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第十讲 平面向量数量积的坐标表示
【基础训练】
一、单选题
1．已知＝(－2，1)，＝(0，2)且，，则点C的坐标是（ ）
A．(2，6) B．(－2，－6)
C．(2，－6) D．(－2，6)
【答案】D
【分析】
设C(x，y)，由已知可得的坐标，利用向量的平行，垂直关系即得．
【详解】
设C(x，y)，则
∵ ，∴2(x＋2)＝0.①
∵，∴2x＋y－2＝0.②
由①②可得 ∴C(－2，6)．
故选：D
2．若，则与向量垂直的单位向量的坐标为（ ）
A．(3，2)
B．
C．或
D．以上都不对
【答案】C
【分析】
设单位向量坐标为，再根据题意列出方程组求解即可.
【详解】
设单位向量坐标为，
则
解得：或，
故选：C
【点睛】
本题主要考查向量垂直的坐标公式及模长公式，属于简单题.
3．已知，则与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
分别求出与的数量积和模，代入夹角公式即得．
【详解】
∵
∴
又∵与的夹角范围为
∴与的夹角为．
故选：D
4．设向量，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据向量坐标分别求出向量的模，数量积，以及利用坐标判断向量的平行和垂直关系．
【详解】
,故选项A错误；
，故选项B错误；
故选项C错误；
故．
故选：D
5．已知则与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
分别求出与的数量积和模，代入夹角公式即得．
【详解】
∵
∴
又∵与的夹角范围为
∴与的夹角为．
故选：B
6．已知向量，则 与的关系为（ ）
A．垂直 B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
【答案】A
【分析】
利用二者数量积为零即得．
【详解】
因为所以，故与垂直.
故选：A
7．已知，则在方向上的投影为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用向量数量积的几何意义即得．
【详解】
,
故在方向上的投影为：
故选：C．
8．已知向量，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.
【详解】
由已知可得，
则，解得.
故选：D.
9．向量，，，且，则实数λ=（ ）
A．3 B． C．7 D．
【答案】C
【分析】
根据向量坐标的线性运算以及数量积运算求解即可.
【详解】
，，
则，
若，且，
所以，
解得.
故选：C
10．若向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.
【详解】
已知向量，，则.
故选：D.
11．若向量，，，则x＝（ ）
A．3 B．－3 C． D．－
【答案】A
【分析】
利用数量积的坐标表示求参数.
【详解】
，解得：.
故选：A
12．设D为所在平面内一点，AC＝3，BC⊥AC，，则（ ）
A．24 B．﹣24 C．12 D．﹣12
【答案】D
【分析】
画出图形，建立直角坐标系，求出向量的坐标，利用数量积求解即可.
【详解】
D为所在平面内一点，AC＝3，BC⊥AC，，
如图：建立如图所示的坐标系，
由题意可知A（3，0），D（﹣1，0）,
设B（0，b，则（4，0） （﹣3，b）＝﹣12.
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故选：D
13．已知向量，.若，则（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】B
【分析】
由数量积公式计算可得结果.
【详解】
因为所以，则解得
故选：B
14．已知向量，若，则实数的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】
直接由可得解.
【详解】
向量，
若，则，解得.
故选：C.
15．已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据向量垂直的坐标表示，列出方程求出，再由向量模的坐标表示，即可得出结果.
【详解】
因为，，，
所以，解得，
所以.
故选：C.
16．向量，，则（ ）
A．1 B． C．7 D．0
【答案】A
【分析】
根据数量积的坐标表示直接计算即可.
【详解】
，，
.
故选：A.
17．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．0或3 B．或0 C．3 D．
【答案】B
【分析】
由向量垂直的坐标表示可得选项.
【详解】
解析：∵向量，，，
∴．解得或．
故选：B．
18．设，且在轴上的投影为2，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设，根据，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】
由题意，向量在轴上的投影为2，可设，
因为，可得，解得，所以.
故选：B.
19．已知平面向量，，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
通过向量的模的平方，求解向量的数量积，进而出，然后求的值．
【详解】
平面向量，，且，
所以，
可得，所以，解得，
所以，
所以．
故选:.
【点睛】
本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.
20．已知向量，，若，则（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】
利用向量数量积的坐标表示求参数的值.
【详解】
，，
，
，解得：.
故选：D
21．已知平面向量，，且，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】
由题意，先求出两向量与的坐标，再由模长公式建立方程，即可解得的值.
【详解】
因为，，
所以，，
又，可得，
即，整理得：，
解得：.
故选：C
22．在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】
先求出的坐标，进而可得．
【详解】
解：由，得
，
．
故选：A．
23．已知向量，，则与的夹角为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
直接代入平面向量的夹角的坐标运算公式计算即可
【详解】
因为向量，，
所以,
又因为,所以,
故选B.
【点睛】
本题考查平面向量的夹角的坐标运算公式，属基础题，.
24．设平面向量，，若，则|（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】
由条件求出，然后可得答案.
【详解】
因为，，，所以，解得
所以，所以
故选：B
25．已知向量，，则在上的投影向量为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用向量在方向上的投影乘以与同向的单位向量可得出结果.
【详解】
，∴，
又∵向量，
∴向量在的投影为，
所以，向量在方向上的投影向量为.
故选：A.
【点睛】
本题考查投影向量坐标的计算，考查向量投影的定义的应用，考查计算能力，属于基础题.
26．向量，，则＝（ ）
A．6 B．5 C．1 D．－6
【答案】A
【分析】
根据向量线性与数量积坐标运算即可．
【详解】
由于，，则
所以
故选：A
27．在中，，点P是的中点，则（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】C
【分析】
建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算计算可得；
【详解】
解：如图建立平面直角坐标系，则，，，
所以，，所以
故选：C
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28．已知，且与的夹角为120°，则k等于（ ）
A． B．－2
C． D．1
【答案】C
【分析】
由题意可得，的坐标，进而可得，，代入向量求夹角公式，可得关于k的一元二次方程，即可求得答案.21世纪教育网版权所有
【详解】
由题意，，．
所以，
又，且与的夹角为120°，
所以，
化简并整理得：k2＋2k－2＝0，解得k＝.
故选：C
29．已知向量，且，则实数（ ）
A． B． C． D．8
【答案】C
【分析】
根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积、减法的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】
因为，所以，
又因为，
所以，
故选：C
30．已知向量，且，则实数（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求出的坐标，再由得数量积等于零，列方程可得答案
【详解】
因为，
所以，
因为，所以，
所以，得，
故选：D.
31．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
计算出和的坐标，利用向量的模长公式可得出关于实数的等式，进而可求得结果.
【详解】
已知向量，，则，，
由可得，解得.
故选：B.
32．已知是相互垂直的单位向量，与共面的向量满足则的模为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据是相互垂直的单位向量，利用坐标法以及数量积的坐标表示，建立方程进行求解即可.
【详解】
是相互垂直的单位向量，
不妨设，，
设，由
可得，即，
则的模为.
故选：D
33．设向量，且，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】
根据的垂直关系，可求出 ；根据的平行关系，可求出 ，进而求出的值．
【详解】
因为，所以
因为，所以
所以 ，所以
故选：A．
34．已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（ ）21教育网
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
建立如图所示的坐标系，根据可求其最大值.
【详解】
以为原点建系，，
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，即，故圆的半径为，
∴圆，设中点为，
，
，∴，
故选：D.
35．已知，为平面向量，且，，则，夹角的余弦值等于（ ）
A． B．－ C． D．－
【答案】C
【分析】
先根据向量减法得，再根据向量夹角余弦值的坐标公式计算即可得答案.
【详解】
∵，∴．
又，∴，
∴．
又，，
∴．
故选：C.
36．已知是坐标原点，，有向线段绕点逆时针旋转到的位置，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设的坐标为， 由已知用坐标表示及可得答案.
【详解】
设的坐标为，由有向线段绕点逆时针旋转到，
可知且，可得，解得，
得点坐标是.
故选：B.
37．向量，，，若，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数的等式，进而可解得实数的值.
【详解】
由已知可得，
，所以，，解得.
故选：B.
38．在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E是BC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
建系，根据菱形确定点的坐标，计算数量积即可.
【详解】
建立如图平面直角坐标系，
则
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∴E点坐标为，
.
故选：D
39．已知，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据向量夹角的公式计算即可得答案.
【详解】
解：的夹角为，∵，.
∴.
又∵的夹角范围为
∴与的夹角为.
故选：B.
40．已知向量，，向量满足，，则等于（ ）
A．(2，1) B．(1，0) C． D．(0，－1)
【答案】A
【分析】
设向量，由已知可得与的坐标表示，解方程组可得答案.
【详解】
设向量，则，，
因为 ，所以，
因为，所以，即，
由解得所以.
故选：A.
41．，，则等于（ ）
A．23 B．57 C．63 D．83
【答案】D
【分析】
根据向量数量积的坐标表示与模的坐标表示计算即可.
【详解】
解：因为，，
所以.
故选：D.
二、填空题
42．已知向量，则与的夹角大小为___________.
【答案】
【分析】
由向量数积的坐标公式，可求得答案.
【详解】
由向量，则，
则，
由与的夹角的范围为.
与的夹角大小为
故答案为：
43．已知向量，若，则实数________．
【答案】
【分析】
由向量线性坐标运算以及向量垂直的坐标表示计算即可．
【详解】
由题意，又，
∴，解得．
故答案为：．
44．已知向量，若向量满足，，则________．
【答案】
【分析】
设，表示出相关向量的坐标，然后利用向量的平行与垂直的坐标公式代入计算.
【详解】
设，则，，因为，，所以，得，所以.
故答案为：
45．与向量平行的单位向量为___________.
【答案】或.
【分析】
设与向量平行的单位向量为，利用向量共线的坐标表示可得，再利用模长公式，，
即可求解.
【详解】
设与向量平行的单位向量为，
则，
因为是单位向量，所以，
解得：，
当时，，
当时，，
所以或
故答案为：或.
三、解答题
46．已知向量，.
（1）求的坐标；
（2）求.
【答案】（1）；（2）2.
【分析】
运用向量的坐标运算法则计算即可.
【详解】
（1）因为
故
（2）因为
所以
47．已知.
（1）当为何值时，与共线？
（2）当为何值时，与垂直？
（3）当为何值时，与的夹角为锐角？
【答案】（1）；（2）；（3）且.
【分析】
（1）利用向量共线的坐标表示：即可求解.
（2）利用向量垂直的坐标表示：即可求解.
（3）利用向量数量积的坐标表示，只需且不共线即可求解.
【详解】
解：（1）.
与平行，，解得.
（2）与垂直，
，即，
（3）由题意可得且不共线，解得且.
48．已知.
（1）求；
（2）设，的夹角为，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据平面向量的线性运算可得结果；
（2）根据平面向量的夹角公式可得结果.
【详解】
（1）.
（2）.
49．已知平面直角坐标系中，点为原点，，.
（1）求的坐标及；
（2）求.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）根据终点坐标减去起点坐标可得的坐标，根据向量的模长公式可得模长；
（2）根据平面向量数量积的坐标表示可得结果.
【详解】
（1）依题意可得，.
（2）∵，，
∴.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的坐标表示，考查了平面向量的模长公式，属于基础题.
50．已知平面直角坐标系中，点O为原点，，，．
（1）若，求实数m的值；
（2）若A，B，C三点共线，求实数m的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用向量的坐标表示先求出的坐标，结合的坐标表示可得实数m的值；
（2）用A，B，C三点表示出两个向量，结合向量共线可得实数m的值．
【详解】
（1）∵点O为原点，，，，
∴，，
∵，∴，则，
∴；
（2）∵A，B，C三点共线，∴，
由，
∴，∴．
【点睛】
本题主要考查平面向量的运算，明确向量垂直，平行的坐标表示是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
51．已知，.
（1）若为与的夹角，求的值；
（2）若与垂直，求的值.
【答案】（1）；（2）；
【分析】
（1）因为，，求得，，根据，即可求得答案；
（2）因为与垂直，可得，结合已知条件，即可求得答案.
【详解】
（1），，
，，
.
.
（2），
，
与垂直
，
，
解得：.
【点睛】
本题主要考查了求向量的夹角和根据向量垂直求参数，解题关键是掌握向量垂直求参数的方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.21cnjy.com
52．已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若∥，求.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）根据向量垂直，得到，求解即可得出结果；
（2）根据向量共线，求出或；再由向量模的坐标表示，即可得出结果.
【详解】
（1）因为向量，，，
所以，解得：；
（2）若∥，则，解得或；
因此或，
因此或.
【点睛】
本题主要考查由向量共线求参数，由向量垂直求参数，以及求向量的模，熟记向量共线、垂直的坐标表示，以及向量模的坐标表示即可，属于常考题型.21·cn·jy·com
53．已知向量与向量的夹角为，且，.
（1）求;
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）对等式两边同时平方，利用平面向量数量积的定义以及数量积的运算性质，可以求出；
（2）根据两个非零向量互相垂直等价于它们的数量积为零，可以得到方程，解方程可以求出的值.
【详解】
解：（1）由得，
那么；
解得或（舍去）
∴；
（2）由得，
那么
因此
∴.
【点睛】
本题考查了求平面向量模的问题，考查了两个非零平面向量互相垂直的性质，考查了平面向量数量积的定义及运算性质，考查了数学运算性质.www.21-cn-jy.com
54．已知向量.
（1）求向量与的夹角的大小；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由，计算可求出答案；
（2）先求出，再根据，可得，进而可列出方程，即可求出的值.
【详解】
（1）由题意，.
因为，故.
（2），
因为，所以，
即，解得.
55．已知向量，且，求：
（1）及；
（2）若的最小值为，求实数的值．
【答案】（1）， （2）.
【分析】
（1）利用向量的数量积和向量的模的坐标运算公式，直接运算，即可求解；
（2）由（1）求得函数，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意，向量，
可得，
又由
所以.
（2）由（1）可得，
即，
令，所以，
对称轴为，
若，则，不符合题意；
若，则，解得（舍去）；
若，则，解得，
综上可得：.
56．已知向量，，点在轴的非负半轴上为原点）．
（1）当取得最小值时，求的坐标；
（2）设，当点满足（1）时，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）设，，然后表示出，然后可得答案；
（2）利用算出答案即可.
【详解】
（1）设，，
则，．
当时，取得最小值，此时，．
（2）由（1）知，，
，，
．
57．已知是同一平面内的三个向量，其中
（1）若，且与方向相反，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角θ.
【答案】（1）；（2）θ＝π.
【分析】
(1)由平面向量共线的坐标表示，即可得出结果.
(2)由平面向量的数量积运算，即可得出结果.
【详解】
（1）设，由 和
可得或
因为与方向相反，所以．
（2）因为 ，所以
即，
所以，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.
58．已知向量，，.
（1）求向量与夹角的正切值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据已知条件可得，然后根据范围可知，最后可知
（2）依据直接计算即可.
【详解】
（1）因为，所以.
设向量与的夹角，则
，解得.
又，所以，故.
（2）因为，所以，
即，解得.
59．已知向量，．
（1）若与平行，求的值；
（2）若与垂直，求的值．
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）根据向量平行的坐标表示计算可得结果；
（2）根据向量垂直的坐标表示计算可得结果.
【详解】
（1）因为向量，，
所以，，
因为与平行，所以，即，
所以.
（2）因为向量，，
所以，，
因为与垂直，所以，
所以，解得.
60．平面内给定三个向量，，，
（1）若以，为基底，用该基底表示向量；
（2）若，求实数；
（3）若，求实数.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）设，进而根据向量相等，利用向量数乘运算，加法运算的坐标公式计算即可；
（2）由向量坐标运算得，，再根据向量共线坐标表示计算即可；
（3）由向量坐标运算得，再根据向量垂直的坐标表示即可得答案.
【详解】
（1）设；所以有，
，所以
（2）因为，，
因为，所以：，
解得.
（3）因为，，，
所以，即：，
解得：
【点睛】
方法点睛：设，
则，
61．已知.在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.
（1）若_______，求实数t的值；
（2）若向量，且，求.
【答案】（1）选①；选②，选③（2）
【分析】
（1）选①，根据向量平行的坐标表示运算求解；选②，根据向量垂直的坐标表示计算即可；选③，根据向量坐标计算向量的模即可.2·1·c·n·j·y
（2）根据向量的线性运算求出的坐标，即可计算向量的模.
【详解】
（1）选①，由，可得，
因为，
所以，
解得，
选②，因为，，
所以，即，
解得，
选③，因为，
所以
即，
解得.
（2），向量，且，
，
即，
解得，
，
62．已知向量．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】
（Ⅰ）首先求出的坐标，再根据，可得，即可求出，再根据向量模的坐标表示计算可得；
（Ⅱ）首先求出的坐标，再根据计算可得；
【详解】
解：（Ⅰ）因为，所以，
由，可得，
即，解得，即，
所以；
（Ⅱ）依题意，
可得，即，
所以，
因为，
所以与的夹角大小是．
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第十讲 平面向量数量积的坐标表示
【基础训练】
一、单选题
1．已知＝(－2，1)，＝(0，2)且，，则点C的坐标是（ ）
A．(2，6) B．(－2，－6)
C．(2，－6) D．(－2，6)
2．若，则与向量垂直的单位向量的坐标为（ ）
A．(3，2)
B．
C．或
D．以上都不对
3．已知，则与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
4．设向量，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知则与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知向量，则 与的关系为（ ）
A．垂直 B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
7．已知，则在方向上的投影为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知向量，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
9．向量，，，且，则实数λ=（ ）
A．3 B． C．7 D．
10．若向量，，则（ ）
A． B． C． D．
11．若向量，，，则x＝（ ）
A．3 B．－3 C． D．－
12．设D为所在平面内一点，AC＝3，BC⊥AC，，则（ ）
A．24 B．﹣24 C．12 D．﹣12
13．已知向量，.若，则（ ）
A． B．1 C． D．4
14．已知向量，若，则实数的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
15．已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
16．向量，，则（ ）
A．1 B． C．7 D．0
17．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．0或3 B．或0 C．3 D．
18．设，且在轴上的投影为2，则（ ）
A． B． C． D．
19．已知平面向量，，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
20．已知向量，，若，则（ ）
A．1 B．0 C． D．
21．已知平面向量，，且，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
22．在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
23．已知向量，，则与的夹角为（）
A． B． C． D．
24．设平面向量，，若，则|（ ）
A． B． C． D．5
25．已知向量，，则在上的投影向量为 （ ）
A． B． C． D．
26．向量，，则＝（ ）
A．6 B．5 C．1 D．－6
27．在中，，点P是的中点，则（ ）
A． B．4 C． D．6
28．已知，且与的夹角为120°，则k等于（ ）
A． B．－2
C． D．1
29．已知向量，且，则实数（ ）
A． B． C． D．8
30．已知向量，且，则实数（ ）
A．3 B． C． D．
31．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
32．已知是相互垂直的单位向量，与共面的向量满足则的模为（ ）
A． B． C． D．
33．设向量，且，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
34．已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（ ）21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
35．已知，为平面向量，且，，则，夹角的余弦值等于（ ）
A． B．－ C． D．－
36．已知是坐标原点，，有向线段绕点逆时针旋转到的位置，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
37．向量，，，若，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
38．在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E是BC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
39．已知，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
40．已知向量，，向量满足，，则等于（ ）
A．(2，1) B．(1，0) C． D．(0，－1)
41．，，则等于（ ）
A．23 B．57 C．63 D．83
二、填空题
42．已知向量，则与的夹角大小为___________.
43．已知向量，若，则实数________．
44．已知向量，若向量满足，，则________．
45．与向量平行的单位向量为___________.
三、解答题
46．已知向量，.
（1）求的坐标；
（2）求.
47．已知.
（1）当为何值时，与共线？
（2）当为何值时，与垂直？
（3）当为何值时，与的夹角为锐角？
48．已知.
（1）求；
（2）设，的夹角为，求的值.
49．已知平面直角坐标系中，点为原点，，.
（1）求的坐标及；
（2）求.
50．已知平面直角坐标系中，点O为原点，，，．
（1）若，求实数m的值；
（2）若A，B，C三点共线，求实数m的值．
51．已知，.
（1）若为与的夹角，求的值；
（2）若与垂直，求的值.
52．已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若∥，求.
53．已知向量与向量的夹角为，且，.
（1）求;
（2）若，求.
54．已知向量.
（1）求向量与的夹角的大小；
（2）若，求实数的值.
55．已知向量，且，求：
（1）及；
（2）若的最小值为，求实数的值．
56．已知向量，，点在轴的非负半轴上为原点）．
（1）当取得最小值时，求的坐标；
（2）设，当点满足（1）时，求的值．
57．已知是同一平面内的三个向量，其中
（1）若，且与方向相反，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角θ.
58．已知向量，，.
（1）求向量与夹角的正切值；
（2）若，求的值.
59．已知向量，．
（1）若与平行，求的值；
（2）若与垂直，求的值．
60．平面内给定三个向量，，，
（1）若以，为基底，用该基底表示向量；
（2）若，求实数；
（3）若，求实数.
61．已知.在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.
（1）若_______，求实数t的值；
（2）若向量，且，求.
62．已知向量．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．
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