交于点，
已知，，
，则和，
则：且，
即：且，所以，
则：，所以，
解得：，
同理，和，
则：且，
即：且，所以，
则：，即，
所以，即，
得：，
解得：，
四边形是平行四边形，
由向量加法法则，得，
所以.
故选：B.
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【点睛】
本题考查平面向量的线性运算、向量的加法法则和平面向量的基本定理，考查运算能力.
20．（2019·广西桂林市·桂林十八中高一期中）在中，，M为线段EF的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
化简得到，根据得到，得到的最大值.
【详解】
，
故
故，故.
当时等号成立.
故选：.
【点睛】
本题考查了向量的运算，最值问题，意在考查学生的综合应用能力.
21．（2018·福建莆田市·仙游一中高一月考）在平行四边形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若,则的最大值为
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【详解】
分析：由题意结合平面向量数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：由AB=1，AD=2,∠BAD=，得BD=，所以∠ABD=∠CDB=90°,
故圆C与BD相切于点D.
又，所以.
所以.
△ABC中，则，，
据此可得，
当与方向相同时，取得最大值：，
所以的最大值是3.
本题选择D选项.
点睛：本题主要考查向量的数量积运算法则，平面向量的运算及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、多选题
22．（2021·江苏高一课时练习）如图，A B分别是射线OM ON上的点，下列以O为起点的向量中，终点落在阴影区域内的向量是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
利用向量共线的条件可得：当点P在直线AB上时，等价于存在唯一的一对有序实数u，v，使得成立，且u+v=1.可以证明点P位于阴影区域内等价于：，且u>0，v>0，u+v>1.据此即可判断出答案.2·1·c·n·j·y
【详解】
由向量共线的条件可得：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得成立，且u+v=1.
可以证明点P位于阴影区域内等价于： ，且u>0，v>0，u+v>1.
证明如下：如图所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
点P是阴影区域内的任意一点，过点P作PEON，PFOM，分别交OM，ON于点E，F；
PE交AB于点P′，过点P′作P′F′OM交ON于点F′，
则存在唯一一对实数(x，y)，(u′，v′)，使得，且u′+v′=1，u′，v′唯一；
同理存在唯一一对实数x′，y′使得，
而x′=x，y′>y，∴u=u′，v>v′，∴u+v>u′+v′=1，
对于A，∵1+2>1，根据以上结论，∴点P位于阴影区域内，故A正确；
对于B，因为，所以点P不位于阴影区域内，故B不正确；
对于C，因为，所以点P位于阴影区域内，故C正确；
对于D，因为，所以点P不位于阴影区域内，故D不正确；
故选：AC.
【点睛】
关键点点睛：利用结论：①点P在直线AB上等价于存在唯一的一对有序实数u，v，使得成立，且u+v=1；②点P位于阴影区域内等价于，且u>0，v>0，u+v>1求解是解题的关键.
23．（2021·江苏高一课时练习）若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且(λ，μ∈R)，则下列说法正确的有（ ）
A．若λ+μ=1且λ>0，则点P在线段BC的延长线上
B．若λ+μ=1且λ<0，则点P在线段BC的延长线上
C．若λ+μ>1，则点P在△OBC外
D．若λ+μ<1，则点P在△OBC内
【答案】BC
【分析】
根据向量的减法运算，向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及相反向量的概念即可判断出每一项的正误.
【详解】
因为
若λ+μ=1且λ>0，则，
故，即，又λ>0，则点P在线段BC或其反向延长线上，A错误；
若λ+μ=1且λ<0，同上可得，而λ<0，则点P在线段BC的延长线上，B正确；
若λ+μ>1，，同上可得，当λ+μ>1时，λ+μ﹣1>0，根据向量加法的平行四边形法则可以看出则点P在△OBC外，C正确；
若λ+μ<1，不妨令λ=0，μ=﹣1则，很显然此时点P在线段CO的延长线上，不在△OBC内，D错误.
故选：BC.
【点睛】
关键点点睛：掌握向量的减法运算，向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及相反向量的概念是解题关键.
24．（2020·辽宁大连市·高一期末）下列结论正确的是（ ）
A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底
B．若（，，是单位向量），则，．
C．向量与共线存在不全为零的实数，，使
D．已知，，三点共线，为直线外任意一点，若，则
【答案】CD
【分析】
A．根据基底概念进行判断；B．考虑共线的情况；C．根据向量共线的条件和共线向量定理进行判断；D．先根据点共线分析出向量共线，再根据共线向量定理进行证明并判断.
【详解】
A．一个平面内不共线的非零向量有无数对，每一对都可以作为表示该平面内所有向量的基底，故错误；
B．当共线时，如：，可取，此时，故错误；
C．当与均为零向量时，显然符合要求，且存在不全为零的实数，，使；
当时，由与共线可知，即，符合题意，故正确；
D．不妨设，所以，所以，
所以，故正确；
故选：CD.
【点睛】
结论点睛：向量问题中的常见结论：
（1）两个向量能作为基底的条件：同一平面内不共线的非零向量；
（2）共线向量定理：若向量与非零向量共线，则有且仅有一个实数使得；
（3）已知平面中三点共线 (O在该直线外)，若，则必有.
三、填空题
25．（2021·寿县第一中学高一开学考试）已知为所在平面内一点，且，若，则__________.
【答案】8
【分析】
延长到点，使得，延长到点，使得，连接，，，即可得到为的重心，再计算出的面积比，即可得解；
【详解】
解：如图所示，延长到点，使得，延长到点，使得，
连接，，，
为所在平面内一点，且满足，
，
所以为的重心，
所以，，，
又
所以，又，所以
故答案为：
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【点睛】
本题考查平面向量共线定理，三角形重心的性质，三角形面积的计算，对于为所在平面内一点，且，则；
26．（2021·北京101中学高一期末）已知，点是平面上任意一点，且（），给出以下命题：
①若，，则为的内心；
②若，则直线经过的重心；
③若，且，则点在线段上；
④若，则点在外；
⑤若，则点在内．
其中真命题为______
【答案】②④
【分析】
①可得在的角平分线上，但不一定是内心；②可得在BC边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出可判断；④得出，根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令可判断.21·世纪*教育网
【详解】
①若，，则，因为是和同向的单位向量，则在的角平分线上，但不一定是内心，故①错误；
②若，则，则根据平行四边形法则可得，在BC边中线的延长线上，故直线经过的重心，故②正确；
③若，且，则，即，即，则点在线段上或的延长线上，故③错误；
④若，，整理可得，，根据向量加法的平行四边形法则可判断点在外，故④正确；
⑤若，则令，则，则根据向量加法的平行四边形法则可判断点在外，故⑤错误.
故答案为：②④.
【点睛】
本题考查向量基本定理的应用，解题的关键是正确利用向量的线性运算进行判断，合理的进行转化，清楚向量加法的平行四边形法则.
27．（2020·辽宁大连市·高一期末）已知中，D、E分别为AB、AC的中点，，，则xy的最大值为________.
【答案】
【分析】
首先根据平面向量的线性运算表示出，再根据向量相等得到，最后利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：因为D、E分别为AB、AC的中点，，
所以
又，所以，由
所以，当且仅当时取等号；
故答案为：
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题.
四、解答题
28．（2021·上海高一课时练习）如图所示，在中，，与相交于点，设，，试用和表示向量.
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【答案】
【分析】
直接运用向量的共线关系建立方程组求解：
【详解】
由A，M，D三点共线，，可得
由C，M，B三点共线，,可得
，解得：
【点睛】
思路点睛：本题考查平面向量基本定理，要合理三点共线的充要条件：若点A，B，C共线则 (为实数)，则，考查学生的转化与划归能力，属于基础题.
29．（2021·江苏苏州市·南京师大苏州实验学校高一月考）如图所示，在中，，，与交于点M．过M点的直线l与、分别交于点E，F．
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（1）试用，表示向量；
（2）设，，求证：是定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由向量共线定理即可求出；
（2）由E，M，F三点共线，可设（），由，，可得，最后结合（1）的结论可得，问题得以证明．
【详解】
（1）由A，M，D三点共线可得存在实数m（）使得：，
又，故，
由C，M，B三点共线可得存在实数n（）使得：，
又，故，
由题意，，不共线，则：
，解得，
故；
（2）由E，M，F三点共线，可设（），
由，，则：，
由（1）知，，则：，即，
所以，
所以是定值．
【点睛】
关键点睛：本题考查平面向量综合，解题关键是理解并能由点共线转化为向量共线，再根据向量共线的条件得出等式，从而证明结论.
30．（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高一期中）在三角形中，是线段上一点，且为线段上一点．
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（1）已知，设，求；
（2）若E为线段的中点，直线与相交于点F，求．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）运用向量的线性运算得，对比可求得，可得答案；
（2）令，由B、D、F三点共线，求得，得出向量的线性表示，再由向量数量积的运算可得答案.
【详解】
解：（1）
，
所以；
（2），
令，则，
由B、D、F三点共线：，
，
.
【点睛】
关键点点睛：解决向量的线性运算和数量积运算时，关键在于转化法的运用，将待求的向量转化为已知向量得以求解.21cnjy.com
31．（2021·江苏南通市·启东中学高一月考）如图，在菱形ABCD中，，．
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（1）若，求的值；
（2）若，，求．
（3）若菱形ABCD的边长为6，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）由向量线性运算即可求得值；
（2）先化，再结合（1）中关系即可求解；
（3）由于，，即可得，根据余弦值范围即可求得结果．
【详解】
解：（1）因为，，
所以，所以，，
故．
（2）∵，∴
∵ABCD为菱形∴
∴，即．
（3）因为，
所以
∴的取值范围：．
【点睛】
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；21教育名师原创作品
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．21*cnjy*com
32．（2021·平潭县新世纪学校高一月考）如图所示，在中，，，，分别为线段，上一点，且，，和相交于点.
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（1）用向量，表示；
（2）假设，用向量，表示并求出的值.
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）把放在中，利用向量加法的三角形法则即可；
（2）把，作为基底，表示出 ，利用求出 .
【详解】
解：由题意得，，所以，
（1）因为，，
所以
.
（2）由（1）知，而
而
因为与不共线，由平面向量基本定理得
解得
所以，即为所求.
【点睛】
在几何图形中进行向量运算:
(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；
(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.
33．（2021·蕲春县第一高级中学）如图，在菱形中，.
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（1）若，求的值；
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用平面向量基本定理，取为基底，利用向量加减法可解；
（2）把所有的向量用基底表示后，计算.
【详解】
解：（1）因为，
所以，
所以，
故.
（2）∵，
∴
∵为菱形∴
∴.
，
即.
【点睛】
在几何图形中进行向量运算:
(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；
(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.
34．（2021·浙江高一期末）在中，，，，D为边的中点，M为中线的中点.
（1）求中线的长；
（2）求与的夹角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由于，进而根据向量的模的计算求解即可；
（2）由于，，进而根据向量数量积得，故.
【详解】
解:（1）由已知，，
又，
所以，
所以.
（2）由（1）知，，
所以，从而.
，
所以.
解法2：（1）以点A为原点，为x轴，过点A且垂直于的直线为y轴建系，
则，，，
因为D为边的中点，所以，
，所以.
（2）因为M为中线的中点，由（1）知，，
所以，
所以，，
所以.
【点睛】
本题考查向量的数量积运算，向量夹角的计算，考查运算求解能力与化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于向量表示中线向量，进而根据向量模的计算公式计算.21世纪教育网版权所有
35．（2018·浙江台州市·高一期中）如图在平行四边形中，，，，E为的中点，H为线段上靠近点E的四等分点，记，.www-2-1-cnjy-com
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（1）用，表示，；
（2）求线段的长.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）由，可得答案；
（2）根据，可得答案.
【详解】
（1）由已知得，
，
所以，；
（2）由（1）得，
所以，
所以线段的长为.
【点睛】
本题考查向量的线性表示，以及向量 ( http: / / www.21cnjy.com )的数量积运算之求向量的模的应用，关键在于将向量置于一个三角形中，运用向量的加法表示向量；求向量的模时，常采用先求向量的平方，运用向量的数量积的运算律，属于中档题.21·cn·jy·com
36．（2018·湖南长沙市·高一期末）如图,在中，已知点分别在边上，且，.
（1）用向量、表示；
（2）设,,,求线段的长.
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【答案】（1） ;（2）.
【解析】
试题分析:（1）现将转换为，然后利用题目给定的比例，将其转化为以为起点的向量的形式.（2）由（1）将向量两边平方，利用向量的数量积的概念，可求得.
试题解析：
（1）由题意可得：
（2）由可得：
.
故.
37．（2021·赣州市赣县第三中学高一月考（文））如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上．21*cnjy*com
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（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设，求λ+μ的值．
（2）若AB＝2，当1时，求DF的长．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先转化得到，，再表示出，求出λ，μ，最后求λ+μ的值；
（2）先得到和，再建立方程求解λ，最后求DF的长.
【详解】
（1）∵点E是BC边上中点，点F是CD上靠近C的三等分点，
∴，，
∴，
∴λ，μ，
故λ+μ.
（2）设λ，则λ，
又，0，
∴（） （λ）＝﹣λ24λ+2＝1，
故λ，
∴DF＝（1﹣λ）×2．
【点睛】
本题考查利用向量的运算求参数，是基础题
38．（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高一月考）在三角形ABC中，，，，D是线段BC上一点，且，F为线段AB上一点．【版权所有：21教育】
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（1）若，求的值；
（2）求的取值范围；
（3）若为线段的中点，直线与相交于点，求．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据平面向量基本定理，由题中条件，得到，求出，即可得出结果；
（2）根据题意，先求出，，设，再由平面向量数量积运算，即可求出结果；
（3）根据题意，先得到，设，，分别得到，，列出方程组求解，求出，进而可计算出结果.
【详解】
（1）因为，所以，即，
所以，又，所以，
因此；
（2）因为在三角形ABC中，，，，
所以，，
因此，
设，由题意，，
所以
，
因为，所以；
（3）因为为线段的中点，所以，
因为直线与相交于点，不妨设，，
所以，
因此，
又 ，
所以，
因此，
所以，解得：，
所以.
【点睛】
本题主要考查平面向量基本定理的应用，以及平面向量数量积的运算，属于常考题型.
39．（2020·山西大同市·大同一中高一月考）设是不共线的非零向量，且.
（1）证明：可以作为一组基底；
（2）以基底，求向量的分解式；
（3）若，求的值.
【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）.
【分析】
（1）假设向量共线，则，根据相等向量的概念，列出方程，即可作出判定；
（2）根据平面向量的基本定理，化简得到，列出方程组，即可求解；
（3）根据，列出方程组，即可求解.
【详解】
（1）由题意，向量是不共线的非零向量，且
假设向量共线，则，即，所以，
因为向量是不共线的非零向量，所以，此时方程组无解，
所以向量一定不共线，所以向量可以作为一组基底.
（2）设，
因为，即，
所以，解得，即.
（3）因为，
且向量是不共线的非零向量，
所以，解得.
【点睛】
本题主要考查了向量的基底的概念， ( http: / / www.21cnjy.com )共线向量的基本定理和平面向量的基本定理，以及向量的数乘和相等向量的概念等知识点的综合应用，着重考查了推理与运算能力.
40．（2020·全国高一专题练习）如图，梯形中，，点M，N分别是，的中点，且，设，，以为基底表示向量.
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【答案】，.
【分析】
以，为基底， 根据向量的线性运算，结合图形即可求解.
【详解】
∵，且，
∴.
∵，
∴
.
又∵，且，，
∴
.
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算，基底的概念，属于中档题.
41．（2019·广西来宾市·高一期末）在中，D是线段AB上靠近B的一个三等分点，E是线段AC上靠近A的一个四等分点，，设，.
（1）用，表示；
（2）设G是线段BC上一点，且使，求的值.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）依题意可得、，再根据，计算可得；
（2）设存在实数，使得，由因为，所以存在实数，
使，再根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可；
【详解】
解：（1）因为D是线段AB上靠近B的一个三等分点，所以.
因为E是线段AC上靠近A的一个四等分点，所以，
所以.
因为，所以，
则
.
又，.
所以.
（2）因为G是线段BC上一点，所以存在实数，使得，
则
因为，所以存在实数，
使，即，
整理得解得，
故.
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用，属于中档题.
42．（2021·苏州市第三中学校高一期中）如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．
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（1）用和表示；
（2）求；
（3）设，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)3；(3).
【分析】
(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；
(2)选定一组基向量，将由这一组基向量的唯一表示出而得解；
(3)由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解.
【详解】
(1)依题意，，
，
；
(2)因交于D，
由(1)知，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则，，；
(3)由已知，
因P是线段BC上动点，则令，
，
又不共线，则有，
，
在上递增，
所以，
故的取值范围是.
【点睛】
由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
43．（2019·福建省福州第二中学高一期末）如图，已知的面积为14，D、分别为边AB、BC上的点，且， AE与CD交于P．设存在和使， ，，．www.21-cn-jy.com
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（1）求及；
（2）用，表示；
（3）求的面积．
【答案】（1），；（2）；（3）4．
【分析】
（1）用，作为基底表示出向量，，根据向量相等得到方程组，即可解得；
（2）根据向量加法运算法则，计算可得；
（3）先由，又，再根据可得．
【详解】
（1），，，
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，，
，，
，，
，
又，
，解得．
（2）由（1）知，，
．
（3），，
，
又，
．
【点睛】
关键点睛：第（1）问的关键是用基底表示向量，然后解方程组；第（2）问的关键是运用向量的加法；第（3）问的关键是寻找面积之间的关系.2-1-c-n-j-y
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第六讲 平面向量基本定理
【提升训练】
一、单选题
1．（2021·吉林东北师大附中高一期中）如图，在等边中，，向量在向量上的投影向量为（ ）21教育网
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A． B．
C． D．
2．（2021·浙江高一期末）已知，点C在线段上，且，设，则m，n的值分别为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·上海高一课时练习）在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，若的最小值为，则正数的值为（ ）21·cn·jy·com
A．1 B．2 C． D．
4．（2021·江苏高一期中）已知中，，，，为所在平面内一点，且，则的值为（ ）www.21-cn-jy.com
A．
B．
C．
D．
5．（2021·上海高一课时练习）与的夹角为，与的夹角为，若，则（ ）
A． B． C． D．2
6．（2021·江苏高一课时练习）ABC中，＝，DE∥BC，且与边AC相交于点E，ABC的中线AM与DE相交于点N，设＝，＝，用，表示等于（ ）21·世纪*教育网
A． () B． ()
C． () D． ()
7．（2021·全国高一课时练习）已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设，则等于（ ）www-2-1-cnjy-com
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A． B．
C． D．
8．（2020·江苏省如皋中学高一月考）如图，直角梯形 中，已知，，动点在线段上运动，且，则的最小值是（ ）2-1-c-n-j-y
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A．3 B． C．4 D．
9．（2021·全国高一课时练习）已知所在的平面内一点（点与点，，不重合），且，则与的面积之比为（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
10．（2021·全国高一课时练习）在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（ ）【版权所有：21教育】
A． B． C． D．
11．（2020·江西宜春市·高一期末）已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
12．（2020·全国高一课时练习）如图，在中，为中点，在线段上，且，则（ ）
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A． B．
C． D．
13．（2021·赣州市赣县第三中学高一月考（文））在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）.【出处：21教育名师】
A． B． C． D．
14．（2020·界首中学高一期末）如图，在梯形ABCD中，，，，E是CD的中点，，若，则梯形ABCD的高为（ ）
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A．1 B． C． D．2
15．（2020·雅安市教育科学研究所高一期末）如下图，四边形是边长为1的正方形，点D在的延长线上，且，点P为内(含边界)的动点，设，则的最大值等于( )
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A．3 B．2 C． D．
16．（2020·湖南益阳市·高一期中）在中，、、分别是、、上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高一期末）如图，已知点D为的边BC上一点，，为AC边的一列点，满足，其中实数列中，，，则的通项公式为（ ）
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A． B． C． D．
18．（2020·辽宁沈阳市·高一期中）已知是边长的等边三角形，点，分别是，上的点，且，，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A． B． C． D．
19．（2021·江苏高一课时练习）如图，在中，，，和相交于点，则向量等于（ ）
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A． B．
C． D．
20．（2019·广西桂林市·桂林十八中高一期中）在中，，M为线段EF的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
21．（2018·福建莆田市·仙游一中高一月考）在平行四边形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若,则的最大值为
A．1 B． C． D．3
二、多选题
22．（2021·江苏高一课时练习）如图，A B分别是射线OM ON上的点，下列以O为起点的向量中，终点落在阴影区域内的向量是（ ）
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A． B．
C． D．
23．（2021·江苏高一课时练习）若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且(λ，μ∈R)，则下列说法正确的有（ ）
A．若λ+μ=1且λ>0，则点P在线段BC的延长线上
B．若λ+μ=1且λ<0，则点P在线段BC的延长线上
C．若λ+μ>1，则点P在△OBC外
D．若λ+μ<1，则点P在△OBC内
24．（2020·辽宁大连市·高一期末）下列结论正确的是（ ）
A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底
B．若（，，是单位向量），则，．
C．向量与共线存在不全为零的实数，，使
D．已知，，三点共线，为直线外任意一点，若，则
三、填空题
25．（2021·寿县第一中学高一开学考试）已知为所在平面内一点，且，若，则__________.
26．（2021·北京101中学高一期末）已知，点是平面上任意一点，且（），给出以下命题：
①若，，则为的内心；
②若，则直线经过的重心；
③若，且，则点在线段上；
④若，则点在外；
⑤若，则点在内．
其中真命题为______
27．（2020·辽宁大连市·高一期末）已知中，D、E分别为AB、AC的中点，，，则xy的最大值为________.2·1·c·n·j·y
四、解答题
28．（2021·上海高一课时练习）如图所示，在中，，与相交于点，设，，试用和表示向量.【来源：21·世纪·教育·网】
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29．（2021·江苏苏州市·南京师大苏州实验学校高一月考）如图所示，在中，，，与交于点M．过M点的直线l与、分别交于点E，F．【来源：21cnj*y.co*m】
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（1）试用，表示向量；
（2）设，，求证：是定值．
30．（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高一期中）在三角形中，是线段上一点，且为线段上一点．
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（1）已知，设，求；
（2）若E为线段的中点，直线与相交于点F，求．
31．（2021·江苏南通市·启东中学高一月考）如图，在菱形ABCD中，，．
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（1）若，求的值；
（2）若，，求．
（3）若菱形ABCD的边长为6，求的取值范围．
32．（2021·平潭县新世纪学校高一月考）如图所示，在中，，，，分别为线段，上一点，且，，和相交于点.21世纪教育网版权所有
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（1）用向量，表示；
（2）假设，用向量，表示并求出的值.
33．（2021·蕲春县第一高级中学）如图，在菱形中，.
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（1）若，求的值；
（2）若，求.
34．（2021·浙江高一期末）在中，，，，D为边的中点，M为中线的中点.
（1）求中线的长；
（2）求与的夹角的余弦值.
35．（2018·浙江台州市·高一期中）如图在平行四边形中，，，，E为的中点，H为线段上靠近点E的四等分点，记，.21教育名师原创作品
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（1）用，表示，；
（2）求线段的长.
36．（2018·湖南长沙市·高一期末）如图,在中，已知点分别在边上，且，.
（1）用向量、表示；
（2）设,,,求线段的长.
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37．（2021·赣州市赣县第三中学高一月考（文））如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上．
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（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设，求λ+μ的值．
（2）若AB＝2，当1时，求DF的长．
38．（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高一月考）在三角形ABC中，，，，D是线段BC上一点，且，F为线段AB上一点．
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（1）若，求的值；
（2）求的取值范围；
（3）若为线段的中点，直线与相交于点，求．
39．（2020·山西大同市·大同一中高一月考）设是不共线的非零向量，且.
（1）证明：可以作为一组基底；
（2）以基底，求向量的分解式；
（3）若，求的值.
40．（2020·全国高一专题练习）如图，梯形中，，点M，N分别是，的中点，且，设，，以为基底表示向量.
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41．（2019·广西来宾市·高一期末）在中，D是线段AB上靠近B的一个三等分点，E是线段AC上靠近A的一个四等分点，，设，.
（1）用，表示；
（2）设G是线段BC上一点，且使，求的值.
42．（2021·苏州市第三中学校高一期中）如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．21cnjy.com
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（1）用和表示；
（2）求；
（3）设，求的取值范围．
43．（2019·福建省福州第二中学高一期末）如图，已知的面积为14，D、分别为边AB、BC上的点，且， AE与CD交于P．设存在和使， ，，．
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（1）求及；
（2）用，表示；
（3）求的面积．
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