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第九讲 平面向量数乘运算的坐标表示
【提升训练】
一、单选题
1．已知向量，，若与共线，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
2．已知向量，，，若与共线，则的值为
A．4 B．8 C．0 D．2
3．已知是锐角，，，且，则为（ ）
A． B． C． D．或
4．已知平面向量，，若，则
A． B． C． D．
5．已知向量，，则与共线的单位向量为
A． B．
C．或 D．或
6．设向量，，若三点共线，则（ ）
A． B． C． D．2
7．已知，，向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．的三内角所对边的长分别是，设向量，若//，则角的大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
9．已知，，，，则与（ ）
A．不共线 B．平行 C．相交 D．以上均不对
10．若向量，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
11．已知向量，，，若与共线，则实数（ ）
A． B． C． D．
12．向量（1，2），（2，λ），（3，﹣1），且（）∥，则实数λ＝（ ）
A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
13．已知平面直角坐标系内的两个向量,且平面内的任一向量都可以唯一表示成(为实数),则实数m的取值范围是21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
14．设向量,若,则实数的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
15．已知向量,若,则
A． B． C．0 D．6
16．已知向量，向量，且与共线，那么x等于（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
17．如果向量如果向量共线且方向相反，则( )
A． B． C．2 D．0
18．已知点，，则与平行的单位向量的坐标为（ ）
A． B．
C．和 D．和和和
19．设点，若点P在直线上，且，则点的坐标为
A． B． C．或 D．或
20．已知向量，，若，则的值为
A． B． C． D．
21．若向量，且与共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
22．向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为（ ）
A．－2 B．11
C．－2或11 D．2或11
23．已知、，且、、三点共线，则点的坐标可以是（ ）
A． B．
C． D．
24．已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
25．已知，下列向量中，与反向的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
26．如图是由等边和等边构成的六角星，图中，，，，，均为三等分点，两个等边三角形的中心均为，若，则的值为（ ）21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．1
27．已知向量，，若，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
28．已知向量，若，则的最小值为（ ）.
A．12 B． C．16 D．
29．已知向量，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
30．若三点共线,则的值为
A．1 B． C． D．
31．已知向量，且，若实数均为正数，则的最小值是（ ）
A．24 B． C． D．8
32．已知向量，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
33．已知向量，，若，则实数
A． B． C．3 D．
34．已知，，，且相异三点、、共线，则实数等于
A． B．或 C． D．或
35．向量，且，则( )
A． B． C． D．
36．已知向量，，若与共线，则的值为
A． B． C． D．
37．已知△ABC的三个内角A、B ( http: / / www.21cnjy.com )、C所对边长分别为a、b、c，向量=(a＋c，a－b)，=(b，a－c)，若∥，则∠C=( )21cnjy.com
A． B． C． D．
38．已知向量，若，则．
A． B． C． D．
39．已知向量，，，若为实数，，则
A．2 B．1
C． D．
二、填空题
40．已知，，，且相异三点、、共线，则实数________.
41．已知向量，，，，若，则的最小值______.
42．已知向量，，若，则单位向量______.
43．已知向量，若与平行，则实数m等于______.
44．已知数列的首项为若且则数列的通项公式为_______.
三、解答题
45．设直线与线段AB有公共点P，其中，试用向量的方法求实数的取值范围．
46．已知、、，，.
（1）求点、及向量的坐标；
（2）求证：.
47．设非零向量，不共线.
（1）若，，且，求实数的值；
（2）若，，.求证：，，三点共线.
48．已知向量是同一平面的三个向量，其中．
（1）若，且与的方向相反，求的坐标；
（2）若是单位向量，且，求与的夹角．
49．已知向量，且，其中是的内角．
（1）求角的大小
（2）若，求面积的最大值．
50．设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，且.
（1）求角C的大小；
（2）若向量与共线，求a，b的值.
51．已知向量，，.
（1）若，，求实数的值；
（2）记，若恒成立，求实数的取值范围.
52．已知向量，，
（1）若，求的值﹔
（2）若，求值.
53．已知同一平面内的三个向量、、，其中（1，2）．
（1）若||＝2，且与的夹角为0°，求的坐标；
（2）若2||＝||，且2与2垂直，求在方向上的投影．
54．在中，设，，分别是角，，的对边，已知向量，，且
（1）求角的大小
（2）若，求的周长的取值范围．
55．已知向量，，．
(1)求；
(2)求满足的实数m，n；
(3)若，求实数k.
56．已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的值域．
57．已知向量（cosx，cosx），（cosx，sinx）．
（1）若∥，，求x的值；
（2）若f（x） ，，求f（x）的最大值及相应x的值．
58．已知：是同一平面内的三个向量，其中
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角.
（3）若，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
59．已知．
（1）若，且，求k的值；
（2）若，且，求证：．
60．四边形中，，，．
（1），试求与满足的关系式；
（2）满足（1）的同时又有，求的值和四边形的面积．
61．平面内有向量，，（其中为坐标原点），点是直线上的一个动点.
（1）若，求的坐标；
（2）当取最小值时，求的值.
62．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，又点，，，.
（1）若，且，求向量；
（2）若向量与向量共线，常数，求的值域.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第九讲 平面向量数乘运算的坐标表示
【提升训练】
一、单选题
1．已知向量，，若与共线，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】
由平面向量线性运算的坐标表示可得、，再由平面向量共线的坐标表示即可得解.
【详解】
由已知得，，
又因为与共线，
所以有，解得.
故选：D.
【点睛】
本题考查了平面向量线性运算及共线的坐标表示，考查了运算求解能力，属于基础题.
2．已知向量，，，若与共线，则的值为
A．4 B．8 C．0 D．2
【答案】A
【分析】
先求得与，然后根据向量共线的坐标表示列方程，解方程求得的值.
【详解】
，
，
由于与共线，
所以，
即，
化简得，由于，所以解得.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查向量线性运算和共线的坐标表示，属于基础题.
3．已知是锐角，，，且，则为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】
根据向量平行，结合倍角公式，即可容易求得
【详解】
因为，，且//，
故可得，即可得,
又为锐角，则可得或，
解得或.
故选：D.
【点睛】
本题考查向量共线的坐标表示以及正弦的倍角公式，属综合基础题.
4．已知平面向量，，若，则
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据向量平行得到，化简得到答案.
【详解】
∵，∴，∴，∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力.
5．已知向量，，则与共线的单位向量为
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】
根据题意得，设与共线的单位向量为，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出即可得出答案.
【详解】
因为，，则，
所以，
设与共线的单位向量为，
则，
解得 或
所以与共线的单位向量为或.
故选：D.
【点睛】
本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.
6．设向量，，若三点共线，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】
利用向量共线的坐标表示可得，解方程即可.
【详解】
三点共线，
，
又，，
，解得.
故选：A
【点睛】
本题考查了向量共线的坐标表示，需掌握向量共线，坐标满足：，属于基础题.
7．已知，，向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
计算出的坐标，利用得出和的等量关系，进而可求得的值.
【详解】
，，且，，因此，.
故选：A.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，以及利用共线向量的坐标表示求参数，涉及同角三角函数基本关系的应用，属于基础题.21教育网
8．的三内角所对边的长分别是，设向量，若//，则角的大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【分析】
根据向量共线坐标表示以及余弦定理，可得结果.
【详解】
由//，且
所以
则
所以
又，则
故选：B
【点睛】
本题考查向量共线的坐标表示以及余弦定理的应用，属基础题.
9．已知，，，，则与（ ）
A．不共线 B．平行 C．相交 D．以上均不对
【答案】B
【分析】
先计算出两个向量的坐标，再根据向量共线的坐标公式进行求解.
【详解】
由题可知：，
因为，故与平行.
故选：B.
【点睛】
本题考查向量共线的坐标公式，属基础题.
10．若向量，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据坐标形式下向量的平行对应的等量关系，即可计算出的值，再根据坐标形式下向量的加法即可求解出的坐标表示.2·1·c·n·j·y
【详解】
因为且，所以，
所以，所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查根据坐标形式下向量的平行求解参数以及向量加法的坐标运算，难度较易.已知，若则有.
11．已知向量，，，若与共线，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
计算的坐标，利用向量平行的坐标公式，代入求解.
【详解】
由，，可得，
又其与共线，故：(),解得.
故选：B.
【点睛】
本题考查向量的坐标运算，涉及共线向量的坐标公式，属基础题.
12．向量（1，2），（2，λ），（3，﹣1），且（）∥，则实数λ＝（ ）
A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
【答案】B
【分析】
向量，，计算可得，再由和（）∥，代入向量平行的性质公式计算，即可求解.
【详解】
根据题意, 向量（1，2），（2，λ），
则，
（3，﹣1），且（）∥,
则有，
解可得，
故选：B.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算和平行的性质，属于平面向量常考题型.
13．已知平面直角坐标系内的两个向量,且平面内的任一向量都可以唯一表示成(为实数),则实数m的取值范围是2-1-c-n-j-y
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据平面向量基本定理只需不共线即可.
【详解】
由题意得,平面内的任一向量c都可以唯一表示成(为实数),
则一定不共线,所以,解得,
所以m的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
此题考查平面向量基本定理的辨析，平面内一组基底必须不共线，求解参数只需考虑根据平面向量共线的坐标运算求出参数即可得解.21*cnjy*com
14．设向量,若,则实数的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
首先求出的坐标，再根据平面向量共线定理解答.
【详解】
解：
,
因为,所以,解得.
故选：
【点睛】
本题考查平面向量共线定理的应用，属于基础题.
15．已知向量,若,则
A． B． C．0 D．6
【答案】A
【分析】
根据平面向量共线定理求出参数的值，再利用向量的数量积的坐标运算计算可得.
【详解】
解：向量,若,则,解得,
所以,有.
故选：.
【点睛】
本题考查平面向量共线定理及向量的数量积，属于基础题.
16．已知向量，向量，且与共线，那么x等于（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【分析】
先利用向量的线性运算求出与，再根据向量共线的坐标表示列方程，即可求出．
【详解】
因为，，
且与共线，所以，，解得．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查向量的线性运算和向量共线的坐标表示的应用，属于基础题．
17．如果向量如果向量共线且方向相反，则( )
A． B． C．2 D．0
【答案】B
【分析】
根据向量共线的条件可得，根据方向相反选择的取值即可.
【详解】
因为向量共线，
所以，
解得或，
因为向量方向相反，
所以，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了向量共线的条件，方向相反的向量，属于中档题.
18．已知点，，则与平行的单位向量的坐标为（ ）
A． B．
C．和 D．和和和
【答案】C
【分析】
由题,得到,则与其平行的向量去满足对应坐标成比例,且模长为1,由此作出选择即可
【详解】
由题, ,由题意可判断,D选项中和不与平行,A、B选项向量不全,
故选：C
【点睛】
本题考查平行向量,考查单位向量,要考虑全面,属于基础题
19．设点，若点P在直线上，且，则点的坐标为
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】
将向量模长关系改写成向量共线的形式，注意分类计算坐标.
【详解】
，点在直线上，且，或，故或，故点坐标为或，
故选：C.
【点睛】
本题考查根据向量共线求解点的坐标问题，难度较易.共线三点间的模长倍数关系可以转化为共线向量的形式，注意方向问题.
20．已知向量，，若，则的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由向量共线的坐标表示先求出，再代入二倍角公式化简求值。
【详解】
由已知可得，∴，∴,选B
【点睛】
本题主要考查向量共线的结论及二倍角公式，属基础题。
21．若向量，且与共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由向量坐标运算得，，进而得解方程即可得答案.
【详解】
，
，，
与共线，
，解得.
故选:B.
【点睛】
结论点睛：已知，若，则.
22．向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为（ ）
A．－2 B．11
C．－2或11 D．2或11
【答案】C
【分析】
求出的坐标即得解.
【详解】
由题得＝(4－k，－7)，＝(6，k－5)，
由题知，
故(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，
解得k＝11或k＝－2.
故选：C
【点睛】
结论点睛：则.
23．已知、，且、、三点共线，则点的坐标可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
本题首先可设点的坐标为，然后通过题意得出，再然后写出、，最后通过向量平行的相关性质即可列出算式并通过计算得出结果.21cnjy.com
【详解】
设点的坐标为，
因为、、三点共线，所以，
因为，，所以，，
则，整理得，
将、、、代入中，只有满足，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查通过三点共线求点坐标，主要考查向量平行的相关性质，若，，，则，考查计算能力，是中档题.www-2-1-cnjy-com
24．已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求得，根据，得到，即可求解.
【详解】
由题意，向量，，可得
因为，所以，解得
故选：A
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标表示，以及 ( http: / / www.21cnjy.com )向量共线的坐标运算，其中解答中熟记向量的坐标表示，以及共线的坐标运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
25．已知，下列向量中，与反向的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
判断标准有两个，一是反向，二是模为1.
【详解】
因为与反向，所以舍去A,C,D
因为的模为1，
故选：B.
【点睛】
与共线的向量为，当时，为同向；当时，为反向；与共线的单位向量为；与垂直的向量为.
26．如图是由等边和等边构成的六角星，图中，，，，，均为三等分点，两个等边三角形的中心均为，若，则的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】
以为坐标原点，建立直角坐标系，设等边三角形的边长为，得出点的坐标，由向量的运算可求得的值.
【详解】
如图，以为坐标原点，建立直角坐标系，设等边三角形的边长为，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
,
，
，
解得，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查向量的线性运算，建立直角坐标系是解决本题的关键，也是解决向量问题的常用方法，属于中档题.
27．已知向量，，若，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据共线向量的坐标运算公式计算即可.
【详解】
，，
利用的坐标运算公式得到，
所以解得.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了向量共线的坐标运算，属于容易题.
28．已知向量，若，则的最小值为（ ）.
A．12 B． C．16 D．
【答案】B
【分析】
根据向量的平行关系，得到间的等量关系，再根据“”的妙用结合基本不等式即可求解出的最小值.
【详解】
因为，所以，所以，
又因为，
取等号时即，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求解最小值，难度一般.本题是基本不等式中的常见类型问题：已知，则，取等号时.
29．已知向量，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据向量平行得到，再利用和差公式计算得到答案.
【详解】
向量，且，则.
.
故选：.
【点睛】
本题考查了向量平行求参数，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.
30．若三点共线,则的值为
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据三点共线得，利用向量平行的坐标表示即可求解.
【详解】
由题：三点共线,
，
所以，，
，
所以.
故选：B
【点睛】
此题考查根据三点共线求代数式的值，关键在于熟练掌握平面向量共线的坐标表示.
31．已知向量，且，若实数均为正数，则的最小值是（ ）
A．24 B． C． D．8
【答案】D
【分析】
根据向量共线得等量关系，再根据基本不等式求最值.
【详解】
所以
当且仅当时取等号,
故选：D
【点睛】
本题考查根据向量共线得关系式以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
32．已知向量，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据向量平行可构造方程求得，由同角三角函数关系求得；根据诱导公式可求得结果.
【详解】
，解得：
故选：
【点睛】
本题考查向量平行关系的应用、同角三角函数关系与诱导公式求解三角函数值的问题；关键是能够根据向量平行关系求得.21世纪教育网版权所有
33．已知向量，，若，则实数
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】
先求，再根据即可解出m．
【详解】
∵，
∴1-2(m+1)＝0，解得m．
故选B．
【点睛】
本题考查了平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
34．已知，，，且相异三点、、共线，则实数等于
A． B．或 C． D．或
【答案】C
【分析】
计算出向量、的坐标，利用结合共线向量的坐标表示列等式求出的值，将实数的值代入、、的表示，要使得三个向量都不能相等.
【详解】
，，
由已知得，即，解得或，
当时，，即、两点重合，与已知矛盾.
当时，，，，、、三点是相异三点.因此，，故选：C.
【点睛】
本题考查利用共线向量的坐标表示求出三点共线问题，在求出参数时，还需对参数的值进行检验，使得三点为相异三点，考查运算求解能力，属于中等题.
35．向量，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据求出的值，再利用诱导公式化简即得解.
【详解】
因为，
所以，
所以.
所以.
故选C
【点睛】
本题主要考查向量平行的坐标表示和诱导公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
36．已知向量，，若与共线，则的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据向量共线可求得；从而利用正余弦的齐次式求解方法可求得结果.
【详解】
与共线
本题正确选项：
【点睛】
本题考查正余弦的齐次式的求解问题，关键是能够利用向量共线求得正切值，利用平方关系和商数关系构造出关于正切的方程.
37．已知△ABC的三个内角A、B ( http: / / www.21cnjy.com )、C所对边长分别为a、b、c，向量=(a＋c，a－b)，=(b，a－c)，若∥，则∠C=( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据得到，再利用余弦定理求解.
【详解】
∵向量，，若，
则，
即，
即，
∴由余弦定理得
∵,
∴.
故选B.
【点睛】
本题主要考查向量平行的坐标表示，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
38．已知向量，若，则．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由向量平行的坐标表示列式求解m的值，再求解.
【详解】
=(1+m, 1),由得 ，解得m= ，
.故选B.
【点睛】
本题考查了向量平行的坐标表示,考查了向量的数量积的坐标表示，若则∥ ， .
39．已知向量，，，若为实数，，则
A．2 B．1
C． D．
【答案】C
【分析】
首先利用向量加法的坐标运算得出，再利用向量共线定理即可得出的值．
【详解】
由题意得和平行，故，解得，
故选C.
【点睛】
本题考查了向量加法以及向量共线定理的坐标表示，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
二、填空题
40．已知，，，且相异三点、、共线，则实数________.
【答案】
【分析】
本题首先可根据向量的运算法则得出、，然后通过题意得出，最后通过向量平行的相关性质即可得出结果.【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
，，
因为相异三点、、共线，所以，
则，解得或，
当时，，、重合，舍去，
故，
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查通过三点共线求参数，主要考查向量平行的相关性质，若，，，则，求出的值后要注意检验，考查计算能力，是中档题.【版权所有：21教育】
41．已知向量，，，，若，则的最小值______.
【答案】
【分析】
首先根据向量平行的坐标表示得到，再根据“1”的变形，利用基本不等式求最值.
【详解】
，，
，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是利用“1”的妙用，变形，展开后，即可利用基本不等式求最值.
42．已知向量，，若，则单位向量______.
【答案】或
【分析】
先求得，由，设，结合向量为单位向量，求得的值，即可求解.
【详解】
由题意，向量，，可得，
因为，设，
又由向量为单位向量，可得，解得，
所以或.
故答案为：或
【点睛】
利用两个向量共线的条件求向量的坐标，一般地，在求一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入即可求得所求向量.
43．已知向量，若与平行，则实数m等于______.
【答案】
【分析】
由向量坐标的数乘及加减法运算求出与，然后利用向量共线的坐标表示列式求解．
【详解】
解：由向量和，
所以，
，
由与平行，所以．
解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行向量与共线向量，考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
44．已知数列的首项为若且则数列的通项公式为_______.
【答案】
【分析】
根据向量平行得，是一个以2为首项，1为公差的等差数列，即可求得通项公式.
【详解】
由题：则，
数列中没有哪一项为0，否则若，，则该数列是一个全为0的常数列，与首项为矛盾，
所以，，即是一个以2为首项，1为公差的等差数列，
，所以.
故答案为：.
【点睛】
此题考查数列与向量的综合应用，根据向量共线的坐标表示出数列的递推关系，构造等差数列求通项公式.
三、解答题
45．设直线与线段AB有公共点P，其中，试用向量的方法求实数的取值范围．
【答案】.
【分析】
先讨论点P与分别重合的情况，即将的坐标代入直线方程求解；再讨论P与不重合的情况，利用共线向量的关系列式，，将点的坐标用进行表示，再代入直线方程求解.
【详解】
（1）P与A重合时，，所以；.P与B重合时，，所以．
（2）P与A，B不重合时，设，则；
设，则，.
所以所以；
把代入可解得，又因为，所以．
所以或.
由（1）（2）知，所求实数的取值范围是．
故答案为：.
【点睛】
直线与线段有交点的问题通常有两种求解方法：
（1）通过找出直线的定点坐标，将直线与线段有交点转化为定点与线段两个端点的连线的斜率问题求解，需要注意斜率的变化趋势；21*cnjy*com
（2）利用向量的方法求解，需要先求解交点与线段端点重合的情况，再根据共线向量的关系列式求解交点坐标.
46．已知、、，，.
（1）求点、及向量的坐标；
（2）求证：.
【答案】（1），，，，，；（2）证明见解析.
【分析】
（1）设出点的坐标为，点的坐标为，则由 求得点的坐标，同理求得点的坐标，可得 的坐标．
（2）求出和的坐标，再根据两个向量共线的条件可得．
【详解】
（1）设点的坐标为，点的坐标为，
则由 可得，，，
故有，解得，即点的坐标为，．
由，可得，，
，，即点的坐标为，，
故，．
（2）由于，，，
满足，
故．
【点睛】
本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．
47．设非零向量，不共线.
（1）若，，且，求实数的值；
（2）若，，.求证：，，三点共线.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用平面向量的坐标运算和共线定理列方程求出的值；
（2）根据条件得到且有公共点,即可得到结论.
【详解】
解：（1）∵，，且，
故，
即实数的值为：；
（2）证明：∵，，.
∴，
，
即且有公共点，
故，，三点共线．
【点睛】
本题考查向量平行的坐标表示，用向量法证明三点共线，属于基础题．
48．已知向量是同一平面的三个向量，其中．
（1）若，且与的方向相反，求的坐标；
（2）若是单位向量，且，求与的夹角．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由向量共线定理，设，求模即可得出结果.
（2）利用向量的数量积运算，即可求出夹角大小.
【详解】
（1）设，
（2），
【点睛】
本题考查了平面向量共线定理和数量积运算，考查了运算求能力，属于基础题目.
49．已知向量，且，其中是的内角．
（1）求角的大小
（2）若，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由已知结合向量平行的坐标表示及二倍角公式，辅助角公式进行化简可求；
（2）由余弦定理可求的范围，然后结合三角形的面积公式即可求解.
【详解】
（1）因为，
所以，
所以，
所以，
即，
，则，
，
；
（2）由余弦定理可得，
，当且仅当时取等号，
所以，
所以，
即面积的最大值.
【点睛】
本题以向量平行的坐标表示为载体，主要考查了二倍角公式，辅助角公式及余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，是中档题.www.21-cn-jy.com
50．设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，且.
（1）求角C的大小；
（2）若向量与共线，求a，b的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据三角恒等变换，得，结合的取值范围，即可求解；
（2）由与共线，得，得，再根据余弦定理列出方程，即可求解a，b的值.
【详解】
（1）
，，，
，解得.
（2）与共线，，
由正弦定理，得，
，由余弦定理，得，
.
【点睛】
本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.
51．已知向量，，.
（1）若，，求实数的值；
（2）记，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）-2或2.（2）
【分析】
（1）由可得,进而求解即可；
（2）由可得,由可得,若恒成立,则,再分类讨论与的情况,进而求解即可.
【详解】
解:（1）因为,所以,即,
因为,所以,故,
当时,显然不成立,故,所以,
解得或2,所以实数的值为或2
（2）,
因为,所以,所以,
因为恒成立,所以,
当时,,显然成立；
当时,,所以,解得,
所以,
综上可得,实数的取值范围是
【点睛】
本题考查共线向量的坐标表示,考查向量的数量积的应用,考查三角函数的最值的应用,考查不等式的恒成立问题.
52．已知向量，，
（1）若，求的值﹔
（2）若，求值.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）由向量垂直知数量积为0，化简即可求解（2）根据向量平行的性质，可得，根据弦化切即可求解.
【详解】
（1）由得，，
，
（2）由得，
，
.
【点睛】
本题主要考查了向量垂直、平行的性质，向量的坐标运算，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于中档题.21·cn·jy·com
53．已知同一平面内的三个向量、、，其中（1，2）．
（1）若||＝2，且与的夹角为0°，求的坐标；
（2）若2||＝||，且2与2垂直，求在方向上的投影．
【答案】（1）（2，4）（2）
【分析】
（1）由题意可得与共线，设出的坐标，根据||＝2，求出参数的值，可得的坐标；
（2）由题意可得，再根据，求出 的值，可得在方向上的投影的值．
【详解】
（1）同一平面内的三个向量、、，其中（1，2），若||＝2，且与的夹角为0°，
则与共线，故可设（t，2t），t＞0，
∴2，∴t＝2，即（2，4）．
（2）∵2||＝||，即||．
∵2与2垂直，∴（2） （2）＝2320，
即83 20，即366，即 ，
∴在方向上的投影为．
【点睛】
本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量共线、垂直的性质，属于中档题．
54．在中，设，，分别是角，，的对边，已知向量，，且
（1）求角的大小
（2）若，求的周长的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由向量平行的性质，正弦定理可得，由余弦定理得：，即可得解的值．
（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求周长为：，由，利用正弦函数的性质即可求解．
【详解】
解：（1）由向量，，且，
得：
由正弦定理，得：
化为：，由余弦定理，得：，
所以，；
（2）因为，所以，，由，得：，
由正弦定理，得：，
的周长为：
，
由，得：，，
所以，周长，．
【点睛】
本题主要考查了向量平行的性质，正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．【来源：21·世纪·教育·网】
55．已知向量，，．
(1)求；
(2)求满足的实数m，n；
(3)若，求实数k.
【答案】(1) (2) (3)
【分析】
(1)由已知向量的坐标即可求出的坐标；
(2)把的坐标求出，再利用向量相等，即可求出实数,.
(3)分别写出与的坐标，再利用向量平行的条件即可求得实数k.
【详解】
（1）
（2）∵，
∴．
∴ 解得
（3）∵．
∴,
∴.
【点睛】
本题主要考查的是向量的坐标运算，以及向量相等、向量平行的应用，是基础题.
56．已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的值域．
【答案】（1）
（2）
【分析】
（1）根据的坐标关系，得到，再代入即可求值.
（2）用正弦、余弦，二倍角公式和辅助角公式化简，得到，根据，求出的值域.
【详解】
（1）若，则，
∴.∴.
（2）
，
∵，∴，
∴，
∴，
∴的值域为．
【点睛】
本题第一问主要考查向量平行的坐标表示和正切二 ( http: / / www.21cnjy.com )倍角公式，考查计算能力.第二问主要考查正弦，余弦的二倍角公式和辅助角公式以及三角函数的值域问题，属于中档题.21·世纪*教育网
57．已知向量（cosx，cosx），（cosx，sinx）．
（1）若∥，，求x的值；
（2）若f（x） ，，求f（x）的最大值及相应x的值．
【答案】（1）或（2）的最大值为，此时
【分析】
（1）利用向量共线得到三角方程，转化为三角函数求值问题，易解；
（2）把数量积转化为三角函数，利用角的范围结合单调性即可得到最大值．
【详解】
解：（1）∵，，
，
∴，
∴，
∴cosx＝0或，
即cosx＝0或tanx，
∵，
∴或；
（2）
∵，
∴，
∴，
∴，
故f（x）的最大值为，此时．
【点睛】
本题考查三角函数的图像与性质，考查了向量共线与数量积的坐标运算，考查转化能力与计算能力.
58．已知：是同一平面内的三个向量，其中
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角.
（3）若，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2,4）或（-2，-4） （2）π （3）
【分析】
（1）设，根据条件列方程组解出即可；
（2）令求出，代入夹角公式计算；
（3）利用，且与不同向共线，列不等式求出实数的取值范围.
【详解】
解：设，
∵，且，
∴，解得或，
∴或；
（2）∵与垂直，
∴，
即，
∴，
∴，
∴与的夹角为；
（3）与的夹角为锐角
则，且与不同向共线，
，
解得：，
若存在，使，
则，
，解得：，
所以且，
实数的取值范围是．
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算，利 ( http: / / www.21cnjy.com )用数量积研究夹角，注意夹角为锐角，数量积大于零，但不能同向共线，夹角为钝角，数量积小于零，但不能反向共线，本题是中档题．21教育名师原创作品
59．已知．
（1）若，且，求k的值；
（2）若，且，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析；
【分析】
（1）根据向量共线定理即可求出k的值.
（2）根据向量的数量积和向量的垂直可得，根据二次函数的性质即可证明。
【详解】
（1）若， ，又因为，所以存在实数，使得，即,得 解得： ；
（2）
，且
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算和向量的平行和垂直，以及二次函数的性质，属于中档题．
60．四边形中，，，．
（1），试求与满足的关系式；
（2）满足（1）的同时又有，求的值和四边形的面积．
【答案】(1) (2) 或；．
【分析】
（1）利用向量的加法求出的坐标，再根据得到与满足的关系式；
（2）根据得到的关系，结合（1）中的关系，得到的两种取值，再分求出代入面积公式，求得四边形的面积.
【详解】
（1）依题意：
∵ ∴，
即：，得；
（2），
当时，，得：，
代入，解方程得：或，故或；
当时，则，
此时求得：；
②当时，则，
此时求得：；
∴．
【点睛】
本题考查向量平行、向量垂直的坐标运算及对角线互相垂直的四边形的面积求法，考查基本的运算求解能力，注意求解过程中有两组解，所以求面积时要分情况讨论.
61．平面内有向量，，（其中为坐标原点），点是直线上的一个动点.
（1）若，求的坐标；
（2）当取最小值时，求的值.
【答案】（1）（2）
【分析】
先由题意，设，得到，，
（1）根据，得到，求出，即可得出结果；
（2）先由题意，得到，得到当时，取最小值，求出，，再由向量夹角公式，即可求出结果.
【详解】
因为点是直线上的一个动点，，
所以可设，因为，，
所以，，
（1）因为，所以，
解得，所以；
（2）因为，，
所以，
显然，当时，取最小值，
此时，，
所以.
【点睛】
本题主要考查由向量共线求参数的问题，以及求向量的夹角的问题，熟记向量共线的坐标表示，以及向量数量积的运算与夹角公式即可，属于常考题型.【出处：21教育名师】
62．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，又点，，，.
（1）若，且，求向量；
（2）若向量与向量共线，常数，求的值域.
【答案】（1）或；（2）当时的值域为.
时的值域为.
【解析】
分析：（1）由已知表示出向量，再根据，且，建立方程组求出，即可求得向量；
（2）由已知表示出向量，结合向量与向量共线，常数，建立的表达式，代入 ，对分类讨论，综合三角函数和二次函数的图象与性质，即可求出值域.
详解：（1），∵，且，
∴，，
解得，时，；时，.
∴向量或.
（2），∵向量与向量共线，常数，
∴，
∴ .
①当即时，当时，取得最大值，
时，取得最小值，此时函数的值域为.
②当即时，当时，取得最大值，
时，取得最小值，此时函数的值域为.
综上所述，当时的值域为.
时的值域为.
点睛：本题考查了向量的坐标运算、向量垂直和共线的定理、模的计算、三角函数的值域等问题，考查了分类讨论方法、推理与计算能力.
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