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第七讲 平面向量的正交分解及坐标表示
【提升训练】
一、单选题
1．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A． B． C． D．
2．已知向量，满足（x，1），（1，﹣2），若∥，则（ ）
A．（4，﹣3） B．（0，﹣3） C．（，﹣3） D．（4，3）
3．已知向量，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
4．定义两个互相垂直的单位向量为“一对单位正交向量”，设平面向量满足条件：且＝0（i＝1，2，3）则21cnjy.com
A．
B． 或2
C．中任意两个都是一对单位正交向量
D．是一对单位正交向量
5．点为的重心，，，，则
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A． B． C． D．
6．已知点为的重心，过点作直线与，两边分别交于两点，且 ，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，满足,则
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A． B． C． D．
8．如图，在直角梯形中，，点在阴影区域（含边界）中运动，则有的取值范围是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
9．如图，正方形的边长为2，为的中点，，则的值为
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A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，一个质点M在三个力共同的作用下，从点移动到点（坐标的长度单位：），若以轴正向上的单位向量及轴正向上的单位向量表示各自方向上的力，则有，则的合力对质点M所做的功是
A．6000J B．1500J C． D．
11．坐标平面内一只小蚂蚁以速度从点处移动到点处，其所用时间长短为
A．2 B．3 C．4 D．8
12．已知点，， 则与向量方向相同的单位向量为
A． B． C． D．
13．的最小值为( )
A． B． C．4 D．8
14．在△ABC中，已知，则BC边的中线AD的长是
A． B．
C． D．
15．如图所示，若向量、是一组单位正交向量，则向量2在平面直角坐标系中的坐标为
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A．（3，4） B．（2，4）
C．（3，4）或（4，3） D．（4，2）或（2，4）
16．已知向量，将绕原点按逆时针方向旋转得到，则
A． B． C． D．
17．如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若=x+y，则把有序数对（x，y）叫做向量在坐标系xOy中的坐标假设=（2，2），则||=（ ）21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
18．设0≤θ<2π，已知两个向量＝(cosθ，sinθ)，＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量长度的最大值是
A． B． C．3 D．2
19．已知，，为坐标原点，点C在∠AOB内，且，设，则的值为
A． B．
C． D．
20．给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为起点，该点为终点的向量一一对应.
其中正确说法的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
21．对于向量，，定义．已知，且，那么向量b等于
A． B．
C． D．
22．若，则的坐标是
A． B． C． D．
二、多选题
23．如图所示设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，．则下列结论中，正确的是（ ）21教育网
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A． B．
C． D．在上的投影向量为
24．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
25．已知对任意平面向量（x，y），把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量（xcosθ﹣ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A（1，2），B（1，2﹣2）；把点B绕A点沿顺时针方向旋转后得到点P，则P点坐标是______.
26．已知向量，向量的起点为，终点在坐标轴上，则点的坐标为___________.
27．已知平面内两点P、Q的坐标分别为（-2，4）、（2，1），则的单位向量=_____
28．已知的方向与轴的正向所成的角为，且，则的坐标为_______________．
29．已知，，，且，则_______
30．在矩形ABCD中，，，E为DC边上的中点，P为线段AE上的动点，设向量，则的最大值为____．21·cn·jy·com
四、解答题
31．已知三个点，，.
（1）求证：；
（2）若四边形为矩形，求点的坐标及矩形两对角线所成锐角的余弦值.
32．已知向量，与向量
（1）当为何值时，；
（2）当时，求向量与向量的夹角；
（3）求的最小值以及取得最小值时向量 的坐标．
33．已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设，且，试用表示.
34．已知平面上两个向量，其中，.
（Ⅰ）若，求向量与向量的夹角的余弦值；
（Ⅱ）若向量在向量的方向上的投影为，求向量的坐标.
35．（1）若向量，已知与的夹角为钝角,则k的取值范围是多少？
（2）在等腰直角三角形中，是线段BC上的点，且，则的取值范围是多少？
36．在直角坐标系中，向量，的方向如图所示，且，，分别求出它们的坐标．
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37．以某市人民广场的中心为原点建立平面直角坐标系，x轴指向东，y轴指向北一个单位长度表示实际路程100米，一人步行从广场入口处出发，始终沿一个方向匀速前进，6分钟时路过少年宫C，10分钟后到达科技馆.www.21-cn-jy.com
（1）求此人的位移（说明此人行走的距离和方向）及此人行走的速度（用坐标表示）；
（2）求少年宫C点相对于广场中心所在的位置（参考数据：）
38．已知向量，
（1）求与同向的单位向量；
（2）若向量，请以向量，为基底表示向量；
（3）若，夹角为，求的值．
39．如图所示,在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=60°,平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若=xe1+ye2(其中e1,e2分别为x轴、y轴同方向的单位向量),则点P的斜坐标为(x,y).
(1)若点P在斜坐标系xOy中的斜坐标为(2,-2),求点P到原点O的距离.
(2)求以原点O为圆心,1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.
40．以原点O及点A(2，-2)为顶点作一个等边△OAB，求点B的坐标及向量的坐标.
41．已知，、、在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为、、．
（1）若，求角的值；
（2）当时，求的值．
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第七讲 平面向量的正交分解及坐标表示
【提升训练】
一、单选题
1．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
建立平面直角坐标系,则,设,,进而利用向量的坐标法求解即可.
【详解】
取中点,将放入平面直角坐标系中,如图所示,
( http: / / www.21cnjy.com / )
则,设,
连接,则,
所以,,
所以,
易知当,时, 取得最小值,
故选:D
【点睛】
本题考查向量的数量积,考查坐标法处理向量的最值问题,考查数形结合思想.
2．已知向量，满足（x，1），（1，﹣2），若∥，则（ ）
A．（4，﹣3） B．（0，﹣3） C．（，﹣3） D．（4，3）
【答案】C
【分析】
根据（x，1），（1，﹣2），且∥，求得向量的坐标，再求的坐标.
【详解】
因为（x，1），（1，﹣2），且∥，
所以 ，
所以，
所以（，1），
所以.
故选：C
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3．已知向量，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】
由，转化为，结合数量积的坐标运算得出，然后将所求代数式化为
，并在分子分母上同时除以，利用弦化切的思想求解．
【详解】
由题意可得 ，即 ．
∴，
故选A．
【点睛】
本题考查垂直向量的坐标表示以及同角三角函数的基本关系，考查弦化切思想的应用，一般而言，弦化切思想应用于以下两方面：21世纪教育网版权所有
（1）弦的分式齐次式：当分式是关于角弦的次分式齐次式，分子分母同时除以，可以将分式由弦化为切；21教育网
（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角的二次整式，然后除以化为弦的二次分式齐次式，并在分子分母中同时除以可以实现弦化切．2-1-c-n-j-y
4．定义两个互相垂直的单位向量为“一对单位正交向量”，设平面向量满足条件：且＝0（i＝1，2，3）则【来源：21cnj*y.co*m】
A．
B． 或2
C．中任意两个都是一对单位正交向量
D．是一对单位正交向量
【答案】D
【分析】
＝（i＝1，2，3），可得 或，或．即可排除A，B，C．得出正确答案．
【详解】
∵＝（i＝1，2，3），∴ 或，或．
∴可取＝（1，0），＝（0，1），＝（1，0），＝（0，1）或（0，﹣1）．．
＝（1，0），＝（0，1），＝（1，0），＝（0，1）或（0，﹣1）．
则
,即可排除A，B，C．
因此D正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了向量间的基本关系，垂直的定义，排除法，考查了推理能力，属于中档题．
5．点为的重心，，，，则
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据余弦定理求得，于是得到△ABC为直角三角形，然后建立平面直角坐标系，根据重心得到点G的坐标，然后根据数量积的坐标运算得到所求．21·世纪*教育网
【详解】
在△ABC中，由余弦定理得
，
∴，
∴，
∴△ABC为直角三角形，且C=90°．
以点C为原点，边CA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则
又G为△ABC的重心，
∴点G的坐标为．
∴，
∴．
故选A．
【点睛】
解答本题的关键是判断出三角形的形状， ( http: / / www.21cnjy.com )然后通过建立平面直角坐标系，根据几何图形得到三角形的重心坐标，将问题转化为向量的坐标运算处理．解题时要注意已知三角形三个顶点的坐标求重心坐标的方法．
6．已知点为的重心，过点作直线与，两边分别交于两点，且 ，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
由为的重心，可得，结合，，根据三点共线，得到的关系式，整理后即可得到答案
【详解】
为的重心，
，
与共线
存在实数使得
即
由向量相等的定义可得
消去可得
两边同时除以整理可得
故选
【点睛】
本题主要考查的知识点是向量的线性性质以及几何意义，向量的共线定理以及三角形的重心，属于中档题．
7．如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，满足,则
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据向量的运算法则以及向量的基本定理进行运算即可．
【详解】
将向量放入坐标系中，
则向量=（1，2），=（2，﹣1），=（3，4），
∵，
∴（3，4）=x（1，2）+y（2，﹣1），
即，解得，
则x+y=，
故答案为：A
【点睛】
本题主要考查向量的分解和坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.
8．如图，在直角梯形中，，点在阴影区域（含边界）中运动，则有的取值范围是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
分别以AD，AB为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：
A（0，0），B（0，﹣1），D（1，0），C（2，﹣1）；
设P（x，y），则，且；
∴；
设x+y=z，则y=﹣x+z，表示斜率为﹣1，在y轴上的截距为z的一族平行直线；
∵kDC=﹣1；
∴由图形可看出，当直线z=x+y与直线DC重合时，截距z最大；
带入D点坐标得z=1，即z的最大值为1；
当直线z=x+y经过点B（0，﹣1）时，截距z取最小值﹣1；
∴z的取值范围，即的取值范围为[﹣1，1]．
故答案为A.
点睛：(1)向量的运算将向量 ( http: / / www.21cnjy.com )与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.【出处：21教育名师】
9．如图，正方形的边长为2，为的中点，，则的值为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则：，
据此可得：，
由平面向量数量积的坐标运算法则有：.
本题选择A选项.
( http: / / www.21cnjy.com / )
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定 ( http: / / www.21cnjy.com )义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．www.21-cn-jy.com
10．在平面直角坐标系中，一个质点M在三个力共同的作用下，从点移动到点（坐标的长度单位：），若以轴正向上的单位向量及轴正向上的单位向量表示各自方向上的力，则有，则的合力对质点M所做的功是
A．6000J B．1500J C． D．
【答案】B
【分析】
将质点所受的合力以及质点的位移均用坐标表示，然后利用数量积计算公式计算即可.
【详解】
依题意，的合力为，
所以所做的功.
故选:B
【点睛】
本题考查向量中的力、位置的坐标表示，难度较易.只要是向量，即可以将其表示成坐标的形式，也能完成相应的坐标运算.
11．坐标平面内一只小蚂蚁以速度从点处移动到点处，其所用时间长短为
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】B
【分析】
，，由可求出答案.
【详解】
由题意可知，，，
则，，
则所用时间.
故选:B.
【点睛】
本题考查了向量的模的计算，考查了向量的应用，属于基础题.
12．已知点，， 则与向量方向相同的单位向量为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题得，设与向量方向相同的单位向量为，其中，利用列方程即可得解.
【详解】
由题可得：，
设与向量方向相同的单位向量为，其中，
则，解得：或（舍去）
所以与向量方向相同的单位向量为
故选A
【点睛】
本题主要考查了单位向量的概念及方程思想，还考查了平面向量共线定理的应用，考查计算能力，属于较易题．
13．的最小值为( )
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】
利用的几何意义可得函数的最小值.
【详解】
它表示动点到定点与到定点的距离和，
关于轴的对称点为，故
，故选B.
【点睛】
求函数的最值，可以利用函数的单调性或基本不等式，也可以利用解析式对应的几何意义，把函数的最值转化为几何对象的最值来处理.www-2-1-cnjy-com
14．在△ABC中，已知，则BC边的中线AD的长是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据中点坐标公式求得点坐标，从而得到，求解即为结果.
【详解】
由题意知：中点为
本题正确选项：
【点睛】
本题考查向量模长的坐标运算，属于基础题.
15．如图所示，若向量、是一组单位正交向量，则向量2在平面直角坐标系中的坐标为
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A．（3，4） B．（2，4）
C．（3，4）或（4，3） D．（4，2）或（2，4）
【答案】A
【分析】
以向量、公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系．可得向量2（2，1）且（1，3），结合向量坐标的线性运算性质，即可得到向量2在平面直角坐标系中的坐标．【版权所有：21教育】
【详解】
以向量、公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系
∵1＝（1，0），2＝（0，1）
∴2（2，1），得∵（1，3），
∴2（2，1）+（1，3）＝（3，4）
即2在平面直角坐标系中的坐标为（3，4）
故选A．
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【点睛】
本题给出垂直的单位向量，求第三个向量在这组向量作为基底下的坐标，着重考查了平面向量的正交分解及坐标表示的知识，属于基础题．2·1·c·n·j·y
16．已知向量，将绕原点按逆时针方向旋转得到，则
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由旋转得到点B的坐标，从而得解.
【详解】
向量（5，12），
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将绕原点按逆时针方向旋转90°得到，点B的坐标（﹣12，5），如图：
所以．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标表示，属于基础题.
17．如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若=x+y，则把有序数对（x，y）叫做向量在坐标系xOy中的坐标假设=（2，2），则||=（ ）21教育名师原创作品
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，由题目中向量坐标的定义可得=2+2，由数量积的计算公式可得，=4(+=12，化简即可得答案．
【详解】
解：根据题意，若=（2，2），
则=2+2,
则||=2；
故选B．
【点睛】
本题考查向量的坐标表示以及向量模的计算，注意向量坐标表示的定义，属于基础题．
18．设0≤θ<2π，已知两个向量＝(cosθ，sinθ)，＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量长度的最大值是
A． B． C．3 D．2
【答案】C
【详解】
∵＝－＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)，
∴||＝.
当时，有最大值.
故选C.
19．已知，，为坐标原点，点C在∠AOB内，且，设，则的值为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
∵，设，则，
又，，根据向量的坐标运算知，
所以.
本题选择C选项.
点睛：应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
20．给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为起点，该点为终点的向量一一对应.
其中正确说法的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
因为向量平移坐标不变，
所以一个坐标可以对应无数个向量，但一个向量对应唯一的坐标，
故③错，①②④均对．
故选C．
21．对于向量，，定义．已知，且，那么向量b等于
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
设b=(x，y)，由新定义及a+b= a b，
可得(2+x，y-4)=(2x，-4y)，
所以2+x=2x，y-4=-4y，
解得x=2，y=，
所以向量b=.
故选A
点睛：本题以新定义为背景考查平面向量的坐标运算，解题关键是按定义得到m n的坐标，然后利用向量相等即可搭建所求量的方程组.
22．若，则的坐标是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
，
.
故选C.
二、多选题
23．如图所示设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，．则下列结论中，正确的是（ ）21*cnjy*com
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A． B．
C． D．在上的投影向量为
【答案】ABD
【分析】
，则，故A正确；，故B正确；，故C错误；由于在上的投影为，故D正确.
【详解】
对于A：，则，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：由于，故在上的投影为，故D正确。
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查新定义，关键在于紧扣新定义，进行向量的坐标运算和模的计算，向量的投影的计算，以及向量的数量积的计算.
24．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解.
【详解】
第四个顶点为，
当时，，
解得，此时第四个顶点的坐标为；
当时，，
解得，此时第四个顶点的坐标为；
当时，，
解得，此时第四个项点的坐标为．
∴第四个顶点的坐标为或或．
故选:ABC.
【点睛】
本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.
三、填空题
25．已知对任意平面向量（x，y），把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量（xcosθ﹣ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A（1，2），B（1，2﹣2）；把点B绕A点沿顺时针方向旋转后得到点P，则P点坐标是______.
【答案】（0，﹣1）
【分析】
利用题中的新定义，可先计算，，结合已知，利用向量的减法，可求点坐标．
【详解】
解：由已知可得，
将点，，绕点顺时针旋转，
即将点，，绕点逆时针旋转，
得，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查向量的减法，考查新定义问题，属于中档题．
26．已知向量，向量的起点为，终点在坐标轴上，则点的坐标为___________.
【答案】或
【分析】
根据向量的坐标运算和向量的坐标表示，求得，结合向量的共线的条件，准确运算，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，向量，设，，则，
由，可得，
又因为点在坐标轴上，则或，解得或，
所以点的坐标为或.
故答案为：或.
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算 ( http: / / www.21cnjy.com )、向量的坐标表示，以及向量的共线条件的应用，其中解答中熟记向量的共线条件，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
27．已知平面内两点P、Q的坐标分别为（-2，4）、（2，1），则的单位向量=_____
【答案】
【分析】
利用向量的单位向量的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，两点的坐标分别为，可得向量，
所以向量的单位向量.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了单位向量的计算与求解，其中解答中熟记向量的单位向量的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
28．已知的方向与轴的正向所成的角为，且，则的坐标为_______________．
【答案】（﹣1，）或（﹣1，）
【分析】
根据题意画出向量，利用三角函数的定义求得对应点的坐标即可．
【详解】
向量的方向与x轴的正向所成的角为120°，且||＝2，
如图所示，向量的终点为A或B，
由三角函数的定义，可得A（﹣1，），
B（﹣1，）；
所以的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）．
故答案为：（﹣1，）或（﹣1，）．
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【点睛】
本题考查了平面向量的坐标求法问题，是基础题．
29．已知，，，且，则_______
【答案】
【分析】
利用向量的数乘和向量相等即可得出．
【详解】
解：，，，，
，，，，
又，
，，，
，
解得
．
故答案为：
【点睛】
熟练掌握向量的数乘和向量相等是解题的关键．
30．在矩形ABCD中，，，E为DC边上的中点，P为线段AE上的动点，设向量，则的最大值为____．
【答案】2
【解析】
【分析】
以A为原点，AB，AD为，轴建立平面直角坐标系，易得各点坐标，设点坐标为，，根据所给等式建立坐标之间的关系，易得，得解．
【详解】
以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴
建立平面直角坐标系，
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则，，，
设，，
∴，，，
∵，
∴，∴，
∴，∴，
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了平面向量基本定理，向量的坐标运算，建立适当的坐标系是解题的关键，属于中档题.．
四、解答题
31．已知三个点，，.
（1）求证：；
（2）若四边形为矩形，求点的坐标及矩形两对角线所成锐角的余弦值.
【答案】（1）证明见详解；（2），矩形两对角线所成锐角的余弦值为.
【分析】
（1）利用向量垂直证明即可；
（2）设坐标，根据向量相等求点坐标，根据向量夹角求对角线所成锐角余弦值.
【详解】
解：（1）由题知，，，所以，所以，所以；
（2）设点的坐标为，则根据四边形为矩形得，即：，所以，解得，所以；
所以，，
所以，
矩形两对角线所成锐角的余弦值为.
【点睛】
本题考查利用向量解决平面几何问题，是中档题.
32．已知向量，与向量
（1）当为何值时，；
（2）当时，求向量与向量的夹角；
（3）求的最小值以及取得最小值时向量 的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）最小值3，．
【分析】
（1）由计算；
（2）由计算；
（3）由模的坐标运算表示出，然后由二次函数性质得结论．
【详解】
（1），，所以时，；
（2）由题意，，所以；
（3）由已知，
所以，所以时，取得最小值3，此时．
【点睛】
本题考查向量数量积的坐标表示， ( http: / / www.21cnjy.com )数量积的性质，向量垂直与向量数量积的关系，求向量的夹角、向量的模．掌握平面向量数量积的坐标运算是解题关键，本题属于中档题．
33．已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设，且，试用表示.
【答案】
【分析】
以O为原点建立如下图坐标系，利用三角函数定义求出坐标，根据向量基本原理待定系数法即可求解.
【详解】
如图，以O为原点，向量所在的直线为x轴建立平面直角坐标系．
．
设，所以x1＝·cos 150°＝1×，
y1＝|sin 150°＝1×，
所以.同理可得.
设
解得，
.
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【点睛】
本题考查向量基本定理、向量坐标表示，利用三角函数定义确定坐标是解题的关键，属于中档题.
34．已知平面上两个向量，其中，.
（Ⅰ）若，求向量与向量的夹角的余弦值；
（Ⅱ）若向量在向量的方向上的投影为，求向量的坐标.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或
【分析】
（Ⅰ）由的坐标表示先求得,再根据可得求出,进而求解即可；
（Ⅱ）根据投影可知,则,设,则,进而求解即可
【详解】
解: （Ⅰ）因为,所以
因为,
所以,
即,
所以,
则
（Ⅱ）由题,,则,
设,所以,解得或,
所以或
【点睛】
本题考查向量的坐标表示,考查利用数量积求向量夹角,考查坐标法表示向量的模,考查运算能力
35．（1）若向量，已知与的夹角为钝角,则k的取值范围是多少？
（2）在等腰直角三角形中，是线段BC上的点，且，则的取值范围是多少？
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）由与的夹角为钝角可得且与不共线,进而求解即可；
（2）以所在直线为轴,以的中垂线为轴建立平面直角坐标系,设设,则为,即可坐标表示,再根据的范围求解即可.21cnjy.com
【详解】
（1）由题,,
因为与的夹角为钝角,所以,
即,
若与反向共线,则,所以,此时夹角不是钝角,
综上,的取值范围是
（2）以所在直线为轴,以的中垂线为轴建立平面直角坐标系,如图所示,
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由,所以,则,,,
设,则为,且,
所以,,
所以,
所以当时, 取得最小值为；
当或时,取得最大值为,
故的取值范围是
【点睛】
本题考查数量积的坐标表示的应用,考查坐标法处理数量积的最值问题,考查运算能力.
36．在直角坐标系中，向量，的方向如图所示，且，，分别求出它们的坐标．
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【答案】．
【分析】
根据题意，结合图形，利用直角坐标系中向量，的大小与方向，分别求出它们的坐标．
【详解】
解：设点，
∵，且，
∴，．
又，
∴，．
故，．
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标表示的应用问题，属于基础题．
37．以某市人民广场的中心为原点建立平面直角坐标系，x轴指向东，y轴指向北一个单位长度表示实际路程100米，一人步行从广场入口处出发，始终沿一个方向匀速前进，6分钟时路过少年宫C，10分钟后到达科技馆.21·cn·jy·com
（1）求此人的位移（说明此人行走的距离和方向）及此人行走的速度（用坐标表示）；
（2）求少年宫C点相对于广场中心所在的位置（参考数据：）
【答案】（1）此人的位移为北偏西45°方向米,（2）少年宫C位于距离广场中心米，且在北偏西18 26＇处【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】
（1）先求出，再求出小时时所走的实际距离，再求出此人行走的速度；（2）先求出，再求出少年宫C点相对于广场中心所在的位置.
【详解】
（1）依题意知，，.
∴此人在沿北偏西45°方向行走，
∵小时，所走的实际距离（米），
∴此人的位移为北偏西45°方向米.（米/时）=（百米/时），
∵（百米/时），（百米/时），
又一个单位长度表示实际路程100m，∴.
（2）∵，
.
∴，，
∴.
即少年宫C位于距离广场中心米，且在北偏西18 26＇处.
【点睛】
本题主要考查平面向量的坐标和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
38．已知向量，
（1）求与同向的单位向量；
（2）若向量，请以向量，为基底表示向量；
（3）若，夹角为，求的值．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】
（1）利用坐标运算可求得，根据求得结果；（2）设，可构造出关于的方程组，解方程组求得结果；（3）利用向量数量积求得，根据二倍角余弦公式求得结果.
【详解】
（1）
与同向的单位向量：
（2）设，则
，解得：
（3）
，即
【点睛】
本题考查向量的坐标运算，涉及到向量数量积求向量夹角、平面向量基本定理的应用、同向的单位向量的求解，主要考查运算能力.21*cnjy*com
39．如图所示,在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=60°,平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若=xe1+ye2(其中e1,e2分别为x轴、y轴同方向的单位向量),则点P的斜坐标为(x,y).
(1)若点P在斜坐标系xOy中的斜坐标为(2,-2),求点P到原点O的距离.
(2)求以原点O为圆心,1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.
【答案】（1）2；（2）
【分析】
(1)先根据点P的斜坐标得到=2e1-2e2, 再平方求出||2=4，即点P到原点O的距离为2.（2）设圆上动点M的斜坐标为(x,y),=xe1+ye2,再平方化简得所求圆的方程为x2+y2+xy=1.
【详解】
(1)因为点P的斜坐标为(2,-2), 所以=2e1-2e2,
所以||2=(2e1-2e2)2=4-8e1·e2+4=8-8×1×1×cos 60°=8-4=4,所以||=2,即点P到原点O的距离为2.
(2)设圆上动点M的斜坐标为(x,y),
则=xe1+ye2,所以(xe1+ye2)2=1,
则x2+2xye1·e2+y2=1,即x2+y2+xy=1,
故所求圆的方程为x2+y2+xy=1.
【点睛】
（1）本题主要考查新定义和向量的数量 ( http: / / www.21cnjy.com )积运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于新定义要先理解清楚它的内涵外延，再利用它来解题.
40．以原点O及点A(2，-2)为顶点作一个等边△OAB，求点B的坐标及向量的坐标.
【答案】B(2，2)，=(0，4)或B(0，-4)，=(-2，-2).
【解析】
试题分析：因为△OAB是等边三角形，分两种情况进行讨论，然后求出点B的坐标及向量的坐标.
试题解析：
因为△OAB是等边三角形，
( http: / / www.21cnjy.com / )
所以||=||=||=4.
又以Ox为始边，OA为终边的角为或-(如图)，
所以当B在OA上方时，以OB为终边的角为，
由任意角三角形函数的定义，得
==(2，2)，
所以=-=(2，2)-(2，-2)=(0，4)，
当B在OA下方时，以OB为终边的角为或-，得=(0，-4)，
所以=-=(0，-4)-(2，-2)
=(-2，-2)，
综上所述，B(2，2)，=(0，4)
或B(0，-4)，=(-2，-2).
点睛：向量是衔接代数和几何的桥梁， ( http: / / www.21cnjy.com )所以用坐标法解决向量问题是，是代数在几何中的何中的体现，对于等边，等腰，矩形图形，更多的会采用坐标法．建立合适的坐标将有利于我们解决向量及几何问题．
41．已知，、、在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为、、．
（1）若，求角的值；
（2）当时，求的值．
【答案】（1） （2）-
【解析】
【分析】
⑴首先可以通过、、写出和，然后通过化简可得，最后通过即可得出角的值；
⑵首先可通过化简得到，再通过化简得到，最后对化简即可得到的值．
【详解】
⑴已知、、，
所以，，
因为，
所以
化简得，即，
因为，所以；
⑵由可得，
化简得，，
所以，
所以，综上所述，．
【点睛】
本题考查了三角函数以及向量的相关性质，主要 ( http: / / www.21cnjy.com )考查了三角恒等变换的相关性质以及向量的运算的相关性质，考查了计算能力，考查了化归与转化思想，锻炼了学生对于公式的使用，是难题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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