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第七讲 平面向量的正交分解及坐标表示
【基础训练】
一、单选题
1．若、，则向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用平面向量的坐标求法求解.
【详解】
、，
，，，，，
故选：B．
2．设向量，，则与一定不是（ ）
A．平行向量 B．垂直向量 C．相等向量 D．相反向量
【答案】C
【分析】
根据已知向量的坐标，结合、、、的坐标表示判断参数是否存在，即可确定正确选项.
【详解】
假设，即，，
假设，即，，
假设，即，无解，
假设，即，，
故选：C．
3．平面直角坐标系中，的坐标（ ）
A．与点的坐标相同
B．与点的坐标不相同
C．当与原点重合时，与点的坐标相同
D．当与原点重合时，与点的坐标相同
【答案】C
【分析】
根据直角坐标系中，由向量的坐标表示，结合各选项的描述判断正误即可.
【详解】
A：仅当点与原点重合时，向量与点的坐标相同，错误；
B：只有当点不与原点重合时，向量与点的坐标不相同，错误；
C：如A中描述，正确；
D：当与原点重合时，的坐标值与的对应坐标值互为相反数，错误.
故选：C．
4．设若向量，且点坐标为，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设的坐标为，由列方程组，即可求点坐标.
【详解】
设点的坐标为，
向量且点坐标为，则，
,,,,，即，解得，，
故点坐标为，
故选：B．
5．已知向量，，，且，则的值分别为（ ）
A．－2，1 B．1，－2 C．2，－1 D．－1，2
【答案】D
【分析】
根据平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】
因为，
所以，的值分别为－1，2.
故选：D
6．若向量，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】
设，
所以有，
因此有，即 ，
故选：A
7．已知，，则等于（ ）
A．(－2，－2) B．(2，2) C．(－2，2) D．(2，－2)
【答案】D
【分析】
根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可.
【详解】
因为，所以，而，
所以有，
故选：D
8．设，是平面直角坐标系内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，为坐标原点，若，，则的坐标是（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
已知在平面直角坐标系内，，是平面直角坐标系内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，向量的横纵坐标为被为，前面的系数；利用向量线性运算的坐标法计算.21·cn·jy·com
【详解】
因为，，
所以．
故选：D.
9．已知向量 ， ，则 ＝（ ）
A．(1，－2) B．(1，2) C．(5，6) D．(2，0)
【答案】A
【分析】
根据向量的坐标运算法则计算即可得出结果.
【详解】
解：
故选:A
10．已知＝(－2，4)，＝(2，6)，则等于（ ）
A．(0，5) B．(0，1) C．(2，5) D．(2，1)
【答案】D
【分析】
利用平面向量的坐标运算求解即可.
【详解】
；
故选：D.
11．已知向量＝(1，2)，2＋＝(3，2)，则＝（ ）
A．(1，－2) B．(1，2) C．(5，6) D．(2，0)
【答案】A
【分析】
利用向量坐标运算即可.
【详解】
＝(3，2)－2＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2)
故选：A.
12．已知向量，，那么向量的坐标是（ ）
A．(－4,2) B．(－4,－2) C．(4,2) D．(4,－2)
【答案】D
【分析】
利用向量线性运算的坐标表示即可求的坐标.
【详解】
.
故选：D
13．如果用分别表示x轴正方向上和y轴正方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则可以表示为（ ）21教育网
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由，，可得答案 。
【详解】
记O为坐标原点，则，， .
故选：C.
14．已知点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据平面向量的坐标表示，求出即可.
【详解】
点，，
则.
故选：C.
【点睛】
本题考查向量的坐标运算，属于基础题.
15．已知，，则与向量共线的单位向量为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】
由，，得到向量的坐标，再利用单位向量求解.
【详解】
因为，，
所以向量，
所以与向量共线的单位向量为或.
故选：B
【点睛】
本题主要考查平面向量的坐标表示与单位向量，属于基础题.
16．设点，，将向量按向量平移后得为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由点的坐标可得的坐标，由向量平移后向量的坐标不变可得结果.
【详解】
∵，，∴，
∵向量平移后向量的坐标不变，∴，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查平面向量的坐标和平移，属于基础题.
17．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出向量，的坐标，则，利用向量夹角公式计算即可.
【详解】
由已知得，，
∴.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查平面向量的坐标运算和向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．已知A(3，7)，B(5，2)，把向量按向量=(1，2)平移后，所得向量的坐标是（ ）
A．(2，－5) B．(1，－7) C．(0，4) D．(3，－3)
【答案】A
【分析】
由向量平移后与原向量相等可得．
【详解】
由题意，∴．
故选：A，
【点睛】
本题考查求向量的坐标，考查向量平移．向量平移只改变表示向量的有向线段的位置，不改变向量的大小与方向，即平移后的向量与原向量是相等向量．【来源：21·世纪·教育·网】
19．已知点，，则与反方向的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用向量的概念计算.
【详解】
，,
，则，
所以与反方向的单位向量为.
故选：B.
【点睛】
本题考查单位向量及坐标表示，属于基础题.
20．已知线性相关的变量，，设其样本点为（），回归直线方程为，若（为坐标原点），则（ ）21·世纪*教育网
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据向量相等的坐标表示，由此即可计算平均数 ，得到样本点的中心的坐标，代入回归直线方程求出的值．2-1-c-n-j-y
【详解】
因为样本点为（）且，
所以
所以 ，
；
又回归直线方程为过，
∴，解得．
故选：B．
【点睛】
本题考查了线性回归方程必过样本中心、向量相等的坐标表示等基础知识，本题属于基础题.
21．已知点，将向量向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据点求出，由向量只与大小和方向有关，与位置无关可判断.
【详解】
点，，
将向量向右平移1个单位，再向下平移1个单位后，向量的大小和方向没有变化，
.
故选：C.
22．设向量，，，若表示向量、、、的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量为（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据已知条件可得，利用平面向量的坐标运算可得出向量的坐标.
【详解】
由已知条件可得，
所以，，
故选：D.
23．向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
以的交点为原点建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算可构造方程求得，进而得到结果.
【详解】
以的交点为原点可建立如图所示的平面直角坐标系：
( http: / / www.21cnjy.com / )
则，，，
，即，
，解得：，.
故选：A.
24．若是一组基底，向量 (x,y∈R)，则称(x,y)为向量在基底下的坐标．现已知向量在基底下的坐标为(－2,2)，则在另一组基底＝(－1,1)，＝(1,2)下的坐标为（ ）【版权所有：21教育】
A．(2,0) B．(0,－2) C．(－2,0) D．(0,2)
【答案】D
【分析】
由题设，知，若 (x,y)为在基底下的坐标，则，即可得方程组求出坐标.
【详解】
∵在基底，下的坐标为(－2，2)，
∴.
设(x,y)为在基底下的坐标，则，即，
∴，解得.
∴在基底下的坐标为(0,2)．
故选：D.
25．已知平行四边形中，、、，对角线、交于点，则的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
计算出的坐标，可得出，即可得解.
【详解】
在平行四边形中，对角线、交于点，则为的中点，
由已知条件可得，因此，.
故选：A.
26．已知两点A(4，1)，B(7，－3)，则与向量同向的单位向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
求出，再求与同向的单位向量即可．
【详解】
因为与同向的单位向量为，
，
，
所以
故选：A
27．在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＋＝（ ）
A．(－2，4) B．(4，6)
C．(－6，－2) D．(－1，9)
【答案】A
【分析】
利用平行四边形法则，结合向量坐标的加减运算，计算结果.
【详解】
在平行四边形ABCD中，因为A(1，2)，B(3，5)，所以.又，所以，，所以.
故选:A.
28．已知向量，若为钝角，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据是钝角，即可得出，然后解出的范围即可.
【详解】
解：为钝角，且不共线，
，解得且，
的范围是，，.
故选：D.
29．已知向量，和在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若 ，则等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
【答案】A
【分析】
分别写出向量，，的坐标，建立等量关系，求解的值.
【详解】
如图所示，建立平面直角坐标系，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则，，.
因为，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，
所以 解得
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查向量的坐标表示，根据向量相等，求参数的取值范围，属于基础题型.
30．在边长为2的正方形中，为的中点，交于.若，则（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】
以为原点，为轴建立直角坐标系，利用坐标关系求解.
【详解】
建立以为原点，为轴的直角坐标系，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则，，.
又根据题意，得，，
则.
所以，，
则，，.
故选:B.
【点睛】
本题考查用坐标法解决向量问题，属于基础题.
31．已知点，，向量，则向量等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先求出的坐标，再根据计算可得；
【详解】
解：因为，
所以，，.
故选：A
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题.
32．若向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设，利用待定系数法计算出，代入即可．
【详解】
设，则
，解得
故选：C
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，考查向量的坐标运算，属于基础题．
33．如图，点P在矩形ABCD内，且满足，若，， 则等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】
建立直角坐标系，写出对应点坐标，利用向量关系式即可得出结论.
【详解】
以为坐标原点，以为轴，以为建立平面直角坐标系，
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设，
因为，，
所以，
又，
所以，
所以，
又，
即，
所以，
即.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了向量的有关知识.属于较易题.
34．已知，，若，则点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）
【答案】C
【分析】
设点的坐标为，根据，列出方程组，即可求解.
【详解】
设点的坐标为，则，，
因为，即，
所以，解得，所以.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的坐标表示，以及平面向量的坐标运算，其中解答中熟记平面向量的坐标表示及运算是解答的关键，着重考查运算能力.2·1·c·n·j·y
35．已知点A，B，O为坐标原点，则下列结论错误的是（ ）
A．的坐标是 B．，其中
C．若线段AB的中点为M，则 D．在上的投影是
【答案】D
【分析】
利用向量的坐标运算逐一判断.
【详解】
解：对A：，故正确；
对B：当时，，故正确；
对C：由已知线段AB的中点坐标为，则，故正确；
对D：在上的投影为，故错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查向量的坐标运算，考查向量的几何意义，是基础题．
36．点，，点在第二象限内，已知，且，则、的值分别是（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
【答案】B
【分析】
求出向量的坐标，利用向量的坐标运算可得出实数、的值.
【详解】
，，，且点在第二象限内，
，
又，，因此，，.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用向量的坐标求参数，考查计算能力，属于基础题.
37．如图所示，为正交基底，则向量（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用直角坐标系，求出的坐标表示，利用平面向量的线性运算坐标表示公式进行求解即可.
【详解】
根据直角坐标系可知；，所以有
.
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标表示，考查了平面向量线性运算的坐标表示公式，考查了数学运算能力.
38．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
建立直角坐标系，用坐标表示出、和，并设，联立方程组求出和即可.
【详解】
如图建立直角坐标系，设正方形网格的边长为1，
则，，，
设向量，
则，
所以.
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选：A
【点睛】
本题主要考查向量线性运算的坐标形式，属于基础题.
39．已知对任意平面向量,把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量,叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点,点,把点绕点顺时针方向旋转后得到点,则点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，设点，将问题转化为绕点A逆时针旋转，得到向量即可.
【详解】
设点，则，根据题意
若将其逆时针旋转，即可得，故：
，
整理得：，
而由A、B两点坐标可知，
故：，解得，
则点P的坐标为.
故选：B.
【点睛】
本题考查向量的应用，及新定义问题，属基础知识题；本题的难点在于将问题转化为题目已知的问题进行处理.
40．给出下列命题，其中假命题的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．已知是三个非零向量，若，则
D．已知，，是一个基底，，则与不共线，与也不共线
【答案】B
【分析】
选项A：由已知可得，进而有，所以正确；选项B：由已知得，所以不正确；选项C：由向量的数量积运算律可得21世纪教育网版权所有
，进而有，所以正确；选项D：根据已知，，结合向量基本定理的几何意义，可判断正确.
【详解】
对于A，若，则，
因此，故A为真命题；
对于B，，
故B为假命题；
对于C，若，则，
因此，即，故C为真命题；
对于D，，，由向量基本定理的几何意义，
可判断为真命题.
故选: B.
【点睛】
本题考查向量的有关概念和性质的辨析，涉及到向量的数量积性质和运算律、向量的坐标表示、向量基本定理，属于基础题.21*cnjy*com
二、多选题
41．已知向量，，对平面内的任一向量，下列结论中错误的是（ ）
A．存在唯一的一对实数x，y，使得
B．若，，则，且
C．若，，且，则的起点是原点O
D．若，，且的终点坐标是，则
【答案】BCD
【分析】
利用平面向量的坐标定义及表示对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
由平面向量基本定理，可知A中结论正确；
，，，故B中结论错误；
因为向量可以平移，所以与的起点是不是原点无关，故C中结论错误；
当的终点坐标是时，是以的起点是原点为前提的，故D中结论错误．
故选：BCD
【点睛】
本题主要考查平面向量的坐标的定义及表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
42．设向量，，则（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
【答案】CD
【分析】
根据平面向量的模 垂直 夹角公式坐标运算公式和共线向量的坐标运算，即可对各项进行判断，即可求出结果.【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
因为，，
所以，
所以，故A错误；
因为，，
所以，又，
则，
所以与不平行，故B错误；
又，故C正确；
又，
又与的夹角范围是，
所以与的夹角为，故D正确.
故选：CD.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的模 垂直 夹角公式坐标运算公式，考查了共线向量的坐标运算，属于较易题.
三、填空题
43．已知向量，点的坐标是，则点的坐标是__．
【答案】
【分析】
设点坐标为，表示出，即可求出.
【详解】
设点坐标为，点的坐标是，
，
即，，
解得：，，
故点的坐标.
故答案为：.
44．已知，且，，则________.
【答案】或.
【分析】
由点，可得，求得的值，即可求解.
【详解】
由点，可得，
所以，
因为，所以或，所以或，
故答案为：或.
45．已知，，，若，则__________．
【答案】-3
【解析】
由可知
，解得，
四、双空题
46．已知点，，，则向量的坐标是________；若A，B，C三点共线，则实数________.【出处：21教育名师】
【答案】
【分析】
利用点和点的坐标直接求出向量的坐标；再由共线定理求出求出即可.
【详解】
因为，，所以；
向量，
因为A，B，C三点共线，所以，
所以，解得
故答案为：；
【点睛】
本题主要考查向量的坐标表示和共线定理的坐标表示，属于基础题.
47．已知点，，向量，则向量____，向量____．
【答案】 ；
【分析】
由点，，向量，先求出点坐标为，由此利用平面向量坐标运算法则能求出向量和向量．
【详解】
点，，向量，
点坐标为，向量，向量．
【点睛】
本题主要考查向量的加减坐标运算．
五、解答题
48．已知平面上三个点坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1,－2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．21教育名师原创作品
【答案】D可能为或或．
【分析】
根据四点构成平行四边形分别为ABCD时、ABDC时、ADBC时，利用向量的坐标表示即可求D的坐标.21*cnjy*com
【详解】
设点D的坐标为(x,y)，
（1）当平行四边形为ABCD时，即有，
∴(4,6)－(3,7)＝(1,－2)－(x,y)，
∴，解得，
∴．
（2）同理，当平行四边形为ABDC时，，得．
（3）同理，当平行四边形为ADBC时，，得．
综上，D可能为或或．
49．已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别为，，(2，4)，求顶点的坐标.
【答案】(1，2)
【分析】
设，根据可解得结果.
【详解】
设，则，.
∵四边形是平行四边形，∴.
∴.
∴，解得，.
∴.
所以顶点的坐标为：(1，2).
【点睛】
本题考查了向量的坐标表示，考查了相等向量，属于基础题.
50．已知，，，，是复平面上的四个点，且向量，对应的复数分别为，.
（1）若，求，；
（2）若，为实数，求，的值.
【答案】（1），（2）
【分析】
（1）求出，，由题得，解方程组即得解；
（2）由题得，解方程组即得解.
【详解】
（1）∵，，
所以，，
所以，
又，
∴，∴，
∴，.
（2）由（1）得，，
∵，为实数，
∴，∴.
【点睛】
本题主要考查复数的概念和计算，考查复数的模的计算，考查向量对应的复数的计算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.www.21-cn-jy.com
51．如图所示，求直线上向量的坐标.
【答案】
【分析】
根据向量的坐标表示规则计算可得.
【详解】
解：
∵点的坐标分别为，的坐标分别为.
又点的坐标为4，
，
的坐标为3.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标表示，属于基础题.
52．设数轴上两点的坐标分别为，求：
（1）向量的坐标，以及A与B的距离；
（2）线段中点的坐标.
【答案】（1）4；4 （2）1
【分析】
（1）利用向量的坐标表示方法：终点坐标减去起点坐标即可求解.
（2）利用中点坐标公式即可求解.
【详解】
解：（1）的坐标分别为，
的坐标为，
，即两点之间的距离为4.
（2）设线段中点的坐标为x，则，即线段中点的坐标为1.
【点睛】
本题考查了向量的坐标表示以及中点坐标公式，属于基础题.
53．已知是直线l上的一个单位向量，向量与都是直线l上的向量，分别在下列条件下写出与的坐标：
（1），；
（2），.
【答案】（1）的坐标为的坐标为 （2）的坐标为，的坐标为2
【分析】
（1）利用向量的数乘运算即可求解.
（2）利用向量数乘的几何意义即可求解.
【详解】
解：（1），，
∴的坐标为的坐标为.
（2）的坐标为，的坐标为2.
【点睛】
本题考查了向量的数乘运算，属于基础题.
54．已知都是数轴上的点，，且的坐标为，求点B的坐标.
【答案】-2
【分析】
设，利用向量的坐标表示：向量的终点坐标减去起点坐标即可求解.
【详解】
解：设，，的坐标为.
即.故点B的坐标为.
【点睛】
本题考查了向量的坐标表示，属于基础题.
55．写出数轴上零向量的坐标.
【答案】0
【分析】
利用向量的数乘即可求解.
【详解】
解：，∴数轴上零向量的坐标为0.
【点睛】
本题考查了向量数乘的意义，属于基础题.
56．在直角坐标系中，O为坐标原点，，，.
（1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系；
（2）若，求点C的坐标.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）求出的坐标，根据共线向量的坐标关系，即可得出关系；
（2）根据向量相等坐标关系，求出关于的方程，求解，即可得出结论.
【详解】
解：由题意知，，
.
（1）因为A，B，C三点共线，所以，
所以，
所以.
（2）因为，
所以，
所以解得
所以点C的坐标为.
【点睛】
本题考查向量的坐标表示，涉及到共线向量和相等向量的坐标关系，属于基础题.
57．在下列各小题中，已知A，B两点的坐标，分别求，的坐标：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）；．（2），．（3）；．（4）；．
【分析】
根据向量的坐标求法，向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标.
【详解】
解：（1）,
；．
（2），
；．
（3），
；．
（4），
；．
【点睛】
本题考查向量的坐标运算，属于基础题.
58．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)．若＝＋λ ()，试求λ为何值时：
（1）点P在第一、三象限的角平分线上；
（2）点P在第三象限内．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
设点的坐标为，根据向量的坐标表示及运算，得到，，根据，求得.
（1）根据题意得到方程，即可求解；
（2）根据点在第三象限内，得出 不等式，即可求解.
【详解】
设点的坐标为，则，
，
因为，且与不共线，
所以，则.
（1）若点在第一、三象限的角平分线上，则，解得.
（2）若点在第三象限内，可得，解得.
59．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设，，.
（1）求；
（2）求满足的实数m，n的值．
【答案】（1）(6，－42)；（2）.
【分析】
（1）直接进行向量的坐标运算；
（2）利用向量相等的条件即可列方程.
【详解】
由已知得：
＝(5，－5)，＝(－6，－3)，＝(1，8)．
（1）＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
（2）因为＝(－6m＋n，－3m＋8n)，所以解得
60．已知点O(0，0)，A(1，2).
（1）若点B(3t，3t)，＝，则t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
（2）若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由.
【答案】（1）答案见解析；（2）不能，理由见解析.
【分析】
（1）首先求出的坐标，再根据的位置，得到方程或不等式组，解得即可；
（2）表示出，,若四边形为平行四边形，则，得到方程组，即可判断；
【详解】
解：（1），
若点P在x轴上，则，∴.
若点P在y轴上，则，∴.
若点P在第二象限，则，∴.
（2）因为，.
若四边形为平行四边形，则，
∴该方程组无解.
故四边形不能成为平行四边形.
61．已知，，，．
（1）求的坐标；
（2）若以，为基底，求的表达式．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据向量坐标的基本运算即可求的坐标；
（2）若以，为基底，设，利用向量相等的条件解方程即可得到结论.
【详解】
（1），，,
,
即的坐标为；
（2）若以，为基底，设，
即，
即，解得，，
则.
62．分别在平面直角坐标系中作出下列各组点，猜想以A，B，C为顶点的三角形的形状，然后给出证明：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）直角三角形，证明见解析；（2）直角三角形，证明见解析；（3）直角三角形，证明见解析
【分析】
（1）结合图象通过计算得：得直角三角形；
（2）结合图象通过计算得：得直角三角形；
（3）结合图象通过计算得：得直角三角形.
【详解】
解：（1）如图，为直角三角形，证明如下：
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,
.
为直角三角形.
（2）如图，△ABC为直角三角形，证明如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
为直角三角形.
（3）如图，△ABC为直角三角形，证明如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
为直角三角形.
【点睛】
此题考查平面向量的数量积运算的坐标表示，通过非零向量数量积为零判定向量垂直得三角形形状.
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第七讲 平面向量的正交分解及坐标表示
【基础训练】
一、单选题
1．若、，则向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．设向量，，则与一定不是（ ）
A．平行向量 B．垂直向量 C．相等向量 D．相反向量
3．平面直角坐标系中，的坐标（ ）
A．与点的坐标相同
B．与点的坐标不相同
C．当与原点重合时，与点的坐标相同
D．当与原点重合时，与点的坐标相同
4．设若向量，且点坐标为，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，，，且，则的值分别为（ ）
A．－2，1 B．1，－2 C．2，－1 D．－1，2
6．若向量，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，则等于（ ）
A．(－2，－2) B．(2，2) C．(－2，2) D．(2，－2)
8．设，是平面直角坐标系内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，为坐标原点，若，，则的坐标是（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
9．已知向量 ， ，则 ＝（ ）
A．(1，－2) B．(1，2) C．(5，6) D．(2，0)
10．已知＝(－2，4)，＝(2，6)，则等于（ ）
A．(0，5) B．(0，1) C．(2，5) D．(2，1)
11．已知向量＝(1，2)，2＋＝(3，2)，则＝（ ）
A．(1，－2) B．(1，2) C．(5，6) D．(2，0)
12．已知向量，，那么向量的坐标是（ ）
A．(－4,2) B．(－4,－2) C．(4,2) D．(4,－2)
13．如果用分别表示x轴正方向上和y轴正方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则可以表示为（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
14．已知点，，则（ ）
A． B． C． D．
15．已知，，则与向量共线的单位向量为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
16．设点，，将向量按向量平移后得为（ ）.
A． B． C． D．
17．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
18．已知A(3，7)，B(5，2)，把向量按向量=(1，2)平移后，所得向量的坐标是（ ）
A．(2，－5) B．(1，－7) C．(0，4) D．(3，－3)
19．已知点，，则与反方向的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
20．已知线性相关的变量，，设其样本点为（），回归直线方程为，若（为坐标原点），则（ ）21·cn·jy·com
A．3 B． C． D．
21．已知点，将向量向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
22．设向量，，，若表示向量、、、的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量为（ ）www.21-cn-jy.com
A． B．
C． D．
23．向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则的值为（ ）
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A． B． C． D．
24．若是一组基底，向量 (x,y∈R)，则称(x,y)为向量在基底下的坐标．现已知向量在基底下的坐标为(－2,2)，则在另一组基底＝(－1,1)，＝(1,2)下的坐标为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．(2,0) B．(0,－2) C．(－2,0) D．(0,2)
25．已知平行四边形中，、、，对角线、交于点，则的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
26．已知两点A(4，1)，B(7，－3)，则与向量同向的单位向量是（ ）
A． B．
C． D．
27．在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＋＝（ ）
A．(－2，4) B．(4，6)
C．(－6，－2) D．(－1，9)
28．已知向量，若为钝角，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
29．已知向量，和在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若 ，则等于（ ）
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A．2 B．－2
C．3 D．－3
30．在边长为2的正方形中，为的中点，交于.若，则（ ）
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A．1 B． C． D．
31．已知点，，向量，则向量等于（ ）
A． B． C． D．
32．若向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
33．如图，点P在矩形ABCD内，且满足，若，， 则等于（ ）
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A． B． C． D．3
34．已知，，若，则点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）
35．已知点A，B，O为坐标原点，则下列结论错误的是（ ）
A．的坐标是 B．，其中
C．若线段AB的中点为M，则 D．在上的投影是
36．点，，点在第二象限内，已知，且，则、的值分别是（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
37．如图所示，为正交基底，则向量（ ）
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A． B． C． D．
38．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ）
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A．
B．
C．
D．
39．已知对任意平面向量,把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量,叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点,点,把点绕点顺时针方向旋转后得到点,则点的坐标为
A． B． C． D．
40．给出下列命题，其中假命题的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．已知是三个非零向量，若，则
D．已知，，是一个基底，，则与不共线，与也不共线
二、多选题
41．已知向量，，对平面内的任一向量，下列结论中错误的是（ ）
A．存在唯一的一对实数x，y，使得
B．若，，则，且
C．若，，且，则的起点是原点O
D．若，，且的终点坐标是，则
42．设向量，，则（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
三、填空题
43．已知向量，点的坐标是，则点的坐标是__．
44．已知，且，，则________.
45．已知，，，若，则__________．
四、双空题
46．已知点，，，则向量的坐标是________；若A，B，C三点共线，则实数________.21教育网
47．已知点，，向量，则向量____，向量____．
五、解答题
48．已知平面上三个点坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1,－2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．2·1·c·n·j·y
49．已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别为，，(2，4)，求顶点的坐标.
50．已知，，，，是复平面上的四个点，且向量，对应的复数分别为，.
（1）若，求，；
（2）若，为实数，求，的值.
51．如图所示，求直线上向量的坐标.
52．设数轴上两点的坐标分别为，求：
（1）向量的坐标，以及A与B的距离；
（2）线段中点的坐标.
53．已知是直线l上的一个单位向量，向量与都是直线l上的向量，分别在下列条件下写出与的坐标：21·世纪*教育网
（1），；
（2），.
54．已知都是数轴上的点，，且的坐标为，求点B的坐标.
55．写出数轴上零向量的坐标.
56．在直角坐标系中，O为坐标原点，，，.
（1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系；
（2）若，求点C的坐标.
57．在下列各小题中，已知A，B两点的坐标，分别求，的坐标：
（1）；（2）；（3）；（4）．
58．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)．若＝＋λ ()，试求λ为何值时：
（1）点P在第一、三象限的角平分线上；
（2）点P在第三象限内．
59．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设，，.
（1）求；
（2）求满足的实数m，n的值．
60．已知点O(0，0)，A(1，2).
（1）若点B(3t，3t)，＝，则t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
（2）若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由.
61．已知，，，．
（1）求的坐标；
（2）若以，为基底，求的表达式．
62．分别在平面直角坐标系中作出下列各组点，猜想以A，B，C为顶点的三角形的形状，然后给出证明：
（1）；
（2）；
（3）.
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