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第十一讲 平面几何中的向量方法
【基础训练】
一、单选题
1．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2 ( http: / / www.21cnjy.com )＝(－3,2)，F3＝(7，－3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于（ ）21世纪教育网版权所有
A．(－2，－2) B．(2，－2)
C．(－1,2) D．(－2,2)
2．某人顺风匀速行走速度大小为，方向与风向相同，此时风速大小为，则此人实际感到的风速为（ ）
A． B．
C． D．
3．在△ABC中，，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
4．河水的流速为，一艘小船想沿垂直于河岸方向以的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为（ ）
A． B． C． D．
5．已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是（ ）
A．(8,0) B．(9,1)
C．(－1,9) D．(3,1)
6．已知一条两岸平行的河流河水的流速 ( http: / / www.21cnjy.com )为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ）21教育网
A．10 m/s B． m/s
C．m/s D．12 m/s
7．已知点是所在平面内一点，若，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
8．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC中点，则cos ∠BDC＝（ ）
A．－ B．
C．0 D．
9．若向量，分别表示两个力，则为（ ）
A．(5，0) B．(－5，0)
C． D．
10．在中，若，则的形状是（ ）
A．为钝角的三角形
B．为直角的直角三角形
C．锐角三角形
D．为直角的直角三角形
11．若为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
12．已知是以C为直角顶点且斜边长为2的等腰直角三角形，P为所在平面内一点，则的最小值为（ ）.21cnjy.com
A． B． C． D．
13．已知，，，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
14．中,设,若,则的形状是
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
15．过内部一点任作一条直线，于，于，于，都有，则点是的
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A．三条高的交点 B．三条中线的交点
C．三边中垂线的交点 D．三个内角平分线的交点
16．若,且,则四边形是
A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形
17．在中,,则是
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
18．若且，则四边形的形状为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
19．已知四点的坐标分别是，则四边形为
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
20．在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
21．在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则（ ）
A． B． C． D．
22．已知点是内的一点，，则的面积与的面积之比为（ ）
A．2 B．3 C． D．6
23．已知外接圆圆心为， G为所在平面内一点，且．若，则（ ）
A． B． C． D．
24．在中，点为边上一点，，且，，，，则（ ）
A．5 B．
C． D．3
25．已知，，三点，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形
26．如图，在中，，，，为边的中点，且，则向量的模为（ ）
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A． B． C．或 D．或
27．已知O为四边形所在平面内的一点，，，，满足，，则四边形一定为（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
28．已知是的边上的任一点，且满足，则的最小值是（ ）.
A．16 B．9 C．8 D．4
29．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为（ ）
A．－ B．0
C．4 D．－1
30．设平面向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
31．在四边形中，，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．2
32．已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，点满足，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心
33．已知三点不共线，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
34．平面上有三点A，B，C，设，，若与的长度恰好相等，则有( )
A．三点必在同一直线上
B．必为等腰三角形且为顶角
C．必为直角三角形且
D．必为等腰直角三角形
35．已知点，，，则下列结论正确的是（ ）
A．三点共线 B．
C．是锐角三角形的顶点 D．是钝角三角形的顶点
36．已知，，是平面上的三个点，直线上有一点，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
37．在中,,,且,则是
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
38．若，则为
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
39．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
40．已知的三边长，，，P为边上任意一点，则的最大值为
A．8 B．9 C．10 D．11
二、填空题
41．已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.
42．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且，则________.
43．如图，在矩形中，，，，是上的两动点，在的左边，且，则的最小值为________．21·cn·jy·com
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44．在中，若，，则_____.
45．已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E，F分别为BC，CD的中点，则___________.
三、解答题
46．已知位置向量,,的终点分别为,,,试判断的形状.
47．已知凸五边形内接于半径为1的圆，且，，，，，求证：.
48．如图，在正中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，分别靠近点A，点B，且AE，CD交于点P.求证：BP⊥DC.www.21-cn-jy.com
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49．已知为两个不共线的向量，若四边形满足，，.
(1)将用表示；
(2)证明：四边形为梯形．
50．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC.
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51．正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试求cos∠DOE的值.
52．有一艘在静水中速度为的船，现船沿与河岸成角的方向向河的上游行驶．由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设两岸平行，流速均匀．2·1·c·n·j·y
（1）设船相对于河岸和静水的速度分别为，，河水的流速为 km/h，求，，之间的关系式；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）求这条河河水的流速．
53．在中，设BC、CA、AB的长度分别为，利用向量证明： .
54．在边长为的正三角形中，已知，，点是线段的中点，点在线段上，.
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（1）以为基底表示；
（2）求.
55．已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量＝（sin A，sin B），＝（cos B，cos A），且·＝sin 2C.21·世纪*教育网
（1）求角C的大小；
（2）若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·（－）＝18，求边c的长.
56．（1）已知向量，满足，，且，求的坐标．
（2）已知、、，判断并证明以，，为顶点的三角形是否为直角三角形，
57．在中，，，，点，在边上且，.
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（1）若，求的长；
（2）若，求的值.
58．已知，判断由此四点构成的四边形的形状．
59．已知，，是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
60．如图，在四边形中， ．
（1）若△为等边三角形，且， 是的中点，求；
（2）若， ， ，求．
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61．如图，已知正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证：
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（1）BE⊥CF;
（2）AP=AB.
62．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE．
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第十一讲 平面几何中的向量方法
【基础训练】
一、单选题
1．已知三个力F1＝(－2，－1 ( http: / / www.21cnjy.com ))，F2＝(－3,2)，F3＝(7，－3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于（ ）21教育网
A．(－2，－2) B．(2，－2)
C．(－1,2) D．(－2,2)
【答案】D
【分析】
根据向量加法运算坐标表示公式，结合相反向量的定义进行求解即可.
【详解】
因为F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(7，－3)，
所以F1F2F3，要想使该物体保持平衡，
只需F4 ，
故选：D
2．某人顺风匀速行走速度大小为，方向与风向相同，此时风速大小为，则此人实际感到的风速为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据向量的运算法则及速度的合成，即可求解.
【详解】
由题意，某人顺风匀速行走速度大小为，方向与风向相同，此时风速大小为，
根据向量的运算法则，可得此人实际感到的风速为.
故选：A.
3．在△ABC中，，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【分析】
由向量数量积的定义式可得，即可判断；
【详解】
解：∵，∴，∴是钝角，则△ABC是钝角三角形.
故选：C
4．河水的流速为，一艘小船想沿垂直于河岸方向以的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即静水速度斜向上游方向，河水速度平行于河岸，静水速度与河水速度的合速度指向对岸，由此能求出静水速度．www-2-1-cnjy-com
【详解】
设河水的流速，
静水速度与河水速度的合速度，
小船的静水速度为，
为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，
即静水速度斜向上游方向，
河水速度平行于河岸，
静水速度与河水速度的合速度指向对岸，
所以静水速度13（m/s）．
故选：A.
5．已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是（ ）
A．(8,0) B．(9,1)
C．(－1,9) D．(3,1)
【答案】B
【分析】
根据题意，求得，设合力的终点坐标为，根据，即可求解.
【详解】
由题意，三个力，
因为，
设合力的终点坐标为，
因为且，所以，解得，
即合力的终点坐标为.
故选：B.
6．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 ( http: / / www.21cnjy.com )m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ）
A．10 m/s B． m/s
C．m/s D．12 m/s
【答案】B
【分析】
根据题意，得到，结合向量的运算，即可求解.
【详解】
设河水的流速为，小船在静水中的速度为，船的实际速度为，
则，所以，
所以，即小船在静水中的速度大小为.
故选：B.
7．已知点是所在平面内一点，若，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
假设是等腰直角三角形，建立平面直角坐标系，求得点坐标，由此求得与的面积比.
【详解】
假设是等腰直角三角形，且是直角，，
建立如图所示平面直角坐标系，设，
则,，
依题意，
即，
，
.
所以与的面积比为.
故选：A
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8．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC中点，则cos ∠BDC＝（ ）
A．－ B．
C．0 D．
【答案】B
【分析】
在Rt△ABC中利用勾股定理求AC，即可确定BD、AD，进而应用余弦定理根据相应边求出对应角的余弦值.
【详解】
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC中点
∴，BD＝AD＝CD＝5
在△BDC中，利用余弦定理
故选：B.
9．若向量，分别表示两个力，则为（ ）
A．(5，0) B．(－5，0)
C． D．
【答案】C
【分析】
求出的坐标后可求模.
【详解】
，故，
故选：C.
10．在中，若，则的形状是（ ）
A．为钝角的三角形
B．为直角的直角三角形
C．锐角三角形
D．为直角的直角三角形
【答案】D
【分析】
由条件求得，可得，故，由此可得的形状．
【详解】
在中，，，
，则为直角三角形，
故选：D．
11．若为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】
由，推出，可知的中线和底边垂直，则为等腰三角形.
【详解】
∵,
∴，
∴,
∴的中线和底边垂直，
∴是等腰三角形．
故选：A.
【点睛】
考查向量的运算和利用向量的方法判断空间线线垂直关系，知识点较为基础，考查了学生对基本向量相乘相关知识的掌握程度，为容易题.21世纪教育网版权所有
12．已知是以C为直角顶点且斜边长为2的等腰直角三角形，P为所在平面内一点，则的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用建系的方法，表示出，然后根据向量的坐标运算，化简变形，可得到结果
【详解】
如图
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设点，
由是斜边长为2的等腰直角三角形
所以
所以
所以
故
化简得：
所以的最小值为
故选：B
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，将几何的问题代数化，化繁为简，数基础题.
13．已知，，，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【分析】
利用坐标表示，根据向量数量积坐标表示，可得结果.
【详解】
，，
，
，，
为直角三角形.
故选：A
【点睛】
本题考查通过向量数量积坐标表示，判断三角形形状
14．中,设,若,则的形状是
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】C
【分析】
有题意可得，从而可判断出，得为钝角，从而得出答案．
【详解】
解：∵，
∴，
∴角为钝角，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查根据向量的数量积判断角的大小，进而判断三角形的形状，属于基础题．
15．过内部一点任作一条直线，于，于，于，都有，则点是的
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A．三条高的交点 B．三条中线的交点
C．三边中垂线的交点 D．三个内角平分线的交点
【答案】B
【分析】
根据特殊位置法，可以判断，当直线经过三个顶点时，可得为中线，由此可得结论．
【详解】
解：当直线经过C点时，，即为，
于是，是边上的中线；
同理，当经过A点时，是边上的中线；
当经过B点时，是边上的中线；
因此，点是的三条中线的交点，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查三角形的五心的应用，解题时要认真审题，注意向量的灵活运用，属于中档题．
16．若,且,则四边形是
A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形
【答案】C
【分析】
由题意可知，且，而对角线，由此可知四边形为等腰梯形．
【详解】
解：∵，
∴，，
∵，
∴四边形是等腰梯形，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平面向量共线定理的应用，属于基础题．
17．在中,,则是
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】
根据向量的线性运算化简判定即可.
【详解】
,则,故是等边三角形.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了利用向量判定三角形形状的方法,属于基础题型.
18．若且，则四边形的形状为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
【答案】C
【分析】
根据条件中的向量关系反映出来大小关系和方向关系来判断.
【详解】
可知，四边形为平行四边形，
又因为,
所以四边形为菱形．
故选：C.
【点睛】
本题考查向量的大小和方向问题，是基础题.
19．已知四点的坐标分别是，则四边形为
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
【答案】A
【分析】
根据坐标写出，判断的关系即可说明四边形的形状。
【详解】
由题意知，，所以，又因，所以四边形为梯形.
故选A
【点睛】
本题考查向量平行，属于基础题。
20．在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】
取中点，连接，则，利用向量数量积的运算律变形，得，从而可判断三角形形状．
【详解】
取中点，连接，则，
因为，所以，所以，
所以，即，
所以的是等腰三角形．
故选：B．
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21．在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
以点A为原点建立如图坐标系写出各点坐标，先根据得到恒成立，再利用解得，证得点在边的垂直平分线上，即得答案.2-1-c-n-j-y
【详解】
由题意，以点A为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
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取，则，设，，则，，，，
则由知，，即恒成立，所以，即，解得，即点在边的垂直平分线上，所以.
故选：A.
22．已知点是内的一点，，则的面积与的面积之比为（ ）
A．2 B．3 C． D．6
【答案】B
【分析】
取中点为，根据向量之间关系，得到，过点作于点，过点作于点，得出，进而可得三角形面积之比.【版权所有：21教育】
【详解】
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取中点为，则，
因为，所以，则，因此，
过点作于点，过点作于点，
则易知，
因此，
所以的面积与的面积之比为.
故选：B.
23．已知外接圆圆心为， G为所在平面内一点，且．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
取的中点，根据题意，可得为的重心，则G在AD上，又，可得，所以，，，四点共线，根据三角形的性质，设，即可求得答案.
【详解】
取的中点，连接AD， 由，知为的重心，则G在AD上，
所以，而，
所以，，，四点共线，所以，即，
不妨令，则，．
所以．
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故选：C．
24．在中，点为边上一点，，且，，，，则（ ）
A．5 B．
C． D．3
【答案】D
【分析】
依题意画出图形，可得，从而得到，再由，，根据平面向量数量积的运算律计算可得.
【详解】
因为，所以为中点，
因为，所以为的三等分点，因为，所以为中点，
因为，，所以，所以
所以，
因为，，
所以
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故选：D
25．已知，，三点，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形
【答案】B
【分析】
由可判断出答案.
【详解】
因为，
所以
为直角三角形
故选：B
26．如图，在中，，，，为边的中点，且，则向量的模为（ ）
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A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】
由条件可得，然后用、表示出，然后可算出答案.
【详解】
因为，，，所以.
因为，
所以
故选：B
27．已知O为四边形所在平面内的一点，，，，满足，，则四边形一定为（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
【答案】B
【分析】
由可得，所以四边形为平行四边形，整理，结合平行四边形的条件可得，从而得解.
【详解】
由可得：，即,
所以四边形为平行四边形，
由得：，
即，
因为，所以，
所以
又四边形为平行四边形，所以，所以，
所以四边形为矩形，
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键是利用平行四边中的和条件化简，熟练掌握向量的加减法运算时关键.
28．已知是的边上的任一点，且满足，则的最小值是（ ）.
A．16 B．9 C．8 D．4
【答案】B
【分析】
由在的边上得，再用基本不等式.
【详解】
是的边上的点，，
，
当且仅当，即时等号成立.
故选:B
【点睛】
本题的关键是向量表示三点共线：若，则是三点共线的充要条件.
29．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为（ ）
A．－ B．0
C．4 D．－1
【答案】A
【分析】
根据题意，建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出的坐标，利用坐标计算数量积，结合二次函数的最小值，即可求得结果.www.21-cn-jy.com
【详解】
依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，
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则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，
因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)，
所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，
所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，
当t＝时，·取得最小值－，
故选：A.
【点睛】
本题考查用解析法求平面向量的数量积，注意参数范围即可，属基础题.
30．设平面向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由两向量的夹角为钝角，则需两向量的数量积小于零，且两向量不共线可求得的取值范围.
【详解】
解：∵与的夹角为钝角，
∴，且，
，且，
故选：A．
【点睛】
本题考查向量的夹角为钝角的条件：两向量的数量积小于零且两向量不共线，属于基础题.
31．在四边形中，，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】
由题意分析可知，四边形为菱形且，然后求解四边形的面积.
【详解】
因为，所以四边形为平行四边形，
又，则平分，则四边形为菱形.
且，由，则,
所以四边形的面积为.
故选：A.
【点睛】
本题考查向量的综合运用，较简单，解答时注意为上的单位向量.
32．已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，点满足，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心
【答案】C
【分析】
根据得，
由即可求解.
【详解】
解：，
所以，
动点在的高线上，动点的轨迹一定通过的垂心，
故选：C
【点睛】
考查用向量的数量积证明向量垂直，进一步证明直线垂直，基础题.
33．已知三点不共线，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由题意结合平面向量数量积的知识可得，进而可得，即可得解.
【详解】
因为，
所以即，
所以，所以，
又，，三点不共线，所以，所以，.
故选：B.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的应用和三角函数值符号的确定，属于基础题.
34．平面上有三点A，B，C，设，，若与的长度恰好相等，则有( )
A．三点必在同一直线上
B．必为等腰三角形且为顶角
C．必为直角三角形且
D．必为等腰直角三角形
【答案】C
【分析】
根据向量的模相等及向量表示形式，平方后化简即可得，即可判断选项.
【详解】
，，若与的长度恰好相等
即
所以
两边同时平方，展开可得
即
所以必为直角三角形且
故选：C
【点睛】
本题考查了平面向量模的求法，平面向量数量积的定义，属于基础题.
35．已知点，，，则下列结论正确的是（ ）
A．三点共线 B．
C．是锐角三角形的顶点 D．是钝角三角形的顶点
【答案】D
【分析】
由题意，求得，得到是钝角，即可得到答案.
【详解】
由题意，点，，，
可得，则，所以是钝角.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的计算及 ( http: / / www.21cnjy.com )应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于据基础题.21cnjy.com
36．已知，，是平面上的三个点，直线上有一点，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意,画出示意图.由平面向量的线性运算及平面向量基本定理即可表示出.
【详解】
根据题意,,是平面上的三个点线,且上一点满足
则位置关系可用下图表示:
( http: / / www.21cnjy.com / )
所以为线段上靠近的三等分点
则由平面向量的线性运算可得
故选:D
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算,平面向量基本定理的简单应用,属于基础题.
37．在中,,,且,则是
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【分析】
根据数量积的公式分析B为钝角即可.
【详解】
因为,所以,
所以.因为,,所以,所以B为钝角,所以是钝角三角形.无法判断其是不是等腰三角形.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了利用向量数量积判断三角形形状的方法.属于基础题型.
38．若，则为
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【分析】
根据数量积的运算法则推导得即可.
【详解】
,,,为直角三角形.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了根据向量的数量积运算判断三角形形状的问题,属于基础题.
39．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设，根据四边形是平行四边形，则对边平行且相等，故，从而得到方程组，即可解得.
【详解】
解：设，
，
因为四边形是平行四边形
所以
解得，故
故选：
【点睛】
本题考查向量在平面几何中的应用，向量的坐标表示及相等向量，属于基础题.
40．已知的三边长，，，P为边上任意一点，则的最大值为
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】
建立直角坐标系，利用数量积的坐标运算和一次函数的单调性即可得出.
【详解】
解：如图所示，建立直角坐标系，
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设，
则，
当时取等号，
∴的最大值为9.
故选：B.
【点睛】
本题考查了数量积的坐标运算和一次函数的单调性，属于基础题.
二、填空题
41．已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.
【答案】7
【分析】
以为轴的正方向建立直角坐标系，设，然后表示出，然后可得答案.
【详解】
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以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：
设，
则
，当时取得最小值7
故答案为：7
42．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且，则________.
【答案】
【分析】
根据求得，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】
由题意，圆的半径为，且，可得，
所以.
故答案为：.
43．如图，在矩形中，，，，是上的两动点，在的左边，且，则的最小值为________．【来源：21·世纪·教育·网】
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【答案】
【分析】
以为原点，建立平面直角坐标系：设，则，利用平面向量的数量积的坐标表示求出，再根据二次函数知识可求得结果.21·世纪*教育网
【详解】
以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系：
( http: / / www.21cnjy.com / )
则，，设，则，其中，
所以，，
所以，
所以时，的最小值为.
故答案为：
44．在中，若，，则_____.
【答案】
【分析】
由题知是等腰直角三角形，故，，再根据数量积定义计算即可.
【详解】
由，，知是等腰直角三角形，
∴，，
∴.
故答案为：.
45．已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E，F分别为BC，CD的中点，则___________.
【答案】
【分析】
以A为坐标原点O，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,利用向量的数量积的坐标表示求解.【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
如图，以A为坐标原点O，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
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则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)，C(2，1).
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴，F(1，1)，
.
故答案为：
三、解答题
46．已知位置向量,,的终点分别为,,,试判断的形状.
【答案】为等腰直角三角形
【分析】
根据题意可设，，,根据平面向量的加法几何意义可以求出,求出它们的模以及计算出它们的数量积,最后可以判断出的形状.21教育名师原创作品
【详解】
，，，，
,
,所以为等腰直角三角形.
【点睛】
本题考查了利用平面向量的模和平面向量的数量积判断三角形形状问题,考查了数学运算能力.
47．已知凸五边形内接于半径为1的圆，且，，，，，求证：.
【答案】证明见解析
【分析】
首先利用可得，然后证明，即可.
【详解】
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如图，为圆的直径，连接，，
，
，
，，
要证，只需证，
因为，，
所以
同理可得，，得证
48．如图，在正中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，分别靠近点A，点B，且AE，CD交于点P.求证：BP⊥DC.
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【答案】证明见解析.
【分析】
设向量，化简得到，，进而得到
，求得，求得，即可求解.
【详解】
设，且的边长为，
则，
，
因为，所以，
所以，所以，解得，
所以，所以，
从而，
所以，所以.
49．已知为两个不共线的向量，若四边形满足，，.
(1)将用表示；
(2)证明：四边形为梯形．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
(1)利用平面向量线性运算直接求解可得结果；
(2)由可知且，由此证得结论.
【详解】
(1)；
(2)由(1)知：，又，，
且，
即在四边形中，且，四边形为梯形.
50．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC.
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【答案】证明见解析
【分析】
设=，=，=，=，=，根据向量加法得=+，=+，
计算2﹣2结合条件可得·=·，即可证明.
【详解】
设=，=，=，=，=，
则=+，=+，
所以2﹣2=(+)2-(+)2=2+2e·-2·-2，
由条件知：2=2﹣2+2，
所以·=·，即·(-)=0，
即，
所以AD⊥BC.
51．正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试求cos∠DOE的值.
【答案】
【分析】
以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，求出，利用向量关系即可求出.
【详解】
以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，
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由题意知：，
故.
52．有一艘在静水中速度为的船，现船沿与河岸成角的方向向河的上游行驶．由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设两岸平行，流速均匀．21·cn·jy·com
（1）设船相对于河岸和静水的速度分别为，，河水的流速为 km/h，求，，之间的关系式；【出处：21教育名师】
（2）求这条河河水的流速．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
根据题意作出图形，利用向量的加法运算以及直角三角形的边角关系即可求解.
【详解】
（1）如图，是垂直到达河对岸方向的速度，是与河岸与角的静水中的船速，则与的夹角为．
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由题意知，，，三条有向线段构成一个直角三角形，其中，，．由向量加法的三角形法则知，，即．
（2）∵，而，
∴这条河河水的流速为，方向顺着河岸向下．
53．在中，设BC、CA、AB的长度分别为，利用向量证明： .
【答案】证明见解析.
【分析】
不妨设，，，根据，可得，左右同时平方，化简整理，即可得证.
【详解】
证明：不妨设，，，如图所示：
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则有，即
所以，
又，
所以.
证毕.
54．在边长为的正三角形中，已知，，点是线段的中点，点在线段上，.
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（1）以为基底表示；
（2）求.
【答案】（1）；；（2）
【分析】
（1）根据平面向量的基本定理进而转化即可；
（2）利用平面向量的数量积，计算即可.
【详解】
（1）由题意，；
.
（2）由题意得，.
55．已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量＝（sin A，sin B），＝（cos B，cos A），且·＝sin 2C.2·1·c·n·j·y
（1）求角C的大小；
（2）若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·（－）＝18，求边c的长.
【答案】（1）；（2）6.
【分析】
（1）根据·＝sin 2C，利用正弦的倍角公式，即可求得cos，结合角度范围，即可求得；
（2）根据已知条件，利用正弦定理将角化边，结合·（－）＝18，由余弦定理，即可求得.
【详解】
（1）由已知得·＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)，
因为A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
所以·＝sin C，又·＝sin 2C，
所以sin 2C＝sin C，所以cos C＝.
又0＜C＜π，所以C＝.
（2）由已知及正弦定理得2c＝a＋b.
因为·(－)＝·＝18，
所以abcos C＝18，所以ab＝36.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，
所以c2＝36，所以c＝6.
【点睛】
本题考查平面向量和几何图形综合问题的处理，涉及正余弦定理解三角形，属综合基础题.
56．（1）已知向量，满足，，且，求的坐标．
（2）已知、、，判断并证明以，，为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角．21*cnjy*com
【答案】（1）或；（2）为直角三角形，为直角，证明见解析.
【分析】
（1）设，解方程组即可得解；
（2）根据即可得解.
【详解】
（1）设，则，又，所以，
联立，解得或．
于是或．
（2）是直角三角形，为直角．
证明如下：
∵，，
∴，
∴，即为直角三角形，为直角．
【点睛】
本题考查了向量的模长公式，考查了向量共线的坐标表示，考查了向量的坐标表示，考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题.
57．在中，，，，点，在边上且，.
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（1）若，求的长；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先设，，根据题意，求出，，再由向量模的计算公式，即可得出结果；
（2）先由题意，得到，，再由向量数量积的运算法则，以及题中条件，得到，即可求出结果.
【详解】
（1）设，，
则，，因此，
所以，
，
（2）因为，所以，
同理可得，，
所以
，
∴，即，
同除以可得，.
【点睛】
本题主要考查用向量的方法求线段长，考查由向量数量积求参数，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.
58．已知，判断由此四点构成的四边形的形状．
【答案】矩形
【分析】
根据可得四边形为平行四边形,再根据可得四边形为矩形.
【详解】
解：因为,,
所以,所以四边形是平行四边形．
因为,
所以,
所以,所以四边形是矩形．
因为,
所以四边形不是正方形．
综上,四边形是矩形．
【点睛】
本题主要考查了利用向量共线与垂直的应用,属于中等题型.
59．已知，，是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】（1）或 （2）
【分析】
（1）由向量共线的坐标运算及模的运算即可得解；
（2）由向量数量积的坐标运算即可，特别要注意向量与不能共线.
【详解】
解：（1）因为，且，
则，
又，所以，即，
故或；
（2）由，则，
由，解得，
又与不共线，则，解得，
故与的夹角为锐角时，实数的取值范围为：.
【点睛】
本题考查了向量共线的坐标运算及数量积的坐标运算，重点考查了运算能力，属基础题.
60．如图，在四边形中， ．
（1）若△为等边三角形，且， 是的中点，求；
（2）若， ， ，求．
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【答案】(1)11,(2)
【分析】
（1）直接利用向量的线性运算和数量积求出结果．
（2）利用向量的线性运算和向量的模求出结果．
【详解】
（1）因为△ABC为等边三角形，且AD∥BC，
所以∠DAB=120°．
又AD=2AB，所以AD=2BC，
因为E是CD的中点，
所以：=，
=．
又，
所以，
=．
=，
=11．
（2）因为AB=AC，AB=2，
所以：AC=2．
因为：，
所以：．
所以：．
又=4．
所以：．
所以：=．
故：．
【点睛】
本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的模的应用，属于基础题.
61．如图，已知正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证：
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（1）BE⊥CF;
（2）AP=AB.
【答案】（1）见试题解析；（2）见试题解析
【分析】
(1) 如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,则 A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1)，再求出和的坐标，再计算得=0即证
BE⊥CF.(2) 设P(x,y),再根据已知求出P，再求=4=，即证明AP=AB.
【详解】
如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,
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则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).
(1)=(1,2)-(2,0)=(-1,2),
=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),
∵=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,
∴,即BE⊥CF.
(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(-2,-1).
∵,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.
同理由,得y=-2x+4,代入x=2y-2,
解得x=,∴y=,即P.
∴=4=,
∴||=||,即AP=AB.
【点睛】
（1）本题主要考查向量的坐标表示和坐标运算，考查向量垂直和平行的坐标表示，考查模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）向量，则.21*cnjy*com
62．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE．
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【答案】见解析
【详解】
方法一 设，则，
又 ，
所以．
故，即AF⊥DE．
方法二 如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，
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则A（0，0），D（0，2），E（1，0），F（2，1），
所以．
所以，
所以，即AF⊥DE．
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