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第十讲 平面向量数量积的坐标表示
【提升训练】
一、单选题
1．在梯形中，已知，且，设点为边上的任一点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
2．设为单位向量，满足，设的夹角为，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，，，，若是边上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面向量满足，且（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形.它广泛的出现在艺术 建筑 人体和自然界中，令人赏心悦目.在黄金矩形中，，那么的值为（ ）
A． B． C．4 D．
6．已知向量、满足，若，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．3
7．设向量与的夹角为θ，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．平面向量、、满足，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知：为圆：上一动弦，且，点，则最大值为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．32
10．已知向量，，那么向量与的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．夹角是锐角 D．夹角是钝角
11．设向量，，满足，，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
12．已知向量，，若，则（ ）
A．1 B．－1 C． D．
13．设，，为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则（ ）
A． B． C．-2 D．2
14．已知函数，点A，B分别为图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O为坐标原点，若为钝角三角形，则a的取值范围为（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
15．已知向量，，若向量满足，，则（ ）
A． B． C． D．
16．边长为6的正三角形中，为中点，在线段上且，若与交于，则（ ）
A．-12 B．-9 C． D．
17．已知向量，，，则（ ）
A．3 B． C．4 D．
18．已知向量，，将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）21教育网
A． B． C． D．
19．设，已知两个向量，，则向量长度的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
20．已知向量，若，则与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
21．已知向量，，且，则实数（ ）
A．3 B．1 C．4 D．2
22．在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在CD上，若·＝，则·的值为21cnjy.com
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A． B．2
C．0 D．1
23．在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．－1 D．-2
24．若向量的模均为1，且，则的最大值为（ ）
A． B．3 C．5 D．7
25．平行四边形中，， 点在边上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
26．如图，是边长为的正三角形，是以为圆心，半径为1的圆上任意一点，则的取值范围是（ ）21·cn·jy·com
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A．[1，13] B．（1，13） C．（4，10） D．[4，10]
27．已知向量，，，则当时，的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
28．已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为CD，BC上的点，若，，则的最小值是（ ）www.21-cn-jy.com
A．1 B． C． D．
29．已知在直角三角形中，为直角，，，若是边上的高，点在内部或边界上运动，则的取值范围（ ）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
30．在中，，，，是边上一点，且，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
31．已知中，，，点M是线段BC（含端点）上的一点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
32．在平面直角坐标系中，已知向量点Q满足曲线区域若为两段分离的曲线，则（ ）
A． B．
C． D．
33．已知向量，，，若，则角
A． B． C． D．
34．已知向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为
A．等腰非直角三角形 B．等边三角形
C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形
35．已知向量. 若向量的夹角为，则实数
A． B． C．0 D．
36．如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为
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A． B． C． D．
37．已知是半圆的直径，，等腰三角形的顶点 在半圆弧上运动，且，点是半圆弧上的动点，则的取值范围（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
38．在等边三角形中,是上一点，,是上一点，,则( )
A． B． C． D．
二、填空题
39．在边长为1的正三角形中，向量，，，，且，则的最大值为__．
40．已知向量，若，则___________.
41．已知向量，，点为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标是___________.21·世纪*教育网
42．已知向量，，若，则实数________.
43．平面向量，满足，若，则的最大值是__________.
44．已知，，如果与的夹角是钝角，则的取值范围是___________
三、解答题
45．已知，向量．
（1）若向量与平行，求k的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求k的取值范围．
46．在中，，，，，．
（1）若，求实数的值及；
（2）若，求四边形的面积．
47．已知向量，，，．
（1）若，求实数的值；
（2）当取最小值时，求与的夹角的余弦值．
48．已知向量，，且与的夹角为.
（1）求；
（2）若与垂直，求实数λ的值.
49．已知中是直角，，点是的中点，为上一点．
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（1）设，，当，请用，来表示，；
（2）当时，试求．
50．已知，，(t∈R)，O是坐标原点．
（1）若点A，B，M三点共线，求t的值；
（2）当t取何值时，取到最小值？并求出最小值．
51．已知中是直角，，点是的中点，为上一点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）设，，当，请用，来表示，.
（2）当时，求证：.
52．已知向量.
（1）求向量与的夹角；
（2）若，求实数的值.
53．平面内给定三个向量.
（1）求；
（2）求满足的实数m和n；
（3）若，求实数k.
54．已知、、且
（1）证明：是等腰直角三角形
（2）求．
55．平面直角坐标系中，已知向量，且．
（1）求与之间的关系式；
（2）若，求四边形的面积．
56．如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点.设，.
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（1）用，表示，，
（2）求与夹角的余弦值.
57．已知向量，，．
（1）若点，，三点共线，求的值；
（2）若为直角三角形，且为直角，求的值．
58．在平面直角坐标系中，已知、、．
（1）若四边形为平行四边形，求与夹角的余弦值；
（2）若、分别是线段、的中点，点在线段上运动，求的最大值．
59．已知，向量，.
（1）若向量与平行，求k的值；
（2）若向量与的夹角为钝角，求k的取值范围
60．已知向量，k t为正实数，.
（1）若求k的最大值；
（2）是否存在k t使得？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由.
61．在直角坐标系中，单位圆O的圆周上两动点满足（如图），C坐标为，记
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（1）求点A与点B纵坐标差的取值范围；
（2）求的取值范围；
62．已知.
（1）若与同向，求；
（2）若与的夹角为，求.
63．如图，在四边形ABCD中，，，，且，.
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（1）求实数的值；
（2）若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值.
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第十讲 平面向量数量积的坐标表示
【提升训练】
一、单选题
1．在梯形中，已知，且，设点为边上的任一点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】
由求出向量的夹角的余弦值，设, 然后建立平面直角坐标系利用向量坐标求解数量积.
【详解】
设
则
由，则，所以
过点作交于点，以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系.
在直角中，由，可得，则
所以
设
所以
所以当时，有最小值
故选：B
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【点睛】
关键点睛：本题考查利用向量的数量积求向量夹角利用向量坐标求解向量数量积的最小值，解答本题的关键是由求出向量的夹角的余弦值，再建立坐标系，得出点的坐标，设，利用向量的坐标得出，属于中档题.2·1·c·n·j·y
2．设为单位向量，满足，设的夹角为，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据为单位向量，设，且，得到的坐标，再根据，得到x的范围，然后利用求解.
【详解】
因为为单位向量，
不妨设，且，
所以，
又因为，
所以，
化简得，
所以，
，
，
当时，，
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题关键是在为单位向量的条件下，设，由确定x的范围.
3．在中，，，，，若是边上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
建立平面直角坐标系，设，分别求得向量的坐标，利用数量积运算求解.
【详解】
因为中，，，，，
建立如图所示平面直角坐标系:
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设，则，
所以，
所以，
因为 ，
所以，
故选：C
4．已知平面向量满足，且（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】
运用排除法可解决，由，若，可设；若，可设，即可得出答案.
【详解】
由，若，可设，
则，，，
由，即有，解得，故A错误；
若，可设，
则，，，
由，即有，解得，故CD错误.
故选：B.
【点睛】
关键点睛：本题考查向量数量积的坐标表示和平面向量基本定理的运用，解题的关键是举特例用排除法解决.
5．宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形.它广泛的出现在艺术 建筑 人体和自然界中，令人赏心悦目.在黄金矩形中，，那么的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【分析】
由题求出，建立直角坐标系，求出各个点的坐标，利用数量积求得结果.
【详解】
由已知，，解得：
如图所示，建立直角坐标系，则，，，
则，，
故选：C
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【点睛】
方法点睛：本题考查向量的坐标运算，求解向量坐标运算问题的一般思路：
向量的坐标化：向量的坐标运算，使得向量的 ( http: / / www.21cnjy.com )线性运算可用坐标进行，实现了向量坐标运算完全代数化，将数与形紧密的结合起来，建立直角坐标系，使几何问题转化为数数量运算，考查学生的逻辑思维与运算能力，属于较难题.21世纪教育网版权所有
6．已知向量、满足，若，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】C
【分析】
利用已知条件求出向量、的夹角，建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题.
【详解】
设、所成角为，
由，，
则，因为
所以，
记，,
以所在的直线为轴，以过点垂直于的直线为轴，
建立平面直角坐标系，
则，，
所以，，
，
所以，
表示点与点两点间的距离，
由
，
所以，
表示点与点两点间的距离，
的最小值转化为
到两点的距离和最小，
在直线上，
关于直线的对称点为，
的最小值为.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想，解题的关键是将向量的模转化为点到、两点间的距离，考查了运算求解能力.
7．设向量与的夹角为θ，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据，，求得，同时可知，；结合向量求夹角的坐标公式可求得，进而求得.
【详解】
设，则
，解得：，即，
，,所以．
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题考查了向量数量积的坐标运算，熟记向量求夹角公式的坐标运算是解题的关键，考查学生的运算能力，属于一般题.21教育网
8．平面向量、、满足，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
取，设、，根据已知条件计算得出，，根据可计算得出，由取最小值，可得出，不妨设，可得，进而利用基本不等式可求得的最小值.21cnjy.com
【详解】
设，，
满足，不妨取.
平面向量、，满足，，即，，
，，
，即，化为．
取最小值，只考虑．不妨取，．
，
当且仅当时取等号．的最小值为．
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：本题考查平面 ( http: / / www.21cnjy.com )向量数量积的最值，在求解时可将向量特殊化、坐标化来处理，在求解最值时，可充分利用基本不等式以及三角函数、函数等相关知识求解.【来源：21·世纪·教育·网】
9．已知：为圆：上一动弦，且，点，则最大值为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．32
【答案】C
【分析】
取的中点为，把用表示，根据弦中点性质得在以为圆心，为半径的圆上，从而由到圆心距离加上圆半径可得的最大值，于是可得结论．21·世纪*教育网
【详解】
设的中点为，则，，∴在以为圆心，为半径的圆上，
，
又，∴，
，
∴的最大值为．
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取弦中点，利用的轨迹是圆，把用表示，求出的最大值即可得结论，而由点到圆心的距离即可得最大值．
10．已知向量，，那么向量与的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．夹角是锐角 D．夹角是钝角
【答案】D
【分析】
首先根据题中所给的向量的坐标，结合向量数量积运算法则，求得其数量积为负数，从而得到其交集为钝角.
【详解】
因为，，
，
所以向量与的位置关系是夹角为钝角，
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有挂向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的运算律，数量积坐标公式，根据数量积的符号判断其交集，属于简单题目.www-2-1-cnjy-com
11．设向量，，满足，，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】
建立坐标系，以向量，的角平分线所在的直线为轴，使得，的坐标分别为，，设的坐标为，由已知可得，表示以为圆心，为半径的圆，求出圆心到原点的距离，再减去半径即为所求21*cnjy*com
【详解】
解：建立坐标系，以向量，的角平分线所在的直线为轴，使得，的坐标分别为，，设的坐标为，【版权所有：21教育】
因为，
所以，化简得，
表示以为圆心，为半径的圆，
则的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，
因为圆到原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最小值为，
故选：B
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【点睛】
此题考查平面向量的数量积运算，解题的关键是写出满足条件的对应的点，考查数学转化思想，考查数形结合的思想，属于中档题
12．已知向量，，若，则（ ）
A．1 B．－1 C． D．
【答案】A
【分析】
根据向量，，由得到，然后再由.求解.
【详解】
因为向量，，
所以，
即，
所以
所以.
故选：A
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算和同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
13．设，，为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则（ ）
A． B． C．-2 D．2
【答案】A
【分析】
根据平面向量的投影的概念，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，点，，， O为坐标原点，
根据与在方向上的投影相同，则,
即，可得，解得.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标运算，以及向量的投影的定义，其中解答中熟记向量投影的定义，以及向量的数量积的运算公式，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
14．已知函数，点A，B分别为图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O为坐标原点，若为钝角三角形，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先根据题的条件，将三角形三个顶点的坐标写出来，之后根据三角形是钝角三角形，利用向量夹角为钝角的条件，从而转化为向量的数量积或，找出所满足的条件，最后求得结果.
【详解】
由题意得，因为为钝角三角形，所以或，
即，或，从而或．
故选：B.
【点睛】
该题考查的是有关利用钝角三角形求 ( http: / / www.21cnjy.com )对应参数的取值范围，涉及到的知识点有正弦型函数图象上的特殊点的坐标，钝角三角形的等价转化，向量的数量积坐标公式，属于中档题.
15．已知向量，，若向量满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设出，根据向量的共线与垂直的坐标运算，列出方程组，即可求解.
【详解】
设，向量，，可得，
由，可得，即，
由，可得，
联立方程组，解得，即.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标表示，以及向 ( http: / / www.21cnjy.com )量的共线与垂直的坐标运算及应用，其中解答中熟记向量的共线和垂直的坐标运算时解答的关键，着重考查推理与运算能力.
16．边长为6的正三角形中，为中点，在线段上且，若与交于，则（ ）
A．-12 B．-9 C． D．
【答案】D
【分析】
首先取的中点，连接，根据题意易证为的中点，再以为坐标原点，，分别为，轴，建立直角坐标系，求出，的坐标，利用数量积公式计算即可.
【详解】
如图所示：取的中点，连接，
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因为，所以为的中点.
又因为为中点，所以，即.
因为为的中点，所以为的中点.
以为坐标原点，，分别为，轴，建立直角坐标系，如图所示：
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因为正三角形的边长为，
所以，，，，
，，所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的坐标运算，根据题意建立坐标系为解题的关键，属于中档题.
17．已知向量，，，则（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】
首先设出点A（0,0）、C（x，y）的坐标，由已知条件，列出关于x、y的方程组，然后根据向量的差的计算性质表示出向量的坐标形式，并表示出向量的模，将以上列出的关于x、y的式子整体带入即可求得.
【详解】
设 ,
即 （1）
（2）
将（1）（2）代入上式解得：
故选B
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算以及向量模的计算，其中考查了整体代换的思想方法，属于中档题目，计算中选择合适的解题方法，尽量要避免通过解方程求解点C的坐标然后再求解向量 的模，否则就会大大的增加计算量，甚至出现解题错误.
18．已知向量，，将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据平面向量数量积的运算和辅助角公式可得，向左平移个单位，得到，从而有，，再结合，即可得解.
【详解】
，
将函数的图象向左平移个单位，得到，
该函数的图象关于原点对称，该函数是奇函数，
，，，，
又，.
故选：D.
【点睛】
本题考查数量积的坐标运算、辅助角公式和三角函数的图象变换，属于中档题.
19．设，已知两个向量，，则向量长度的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】
由，结合二倍角公式可得.由，求出的取值范围，即得的最大值.
【详解】
由题意，
.
,
,.
故选：B.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算、求模公式及三角函数的倍角公式，属于基础题.
20．已知向量，若，则与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据向量平行，由平面向量的坐标运算列方程求出k的值，再利用平面向量夹角公式求解即可.
【详解】
因为且，
所以，
，
，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查向量平行的性质，考查了平面向量数量积的坐标表示以及向量夹角公式的应用，属于基础题.
21．已知向量，，且，则实数（ ）
A．3 B．1 C．4 D．2
【答案】A
【分析】
由题意，得到，再根据向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，向量，，可得，
因为，可得，解得.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标表示，以 ( http: / / www.21cnjy.com )及向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记向量的坐标表示和向量的数量积的坐标运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.21教育名师原创作品
22．在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在CD上，若·＝，则·的值为
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A． B．2
C．0 D．1
【答案】A
【分析】
建立平面直角坐标系，根据·＝，求得点F的坐标，再利用数量积的坐标运算求解.
【详解】
建立如图所示平面直角坐标系
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则A(0，0)，B(，0)，E(，1)，F(x，2)，
∴＝(，0)，＝(x，2)，
∴·＝x＝，
解得x＝1，∴F(1，2)，
∴＝(，1)，＝(1－，2)，
∴·=×(1－)＋1×2＝.
故选：A
【点睛】
本题主要考查平面向量在平面几何中的应用以及平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
23．在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．－1 D．-2
【答案】C
【分析】
以为建立平面直角坐标系，设，把向量的数量积用坐标表示后可得最小值．
【详解】
如图，以为建立平面直角坐标系，则，设，
，，，，
∴，
∴当时，取得最小值．
故选：C．
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【点睛】
本题考查向量的数量积，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的数量积转化为坐标表示．
24．若向量的模均为1，且，则的最大值为（ ）
A． B．3 C．5 D．7
【答案】D
【分析】
建立平面直角坐标系，设出的坐标，求得的表达式，利用三角函数的知识求得的最大值.
【详解】
设，依题意，而向量的模均为.
以分别为轴建立平面直角坐标系，如下图所示，由于，所以点在单位圆上.由此可得.
所以
，其中.
由于，所以当时，取得最大值为.
故选：D
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【点睛】
本小题主要考查向量模的坐标运算，属于中档题.
25．平行四边形中，， 点在边上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
建立直角坐标系，得到，构造函数，利用二次函数的单调性求得函数的值域，即可求得的取值范围.
【详解】
由题意，平行四边形中，，
以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，
则，
设，则，所以，
所以，
设，
可得在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以的取值范围是.
故选：A.
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【点睛】
本题主要考查了向量的数量 ( http: / / www.21cnjy.com )积的坐标表示及运算，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中建立直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算求得函数的解析式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
26．如图，是边长为的正三角形，是以为圆心，半径为1的圆上任意一点，则的取值范围是（ ）
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A．[1，13] B．（1，13） C．（4，10） D．[4，10]
【答案】A
【分析】
以的中点为原点，为轴，为轴建立直角坐标系，求得，，的坐标和圆的方程，可设，，，，运用向量的加减坐标运算，再由向量的数量积的坐标表示和两角和的余弦公式和余弦函数的值域，即可得到所求范围．
【详解】
解：以的中点为原点，为轴，为轴建立直角坐标系，
则，，，，，
圆的方程为，
可设，，，，
，，
，，
，
当即时，取得最大值1，
即有取得最小值1；
当即时，取得最小值，
即有取得最大值13．
则的取值范围是，．
故选：．
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【点睛】
本题考查向量数量积的取值范围，运用坐标法是解题的关键，正确设出有关点的坐标和运用向量数量积的坐标表示，同时考查余弦函数的值域，属于中档题．
27．已知向量，，，则当时，的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】
根据，，，得到，，，再利用求解.
【详解】
因为，，，
所以，，，
所以，
当时，.
故选：D
【点睛】
本题考查向量的模以及数量积的运算，还考查运算求解能力，属于中档题.
28．已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为CD，BC上的点，若，，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】
如图所示，以为轴，为轴建立直角坐标系，计算得到或，或，再计算得到答案.
【详解】
如图所示，以为轴，为轴建立直角坐标系，
设，，.
故，故，故或.
，故，故或.
，
当时，有最小值为.
故选：.
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【点睛】
本题考查了向量模的计算，建立直角坐标系是解题的关键.
29．已知在直角三角形中，为直角，，，若是边上的高，点在内部或边界上运动，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据图形几何特征分析向量数量积的最大值和最小值可能取得的条件，结合函数关系求值域.
【详解】
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如图：在直角三角形中，为直角，，，所以，
建立直角坐标系如图所示：，直线的方程为：，
所以直线的方程：，所以，
点在内部或边界上运动，与夹角大于等于90°
由图可得：与夹角大于等于，
点在线段上时，，且为最大值，
点在线段上时，有最小值，设点，
.
综上所述：的取值范围是.
故选：D
【点睛】
此题考查求向量数量积的取值范围，关键在于根据题意找准点所在位置，结合几何特征以及函数求解，体现数形结合的思想.21*cnjy*com
30．在中，，，，是边上一点，且，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意,建立平面直角坐标系,写出各个点的坐标.由在边上可设出D点坐标,再根据即可求得D的坐标,进而利用两点间距离公式求得.
【详解】
在中,,,,是边上一点.建立平面直角坐标系如下图所示:
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则,
而
所以
直线的方程为
可设
所以由向量的坐标运算可得
则由题意可得
解得
则
则
所以
故选:B
【点睛】
本题考查了平面向量在几何中的应用,利用建立平面直角坐标系的方法,计算向量的数量积求参数,并求得向量的模,属于中档题.
31．已知中，，，点M是线段BC（含端点）上的一点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
如图所示，建立直角坐标系，则，，，．利用向量的坐标运算可得．再利用数量积运算，可得．利用数量积性质可得，可得．再利用，，可得，即可得出．
【详解】
如图所示，建立直角坐标系．
则，，，．
，，及四边形为矩形，
．
．
，
．
．
，
．
．即．
点在直线上，．
，
，，，．
，即（当且仅当或时取等号），
综上可得：．
故选：．
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【点睛】
本题考查了向量的坐标运算、数量积运算及其性质、不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
32．在平面直角坐标系中，已知向量点Q满足曲线区域若为两段分离的曲线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
不妨设，由，所以点的轨迹表示一个单位圆，
又由表示的平面区域为：以为圆心，内径为外径为的圆环，根据为两端分离的曲线，则单位圆与圆环的内外均相交，利用圆与圆的位置关系，即可求解．
【详解】
由题意，平面直角坐标系中，已知向量
不妨设，则，
由，所以点的轨迹表示一个单位圆，
又由表示的平面区域为：以为圆心，内径为外径为的圆环，
若为两端分离的曲线，则单位圆与圆环的内外均相交，
所以，因为，所以．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了平面向量在几何问题中的应用，其中根据已知条件得到点的轨迹，以及所表示的平面区域，结合圆与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．
33．已知向量，，，若，则角
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由向量点乘的公式带入，可以得到，再由求出角的精确数值.
【详解】
由，及可得
，化简得
或
又，则为唯一解，答案选D.
【点睛】
1、若向量，则向量点乘；
2、解三角方程时，若，则或；
3、解三角方程时尤其要注意角度的取值范围.
34．已知向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为
A．等腰非直角三角形 B．等边三角形
C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】
由向量得出向量的坐标，然后利用平面向量的数量积运算法则求出 ，得出值为0，可得两向量互相垂直，最后分别求出三向量的模，发现互不相等，进而得出三角形ABC为直角非等腰三角形．
【详解】
∵＝(4，－3)，＝(2，－4)，
∴＝－＝(－2，－1)，
∴·＝(2,1)·(－2,4)＝0，
∴∠C＝90°，且||＝，||＝2，||≠||.
∴△ABC是直角非等腰三角形．
故选C.
【点睛】
此题考查了三角形的形状判断，·＝0是解本题的关键.
35．已知向量. 若向量的夹角为，则实数
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】
运用向量的数量积表示出向量点乘结果，然后求出的值
【详解】
，
根据题意可得：
即
两边平方化简可得
故选
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积，属于基础题．
36．如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先建系解得坐标，再设坐标，根据向量数量积列函数关系式，最后根据二次函数性质求最值.
【详解】
以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，
因此，
因此，设
所以
当时，最小值为选B.
【点睛】
以向量为载体求相关变量的取值范围，是 ( http: / / www.21cnjy.com )向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
37．已知是半圆的直径，，等腰三角形的顶点 在半圆弧上运动，且，点是半圆弧上的动点，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由圆的参数方程，设出 点的坐标，进而找出与角的关系，通过三角转化为三角函数，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，可得，
设，
设，其中，
所以，
所以
，
因为，所以，
可得，即的取值范围是.
故选：C.
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【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及圆的参数方程，三角函数的化简及三角函数的性质的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题.
38．在等边三角形中,是上一点，,是上一点，,则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
以的中点为原点，为轴正方向，设等边三角形边长为，得到的坐标，再根据，得到点坐标，设坐标为，是上一点，，可以得到关于的方程；可得,得到关于的方程；解出得到点坐标，再由向量的夹角公式，得到，从而可得.
【详解】
以的中点为原点，为轴正方向，设等边三角形边长为，
则，
，
设坐标为 是上一点，则
，
由可得，即
解得，
，，
，故选B项.
( http: / / www.21cnjy.com / )【点睛】
本题考查向量的坐标表示，向量共线和垂直的表示，向量夹角的余弦公式，计算量较大，属于难题.
二、填空题
39．在边长为1的正三角形中，向量，，，，且，则的最大值为__．
【答案】
【分析】
建立直角坐标系，依题意可求得，而，，，利用基本不等式即可求得取值范围．
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，则点，，，，；
设点，，，，，，，，；
，，，，，；
，，
，
当且仅当时取“”；
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故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：本题求解时关键在于通过建系设元、将问题转化为基本不等式求最值问题．
40．已知向量，若，则___________.
【答案】26
【分析】
先由求出，求出，再进行的计算.
【详解】
因为，所以，解得，所以.
故答案为：26
【点睛】
向量类问题的常用处理方法——向量坐标化，利用坐标运算比较简单．
41．已知向量，，点为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标是___________.2-1-c-n-j-y
【答案】
【分析】
设点的坐标是，求出，再利用配方法可得答案.
【详解】
设点的坐标是，即，
因为向量，，
所以，
，
，
当时，有最小值，此时点的坐标是，
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：平面向量求最值有三种常见方法：1、几何法；2、三角函数有界法；3、二次函数配方法.
42．已知向量，，若，则实数________.
【答案】
【分析】
两边平方后，得到，根据向量数量积计算结果.
【详解】
由，两边平方得，化简得：
，
，解得：
故答案为：
【点睛】
结论点睛：本题考查向量的模长，根据已知条件选择，若题目告诉的是坐标形式，利用，若题目涉及夹角，利用，考查学生的审题与计算能力，属于基础题.
43．平面向量，满足，若，则的最大值是__________.
【答案】
【分析】
建立如图所示的坐标系，如图，设，，，则，因为，故，设，利用题设条件可求的坐标，从而可求的坐标，从而可求的最大值.【出处：21教育名师】
【详解】
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如图，设，，，则，
因为，故，设，
设，则，
故或者，
若，则，
故
，
若，则
故
，
故
故答案为：.
【点睛】
思路点睛：较为复杂的向量的计算问题，可以根据题设中的条件合理建立，将向量的计算归结的坐标的计算.
44．已知，，如果与的夹角是钝角，则的取值范围是___________
【答案】
【分析】
与的夹角是钝角,则，根据向量夹角公式列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
设两个向量的夹角为，依题意可知为钝角，
则，即，且
由得或，
由于且，所以实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查根据向量夹角求参数，注意利用时，要排除共线反向情况，属于中档题.
三、解答题
45．已知，向量．
（1）若向量与平行，求k的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求k的取值范围．
【答案】（1）或；（2）
【分析】
（1）由平面向量的坐标表示和向量共线定理，列方程求出的值；
（2）由平面向量的数量积与夹角的关系，列不等式求出的取值范围，要去掉共线情况．
【详解】
（1）由向量，，
所以，
又与平行，所以，
解得或；
（2）若向量与的夹角为锐角，
则，
解得；
由（1）知，当时，与平行，
所以的取值范围是．
【点睛】
易错点睛：解答第（2）问，学生容易得到错误的答案. 因为当两个向量的夹角为零时，两个向量的数量积也大于零，所以要把同向共线的值排除.www.21-cn-jy.com
46．在中，，，，，．
（1）若，求实数的值及；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）利用中位线的性质可得出点为的中点，可得出的值，再利用直角三角形的性质可可求得；
（2）以为坐标原点，、所在的直线为、轴建立平面直角坐标系，根据求出的值，可求得、，由此可求得四边形的面积.
【详解】
（1）由，可知为的中点，若，则为的中点，即，
又，所以；
（2）以为坐标原点，、所在的直线为、轴建立平面直角坐标系，
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则、、，
，
，
又，，则，解得，
则，则，，
因此，四边形的面积为.
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查利用平面向量的数量积转化两个向量的垂直关系，同时也考查了四边形面积的计算，解题的关键就是利用向量的垂直关系求出实数的值，进而利用四边形的面积公式求解.
47．已知向量，，，．
（1）若，求实数的值；
（2）当取最小值时，求与的夹角的余弦值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用平面向量垂直表示可得出关于的等式，进而可求得实数的值；
（2）利用平面向量数量积的运算法则以及二次函数的基本性质可求得的值，可求出的值，进一步可求出的值，利用平面向量数量积可求得与的夹角的余弦值．
【详解】
（1）由已知条件可得，
，则，
解得；
（2）
.
当时，取最小值.
，则，
因此，.
【点睛】
方法点睛：求平面向量夹角的方法：
（1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；
（2）坐标法：若非零向量、，则.
48．已知向量，，且与的夹角为.
（1）求；
（2）若与垂直，求实数λ的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由向量的夹角为即可得，进而得，再根据模的计算即可得答案；
（2）由（1）得，，再根据向量垂直的坐标表示即可得答案.
【详解】
解：（1）由向量夹角的坐标表示得：
，解得：，
所以
所以
（2）由（1）知，故，
由于与垂直，
所以，解得：.
【点睛】
方法点睛：已知，
则，
49．已知中是直角，，点是的中点，为上一点．
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（1）设，，当，请用，来表示，；
（2）当时，试求．
【答案】（1），；（2）0.
【分析】
（1）利用向量的线性运算求解；
（2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，用数量积的坐标表示计算．
【详解】
（1），，点是的中点，
，
，
．
（2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，
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设，点坐标为，另设点坐标为，点是的中点，
点坐标为，
又，，，，
所以，，
所以．
【点睛】
方法点睛：本题考查向量的线性运算 ( http: / / www.21cnjy.com )，考查向量的数量积．掌握数量积的定义是解题关键．在有垂直的平面图形中，可以建立平面直角坐标系，得出各点坐标后，求得向量的坐标，用向量数量积的坐标运算求解．
50．已知，，(t∈R)，O是坐标原点．
（1）若点A，B，M三点共线，求t的值；
（2）当t取何值时，取到最小值？并求出最小值．
【答案】（1）t；（2）当t时， 的最小值为.
【分析】
（1）求出向量的坐标，由三点共线知与共线，即可求解t的值．
（2）运用坐标求数量积，转化为函数求最值．
【详解】
（1），，
∵A，B，M三点共线，
∴与共线，即，
∴，解得：t.
（2），，，
∴当t时， 取得最小值．
【点睛】
关键点点睛：
（1）由三点共线，则由它们中任意两点构成的向量都共线，求参数值.
（2）利用向量的数量积的坐标公式得到关于参数的函数，即可求最值及对应参数值.
51．已知中是直角，，点是的中点，为上一点．
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（1）设，，当，请用，来表示，.
（2）当时，求证：.
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出，利用与化简可得答案；
（2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，设， 求出，， 可得，进而可得答案.
【详解】
（1）∵，，点是的中点，
∴，
∴，
∵.
（2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，
设，∴点坐标为，另设点坐标为，∵点是的中点，
∴点坐标为，
又∵，∴，∴，，
所以，，
所以，
∴.
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【点睛】
方法点睛：平面向量数量积的计算问题，往往有两 ( http: / / www.21cnjy.com )种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．
52．已知向量.
（1）求向量与的夹角；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由向量的夹角公式计算可得答案；
（2）由向量垂直的坐标表示可得答案．.
【详解】
（1）因为向量，所以，
又，所以.所以向量与的夹角；
（2）因为向量，所以，
又，则，解得，所以实数的值为.
【点睛】
方法点睛：设=,=，则，.
53．平面内给定三个向量.
（1）求；
（2）求满足的实数m和n；
（3）若，求实数k.
【答案】（1）6；（2）；（3）.
【分析】
（1）利用向量加法的坐标运算得到，再求模长即可；
（2）先写的坐标，再根据使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；
（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可.
【详解】
解：（1）由，得
，；
（2）， ，
，，
故，解得；
（3），，
，，
，，即，
解得.
【点睛】
结论点睛：
若 ，则等价于；等价于.
54．已知、、且
（1）证明：是等腰直角三角形
（2）求．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）由题意得，，由，，能够证明是等腰直角三角形．
（2）设点，则，．由，知且，由此能求出．
【详解】
解：（1）证明：由题意得，
因为，
所以
所以是直角三角形
又，，
，
是等腰直角三角形
（2）解：设点，
则，
，
且，
解得，，
，
，
，
，，
．
【点睛】
本题考查平面向量的综合运 ( http: / / www.21cnjy.com )用，考查运算求解能力，推理论证能力；综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要认真审题，注意平面向量数量积的坐标运算的灵活运用．
55．平面直角坐标系中，已知向量，且．
（1）求与之间的关系式；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）16.
【分析】
（1）由题知，再根据即可得；
（2）由题知，，进而根据得，结合（1）联立方程得或，再结合分类讨论即可得答案.
【详解】
解：（1）由题意得，
因为，，
所以，即，
所以与之间的关系式为： ①
（2）由题意得，，
因为，
所以，即，②
由①②得或
当时，，，
则
当时，，，
则
所以，四边形的面积为16.
【点睛】
本题解题的关键在于由得，故只需解决即可求解，考查向量的坐标运算，是中档题.
56．如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点.设，.
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（1）用，表示，，
（2）求与夹角的余弦值.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）利用向量的线性运算即平面向量基本定理确定，与，的关系；
（2）解法一：利用向量数量积运算公式求得向量夹角余弦值；解法二：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示确定向量夹角余弦值.21·cn·jy·com
【详解】
解法一：
（1）由图可知.
因为E是CD的中点，所以.
（2）因为，为等边三角形，所以，，
所以，
所以，
.
设与的夹角为，则，
所以在与夹角的余弦值为.
解法二：（1）同解法一.
（2）以A为原点，AD所在直线为x轴，过A且与AD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，，，.
因为E是CD的中点，所以，
所以，，
所以，
.
设与的夹角为，则，
所以与夹角的余弦值为.
【点睛】
求两个向量的数量积有三种方法：利用定义 ( http: / / www.21cnjy.com )；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
57．已知向量，，．
（1）若点，，三点共线，求的值；
（2）若为直角三角形，且为直角，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由点，，三点共线可得和共线，解关于的方程可得答案；
（2）由为直角三角形可得，即，解关于的方程可得答案．
【详解】
（1），，，
，
点，，三点共线，和共线，
，解得；
（2）为直角三角形，且为直角，
，，
解得．
【点睛】
方法点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.
58．在平面直角坐标系中，已知、、．
（1）若四边形为平行四边形，求与夹角的余弦值；
（2）若、分别是线段、的中点，点在线段上运动，求的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求出、的坐标，利用平面向量夹角的余弦公式可求得结果；
（2）求出点、的坐标，设，将、的坐标利用加以表示，可得出关于的二次函数关系式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值.
【详解】
（1）设点，因为、，所以．
因为四边形为平行四边形，所以．
所以，，即点，，，
所以，
所以与夹角的余弦值为；
（2）因为、分别是线段、的中点，且、、，
所以、，所以，，，
因为点在线段上运动，令，，则，
所以，，
所以，
令，其中，
当时，单调递减；当时，单调递增；
所以当时，取得最大值，即的最大值为.
【点睛】
方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
59．已知，向量，.
（1）若向量与平行，求k的值；
（2）若向量与的夹角为钝角，求k的取值范围
【答案】（1）或；（2）.
【分析】
（1）利用向量平行的坐标表示列式计算即得结果；
（2）利用，且不共线，列式计算即得结果.
【详解】
解：（1）依题意，，，
又，得，即
解得或；
（2）与的夹角为钝角，则，即，
即，解得或.
由（1）知，当时，与平行，舍去，
所以.
【点睛】
思路点睛：两向量夹角为锐角（或钝角）的等价条件：
（1）两向量夹角为锐角，等价于，且不共线；
（2）两向量夹角为钝角，等价于，且不共线.
60．已知向量，k t为正实数，.
（1）若求k的最大值；
（2）是否存在k t使得？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）不存在.理由见解析.
【分析】
（1）由化简得 ，再利用基本不等式求解.
（2）根据，化简得：，即，再根据 k t为正实数判断.
【详解】
（1）因为向量，k t为正实数，
所以.
因为
所以，
，当且仅当，即 取等号，
所以k的最大值；
（2）因为，
所以，
化简得：，即，
因为 k t为正实数，
所以不存在k t，使得.
【点睛】
方法点睛：向量共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1＋λ2＝成立；若λ1＋λ2＝当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量不共线．【来源：21cnj*y.co*m】
61．在直角坐标系中，单位圆O的圆周上两动点满足（如图），C坐标为，记
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（1）求点A与点B纵坐标差的取值范围；
（2）求的取值范围；
【答案】（1）;（2）.
【分析】
（1）根据三角函数的定义写出点A与点B纵坐标，从而将表示成关于的三角函数；
（2）写出向量数量积的坐标运算，即，再利用三角函数的有界性，即可得答案；
【详解】
由题意得：，
，，
.
（2）
，
，，
.
【点睛】
根据三角函数的定义及三角恒等变换、三角函数的有界性是求解本题的关键.
62．已知.
（1）若与同向，求；
（2）若与的夹角为，求.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）设，根据题意，得到，利用向量的坐标运算，求得，再根据，即可求解；
（2）设，根据向量的数量积运算，列出方程求得，再结合，求得向量，即可求解.
【详解】
（1）设，因为与同向，所以存在实数，使得，
即，可得，
又因为，可得，解得或（舍，
所以.
（2）设，所以，
因为，故，即，
因为，所以，可得故，
当，时，，
当，时，.
【点睛】
向量的数量积的两种运算方法：
1、当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即；
2、已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若，则向量的数量积为.
63．如图，在四边形ABCD中，，，，且，.
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（1）求实数的值；
（2）若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据和向量的数量积定义式计算；
（2）建立平面坐标系，设，用x表示出，根据二次函数性质得出最小值.
【详解】
解：（1）∵，∴，
∵，∴，
∴，
∴.
（2）过A作，垂足为O，
则，，，
以O为原点，以BC，OA所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示：
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则，设，，，
∴，，
∴，
∴当时，取得最小值.
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积计算，解答的关键是理解数量积的定义以及数量积的坐标表示.
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