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第八讲 平面向量加减的坐标表示
【基础训练】
一、单选题
1．已知，，点是线段上的点，，则点的坐标（ ）
A． B． C． D．
2．若，，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，M是线段的中点，那么向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．若向量，，则（ ）
A． B． C． D．
5．设，是平面直角坐标系内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，为坐标原点，若，，则的坐标是（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
6．已知向量 ， ，则 ＝（ ）
A．(1，－2) B．(1，2) C．(5，6) D．(2，0)
7．若＝(3，5)，＝(－1，2)，则等于（ ）
A．(4，3) B．(－4，－3)
C．(－4，3) D．(4，－3)
8．设向量，，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，G为所在平面内的一点，且满足，则G点的坐标为（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
12．若向量，，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知点，，则向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
14．已知向量，，则等于（ ）
A． B． C． D．
15．已知向量，，若，则
A． B． C． D．
16．已知两点，，，则点坐标是（ ）
A． B． C． D．
17．已知点，，向量，则向量（ ）
A． B．
C． D．
18．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
19．已知，，，若，则等于（ ）
A．(1，4) B． C． D．
20．已知=（2，1），=（-3，4），则-=（ ）
A．（5，-3） B．（-1，5）
C．（-3，5） D．（-5，3）
21．已知是平面内两个夹角为的单位向量，设为同一平面内的两个向量，若，则的最大值为（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
22．已知，若，则实数对，为（ ）
A． B． C． D．无数对
23．向量，，，，则与的值为（ ）
A．，1 B．1，2 C．2， D．，2
24．设向量，，，若表示向量、、、的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量为（ ）2·1·c·n·j·y
A． B．
C． D．
25．向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
26．若是一组基底，向量 (x,y∈R)，则称(x,y)为向量在基底下的坐标．现已知向量在基底下的坐标为(－2,2)，则在另一组基底＝(－1,1)，＝(1,2)下的坐标为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．(2,0) B．(0,－2) C．(－2,0) D．(0,2)
27．已知平行四边形中，、、，对角线、交于点，则的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
28．已知向量，，，则以向量与为基底表示向量的结果是
A． B． C． D．
29．已知向量，若向量，则可能是（ ）
A． B． C． D．
30．在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＋＝（ ）
A．(－2，4) B．(4，6)
C．(－6，－2) D．(－1，9)
31．已知M是内一点，，记的面积为，的面积为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
32．已知点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
33．已知点，向量，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
34．在正方形ABCD中，点是DC的中点，点是AB上靠近B的三等分点，若，则（ ）
A．2 B． C．8 D．
35．已知平面直角坐标系中，点，，，、、，，是线段AB的九等分点，则（ ）
A．45 B．50 C．90 D．100
36．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量，的夹角为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．45° B．60° C．90° D．135°
37．如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量满足，则（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．0 B．1 C． D．7
38．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．-4 B．4 C．-1 D．1
39．在矩形中， ，，为矩形内一点，且，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
40．已知中，，，对角线、交于点，则的坐标为（ ）.
A． B． C． D．
二、多选题
41．(多选)下列各式不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
42．已知向量，，，则可能是（ ）
A． B． C． D．
43．已知在平面直角坐标系中，点，.当是线段的一个三等分点时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
44．已知，如下四个结论正确的是（ ）
A．； B．四边形为平行四边形；
C．与夹角的余弦值为； D．
三、填空题
45．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角度得到向量，叫做把点B绕着A沿逆时针方向旋转角得到点P．沿顺时针方向旋转得到的向量__________．21教育网
46．已知向量＝(1，1)，＝(1，－1)，＝(cos α， sin α)(α∈R)，实数m，n满足m＋n＝，则(m－3)2＋n2的最大值为________．www.21-cn-jy.com
四、解答题
47．已知，，．
（1）求的坐标；
（2）求满足条件的实数，．
48．已知向量，，，
（1）求的最小值；
（2）若与共线，求的值.
49．设数轴上两点的坐标分别为，求：
（1）向量的坐标，以及A与B的距离；
（2）线段中点的坐标.
50．已知向量，．
（Ⅰ）分别求，的值；
（Ⅱ）当为何值时，与垂直？
51．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，求的值.
( http: / / www.21cnjy.com / )
52．已知，，．设，，．
（1）求；
（2）求满足的实数，的值；
53．如图，已知两点A(－4，0)，B(0，3)．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求向量的模，并指出||与||的关系．
（2）若C(x，y)，＝0，求x，y的值．
54．已知，是直线上一点，若，求点的坐标.
55．已知＝(10，－5)，＝(3，2)，＝(－2，2)，试用，表示.
56．已知A(-1，2)，B(0，-2)，且，若点D在线段AB上，求点D的坐标.
57．设x，y是实数，分别按下列条件，用的形式表示.
（1）若＝(1，0)，＝(0，1)，＝(－3，－5)；
（2）若＝(5，2)，＝(－4，3)，＝(－3，－5)．
58．已知点，.
（1）求的值；
（2）若点满足，求点坐标.
59．平面内有向量=（1，3），=（2，1），=（-1，1）.
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值.
60．已知向量，.向量，.
（1）求；
（2）求向量，的坐标；
（3）判断向量与是否平行，并说明理由.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第八讲 平面向量加减的坐标表示
【基础训练】
一、单选题
1．已知，，点是线段上的点，，则点的坐标（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据向量的坐标运算可求的坐标.
【详解】
设，则，
因为，故，解得，故.
故选：A.
2．若，，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由向量线性关系知，结合向量的坐标表示即可确定的坐标.
【详解】
，且，
,,,，
故选：C．
3．已知，，M是线段的中点，那么向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
中点坐标公式可得答案.
【详解】
由中点坐标公式得，即，所以.
故选：A.
4．若向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由向量加法的坐标运算计算．
【详解】
．
故选：A．
5．设，是平面直角坐标系内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，为坐标原点，若，，则的坐标是（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
已知在平面直角坐标系内，，是平面直角坐标系内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，向量的横纵坐标为被为，前面的系数；利用向量线性运算的坐标法计算.2-1-c-n-j-y
【详解】
因为，，
所以．
故选：D.
6．已知向量 ， ，则 ＝（ ）
A．(1，－2) B．(1，2) C．(5，6) D．(2，0)
【答案】A
【分析】
根据向量的坐标运算法则计算即可得出结果.
【详解】
解：
故选:A
7．若＝(3，5)，＝(－1，2)，则等于（ ）
A．(4，3) B．(－4，－3)
C．(－4，3) D．(4，－3)
【答案】A
【分析】
由计算即可得出结果.
【详解】
故选：A
8．设向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由平面向量加法的坐标运算可求得的坐标.
【详解】
.
故选：B.
9．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据向量线性运算的坐标表示可得答案.
【详解】
因为向量，，
所以.
故选：A.
10．已知，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设，，由已知条件求出，两点的坐标，即可求解.
【详解】
因为，，，
所以，，
设，，所以，
由可得，解得，所以，
由可得，解得，所以，
所以，
故选：D
11．已知平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，G为所在平面内的一点，且满足，则G点的坐标为（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用向量的坐标表示以及向量坐标的加法运算即可求解.
【详解】
由题意易得，，
，
.
即G点的坐标为，
故选：A.
12．若向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
直接根据,将坐标代入运算即可得出结果.
【详解】
解:.
故选:A
13．已知点，，则向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用向量的终点坐标减去起点坐标即得.
【详解】
点，，则向量,
故选：B.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，属简单题，一般的，向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标.
14．已知向量，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据平面向量的加法运算求解.
【详解】
因为向量，，
所以,
故选：D
15．已知向量，，若，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平面向量的坐标运算可求得的值.
【详解】
已知向量，，则，因此，.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用平面向量的坐标运算求参数的值，考查计算能力，属于基础题.
16．已知两点，，，则点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设点，利用平面向量的坐标运算列方程组求出 的值.
【详解】
解：设点，由点，，
所以，
，
又，
所以，
解得，
则点坐标是.
故选：B.
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，是基础题.
17．已知点，，向量，则向量（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由向量的加法运算计算．
【详解】
由题意，∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查向量的加法运算，向量加法的坐标运算，掌握加法运算法则是解题关键．
18．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用向量线性坐标运算即可求解.
【详解】
向量，，
则，
故选：A
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，考查了基础知识掌握情况，属于基础题.
19．已知，，，若，则等于（ ）
A．(1，4) B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据平面向量线性运算的坐标表示可得结果.
【详解】
，，，若，
可得：.
故选：C.
【点睛】
本题考查了平面向量线性运算的坐标表示，属于基础题.
20．已知=（2，1），=（-3，4），则-=（ ）
A．（5，-3） B．（-1，5）
C．（-3，5） D．（-5，3）
【答案】A
【分析】
由向量线性运算的坐标计算法则即可选出正确答案.
【详解】
解：，
故选:A.
【点睛】
本题考查了向量线性运算的坐标表示，属于基础题.
21．已知是平面内两个夹角为的单位向量，设为同一平面内的两个向量，若，则的最大值为（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意不妨设，求出向量的坐标，设，得出点的轨迹方程，由圆的性质可解得答案.
【详解】
由条件是平面内两个夹角为的单位向量，不妨设
则，设
由，得
所以点在圆上.
又表示圆上的点和点间的距离.
所以
故选：B
22．已知，若，则实数对，为（ ）
A． B． C． D．无数对
【答案】B
【分析】
由表示出坐标关系，利用向量相等建立关系即可求解.
【详解】
，，
，解得．
实数对，，．
故选：B．
23．向量，，，，则与的值为（ ）
A．，1 B．1，2 C．2， D．，2
【答案】D
【分析】
利用向量的坐标运算列出方程组，解出与的值．
【详解】
由题意，，，，，
，
；
故选：D．
24．设向量，，，若表示向量、、、的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量为（ ）21*cnjy*com
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据已知条件可得，利用平面向量的坐标运算可得出向量的坐标.
【详解】
由已知条件可得，
所以，，
故选：D.
25．向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
以的交点为原点建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算可构造方程求得，进而得到结果.
【详解】
以的交点为原点可建立如图所示的平面直角坐标系：
( http: / / www.21cnjy.com / )
则，，，
，即，
，解得：，.
故选：A.
26．若是一组基底，向量 (x,y∈R)，则称(x,y)为向量在基底下的坐标．现已知向量在基底下的坐标为(－2,2)，则在另一组基底＝(－1,1)，＝(1,2)下的坐标为（ ）21·cn·jy·com
A．(2,0) B．(0,－2) C．(－2,0) D．(0,2)
【答案】D
【分析】
由题设，知，若 (x,y)为在基底下的坐标，则，即可得方程组求出坐标.
【详解】
∵在基底，下的坐标为(－2，2)，
∴.
设(x,y)为在基底下的坐标，则，即，
∴，解得.
∴在基底下的坐标为(0,2)．
故选：D.
27．已知平行四边形中，、、，对角线、交于点，则的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
计算出的坐标，可得出，即可得解.
【详解】
在平行四边形中，对角线、交于点，则为的中点，
由已知条件可得，因此，.
故选：A.
28．已知向量，，，则以向量与为基底表示向量的结果是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设，列方程组解得即得．
【详解】
设，则，解得，所以．
故选：A．
29．已知向量，若向量，则可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据向量坐标线性运算及参数范围，结合选项可得结果．
【详解】
由，得
，因为，所以，只有D成立；
故选：D
30．在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＋＝（ ）
A．(－2，4) B．(4，6)
C．(－6，－2) D．(－1，9)
【答案】A
【分析】
利用平行四边形法则，结合向量坐标的加减运算，计算结果.
【详解】
在平行四边形ABCD中，因为A(1，2)，B(3，5)，所以.又，所以，，所以.
故选:A.
31．已知M是内一点，，记的面积为，的面积为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】
利用平行四边形法则结合图象，得出点的具体位置，进而可得面积之比．
【详解】
，
分别取的中点，如图所示
( http: / / www.21cnjy.com / )
则，，所以
即三点共线，且，则
因为是中点，所以，，即
故选：D
32．已知点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由向量的坐标运算公式可得答案.
【详解】
因为，，，，
所以，
所以.
故选：A.
33．已知点，向量，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设点坐标为，利用向量的坐标运算建立方程组，解之可得选项.
【详解】
设点坐标为，，A，所以，
又，，
所以.解得，解得点坐标为.
故选：B.
34．在正方形ABCD中，点是DC的中点，点是AB上靠近B的三等分点，若，则（ ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】
通过建立直角坐标系，由得，列方程求解即可.
【详解】
建系如图，设正方形边长为2，
则，，，
，
，
，
.
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选：A.
35．已知平面直角坐标系中，点，，，、、，，是线段AB的九等分点，则（ ）
A．45 B．50 C．90 D．100
【答案】B
【分析】
利用向量的加法以及数乘运算可得，再由向量模的坐标表示即可求解.
【详解】
，
∴
.
故选：B.
36．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量，的夹角为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．45° B．60° C．90° D．135°
【答案】A
【分析】
根据向量的坐标表示，求得的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．
【详解】
由题意，可得，，
设向量，的夹角为，则，
又因为，所以．
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公 ( http: / / www.21cnjy.com )式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2·1·c·n·j·y
37．如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量满足，则（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．0 B．1 C． D．7
【答案】D
【分析】
建立坐标系，可得的坐标，再由建立方程求解即可．
【详解】
解：将向量放入如图所示的坐标系中，每个小正方形的边长为1，
则，
，
，
即，解得，
..
故选：D.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查向量的分解，利用向量的坐标运算是解决本题的关键．
38．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．-4 B．4 C．-1 D．1
【答案】C
【分析】
可求出，从而可得出，解出的值即可.
【详解】
由题意，向量，，所以，
可得，解得.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标表示及运算，其中解答中熟记平面向量的坐标表示及运算法则是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于容易题.www-2-1-cnjy-com
39．在矩形中， ，，为矩形内一点，且，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，根据题中条件，得到，，令，，化所求式子为，根据正弦函数的性质，即可求出最值.
【详解】
由题意，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，设，
则，，
因为，所以，
又为矩形内一点，且，则，
不妨令，，
则，
又，所以，
因此，当时，取得最大值，
即的最大值为.
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选：B.
【点睛】
本题主要考查由平面向量的坐标表示求参数的最值，涉及求正弦型三角函数的最值，属于常考题型.
40．已知中，，，对角线、交于点，则的坐标为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平行四边形法则可得，根据即可得结果.
【详解】
∵，，
根据平行四边形法则可得，
则，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查平行四边形法则，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化，属于基础题.
二、多选题
41．(多选)下列各式不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】ACD
【分析】
由向量加、减法的坐标运算逐项排除可得答案．
【详解】
对于A，若，，则，错误；
对于B，若，，则，正确；
对于C，若，，则，错误；
对于D，若，，则，错误.
故选：ACD.
42．已知向量，，，则可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
设，依题意得到方程组，解得即可；
【详解】
解：设，依题意有，解得或.
故选：BD
【点睛】
本题考查向量共线及向量模的坐标表示，属于基础题.
43．已知在平面直角坐标系中，点，.当是线段的一个三等分点时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】
设，则，然后分点P靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解.
【详解】
设，则，
当点P靠近点时，，
则，
解得，
所以，
当点P靠近点时，，
则，
解得，
所以，
故选：AD
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
44．已知，如下四个结论正确的是（ ）
A．； B．四边形为平行四边形；
C．与夹角的余弦值为； D．
【答案】BD
【分析】
求出向量坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即可一一判断.
【详解】
由，
所以，，， ,
对于A，，故A错误；
对于B，由，，则，
即与平行且相等，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确；
故选：BD
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算、向量的数量积、向量模的坐标表示，属于基础题.
三、填空题
45．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角度得到向量，叫做把点B绕着A沿逆时针方向旋转角得到点P．沿顺时针方向旋转得到的向量__________．【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】
【分析】
先根据题意分析出，代入即可求解.
【详解】
沿顺时针方向旋转，相当于逆时针方向旋转，
按照题意：
.
故答案为：
【点睛】
方法点睛：新定义题（创新题）解答的关键：对新定义的正确理解.
46．已知向量＝(1，1)，＝(1，－1)，＝(cos α， sin α)(α∈R)，实数m，n满足m＋n＝，则(m－3)2＋n2的最大值为________．21·世纪*教育网
【答案】16
【分析】
方法一：利用向量的坐标运算可得点M(m，n)在以原点为圆心，1为半径的圆上，进而再利用圆的性质求出即可；【来源：21cnj*y.co*m】
方法二：利用向量的坐标运算可得m＝sin，n＝cos，利用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.【出处：21教育名师】
【详解】
方法一：由m＋n＝，可得，
故(m＋n)2＋(m－n)2＝2，即m2＋n2＝1，
故点M(m，n)在以原点为圆心，1为半径的圆上，
则点P(3，0)到点M的距离的最大值为|OP|＋1＝3＋1＝4，
故(m－3)2＋n2的最大值为42＝16．
方法二：∵m＋n＝，
∴(m＋n，m－n)＝(cos α，sin α)(α∈R)．
∴m＋n＝cos α，m－n＝sin α．
∴m＝sin，n＝cos．
∴(m－3)2＋n2＝m2＋n2－6m＋9＝10－6sin．
∵sin∈[－1，1]，
∴(m－3)2＋n2的最大值为16．
故答案为：16.
四、解答题
47．已知，，．
（1）求的坐标；
（2）求满足条件的实数，．
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）利用向量的坐标运算即可求的坐标.
（2）由已知线性关系，结合坐标表示得到，解方程组即可.
【详解】
（1）根据题意，，，，
则,,,,，
（2）根据题意，若，即,,,，
则有，解可得，
故.
48．已知向量，，，
（1）求的最小值；
（2）若与共线，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）用表示，结合二次函数的性质求解；
（2）利用向量共线的充要条件计算．
【详解】
解：（1）∵，，
∴，
∴=（），
∴当时，的最小值为；
（2）∵，，与共线，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了向量的模的计算，向量共线的应用，属于基础题．
49．设数轴上两点的坐标分别为，求：
（1）向量的坐标，以及A与B的距离；
（2）线段中点的坐标.
【答案】（1）坐标为-10，A与B的距离为10； （2）-2
【分析】
（1）利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，由数轴上任意两点的坐标，可以求出它们之间的距离，
（2）由数轴上的点可求它们中点的坐标.
【详解】
解：（1）由题意得的坐标为的坐标为，
又因为，所以坐标为，而且.
（2）设线段中点的坐标为x，则.
【点睛】
本题考查了向量的加、减运算以及求向量的模，属于基础题.
50．已知向量，．
（Ⅰ）分别求，的值；
（Ⅱ）当为何值时，与垂直？
【答案】(1) .
(2) 当时，与垂直.
【解析】
分析：（1）根据题意结合向量坐标运算，求出，再计算模长即可；（2）与垂直故，代入坐标计算即可.21教育网
详解：
（Ⅰ） ，，，
于是，；
（Ⅱ） ，由题意可知：，
即，解得，故当时，与垂直.
点睛：考查向量坐标的运算，向量模长，向量的垂直等式关系，对基本公式的定义的熟悉是解题关键，属于基础题.【版权所有：21教育】
51．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，求的值.
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【答案】
【分析】
建立如图所示的平面直角坐标系，用坐标表示向量进行运算．
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，则易知，
若，则，
( http: / / www.21cnjy.com / )
得，所以.
52．已知，，．设，，．
（1）求；
（2）求满足的实数，的值；
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）利用平面向量的数乘和加法运算求解即可；
（2）由向量的坐标运算列出方程组，可得实数，的值．
【详解】
由已知得，，．
（1），，，，．
（2），，．
解得．
53．如图，已知两点A(－4，0)，B(0，3)．
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（1）求向量的模，并指出||与||的关系．
（2）若C(x，y)，＝0，求x，y的值．
【答案】（1）＝5，＝5， ；（2）x＝－4，y＝0．
【分析】
（1）根据平面向量模的定义计算．
（2）根据向量的坐标表示求解．
【详解】
解：（1）所求向量的模就是线段AB的长度．
∵AB＝＝5，
∴＝5，＝5，故．
（2）∵，
∴A，C重合，
∴x＝－4，y＝0．
54．已知，是直线上一点，若，求点的坐标.
【答案】
【分析】
设，根据向量共线的坐标运算求解.
【详解】
因为，
所以，
因为，
所以，
解得，
即
55．已知＝(10，－5)，＝(3，2)，＝(－2，2)，试用，表示.
【答案】＝－.
【分析】
根据平面向量的基本定理，利用坐标运算即可.
【详解】
设＝λ＋μ (λ，μ∈R)．
则(10，－5)＝λ(3，2)＋μ(－2，2)＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ)．21教育名师原创作品
∴解得
∴＝－.
56．已知A(-1，2)，B(0，-2)，且，若点D在线段AB上，求点D的坐标.
【答案】
【分析】
根据向量的坐标运算求解即可.
【详解】
设D(x，y)，由题意知，2||=3||，
且点D在线段AB上，所以2=，
即2(x+1，y-2)=3(-x，-2-y).
所以解得
故D点坐标为.
57．设x，y是实数，分别按下列条件，用的形式表示.
（1）若＝(1，0)，＝(0，1)，＝(－3，－5)；
（2）若＝(5，2)，＝(－4，3)，＝(－3，－5)．
【答案】（1）＝－3－5；（2）＝－－.
【分析】
（1）利用坐标运算即可求得；
（）利用坐标运算，得到关于的方程组，求解即得.
【详解】
（1）＝(－3，－5)＝ ＝x(1，0)＋y(0，1)＝(x，y)，
所以x＝－3，y＝－5，所以＝－3－5.
（2）＝(－3，－5)＝x＋y＝x(5，2)＋y(－4，3)＝(5x－4y，2x＋3y)，
所以,解得,
所以＝－－.
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算的坐标表示，属基础题，直接根据坐标运算求解即可.
58．已知点，.
（1）求的值；
（2）若点满足，求点坐标.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由已知点的坐标，求得向量，利用向量的模的坐标计算公式可求得答案；
（2）设点的坐标为，得.代入向量的坐标对立方程组可得答案.
【详解】
解：（1）∵，∴；
（2）设点的坐标为，则.
由，得解得，，
所以点的坐标为.
【点睛】
本题考查向量的坐标运算，向量的模，向量相等，向量的线性运算，属于基础题.
59．平面内有向量=（1，3），=（2，1），=（-1，1）.
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值.
【答案】（1）5；（2）.
【分析】
（1）直接利用坐标公式计算即可；
（2）先利用坐标运算求出，然后再结合数量积的坐标公式求夹角的余弦值.
【详解】
（1）,
;
（2）,
,
又，
，
即与夹角的余弦值为.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算、模以及数量积的坐标运算，考查学生的计算能力，难度不大.
60．已知向量，.向量，.
（1）求；
（2）求向量，的坐标；
（3）判断向量与是否平行，并说明理由.
【答案】（1）；（2），；（3）向量与平行；详见解析
【分析】
（1）利用向量的模的计算公式求解即可；
（2）利用向量坐标的数乘和坐标的加减法运算求解即可；
（3）由向量共线的坐标运算判断.
【详解】
（1）由，得；
（2），
；
（3），
所以向量与平行.
【点睛】
本题主要考查向量模的求法和平面向量线性运算的坐标形式，属于基础题.
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