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第十二讲 平面向量在物理中的应用
【提升训练】
一、单选题
1．人骑自行车的速度是，风速为，则逆风行驶的速度为
A． B． C． D．
2．一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过h，则船实际航程为( )21cnjy.com
A．2 km B．6 km C．2 km D．8 km
3．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10N，方向与水平面成角.当小车向前运动10m时，则力F做的功为21·cn·jy·com
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A．100J B．50J
C． D．200J
4．已知两个力的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与的夹角为60°，那么的大小为
A． N B．5 N C．10 N D． N
5．一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8 km,则河水的流速为( )www.21-cn-jy.com
A．2 km/h B．2 km/h
C． km/h D．3 km/h
6．共点力作用在物体M上，产生位移，则共点力对物体做的功为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径， ，则
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A． B． C． D．
8．一质点受到平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态.已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为（ ）21·世纪*教育网
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A．6 B．2 C．8 D．
9．一条河的宽度为，一只船从处出发到河的正对岸处，船速为，水速为，则船行到处时，行驶速度的大小为（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
10．两个大小相等的共点力，当它们夹角为时，合力大小为，则当它们的夹角为时，合力大小为
A． B． C． D．
11．河中水流自西向东每小时10 km，小船自南岸A点出发，想要沿直线驶向正北岸的B点，并使它的实际速度达到每小时10 km，该小船行驶的方向和静水速度分别为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．西偏北30°，速度为20 km/h
B．北偏西30°，速度为20 km/h
C．西偏北30°，速度为20 km/h
D．北偏西30°，速度为20 km/h
12．一个物体受到同一平面内三个 ( http: / / www.21cnjy.com )力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°方向移动了8m，已知|F1|=2N，方向为北偏东30°，|F2| =4N，方向为北偏东60°，|F3| =6N，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为( )
A．24 J B．24J
C．24J D．24J
13．点是三角形所在平面内的一点，满足，则点是的
A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
二、填空题
14．一条河宽为800 m，一船从A处出 ( http: / / www.21cnjy.com )发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________ min.2-1-c-n-j-y
15．大小相等的三个力作用于同一点，欲使其合力为零，每两个力之间的角度大小均应为_______．
16．如图所示，小船被绳索拉向岸边 ( http: / / www.21cnjy.com )，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是_____.（写出所有正确答案的序号）21*cnjy*com
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①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变.
17．在平行四边形ABCD中，已知AD=1,AB=2,对角线BD=2，则对角线AC=_______.
18．一个重20 N的物体从倾斜角30°，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．
19．已知三个力F1=(3，4)，F2=(2，-5)，F3=(x，y)和合力F1+F2+F3=0，则F3的坐标为_____.
三、解答题
20．如图，已知一条河的两岸平行，河的宽度为d，某人从河的北岸出发到河对岸，河水自西向东流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在流水中实际速度为．【来源：21cnj*y.co*m】
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（1）如果要使此人游得路程最短，且，求此人游泳的方向与水流方向的夹角和的大小；
（2）如果要使此人游得时间最短，且，求他实际前进的方向与水流方向的夹角和的大小．
21．设作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，若，，且与的夹角为，如图所示．
（1）求的大小；
（2）求与的夹角．
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22．如图，在中，，，点在线段上，且.
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（1）求的长；
（2）求的大小.
23．如图所示，把一个物体放在倾角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知，求的大小.
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24．一架飞机从地向北偏西的方向飞行到达地，然后向地飞行.设C地恰好在地的南偏西，并且两地相距，求飞机从地到地的位移.21教育网
25．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知物体所受的重力大小为，求每条绳上的拉力大小.【出处：21教育名师】
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26．如图所示，把一个物体放在倾角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力.已知，求的大小.
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27．如图，已知河水自西向东流，流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在水中的实际速度为.
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（1）若此人朝正南方向游去，且，求他实际前进方向与水流方向的夹角和的大小；
（2）若此人实际前进方向与水流垂直，且=3m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角和的大小.
28．如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角.
（1）当多大时，船能垂直到达对岸？
（2）当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？
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29．长江某地南北两岸平行.如图所示，江面宽度，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向.回答下面的问题.21世纪教育网版权所有
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（1）当时，判断游船航行到达北岸的位置在的左侧还是右侧，并说明理由.
（2）当为多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？
30．如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有和的重物，现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为的物体，恰好使得系统处于平衡状态，求正数的取值范围. 2·1·c·n·j·y
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第十二讲 平面向量在物理中的应用
【提升训练】
一、单选题
1．人骑自行车的速度是，风速为，则逆风行驶的速度为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先明确速度是一个向量，然后可作图分析.
【详解】
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由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为.注意速度是有方向和大小的，是一个向量.
【点睛】
本题考查向量加法法则的应用，难度较易.物理学中常见的速度、加速度、位移等都可以称作向量或者矢量，可进行向量的加减法运算.2-1-c-n-j-y
2．一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过h，则船实际航程为( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．2 km B．6 km C．2 km D．8 km
【答案】B
【分析】
可先求船速与水速的合速度，再计算实际航程．
【详解】
设船的速度为，水的速度为，则船的实际航行速度为，于是有
=
=12
=
船实际航程为=6．答案B．
【点睛】
本题考查向量在实际生活中的应用，此问题含 ( http: / / www.21cnjy.com )有明显的物理意义，理解其物理含义并用向量进行表示是解题的关键．通常学科含义与数学的结合是解决跨学科问题关键，重点在于考查学生的转化能力与创新能力．
3．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10N，方向与水平面成角.当小车向前运动10m时，则力F做的功为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．100J B．50J
C． D．200J
【答案】B
【分析】
由题意，根据向量的数量积的定义，即可求解力作的功，得到答案．
【详解】
由题意，一力作用在小车上，其中力F的大小为10N，方向与水平面成角，且小车向前运动10m时，此时根据向量的数量积的定义，21世纪教育网版权所有
可得则力F做的功为，故选B．
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积在物 ( http: / / www.21cnjy.com )理学中的应用，其中解答中熟练向量的数量积的定义和数量积的含义是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
4．已知两个力的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与的夹角为60°，那么的大小为
A． N B．5 N C．10 N D． N
【答案】A
【解析】
由题意可知：对应向量如图，由于α=60°，∴的大小为|F合| sin60°=10×．故选A．
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5．一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8 km,则河水的流速为( )
A．2 km/h B．2 km/h
C． km/h D．3 km/h
【答案】A
【解析】
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如图，船在A处，AB＝4，实际航程为AC＝8，则∠BCA＝30°，，，∴，故选A．
6．共点力作用在物体M上，产生位移，则共点力对物体做的功为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据题意得：共点力的合力是
对物体做的功为
故选
7．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径， ，则
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
本题考查向量加法和减法的平行四边形分法则或三角形法则,向量的数量积.
因为圆半径为1是直径，所以根据向量加法和减法法则知：；又是直径，所以则
故选 B
8．一质点受到平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态.已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6 B．2 C．8 D．
【答案】D
【分析】
根据向量的合成法则以及向量的模长公式，进行计算即可.
【详解】
根据题意，得
，
的大小为.
故选：D.
【点睛】
本题考查了平面向量的应用问题，平面向量的合成法则与向量的模长公式，考查了理解辨析能力和数学运算能力，属于基础题.
9．一条河的宽度为，一只船从处出发到河的正对岸处，船速为，水速为，则船行到处时，行驶速度的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由平行四边形法则和直角三角形的知识，即可得到船行驶的速度大小，得到答案.
【详解】
如图所示，由平行四边形法则和解直角三角形的知识，
可得船行驶的速度大小为.
故选：D.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了向量在物理中的应用，其中解答 ( http: / / www.21cnjy.com )中理解向量的在实际中的应用，熟练应用向量的加法法则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
10．两个大小相等的共点力，当它们夹角为时，合力大小为，则当它们的夹角为时，合力大小为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
当它们夹角为时，结合平行四边形法则可知，，当和的夹角为时，结合平行四边形法则，可求出.
【详解】
设合力为，
由平行四边形法则可知，，
当和的夹角为时，由平行四边形法则，，
故选:B.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了向量加法的平行四边形法则的应用，属于基础题.
11．河中水流自西向东每小时10 km，小船自南岸A点出发，想要沿直线驶向正北岸的B点，并使它的实际速度达到每小时10 km，该小船行驶的方向和静水速度分别为( )www.21-cn-jy.com
A．西偏北30°，速度为20 km/h
B．北偏西30°，速度为20 km/h
C．西偏北30°，速度为20 km/h
D．北偏西30°，速度为20 km/h
【答案】B
【解析】
【详解】
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方向为北偏西30°，选B
12．一个物体受到同一平面内 ( http: / / www.21cnjy.com )三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°方向移动了8m，已知|F1|=2N，方向为北偏东30°，|F2| =4N，方向为北偏东60°，|F3| =6N，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为( )
A．24 J B．24J
C．24J D．24J
【答案】D
【解析】
如图，建立直角坐标系，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则F1=(1，)，F2=(2，2)，F3=(-3，3)，
则F= F1+ F2+ F3=(2-2，2+4).
又位移s=(4，4)，
故合力F所做的功为W=F·s=(2-2)×4+(2+4)×4=4×6=24(J). 选D.
13．点是三角形所在平面内的一点，满足，则点是的
A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
【答案】D
【详解】
，，即，，同理可以得到，点是的三条高的交点，故选
点睛：在三角形,若是的垂心（即三边高线的交点），则满足，反之成立；若是的重心（即三边中线的交点），则满足,反之成立．
二、填空题
14．一条河宽为800 m，一船从A处 ( http: / / www.21cnjy.com )出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________ min.【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】3
【分析】
由题得v实际＝v1＋v2，求出|v实际|=16,即得解.
【详解】
∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，
|v1|＝20 km/h，|v2|＝12 km/h，
∴|v实际|＝＝＝16(km/h).
∴所需时间t＝＝0.05(h)＝3(min).
∴该船到达B处所需的时间为3 min.
故答案为：3
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【点睛】
关键点睛：解答本题的关键在于求出|v实际|.
15．大小相等的三个力作用于同一点，欲使其合力为零，每两个力之间的角度大小均应为_______．
【答案】
【分析】
由题意，三边作用于一点处于平衡状态， ( http: / / www.21cnjy.com )则F1与F2的合力的大小与F3的大小相同，且方向相反，由此根据三力的大小相等得出夹角的大小即为F1与F2夹角的大小的一半.【出处：21教育名师】
【详解】
解：由题意平面上三个大小相等的力F1、F ( http: / / www.21cnjy.com )2、F3作用于一点且处于平衡状态，则F1与F2的合力与F3是一对反作用力令其为F4，如图，四边形ABCD是一个菱形，
又三个大小相等的力F1、F2、F3，
故△ABC是正三角形
∴∠BAC＝60°
可得∠BAD＝120°
即F1与F2夹角的大小为120°
故答案为120°
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【点睛】
本题考查向量的加法及其几何意义，解题的关键是根据其物理意义作出符合题设条件的图形，由图形得出两向量的夹角．21*cnjy*com
16．如图所示，小船被绳索 ( http: / / www.21cnjy.com )拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是_____.（写出所有正确答案的序号）
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①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变.
【答案】①③
【分析】
小船匀速直线运动，处于平衡状态，结合物理知识可知小船水平方向和竖直方向所受合力大小为0，结合平面向量知识列出式子可选出答案.
【详解】
设水的阻力为，绳的拉力为，与水平方向夹角为，则，
∴.∵增大，∴减小，∴增大.∵增大，∴船的浮力减小.
故答案为：①③
【点睛】
本题考查了平面向量在物理中的应用，考查了学生分析问题与解决问题的能力，属于基础题.
17．在平行四边形ABCD中，已知AD=1,AB=2,对角线BD=2，则对角线AC=_______.
【答案】
【详解】
在中, AD=1,AB=2,对角线BD=2，由余弦定理可得, ,在中, ,
故对角线AC=,应填.
18．一个重20 N的物体从倾斜角30°，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．
【答案】10 J
【解析】
由力的正交分解知识可知沿斜面下滑的分力大小
|F|＝×20 N＝10 N，
∴W＝|F|·|s|＝10 J.
或由斜面高为m，W＝|G|·h＝20×J＝10 J.
答案为10 J
19．已知三个力F1=(3，4)，F2=(2，-5)，F3=(x，y)和合力F1+F2+F3=0，则F3的坐标为_____.
【答案】(-5，1)
【解析】
因为F1=(3，4)，F2=(2，-5)，F3=(x，y)，
所以F1+F2+F3=(3，4)+(2，-5)+(x，y)=0，
所以(3+2+x，4-5+y)=0，
所以解得x=-5，y=1.
所以F3的坐标为(-5，1).
三、解答题
20．如图，已知一条河的两岸平行，河的宽度为d，某人从河的北岸出发到河对岸，河水自西向东流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在流水中实际速度为．21·cn·jy·com
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（1）如果要使此人游得路程最短，且，求此人游泳的方向与水流方向的夹角和的大小；
（2）如果要使此人游得时间最短，且，求他实际前进的方向与水流方向的夹角和的大小．
【答案】（1），;(2) ,.
【分析】
（1）根据题意，只需此人的游泳速度和水流的速度的和速度与对岸垂直即可，进而求解；
（2）根据题意，要使时间最短，则只需游泳距离与合速度的比值最小，进而得当此人垂直于对岸游泳时，用时最短，进而求得答案.
【详解】
解：（1）如果要使此人游得路程最短，
只需此人的游泳速度和水流的速度的和速度与对岸垂直，如图，
此人游泳的方向与水流方向的夹角，
此时，.
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（2）如图2，设与的夹角为，与的夹角为，实际游泳的距离为，
所以，，所以，
故当与的夹角为时，此人游泳到对岸用时最短，
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如图3，当，由于，
故，此时，
所以.
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【点睛】
本题考查向量在物理上的应用，考查运算求解能力与数学建模思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据几何关系得到实际游泳的距离为与的比值的最小值，进而得当与的夹角为时，此人游泳到对岸用时最短.21教育网
21．设作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，若，，且与的夹角为，如图所示．
（1）求的大小；
（2）求与的夹角．
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【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由题意，利用平方，再开方的方法，即可求的大小；
（2）由，可得，从而可求，的大小．
【详解】
解：（1）由题意
，，且与的夹角为，
（2），
，
，
，
，．
【点睛】
本题考查向量知识的运用，考查向量的模、夹角的计算，属于中档题．
22．如图，在中，，，点在线段上，且.
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（1）求的长；
（2）求的大小.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用和表示，然后利用平面向量数量积的运算律可计算出的长；
（2）利用平面向量数量积计算出的值，即可得出的值.
【详解】
（1）设，，
则，
，
故；
（2）设，则为向量与的夹角.
，，即.
【点睛】
本题考查利用平面向量的数量积求模和夹角，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.21cnjy.com
23．如图所示，把一个物体放在倾角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知，求的大小.
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【答案】的大小为60N，的大小为.
【分析】
作出力的分解示意图，根据受力平衡以及解直角三角形，求得的大小.
【详解】
依题意，作出力的分解示意图.
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在矩形OABC中，，
，
.
即的大小为60N，的大小为.
【点睛】
本小题主要考查向量在物理上的应用，属于基础题.
24．一架飞机从地向北偏西的方向飞行到达地，然后向地飞行.设C地恰好在地的南偏西，并且两地相距，求飞机从地到地的位移.
【答案】飞机从B地到C地的位移大小是，方向是南偏西.
【分析】
画图，设A在东西基线和南北基线的交点处.由题意可知，过点B作东西基线的垂线，交于D，可知为等边三角形，，，再求解，即可.
【详解】
如图，
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设A在东西基线和南北基线的交点处.
依题意，的方向是北偏西，，
的方向是南偏西，，
所以.
过点B作东西基线的垂线，交于D，
则为正三角形，
所以，
.
所以.
，.
答：飞机从B地到C地的位移大小是，方向是南偏西.
【点睛】
本题考查向量的模长，作辅助线是解决本题的关键.属于中档题.
25．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知物体所受的重力大小为，求每条绳上的拉力大小.
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【答案】每条绳上的拉力为
【分析】
由题意可知是重力的相反向量，则，再根据向量加法的平行四边形法则，可知，求解，即可.
【详解】
因为物体处于平衡状态，所以是重力的相反向量，因此.
又由图与向量加法的平行四边形法则可知，的方向是竖直向上的，且
，
所以.
因此，每条绳上的拉力为.
【点睛】
本题考查向量加法的平行四边形法则，属于中档题.
26．如图所示，把一个物体放在倾角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力.已知，求的大小.
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【答案】50，
【分析】
建立平面直角坐标系, 则，，，根据，求解即可.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，
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则，.
又由已知可得，
且，所以，
从而可知50，.
【点睛】
本题考查向量的坐标运算，建立适当的平面直角坐标系，是解决本题的关键.属于中档题.
27．如图，已知河水自西向东流，流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在水中的实际速度为.
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（1）若此人朝正南方向游去，且，求他实际前进方向与水流方向的夹角和的大小；
（2）若此人实际前进方向与水流垂直，且=3m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角和的大小.
【答案】（1）此人实际前进方向与水流方向的夹角为60°，的大小为2m/s（2）此人游泳的方向与水流方向的夹角为120°，的大小为2m/s2·1·c·n·j·y
【分析】
(1)依题意四边形OACB为矩形,利用勾股定理可求得,,
(2) 由题意知，且，，在中,可求得.
【详解】
解析设，，，由题意可知，，
根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形
（1）当此人朝正南方向游去时，四边形OACB为矩形，且，如图所示.
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则在中，，，又，所以.故此人实际前进方向与水流方向的夹角为60°，的大小为2m/s.
（2）由题意知，且，，如图所示.
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则在中，.
，，所以，
则，
故此人游泳的方向与水流方向的夹角为120°，的大小为2m/s.
【点睛】
本题考查了向量加法的平行四边形法则,属于基础题.
28．如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角.
（1）当多大时，船能垂直到达对岸？
（2）当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？
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【答案】（1）；（2）当时，船的航行时间最短，而当船垂直到达对岸，所需时间并不是最短.
【分析】
（1）垂直时根据和向量与分向量的位置关系，利用数量积公式求解的值；（2）根据 “时间等于垂直到达对岸时相应的路程与速度的比值”以及三角函数有界性确定时间最小值，然后再进行判断.
【详解】
（1）船垂直到达对岸，即与垂直，即.
所以，即.
所以，解得.
（2）设船航行到对岸所需的时间为，
则.
故当时，船的航行时间最短，而当船垂直到达对岸，所需时间并不是最短.
【点睛】
本题考查行船过河问题中向量问题，难度一般.对实际问题中的垂直问题也要敏感，可以借助数量积的计算完成求解.www-2-1-cnjy-com
29．长江某地南北两岸平行.如图所示，江面宽度，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向.回答下面的问题.【版权所有：21教育】
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（1）当时，判断游船航行到达北岸的位置在的左侧还是右侧，并说明理由.
（2）当为多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？
【答案】（1）左侧，理由见解析 （2）；
【分析】
（1）先计算出，也即合速度的大小，然后利用向量夹角的计算公式，计算得，由此判断出游船航行到达北岸的位置在的左侧.21教育名师原创作品
（2）先求得与合速度方向的夹角的正弦值，利用诱导公式求得，此时游船能到达处.利用路程除以，求得需要航行的时间.21*cnjy*com
【详解】
（1）左侧，理由如下：
，
由，得
.
.
由，得.
∵游船航行到达北岸的位置在点的左侧（如图（1））
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（2）如图（2），要使游船航行到达北岸的处，必须.
，
.
需要航行的时间.
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【点睛】
本小题主要考查利用向量解决实际应用问题，考查向量模、夹角和数量积的运算，属于中档题.
30．如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有和的重物，现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为的物体，恰好使得系统处于平衡状态，求正数的取值范围.
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【答案】
【分析】
建立坐标系，设出坐标，把平衡关系转化为向量关系，然后根据三角的相关公式整理出正数关于角的函数，再进行恒等变换求出参数的取值范围.21·世纪*教育网
【详解】
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如图建立坐标系，记OB、OA与轴的正半轴的夹角
分别为，则由三角函数定义得，
，
由于系统处于平衡状态，∴
∴ ，
【方法一】
移项，（1）、（2）平方相加得：，
即 ，
而存在正数使得系统平衡，∴△＝，
∴.（因滑轮大小忽略，写成亦可，
不扣分．这时均为0）
由（*）解得，由（2）式知
∴，这是关于的增函数，
∴正数的取值范围为 .
【方法二】
（1）、（2）平方相加得：，
由（1）知，，而
∴ 随单调递增，∴
（这里的锐角满足，此时）
且（写成不扣分，这时均为0）
∴从而，
∴，即，
∴, ∴正数的取值范围为.
【点睛】
本题考查平面向量的正交分解及坐标表示，考查了 ( http: / / www.21cnjy.com )有实际物理背景的向量之间的运算，利用向量加法的法则建立起相关的方程，然后求出参数，用向量法求解物理问题是向量的一个重要运用.
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