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第八讲 平面向量加减的坐标表示
【提升训练】
一、单选题
1．已知,,,,,为坐标原点,则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．在中，，，，点P是内一点（含边界），若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是
A． B． C． D．
4．已知向量，则（ ）
A． B．10 C． D．4
5．已知在中，为的中点，，，点为边上的动点，则最小值为（ ）
A．2 B． C． D．－2
6．已知三个不同的点在圆上运动，且，若点Q的坐标为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，AB⊥AD，点P满足，且x+2y＝1，点M在矩形ABCD内（包含边）运动，且，则λ的最大值等于（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．1 B．2 C．3 D．4
8．平面向量，满足，，，则最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．在中，已知，，，点满足，其中，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知向量，.若，则m的值为
A． B．4 C．- D．-4
11．已知向量，满足，，则（ ）
A．（1，2） B．（1，-2） C．（-1，2） D．（-1，-2）
12．为所在平面内的一点，满足，若，则
A．， B．，
C．， D．，
13．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且，则P点的坐标为( )
A．(－8,1) B．
C． D．(8，－1)
14．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A． B． C． D．
15．已知向量，则可能是
A． B． C． D．
16．已知四边形为平行四边形，其中，则顶点的坐标为
A． B． C． D．
17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，若点C满足，其中，，且，则点C的轨迹方程为21教育网
A． B．
C． D．
18．如图中，，，平分线交△ABC的外接圆于点，设，，则向量（ ）
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A． B． C． D．
19．如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．2 D．
20．已知两点为坐标原点，点在第二象限，且，设，则等于
A． B．2 C．1 D．
21．已知平面直角坐标系中是原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数是
A． B．
C． D．
22．已知是边长为的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是
A． B． C． D．
23．已知集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},则M∩N等于( )
A．{(1,1)} B．{(1,1),(-2,-2)}
C．{(-2,-2)} D．
24．已知直线与， 轴的正半轴分别交于点， ，与直线交于点，若（为坐标原点），则， 的值分别为2·1·c·n·j·y
A．， B．， C．， D．，
25．已知向量，若，则
A． B． C． D．
26．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于( )21世纪教育网版权所有
A．(－2,7) B．(－6,21)
C．(2，－7) D．(6，－21)
27．如图所示，点是圆上的三点，线段与线段交于圆内一点，若，则的值为
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A． B． C． D．
28．若向量，，，则等于
A． B．
C． D．
29．如图所示，平面内有三个向量，，.与夹角为，与夹角为，且，，若，则
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B． C．-6 D．6
30．已知在中，两直角边，，是内一点，且，设，则
A． B． C．3 D．
31．已知向量与单位向量同向，且，则的坐标为
A． B． C． D．
32．已知向量，， ，若，则实数
A． B． C． D．
33．已知，，则的取值范围是
A． B． C． D．
34．在平面直角坐标系中，点，对于某个正实数，存在函数，使得（为常数），这里点的坐标分别为，则的取值范围为www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
35．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE= CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（ ）21cnjy.com
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A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点
B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个
C．满足λ+μ=3的点P有且只有一个
D．λ+μ=的的点P有且只有一个
36．如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AD=DM，N是线段BD上的动点，过点作AM的垂线，垂足为H，当最小时，（ ）21*cnjy*com
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A． B．
C． D．
37．已知，，，，为外接圆上的一动点，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
38．O为坐标原点，已知向量，，，为非负实数且，，则的最小值为_______________【来源：21cnj*y.co*m】
39．已知点，，向量，则向量______.
40．已知向量a=(2，1)，b=(1， 2)．若ma＋nb=(9， 8)(m，n∈R)，则m n的值为________．
41．已知为单位圆，A、B在圆上，向量，的夹角为60°，点C在劣弧上运动，若，其中，则的取值范围___________.【出处：21教育名师】
三、解答题
42．已知向量与向量的对应关系用表示.
（1）证明：对任意向量、及常数、，恒有；
（2）设，，求向量及的坐标；
（3）求使（、为常数）的向量的坐标.
43．已知、、，，.
（1）求点、及向量的坐标；
（2）求证：.
44．已知，，，，.
（1）求；
（2）求的最小值.
45．已知为坐标原点，圆与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点，圆上的动点位于轴的上方．设向量与轴正方向的夹角为．21·世纪*教育网
（Ⅰ）若，求与的夹角；
（Ⅱ）若，求．
46．平面内给定三个向量.
（1）求；
（2）求满足的实数的值.
47．设向量，，．
（1）若与垂直，求的值；
（2）求的最大值；
（3）若，求证：∥．
48．在平面直角坐标系中，点，，，.
（1）试求实数为何值时，点在第二、四象限的角平分线上；
（2）若点在第三象限内，求实数的取值范围.
49．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线．
（1）求实数的值；
（2）已知点，，，若，，，四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
50．已知平面向量.
(1)若,求的值；
(2)若在上的投影是,求实数.
51．平面内给定三个向量.
求满足的实数；
设，满足.且，求向量.
52．已知向量，.
（1）求的值；
（2）若与共线，求实数k的值.
53．已知点，，，设，，，且，．
（1）求；
（2）求满足的实数m，n的值；
（3）求点M，N的坐标及向量的坐标．
54．已知，，
(1)求；
(2)设的夹角为，求的值；
(3)若向量与互相垂直，求的值．
55．在平面直角坐标系中，已知、、.
（1）若为坐标原点，是否存在常数使得成立？
（2）设梯形，且，，求点坐标；
（3）若点满足：，且，求点坐标．
56．已知点为圆上一点，轴于点，轴于点，点满足（为坐标原点），点的轨迹为曲线.www.21-cn-jy.com
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）斜率为的直线交曲线于不同的两点、，是否存在定点，使得直线、的斜率之和恒为0.若存在，则求出点的坐标；若不存在，则请说明理由.2-1-c-n-j-y
57．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，又点，，，.
（1）若，且，求向量；
（2）若向量与向量共线，常数，求的值域.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第八讲 平面向量加减的坐标表示
【提升训练】
一、单选题
1．已知,,,,,为坐标原点,则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
法一：将,视为定点,根据、分别在 轴、 轴上,得到垂直关系, 是为直径的圆上的动点,的中点为圆心,根据圆心和的位置关系即可得取值范围.21教育名师原创作品
法二：设的坐标,根据,得到,,整理式子至,利用均值不等式得出,则即可算出距离的取值范围.
【详解】
解：法一：将,视为定点,,视为以为直径的圆上的动点,的中点为,当过圆心,且在,之间时,取得最小值,在的延长线上时,取得最大值．
故选:C
法二：设,则,,,即, ,取等号条件：,令,则或,解得．
故选:C
【点睛】
本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.
2．在中，，，，点P是内一点（含边界），若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
以为原点，以所在的直线为轴，建立坐标系，设点为，根据向量的坐标运算可得，当直线与直线相交时最大，问题得以解决
【详解】
以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，
，，，
，，，
设点为，，，
，
，，，，，
，
，①
直线的方程为，②，
联立①②，解得，
此时最大，
，
故选：．
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【点睛】
本题考查了向量在几何中的应用 ( http: / / www.21cnjy.com )，考查了向量的坐标运算，解题的关键是建立直角坐标系将几何运算转化为坐标运算，同时考查了学生的数形结合的能力，属于中档题21·世纪*教育网
3．中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算求得，当该直线与直线相交时，取得最大值．
【详解】
解：中，，，，
，，，；
以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，
如图所示，
，，，
，，，，
设点为，，，
，
，，，，，
，
，①
直线的方程为，②，
联立①②，得，
此时最大，
．
故选：B．
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【点睛】
本题考查了向量在几何中的应用问题，建立直角坐标系是解题的关键，属于中档题．
4．已知向量，则（ ）
A． B．10 C． D．4
【答案】A
【分析】
设，根据向量的坐标运算建立方程可求出，求向量模即可.
【详解】
设，
所以．
因为，
所以
解得，
所以，所以．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了向量线性运算的坐标表示，向量的模，考查了运算能力，属于中档题.
5．已知在中，为的中点，，，点为边上的动点，则最小值为（ ）
A．2 B． C． D．－2
【答案】C
【分析】
由，结合投影几何意义，建立平面直角坐标系，结合向量数量积的定义及二次函数的性质即可求解.
【详解】
由,结合投影几何意义有：过点作的垂线，垂足落在的延长线上，且
,
以所在直线为轴，以中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
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则
设，其中
则
解析式是关于的二次函数，开口向上，对称轴时取得最小值，
当时取得最小值
故选：
【点睛】
本题考查向量方法解决几何最值问题，属于中等题型.
6．已知三个不同的点在圆上运动，且，若点Q的坐标为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用数形结合，采用建系的方法，根据向量的坐标表示以及运算，结合辅助角公式，可得结果.
【详解】
如图：
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由，可知为直径
可设
，
所以，
则
所以
化简可得
即
所以
当时，
当时，
所以的取值范围为
故选：D
【点睛】
本题主要考查向量的坐标表示，对这种几何问题，常会采用建系，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.
7．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，AB⊥AD，点P满足，且x+2y＝1，点M在矩形ABCD内（包含边）运动，且，则λ的最大值等于（ ）21*cnjy*com
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
利用矩形建立坐标系，把所给向量条件转化为坐标关系，结合点在矩形内，利用横纵坐标满足的条件列不等式，求得范围.
【详解】
建立如图坐标系：
( http: / / www.21cnjy.com / )
则，，
，
，
因在矩形内，
所以，即，
所以，又，
所以，即的最大值为.
故选：C.
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，不等式性质等基础知识，属于基础题．
8．平面向量，满足，，，则最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据题意设向量，，将方程转化为圆的方程，再利用两点间的距离即可得到结论.
【详解】
由题意，设向量，，则，，
因，即，，
所以：，即向量的轨迹是以为圆心，的圆，
又，
所以可以看作点与点之间的距离，
又点满足，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，将向量的模转化为两点之间的距离是关键，属于中档题.
9．在中，已知，，，点满足，其中，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据, ,,由正弦定理可得为等腰直角三角形,进而求得点坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用,表示出.再由,将化为关于的二次表达式,由二次函数性质即可求得的最小值.2·1·c·n·j·y
【详解】
在中,已知, ,
由正弦定理可得
代入,解得
即
所以为等腰直角三角形
以为原点,所在直线为轴,以的垂线为轴建立平面直角坐标系如下图所示:
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则点坐标为
所以,
因为
则
则
因为,则
代入上式可得
所以当时,
故选:A
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.
10．已知向量，.若，则m的值为
A． B．4 C．- D．-4
【答案】B
【分析】
根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.
【详解】
依题意，由于，所以，解得.
故选B.
【点睛】
本小题主要考查两个向量垂直的坐标表示，考查向量减法的坐标运算，属于基础题.
11．已知向量，满足，，则（ ）
A．（1，2） B．（1，-2） C．（-1，2） D．（-1，-2）
【答案】C
【分析】
将题目所给两个向量相减，求得.
【详解】
两个向量相减得，所以.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查向量的减法和数乘的坐标运算，属于基础题.
12．为所在平面内的一点，满足，若，则
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】
将、用、、表示，然后对比，可得出关于、的方程组，解出即可.
【详解】
由，得，
即，
又，则，解得，，故选：B.
【点睛】
本题考查利用平面向量的基本定理求参数，在解题时要选择合适的基底，结合已知条件列出有关参数的方程组，考查运算求解能力，属于中等题.
13．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且，则P点的坐标为( )
A．(－8,1) B．
C． D．(8，－1)
【答案】B
【分析】
由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可.
【详解】
解：设P(x，y)，则＝ (x－3，y＋2)，而＝ (－8,1)＝，
所以，解得，即，
故选B.
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题.
14．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解.
【详解】
由题意，以中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则，
设，则，
所以
，
所以当时，取得最小值为，
故选A.
( http: / / www.21cnjy.com / )【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15．已知向量，则可能是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
通过向量平行的概念可得，根据向量线性运算的坐标表示即可得结果.
【详解】
∵，
∴或，
∴可能是，故选D.
【点睛】
本题主要考查了向量共线的概念，以及向量线性运算的坐标表示，属于基础题.
16．已知四边形为平行四边形，其中，则顶点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设，根据向量的坐标运算求出，再根据，即可求出，的值．
【详解】
设D的坐标为，
∵，
∴，，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴，,
∴，解得，，即的坐标为，
故选D.
【点睛】
本题主要考查向量的坐标表示，平行四边形的性质，属于基础题.
17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，若点C满足，其中，，且，则点C的轨迹方程为
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
向量坐标化得结合即可得点C的轨迹方程．
【详解】
设.由已知可知，又，又，可得点C的轨迹方程为.
故选D.
【点睛】
本题考查向量坐标运算，消元法求轨迹方程，是基础题
18．如图中，，，平分线交△ABC的外接圆于点，设，，则向量（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形为菱形，所以．
【详解】
解：设圆的半径为，在中，，，
所以，，平分线交的外接圆于点，
所以，
则根据圆的性质，
又因为在中，，
所以四边形为菱形，所以．
故选C．
【点睛】
本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力．属于中档题．
19．如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为
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A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】
建立坐标系，写出相应的点坐标，得到的表达式，进而得到最大值.
【详解】
以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，
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设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆；
根据三角形面积公式得到，
可得到内切圆的半径为
可得到点的坐标为：
故得到
故得到
，
故最大值为：2.
故答案为C.
【点睛】
这个题目考查了向量标化的应用 ( http: / / www.21cnjy.com )，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.【出处：21教育名师】
20．已知两点为坐标原点，点在第二象限，且，设，则等于
A． B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】
假设点坐标，利用坐标运算建立方程，求得结果.
【详解】
由且在第二象限，可设
，，
由得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.
21．已知平面直角坐标系中是原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由向量减法的坐标运算可得向量，根据复数与复平面内的点一一对应，即可得结果.
【详解】
向量，对应的复数分别为，，
根据复数与复平面内的点一一对应，
可得向量，．
由向量减法的坐标运算可得向量，
根据复向量、复数与复平面内的点一一对应，
可得向量对应的复数是，故选B．
【点睛】
解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
22．已知是边长为的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，建立平面直角坐标系，表示出各个点的坐标，进而利用向量数量积的坐标运算求得；利用平方为非负数的特性求得最小值．
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系
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设 ，
则
所以
所以最小值为
所以选B
【点睛】
本题考查了向量数量积在平面几何中的简单应用，建立坐标系是常用的方法，属于中档题．
23．已知集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},则M∩N等于( )
A．{(1,1)} B．{(1,1),(-2,-2)}
C．{(-2,-2)} D．
【答案】C
【分析】
先设，再化简集合M得到，再化简集合N得到，解方程组即得解.
【详解】
设a=(x,y),对于M,(x,y)=(1,2)+λ(3,4),(x-1,y-2)=λ(3,4),.①2-1-c-n-j-y
对于N,(x,y)=(-2,-2)+λ(4,5),(x+2,y+2)=λ(4,5),.②
由①②解得x=-2,y=-2,故M∩N={(-2,-2)}.
故答案为C
【点睛】
(1)本题主要考查向量的坐标运算和集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题解题的关键有两点，其一是设，因为向量是运动变化的,其二是化简集合M和N，分别得到和.
24．已知直线与， 轴的正半轴分别交于点， ，与直线交于点，若（为坐标原点），则， 的值分别为
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】
由直线方程，求得点,联立方程组求得，进而根据，列出关于的方程，即可求解．
【详解】
在直线中，令得，即，令，得，即，
联立 ，解得 ，所以，因为，
所以， ，所以，选C.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的基本定理和向量的坐标表示，其中解答中熟练应用平面向量的基本定理，根据，列出关于的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
25．已知向量，若，则
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据向量的平行求出的值，再根据向量的加法运算求出答案．
【详解】
向量，，
解得，
∴，
故选A．
【点睛】
本题考查了向量的平行和向量的坐标运算，属于基础题．
26．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于( )
A．(－2,7) B．(－6,21)
C．(2，－7) D．(6，－21)
【答案】B
【分析】
由三角形的中线对应的向量为两相邻边对应向量和的，再用向量的坐标运算求值．
【详解】
点是的中点
∴，
，
，
故答案为（-6，21）
【点睛】
本题考查三角形的中线对应的向量与两相邻边对应向量的关系及向量共线的充要条件．
27．如图所示，点是圆上的三点，线段与线段交于圆内一点，若，则的值为
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据向量的减法运算及共线向量基本定理，可以用向量表示向量=，并根据已知条件，这样即可建立关于λ的方程，解方程即可得到λ．
【详解】
，∵和共线，∴存在实数m，使：
∴；
∴=；
∴解得 ．
故选C．
【点睛】
考查向量的减法运算，共线向量基本定理，共面向量基本定理．
28．若向量，，，则等于
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
分析：设，利用两个向量坐标形式的运算法则，用待定系数法求出和的值，即可求得答案.
详解：因为，设，则有，即，解得，
所以，故选D.
点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的问题，在解题的过程中，先设出，之后根据向量的运算法则以及向量相等的条件，建立关于的等量关系式，求解即可得结果.21*cnjy*com
29．如图所示，平面内有三个向量，，.与夹角为，与夹角为，且，，若，则
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A．1 B． C．-6 D．6
【答案】C
【详解】
分析：建立直角坐标系，利用向量的坐标运算，向量的基本定理即可得到答案.
详解：如图所示，建立如图所示的直角坐标系，
则，
因为，所以，
所以，解得，所以，故选C.
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点睛：本题主要考查了向量 ( http: / / www.21cnjy.com )的坐标表示与向量的坐标运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中建立适当的平面直角坐标系，转化为向量的坐标运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想方法的应用，属于中档试题.【版权所有：21教育】
30．已知在中，两直角边，，是内一点，且，设，则
A． B． C．3 D．
【答案】A
【详解】
分析：建立平面直角坐标系，分别写出B、C点坐标，由于∠DAB=60°，设D点坐标为（m，），由平面向量坐标表示，可求出λ和μ．
详解：如图以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，2），
因为∠DAB=60°，设D点坐标为（m，），
=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ） λ=m，μ=，
则．
故选A．
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点睛：本题主要考察平面向量的坐标表示，根据条件建立平面直角坐标系，分别写出各点坐标，属于中档题．
31．已知向量与单位向量同向，且，则的坐标为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设是单位向量，，① 由得，因为向量与单位向量同向，② ，①②联立解方程得或，或，又方向相同，舍去，，故选B.
32．已知向量，， ，若，则实数
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为向量，， ，所以，又因为，所以，解得,故选A.
33．已知，，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题设可得，即，故的几何意义就是动点到定点的距离．因此问题转化为求以为圆心，半径为2的圆上一个动点到定点的距离最大值与最小值问题．由于，所以，即，应选答案C．
点睛：本题的求解的关键与难点在于如何将问题进行转化，依据题设条件与向量模的几何意义，则问题转化为求以为圆心，半径为2的圆上一个动点到定点的距离最大值与最小值问题．由于，所以结合图形可知，即，从而使得问题获解．
34．在平面直角坐标系中，点，对于某个正实数，存在函数，使得（为常数），这里点的坐标分别为，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题设知，点,
∴向量,
,
又因为（λ为常数），
．
两式相除得，
且，且，.
故选：A．
35．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE= CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（ ）
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A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点
B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个
C．满足λ+μ=3的点P有且只有一个
D．λ+μ=的的点P有且只有一个
【答案】C
【分析】
建立坐标系，讨论，，，四种情况，出的范围，再判断每个选项的正误，即可得出结果.
【详解】
如图建系，取，∵，
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∴，
动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，
当时，有且，∴，∴，
当时，有且，则，∴，∴，
当时，有且，则，∴，∴，
当时，有且，则，∴，∴，
综上，，
选项A，取，满足，此时，因此点不一定是的中点，故A错误；
选项B，当点取点或的中点时，均满足，此时点不唯一，故B错误；
选项C，当点取点时，且，解得，为，故C正确；
选项D，当点取的中点或的中点时，均满足，此时点不唯一，故D错误；
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键在于根据题中所给条件，利用建系的方法，讨论的位置，根据，确定的范围，即可求解.（向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化）
36．如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AD=DM，N是线段BD上的动点，过点作AM的垂线，垂足为H，当最小时，（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先分析得出点与点重合时，的模最大，即最小，进而得解．
【详解】
，
由图易知，向量所成的角为钝角，
所以，
，
，当最小时，的模最大，
数形结合易知点与点重合时，的模最大，即最小，
，，
是的中点，
则．
故选：．
【点睛】
本题考查平面向量的数量积及平面向量基本定理的运用，考查逻辑推理能力，属于中档题．
37．已知，，，，为外接圆上的一动点，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
以的中点为原点，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设的坐标为，求出点的坐标，根据向量的坐标和向量的数乘运算得到，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案.
【详解】
解：以的中点为原点，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则外接圆的方程为，
设的坐标为，
过点作垂直轴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵
∴
∴，，
∴，，
∴，其中，，
当时，有最大值，最大值为，
故选B．
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【点睛】
本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图象和性质，以及直角三角形的问题，考查了学生的分析解决问题的能力，属于难题．
二、填空题
38．O为坐标原点，已知向量，，，为非负实数且，，则的最小值为_______________
【答案】
【分析】
根据题意得表示的区域为及内部的点，进而得当时，取得最小值，再计算即可得答案.
【详解】
，，，
又为非负实数且，，
所以表示的区域为及内部的点，
当时，取得最小值，
因为所在的直线方程为，即，
则取得最小值为.
故答案为：.
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【点睛】
本题考查向量的模的求解与线性规划，解题的关键是根据题意明确表示的区域，是中档题.
39．已知点，，向量，则向量______.
【答案】
【分析】
根据向量的坐标运算即可求出．
【详解】
因为，，所以，
，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，向量模的坐标公式，属于基础题目.
40．已知向量a=(2，1)，b=(1， 2)．若ma＋nb=(9， 8)(m，n∈R)，则m n的值为________．
【答案】 3
【详解】
由a=(2，1)，b=(1， 2)，可得ma＋nb=(2m，m)＋(n， 2n)=(2m＋n，m 2n)，21教育网
由已知可得，解得，从而m n= 3.
41．已知为单位圆，A、B在圆上，向量，的夹角为60°，点C在劣弧上运动，若，其中，则的取值范围___________.
【答案】
【分析】
以O为原点，OA为x轴正方向建立直角坐标系，可得A,B的坐标，设点，根据题干条件，可得x+y的表达式，根据三角函数图像与性质，结合的范围，即可得答案.
【详解】
由题意，以O为原点，OA为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示：
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由题意得：，则，，
设点，则，
因为，
所以，整理得，
因为，得，
所以，即，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算、 ( http: / / www.21cnjy.com )辅助角公式的应用、正弦型函数的图像与性质，难点在于根据所给条件，在适当位置建系，再进行求解，考查分析理解，求值化简的能力及数形结合的思想，属中档题.
三、解答题
42．已知向量与向量的对应关系用表示.
（1）证明：对任意向量、及常数、，恒有；
（2）设，，求向量及的坐标；
（3）求使（、为常数）的向量的坐标.
【答案】（1）证明见解析；（2），；（3）.
【分析】
（1）设出两个向量的坐标，通过坐标运算证明；
（2）根据题中所给的映射关系写出所求向量的坐标；
（3）设出，结合通过建立方程组可求解向量的坐标.
【详解】
（1）设，，，
，
又，，
所以，，
因此，对任意向量、及常数、，恒有；
（2），则，
，；
（3）设，则，
，，则，解得，
因此，.
【点睛】
本题考查平面向量新定义问题的求解，解题时要注意向量通过该映射关系的坐标与原坐标之间的关系，考查计算能力，属于中等题.21世纪教育网版权所有
43．已知、、，，.
（1）求点、及向量的坐标；
（2）求证：.
【答案】（1），，（2）证明见解析
【分析】
（1）设点和，根据向量关系得到坐标，再计算向量得到答案.
（2）先计算，得到，得到证明.
【详解】
（1）设点，即，解得： ，故
设点，即，解得，故
（2），，故
【点睛】
本题考查了向量的计算和向量平行的证明，意在考查学生的计算能力.
44．已知，，，，.
（1）求；
（2）求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先利用向量的坐标运算公式计算，然后再求出即可；
（2）可变形为，故可结合基本不等式，利用“乘1法”求出最值.
【详解】
（1），，
，；
（2）∵，，，
∴，
，，
∴，
当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值为.
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，考查了向量结合基本不等式求最值，属于中档题.在应用基本不等式求最值时，要注意遵循“一正二定三相等”原则.
45．已知为坐标原点，圆与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点，圆上的动点位于轴的上方．设向量与轴正方向的夹角为．
（Ⅰ）若，求与的夹角；
（Ⅱ）若，求．
【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）由题意可得点，点,点，进而可得，由即可得，即可得解；
（Ⅱ）由平面向量数量积的坐标表示可得，结合同角三角函数平方关系求出，，再利用同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】
（Ⅰ）由已知可得圆的圆心为原点，半径为1，点，点,
所以点，
所以，，，
所以．
因为，所以．
解得．
又，所以，所以与的夹角为．
（Ⅱ）由题意，得，．
因为，所以即．
联立可得或，
又因，所以，．
所以．
【点睛】
本题考查了利用坐标表示平面向量的线性运算、求解向量的模以及表示向量的数量积，考查了同角三角函数关系的应用，属于中档题.
46．平面内给定三个向量.
（1）求；
（2）求满足的实数的值.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）根据向量，利用平面向量的加法和减法运算求解.
（2）根据，有再利用平面向量相等求解.
【详解】
（1），
，
（2） ，
，
解之得.
【点睛】
本题主要考查平面向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
47．设向量，，．
（1）若与垂直，求的值；
（2）求的最大值；
（3）若，求证：∥．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．
【分析】
（1）根据与垂直列方程，并利用向量数量积的运算进行化简，由此求得的值.
（2）先计算出的最大值，由此求得的最大值.
（3）利用同角三角函数的基本关系式化简，结合平面向量共线的坐标表示，证得
【详解】
（1）由与垂直，则，
即，则．
（2），
，
最大值为32，所以的最大值为．
（3）由得，
即，
所以．
【点睛】
本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量加法、模的坐标运算，考查向量共线的坐标表示，属于基础题.
48．在平面直角坐标系中，点，，，.
（1）试求实数为何值时，点在第二、四象限的角平分线上；
（2）若点在第三象限内，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据向量线性运算和坐标运算可求得，由此得到点坐标，由点位置可知，进而求得结果；
（2）根据第三象限点的坐标的特点可构造不等式组求得结果.
【详解】
（1）由题意得：，
在第二、四象限的角平分线上 ，解得：
（2）由（1）知：
在第三象限内 ，解得：
的取值范围为
【点睛】
本题考查根据点的位置求解参数值和范围的问题，关键是能够通过向量的线性运算和坐标运算求出点的坐标.
49．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线．
（1）求实数的值；
（2）已知点，，，若，，，四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）的坐标为．
【分析】
（1）利用，，三点共线，设存在实数，使得，联立解方程组求出即可；
（2），，，四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以，由，联立解方程组，求出的坐标即可．
【详解】
解：（1），，
，
因为，，三点共线，
所以存在实数，使得，
即，
得，
因为，是平面内两个不共线的非零向量，
所以，解得，；
（2）因为，，，四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以，
设，则，
因为，
所以，解得，
所以点的坐标为．
【点睛】
考查向量共线定理的应用，向量的运算，平面向量的基本定理，属于中档题．
50．已知平面向量.
(1)若,求的值；
(2)若在上的投影是,求实数.
【答案】(1)；(2).
【分析】
（1）根据，，列方程组求解即可；
（2）根据投影公式代入求解即可.
【详解】
(1)因为,所以,
又,所以,解得,
所以；
(2)由题意知,
所以,
因为在上的投影是,所以,
解得.
【点睛】
此题考查平面向量基本运算的坐标表示，涉及向量投影问题，关键在于熟练掌握计算法则和相关概念及公式，准确计算，属于中档题.21cnjy.com
51．平面内给定三个向量.
求满足的实数；
设，满足.且，求向量.
【答案】 或.
【分析】
（1）根据即可得出，从而得出，解出，即可；
（2）根据，，得到方程组，解得.
【详解】
解: 且
又，，
，解得或，
所以或.
【点睛】
本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，平行向量的坐标关系，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．21·cn·jy·com
52．已知向量，.
（1）求的值；
（2）若与共线，求实数k的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先根据向量减法得，再根据向量模的坐标表示得结果；
（2）先用坐标化简与，再根据共线关系列方程解得结果.
【详解】
（1），.
（2），，
与共线，
，解得.
【点睛】
本题考查向量模的坐标表示以及根据共线关系求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.
53．已知点，，，设，，，且，．
（1）求；
（2）求满足的实数m，n的值；
（3）求点M，N的坐标及向量的坐标．
【答案】（1） （2）m=-1；n=-1 （3）；；
【分析】
（1）根据向量的坐标运算法则计算可得.
（2）由向量相等，其坐标对应相等，列出方程组，求出、的值；
（3）设出，，，，根据向量相等，求出、的坐标，再求向量的坐标表示．
【详解】
解：，，
，，
（1）．
（2），
，
，
解得，；
（3）设，，，，
，，
即，，，
，，；
，；
解得，；
，；
向量．
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算与坐标运算的问题，也考查了向量的相等问题以及解方程组的应用问题，属于基础题．【来源：21·世纪·教育·网】
54．已知，，
(1)求；
(2)设的夹角为，求的值；
(3)若向量与互相垂直，求的值．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】
（1）利用两个向量坐标形式的加减运算法则，进行运算．
（2） 把两个向量的坐标直接代入两个向量的夹角公式进行运算．
（3）因为向量与互相垂直，所以它们的数量积等于0，解方程求得的值．
【详解】
解：（1），，
．
（2），
，
.
(3)因为向量与互相垂直，
所以，
即.因为，
所以，所以.
【点睛】
本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，属于基础题．www.21-cn-jy.com
55．在平面直角坐标系中，已知、、.
（1）若为坐标原点，是否存在常数使得成立？
（2）设梯形，且，，求点坐标；
（3）若点满足：，且，求点坐标．
【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）；（3）或.
【分析】
（1）利用坐标运算，列出关于的方程组，解出即可；
（2）设点，由题意得出，利用平面向量的坐标运算可求出、的值，由此可求出点的坐标；
（3）设点的坐标为，根据题中条件得出关于、的方程组，解出即可得出点的坐标.
【详解】
（1），所以，可得，解得，
因此，不存在实数，使得；
（2）设点，由题意得出，即，
可得，解得，因此，点的坐标为；
（3）设点的坐标为，，，
由，可得，整理得，
解得或，因此，点的坐标为或.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，涉及共线向量的坐标表示、模长的坐标运算以及垂直向量的坐标表示，考查方程思想的应用，属于中等题.www-2-1-cnjy-com
56．已知点为圆上一点，轴于点，轴于点，点满足（为坐标原点），点的轨迹为曲线.【来源：21cnj*y.co*m】
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）斜率为的直线交曲线于不同的两点、，是否存在定点，使得直线、的斜率之和恒为0.若存在，则求出点的坐标；若不存在，则请说明理由.
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）存在， 或
【分析】
（Ⅰ）设，,由将用表示，然后将代入，化简即可得到结果；
（Ⅱ）假设存在定点满足题意，设，，斜率为的直线的方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和斜率和为0恒成立，可得结果.
【详解】
（Ⅰ）设，，
则，，
由得，
所以，所以，
又在圆上，
所以，即.
（Ⅱ）假设存在定点满足题意，设，，斜率为的直线的方程为，
则，得，，
所以，解得
又，，
因为，
所以，
则，
则，
则，
则，
则，
所以对任意的恒成立，
所以，解得或，
所以存在定点或，使得、的斜率之和恒为0.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示，考 ( http: / / www.21cnjy.com )查了代入法求曲线的轨迹方程，考查了韦达定理，考查了斜率公式的应用，考查了字母运算能力，属于中档题.
57．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，又点，，，.
（1）若，且，求向量；
（2）若向量与向量共线，常数，求的值域.
【答案】（1）或；（2）当时的值域为.
时的值域为.
【解析】
分析：（1）由已知表示出向量，再根据，且，建立方程组求出，即可求得向量；
（2）由已知表示出向量，结合向量与向量共线，常数，建立的表达式，代入 ，对分类讨论，综合三角函数和二次函数的图象与性质，即可求出值域.
详解：（1），∵，且，
∴，，
解得，时，；时，.
∴向量或.
（2），∵向量与向量共线，常数，
∴，
∴ .
①当即时，当时，取得最大值，
时，取得最小值，此时函数的值域为.
②当即时，当时，取得最大值，
时，取得最小值，此时函数的值域为.
综上所述，当时的值域为.
时的值域为.
点睛：本题考查了向量的坐标运算、向量垂直和共线的定理、模的计算、三角函数的值域等问题，考查了分类讨论方法、推理与计算能力.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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