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第十二讲 平面向量在物理中的应用
【基础训练】
一、单选题
1．已知三个力F1＝(－ ( http: / / www.21cnjy.com )2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(7，－3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于（ ）2-1-c-n-j-y
A．(－2，－2) B．(2，－2)
C．(－1,2) D．(－2,2)
【答案】D
【分析】
根据向量加法运算坐标表示公式，结合相反向量的定义进行求解即可.
【详解】
因为F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(7，－3)，
所以F1F2F3，要想使该物体保持平衡，
只需F4 ，
故选：D
2．某人顺风匀速行走速度大小为，方向与风向相同，此时风速大小为，则此人实际感到的风速为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据向量的运算法则及速度的合成，即可求解.
【详解】
由题意，某人顺风匀速行走速度大小为，方向与风向相同，此时风速大小为，
根据向量的运算法则，可得此人实际感到的风速为.
故选：A.
3．一质点受到平面上的三个力F1，F2， ( http: / / www.21cnjy.com )F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（ ）【出处：21教育名师】
A．6 B．2 C．2 D．2
【答案】C
【分析】
根据向量的合成法则以及向量的模长公式，进行计算即可．
【详解】
由题意知F3＝－(F1＋F2)，
所以
∴|F3|＝2.
故选：C.
4．河水的流速为，一艘小船想沿垂直于河岸方向以的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即静水速度斜向上游方向，河水速度平行于河岸，静水速度与河水速度的合速度指向对岸，由此能求出静水速度．
【详解】
设河水的流速，
静水速度与河水速度的合速度，
小船的静水速度为，
为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，
即静水速度斜向上游方向，
河水速度平行于河岸，
静水速度与河水速度的合速度指向对岸，
所以静水速度13（m/s）．
故选：A.
5．已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是（ ）
A．(8,0) B．(9,1)
C．(－1,9) D．(3,1)
【答案】B
【分析】
根据题意，求得，设合力的终点坐标为，根据，即可求解.
【详解】
由题意，三个力，
因为，
设合力的终点坐标为，
因为且，所以，解得，
即合力的终点坐标为.
故选：B.
6．已知一条两岸平行的河流河 ( http: / / www.21cnjy.com )水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ）21*cnjy*com
A．10 m/s B． m/s
C．m/s D．12 m/s
【答案】B
【分析】
根据题意，得到，结合向量的运算，即可求解.
【详解】
设河水的流速为，小船在静水中的速度为，船的实际速度为，
则，所以，
所以，即小船在静水中的速度大小为.
故选：B.
7．人骑自行车的速度是，风速为，则逆风行驶的速度为（ ）
A．－ B．－
C．＋ D．||－||
【答案】C
【分析】
因为速度是既有大小又有方向的量，由向量的加法法则即可得出结果.
【详解】
因为速度是既有大小又有方向的量，
所以由向量的加法法则可知，逆风行驶的速度为＋.
故选：C
8．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC中点，则cos ∠BDC＝（ ）
A．－ B．
C．0 D．
【答案】B
【分析】
在Rt△ABC中利用勾股定理求AC，即可确定BD、AD，进而应用余弦定理根据相应边求出对应角的余弦值.
【详解】
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC中点
∴，BD＝AD＝CD＝5
在△BDC中，利用余弦定理
故选：B.
9．若向量，分别表示两个力，则为（ ）
A．(5，0) B．(－5，0)
C． D．
【答案】C
【分析】
求出的坐标后可求模.
【详解】
，故，
故选：C.
10．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量(即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位).设开始时点P的坐标为，则5秒后点P的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据向量坐标的意义求解.
【详解】
设，5秒后P点的坐标为，则，
由题意有.
即
所以解得
故选: C
11．已知作用在坐标原点的三个力， ，，则作用在原点的合力 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意，根据向量的坐标运算法则，即可求得的坐标，得到答案.
【详解】
由题意，作用在坐标原点的三个力，，，
则，即的坐标为.
故选：A.
12．一质点在力＝(﹣3，5)，＝(2，﹣3)的共同作用下，由点A(10，﹣5)移动到B(-4，0)，则，的合力F对该质点所做的功为（ ）
A．24 B．﹣24 C．110 D．﹣110
【答案】A
【分析】
先求出，的合力F的坐标、的坐标，再求出由共点力平衡得合力对该质点所做的功.
【详解】
由题意可知，，的合力=+=(﹣3，5)+(2，﹣3)=(﹣1，2)，，
则由共点力平衡得合力对该质点所做的功为.
故选：A.
13．已知三个力，，同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，需再加上一个力，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
如果物体保持平衡，那么所受合力为，根据已知三个力，计算可得。
【详解】
由物理知识，知物体平衡，则所受合力为，所以，故.
故选：D
【点睛】
本题考查由物体受力平衡求向量，是基础题。
14．在静水中划船的速度是每分 ( http: / / www.21cnjy.com )钟40m,水流的速度是每分钟20m,如果船从岸边A处出发,沿着与水流垂直的航线到达对岸,那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设水流速度与船速的合速度为v,方向指向对岸.求得,即得解.
【详解】
设水流速度与船速的合速度为v,方向指向对岸.
由题意知,,
又,所以.
故选：C
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【点睛】
本题主要考查平面向量的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．作用于原点的两个力，，为使它们平衡需要增加力，则力的大小为
A． B． C．5 D．25
【答案】C
【分析】
由题意可知，先求力坐标，再求模．
【详解】
解：由题意有，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了向量在物理中的应用，考查了向量的坐标运算，考查了根据坐标求向量的模，属于基础题．
16．两个大小相等的共点力,当它们的夹角为90°时,合力大小为20N,当它们的夹角为120°时,合力大小为21世纪教育网版权所有
A．40N B． C． D．
【答案】B
【分析】
作出示意图，根据向量加法的平行四边形法则求出两个力的大小，再求合力．
【详解】
解：如图，以为邻边作平行四边形，为这两个力的合力．
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由题意，易知，∴，
当它们的夹角为120°时，以为邻边作平行四边形，
此平行四边形为菱形，此时合力的大小，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查向量加法的平行四边形法则，属于基础题．
17．设表示“向东走”，表示“向西走”，则下列说法正确的是（ ）
A．表示“向东走” B．表示“向西走
C．表示“向东走” D．表示“向西走”
【答案】D
【分析】
利用向量的加法则，可得的方向与同向，故可得答案.
【详解】
因为表示“向东走”，表示“向西走”，两个向量方向相反，
因为，所以与同向，且的模为5，
所以表示“向西走”.
故选：D.
【点睛】
本题考查共线向量的加法运算，考查平面向量的实际运用，属于基础题.
18．某人在静水中游泳的速度为km/h，水流的速度为4km/h他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为（ ）
A．90° B．30° C．45° D．60°
【答案】D
【分析】
作图，用表示水速，表示该人垂直游向对岸的速度，求的大小即得解.
【详解】
如图，用表示水速，表示该人垂直游向对岸的速度，
则实际前进方向与河岸的夹角为.
，
所以.
故选：D.
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【点睛】
本题主要考查平面向量的物理应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．已知作用在点A的三个力，，，且，则合力的终点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求出，再设终点为，由求出的值即得解.
【详解】
，
设终点为，则，
所以，所以，
所以终点坐标为.
【点睛】
本题主要考查平面向量的坐标和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20．已知四点的坐标分别是，则四边形为
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
【答案】A
【分析】
根据坐标写出，判断的关系即可说明四边形的形状。
【详解】
由题意知，，所以，又因，所以四边形为梯形.
故选A
【点睛】
本题考查向量平行，属于基础题。
21．某人在静水中游泳的速度为，水流的速度为，他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与水流方向的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
用表示水速，用表示某人沿着垂直于岸的方向前进的速度，则他实际前进的方向与水流方向的夹角为，求出即可.
【详解】
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如图，用表示水速，用表示某人沿着垂直于岸的方向前进的速度，
则他实际前进的方向与水流方向的夹角为
因为，所以
故选：B
22．关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（ ）
A．船垂直到达对岸所用时间最少
B．当船速v的方向与河垂直时用时最少
C．沿任意直线运动到达对岸的时间都一样
D．以上说法都不正确
【答案】B
【分析】
根据向量将船速v分解，当v垂直河岸时，用时最少.
【详解】
设船在静水中的速度为，水速度为，船实际速度为，两崖位移为
A选项：船垂直到达对岸时，，所用时间；
B选项：当船速v的方向与河垂直时，
因为 ，则当船速v的方向与河垂直时用时少，
根据向量将船速v分解，当v垂直河岸时，用时最少.
故选：B
23．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1km，水的流速为2，若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6min，则客船在静水中的速度为（ ）
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A． B．8
C． D．10
【答案】A
【分析】
设静水中的速度为，水流速度为，合速度，将正交分解为，由已知条件知，，进而求，即得，则可求.
【详解】
设客船在静水中的速度大小为，水流速度为，则，
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则船实际航行的速度，，由题意得.
把船在静水中的速度正交分解为，即，
∵ km/h，而与同向，即，
∴
∴.
故选：A.
24．已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态.若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．100 B． C．50 D．
【答案】D
【分析】
利用向量的平行四边形法则求解即可
【详解】
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如图，两条绳子提起一个物体处于平衡状态，不妨设，
根据向量的平行四边形法则，
故选：D
25．已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为20N，合力与的夹角为，那么的大小为（ ）
A． B．10 C．20 D．
【答案】A
【分析】
根据向量加法的平行四边形法则可求得结果.
【详解】
设，的对应向量分别为、，
以、为邻边作平行四边形如图，
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则，对应力，的合力
，的夹角为，四边形是矩形，
在中，，，
.
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：利用向量加法的平行四边形法则求解是解题关键.
26．长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，设和所成角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则等于（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意知由向量数量积的定义可得选项.
【详解】
由题意知有即所以，
故选：B．
【点睛】
本题考查向量的实际应用，关键在于理解向量的数量积的意义和熟练掌握向量数量积的定义，属于基础题.
27．人骑自行车的速度是，风速为，则逆风行驶的速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据向量的加法法则，即可得到逆风行驶的速度，得到答案.
【详解】
由题意，根据向量的加法法则，可得逆风行驶的速度为，注意速度是有方向和大小的，是一个向量.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了向量在物理中的应用，其中解 ( http: / / www.21cnjy.com )答中理解向量的在实际中的应用，熟练应用向量的加法法则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.【版权所有：21教育】
28．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向，游船正好到达处时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
用向量表示速度,根据向量的平行四边形法则，由题意可得，即可求解.
【详解】
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设船的实际速度为,和的夹角为，
北岸的点在的正北方向,游船正好到达处,则，
∴.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查平面向量在物理中的应用问题，解题关键是根据向量的平行四边形法则及物理性质求解，考查数形结合思想和转化思想，属于基础题.
29．新安江某段南北两岸平行，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，游船正好抵达处时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
用向量表示速度，由题意可得，即可求出．
【详解】
解：设船的实际速度为，和的夹角为，
北岸的点在的正北方向，游船正好到达处，则，
故选：．
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【点睛】
本题考查了平面向量的实际应用和解三角形，属于基础题．
30．一条河的两岸平行,河水从西向东流去,一艘船从河的南岸某处出发驶向北岸,已知船的速度的大小为,水流速度的大小为,要使该船行驶的航程最短,则船速的方向与河的南岸上游的夹角为
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【分析】
设船的实际速度为,则,再根据使该船行驶的航程最短时进行运算即可.
【详解】
设船的实际速度为,则,记与的夹角为,要使船行驶的航程最短,则,所以,得,所以船速的方向与河的南岸上游的夹角为60°.
故选: C.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的实际运用,属于基础题型.
31．某人在无风条件下骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据向量的线性运算，逐项判断，即可得出结果．
【详解】
选项A，B表示的是向量（速度），选项C，D表示的是向量模的运算（速度的大小），表示的是某人骑自行车顺风行驶时的速度大小，表示的是某人骑自行车逆风行驶时的速度大小．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查向量的应用，熟记向量的线性运算法则即可，属于常考题型．
32．长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输如图所示，一艘船从长江南岸点出发，以的速度沿方向行驶，到达对岸点，且与江岸垂直，同时江水的速度为向东 则船实际航行的速度为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
构造矢量图来解.
【详解】
由题意画出矢量图如下：
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为船速及航行方向，， 为水速及方向，为实际航行速度及方向，
由此.
故选：C.
【点睛】
考查向量的运算和向量的实际应用.难度较易.
33．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40m/s，则鹰的飞行速度为21教育网
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
画出示意图，根据直角三角形进行分析.
【详解】
如图，，且，则.
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故选:C
【点睛】
本题考查向量中速度的分解，难度较易.利用三角形法则或者平行四边形法则计算的时，可根据是否是特殊的三角形或者平行四边形去计算.21cnjy.com
34．用两条成角的等长的绳子悬挂一个灯箱，如图2-5-4，已知灯箱重10N，当每根绳子的拉力的大小为10N时，等于21·世纪*教育网
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A．60° B．90° C．150° D．120°
【答案】D
【分析】
画出示意图，利用力的大小去分析四边形形状，然后得出结论.
【详解】
由向量加法的平行四边形法则及天绳子等长，得平行四边形为菱形，如图，由，得，则.
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故选:D
【点睛】
本题考查向量中的力的夹角问题，难度较易.考虑夹角时，最方便的方法还是利用图形本身的特点，看是否属于特殊图形，然后再考虑计算夹角.
35．用力F推动一物体G，使其沿水平方向运动，力与竖直方向的夹角为，则力对物体G所做的功为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
画出示意图，进行力的分解，考虑水平方向的力做功大小.
【详解】
如图所示，由做功公式可得所做的功为，
故选D.
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【点睛】
本题考查力的分解与力的做功问题，难度较易.关键是对力进行正确分解.
36．在平面直角坐标系中，一个质点M在三个力共同的作用下，从点移动到点（坐标的长度单位：），若以轴正向上的单位向量及轴正向上的单位向量表示各自方向上的力，则有，则的合力对质点M所做的功是
A．6000J B．1500J C． D．
【答案】B
【分析】
将质点所受的合力以及质点的位移均用坐标表示，然后利用数量积计算公式计算即可.
【详解】
依题意，的合力为，
所以所做的功.
故选:B
【点睛】
本题考查向量中的力、位置的坐标表示，难度较易.只要是向量，即可以将其表示成坐标的形式，也能完成相应的坐标运算.【来源：21·世纪·教育·网】
37．一艘船从某河的一岸驶向另一岸，船速为、水速为，已知船可垂直到达对岸，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
画出示意图，根据平行四边形法则以及垂直关系确定船速与水速的大小.
【详解】
如图，设，由图知，又，，即.
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故选:B
【点睛】
本题考查向量中的速度问题，难度较易.抓住平行四变形法则中的垂直关系，利用直角三角形来判断边长大小.
38．在四边形中，若，则四边形为
A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形
【答案】D
【分析】
根据条件得到：与的位置和长度关系，再根据得到对角线的位置关系，从而判定四边形形状.
【详解】
因为，所以，所以四边形为平行四边形；又因为，所以，所以四边形是菱形.选D.
【点睛】
本题考查运用向量之间的关系证明几何图形的形状，难度较易.注意：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
39．如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为21教育名师原创作品
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据平行四边形法则作出向量的图示，然后根据和向量模长是重力去计算两个绳子的拉力.
【详解】
作，使.在中，，，，.选C.
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【点睛】
本题考查向量实际问题中力的分解问题，难度较易.处理物理学中合力的问题，关键是通过平行四边形法则将问题转化为向量模长的计算.
40．已知作用在点的三个力，且，则合力的终点坐标为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意，，设合力的终点为，为坐标原点，，可求出答案.
【详解】
，设合力的终点为，
为坐标原点，则，
故选:A.
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标表示及坐标运算，属于基础题.
二、填空题
41．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且，则________.
【答案】
【分析】
根据求得，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】
由题意，圆的半径为，且，可得，
所以.
故答案为：.
42．如图，作用于同一点O的三个力处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为________．www.21-cn-jy.com
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【答案】
【分析】
先根据三力平衡，得到，再由向量模的计算公式，即可得出结果．
【详解】
解：因为三个力处于平衡状态，所以，所以，
所以,
故答案为：.
43．在中，若，，则_____.
【答案】
【分析】
由题知是等腰直角三角形，故，，再根据数量积定义计算即可.
【详解】
由，，知是等腰直角三角形，
∴，，
∴.
故答案为：.
44．小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________ km/h.
【答案】20
【分析】
根据题意小船实际航行速度，，构建模长关系，解得即可.
【详解】
如图，设小船实际航行速度为，则，设船在静水中的速度为km/h，河水的流速为 km/h，
( http: / / www.21cnjy.com / )
因为，所以，得(10)2＋102，
所以km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.
故答案为：20.
45．已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E，F分别为BC，CD的中点，则___________.
【答案】
【分析】
以A为坐标原点O，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,利用向量的数量积的坐标表示求解.
【详解】
如图，以A为坐标原点O，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
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则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)，C(2，1).
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴，F(1，1)，
.
故答案为：
46．一物体在力，，的共同作用下从点A(1，1)移动到点B(0，5).在这个过程中三个力的合力所做的功为________.2·1·c·n·j·y
【答案】
【分析】
由题意得合力，再结合做功公式求解即可.
【详解】
∵，，，
∴合力
又∵ ＝(0－1，5－1)＝(－1，4)，
∴＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，
即三个力的合力做的功等于－40.
故答案为：
三、解答题
47．已知作用在原点上的三个力，，，求这些力的合力的坐标．
【答案】
【分析】
利用求解.
【详解】
根据力的合成的意义，可知
，，，，．
故合力的坐标为．
48．已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点.
（1）求力、分别对质点所做的功；
（2）求力、的合力对质点所做的功.
【答案】（1）力对质点所做的功为，力对质点所做的功为；（2）.
【分析】
（1）计算出向量的坐标，然后分别计算出和，即可得出结果；
（2）将和相加即可得出力、的合力对质点所做的功.
【详解】
（1），
力对质点所做的功，
力对质点所做的功，
所以，力、对质点所做的功分别为和.
（2）.
【点睛】
本题考查平面向量数量积在物理中的应用，考查平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.
49．在风速为的西风中,飞机以的航速向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向.
【答案】航速为,航向为西偏北30°
【分析】
设向量表示风速，表示无风时飞机的航行速度，表示有风时飞机的航行速度，作出示意图，根据向量加法的平行四边形法则、解三角形知识求解即可．21·cn·jy·com
【详解】
解：设向量表示风速，表示无风时飞机的航行速度，表示有风时飞机的航行速度，则．
如图，作向量，则四边形为平行四边形，
( http: / / www.21cnjy.com / )
过C，B分别作的垂线，交的延长线于D，E两点，
由已知得，，
在中，，，
又，
∴在中，，，
∴，
故没有风时飞机的航速为，航向为西偏北30°．
【点睛】
本题主要考查向量法解决实际问题，以及余弦定理和正弦定理，已知三角函数值求角，向量加法的平行四边形法则，属于基础题．
50．已知作用在坐标原点的三个力对应向量分别为，求作用在原点的合力的坐标.
【答案】
【分析】
根据向量加法的坐标运算即可.
【详解】
解：.
【点睛】
此题考查力的合成，根据向量加法关系求解.
51．雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4m/s，现在有风，风使雨滴以m/s的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向.
【答案】雨滴着地时的速度大小是m/s，方向向东且与竖直方向成30°角.
【分析】
作出示意图，根据向量加法的平行四边形法则以及锐角三角函数即可得出结论．
【详解】
解：如图，
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用表示无风时雨滴下落的速度，表示风使雨滴水平向东的速度，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，就是雨滴下落的实际速度.在Rt△OAC中，，，所以，所以，
所以.
故雨滴着地时的速度大小是m/s，方向向东且与竖直方向成30°角.
【点睛】
本题主要考查平面向量加法的平行四边形法则及其几何意义，属于基础题．
52．某人在静水中游泳，速度为千米/时，现在他在水流速度为4千米/时的河中游泳.
（1）若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
【答案】（1）沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/时 （2）沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为游，实际前进的速度大小为千米/时
【分析】
作出示意图，再根据向量加法与减法的三角形法则和锐角三角函数的定义即可得出答案．
【详解】
解：（1）如图，设此人游泳的速度为，水流的速度为，
以OA，OB为邻边作QACB，则此人的实际速度为，
由勾股定理知，且在中，∠COA=60°，
故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/时；
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（2）如图，设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为，
在Rt△AOD中，，，则，，
( http: / / www.21cnjy.com / )
故此人沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为游，实际前进的速度大小为千米/时．
【点睛】
本题主要考查平面向量的加法与减法的实际应用，属于基础题．
53．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小.www-2-1-cnjy-com
【答案】合速度的方向与水流的方向成150°的角. 小船航行速度的大小为.
【分析】
作出图形，利用解直角三角形以及余弦定理可得结果．
【详解】
解：如图
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
，
∴合速度的方向与水流的方向成150°的角.
设小货船的速度为，水流速度为，合速度为，则，
∴小船航行速度的大小为.
【点睛】
本题是小船渡河问题，关键是运用运动的合成与分解做出速度分解或合成图，是基础题。
54．飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行1 ( http: / / www.21cnjy.com )400km到达乙地，再从乙地沿南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地，画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？
【答案】图见解析，北偏东45°方向，距甲地1400km.
【分析】
作出方位示意图，构造等腰三角形，解这个三角形即可得出答案
【详解】
如图，丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400km.
( http: / / www.21cnjy.com / )
设甲地为，乙地为，丙地为，作出示意图，
则，，，
，
是等边三角形，
，，
，
即丙地在甲地北偏东，丙地距甲地.
【点睛】
本题考查了解三角形的实际应用，画出草图是关键，属于基础题.
55．如图，在正中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，分别靠近点A，点B，且AE，CD交于点P.求证：BP⊥DC.
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【答案】证明见解析.
【分析】
设向量，化简得到，，进而得到
，求得，求得，即可求解.
【详解】
设，且的边长为，
则，
，
因为，所以，
所以，所以，解得，
所以，所以，
从而，
所以，所以.
56．有一艘在静水中速度为的船，现船沿与河岸成角的方向向河的上游行驶．由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设两岸平行，流速均匀．
（1）设船相对于河岸和静水的速度分别为，，河水的流速为 km/h，求，，之间的关系式；
（2）求这条河河水的流速．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
根据题意作出图形，利用向量的加法运算以及直角三角形的边角关系即可求解.
【详解】
（1）如图，是垂直到达河对岸方向的速度，是与河岸与角的静水中的船速，则与的夹角为．
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意知，，，三条有向线段构成一个直角三角形，其中，，．由向量加法的三角形法则知，，即．21*cnjy*com
（2）∵，而，
∴这条河河水的流速为，方向顺着河岸向下．
57．某人在静水中游泳，速度为千米/小时，他在水流速度为千米/小时的河中游泳．他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
【答案】答案见解析
【分析】
作出图形，利用平面向量加法的平行四边形法则可得结论.
【详解】
如图，设此人的实际速度为，水流速度为，游速为，则，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在中，，，则，.
故此人沿向量的方向游（即逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为），实际前进的速度大小为千米/小时．
58．如图，在重300 N ( http: / / www.21cnjy.com )的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】与铅垂线成角的绳子的拉力是，与铅垂线成角的绳子的拉力是.
【分析】
作出受力示意图，根据三角形的角和边的关系可得出两根绳子的拉力的大小.
【详解】
如图，作，使，则，.
设向量分别表示两根绳子的拉力，则表示物体所受的重力，且N.
所以 (N)， (N)．
所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查向量的加法法则的实际运用，关键在于将实际生活的力转化为数学中的向量，运用向量的加法法则和三角形的相关知识，属于基础题.
59．两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中，分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：
（1），分别对该质点做的功；
（2），的合力对该质点做的功.
【答案】（1）做的功，做的功.
（2）
【分析】
（1）由已知可得两个力，和位移，再由公式计算即得；（2）先计算，的合力，再由公式可得功。
【详解】
（1），，.
做的功，
做的功.
（2），
所以做的功.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，以及数量积在物理中的应用，是基础题。
60．在日常生活中，我们有这样的经验 ( http: / / www.21cnjy.com )：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？
【答案】见解析
【解析】
【分析】
以两人共提旅行包为例，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据向量的方法，只要研究清楚两个拉力的合力、旅行包所受的重力以及两个拉力的夹角三者之间的关系，就可以获得问题的数学解释．
【详解】
解：先来看共提旅行包的情况．如图，设作用在旅行包上的两个拉力分别为，，为方便起见，我们不妨设．另设，夹角为，旅行包所受的重力为．
由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道
．
这里，为定值，分析上面的式子，我们发现，当由0逐渐变大到时，由0逐渐变大到，的值由大逐渐变小，此时由小逐渐变大；反之，当由逐渐变小到0时，由逐渐变小到0，的值由小逐渐变大，此时由大逐渐变小，这就是说，，之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．
同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．
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【点睛】
本题主要考查平面向量的应用，熟记向量的线性运算法则即可，属于常考题型．
61．两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为.
（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移；
（2）计算在上的投影向量.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）通过计算可得；
（2）根据投影公式计算即可．
【详解】
解：（1）；
（2）设与的夹角为，
则，
所以在上的投影向量为：．
【点睛】
本题考查向量的坐标运算以及向量的几何意义，是基础题．
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第十二讲 平面向量在物理中的应用
【基础训练】
一、单选题
1．已知三个力F1＝(－ ( http: / / www.21cnjy.com )2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(7，－3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于（ ）21cnjy.com
A．(－2，－2) B．(2，－2)
C．(－1,2) D．(－2,2)
2．某人顺风匀速行走速度大小为，方向与风向相同，此时风速大小为，则此人实际感到的风速为（ ）
A． B．
C． D．
3．一质点受到平面上的三个力F1， ( http: / / www.21cnjy.com )F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（ ）2·1·c·n·j·y
A．6 B．2 C．2 D．2
4．河水的流速为，一艘小船想沿垂直于河岸方向以的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为（ ）
A． B． C． D．
5．已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是（ ）
A．(8,0) B．(9,1)
C．(－1,9) D．(3,1)
6．已知一条两岸平行的河流河 ( http: / / www.21cnjy.com )水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．10 m/s B． m/s
C．m/s D．12 m/s
7．人骑自行车的速度是，风速为，则逆风行驶的速度为（ ）
A．－ B．－
C．＋ D．||－||
8．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC中点，则cos ∠BDC＝（ ）
A．－ B．
C．0 D．
9．若向量，分别表示两个力，则为（ ）
A．(5，0) B．(－5，0)
C． D．
10．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量(即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位).设开始时点P的坐标为，则5秒后点P的坐标为（ ）www.21-cn-jy.com
A． B．
C． D．
11．已知作用在坐标原点的三个力， ，，则作用在原点的合力 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．一质点在力＝(﹣3，5)，＝(2，﹣3)的共同作用下，由点A(10，﹣5)移动到B(-4，0)，则，的合力F对该质点所做的功为（ ）21·世纪*教育网
A．24 B．﹣24 C．110 D．﹣110
13．已知三个力，，同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，需再加上一个力，则（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
14．在静水中划船的速度是每分钟40m,水 ( http: / / www.21cnjy.com )流的速度是每分钟20m,如果船从岸边A处出发,沿着与水流垂直的航线到达对岸,那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
15．作用于原点的两个力，，为使它们平衡需要增加力，则力的大小为
A． B． C．5 D．25
16．两个大小相等的共点力,当它们的夹角为90°时,合力大小为20N,当它们的夹角为120°时,合力大小为21教育名师原创作品
A．40N B． C． D．
17．设表示“向东走”，表示“向西走”，则下列说法正确的是（ ）
A．表示“向东走” B．表示“向西走
C．表示“向东走” D．表示“向西走”
18．某人在静水中游泳的速度为km/h，水流的速度为4km/h他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为（ ）21世纪教育网版权所有
A．90° B．30° C．45° D．60°
19．已知作用在点A的三个力，，，且，则合力的终点坐标为（ ）
A． B． C． D．
20．已知四点的坐标分别是，则四边形为
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
21．某人在静水中游泳的速度为，水流的速度为，他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与水流方向的夹角为（ ）21教育网
A． B． C． D．
22．关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（ ）
A．船垂直到达对岸所用时间最少
B．当船速v的方向与河垂直时用时最少
C．沿任意直线运动到达对岸的时间都一样
D．以上说法都不正确
23．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1km，水的流速为2，若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6min，则客船在静水中的速度为（ ）
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A． B．8
C． D．10
24．已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态.若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（ ）
A．100 B． C．50 D．
25．已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为20N，合力与的夹角为，那么的大小为（ ）
A． B．10 C．20 D．
26．长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，设和所成角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则等于（ ）
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A． B． C． D．
27．人骑自行车的速度是，风速为，则逆风行驶的速度为（ ）
A． B． C． D．
28．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向，游船正好到达处时，（ ）
A． B． C． D．
29．新安江某段南北两岸平行，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，游船正好抵达处时，（ ）
A． B． C． D．
30．一条河的两岸平行,河水从西向东流去,一艘船从河的南岸某处出发驶向北岸,已知船的速度的大小为,水流速度的大小为,要使该船行驶的航程最短,则船速的方向与河的南岸上游的夹角为
A．30° B．45° C．60° D．90°
31．某人在无风条件下骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度大小为（ ）
A． B． C． D．
32．长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输如图所示，一艘船从长江南岸点出发，以的速度沿方向行驶，到达对岸点，且与江岸垂直，同时江水的速度为向东 则船实际航行的速度为（ ）【版权所有：21教育】
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A． B． C． D．
33．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40m/s，则鹰的飞行速度为
A． B． C． D．
34．用两条成角的等长的绳子悬挂一个灯箱，如图2-5-4，已知灯箱重10N，当每根绳子的拉力的大小为10N时，等于
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A．60° B．90° C．150° D．120°
35．用力F推动一物体G，使其沿水平方向运动，力与竖直方向的夹角为，则力对物体G所做的功为
A． B． C． D．
36．在平面直角坐标系中，一个质点M在三个力共同的作用下，从点移动到点（坐标的长度单位：），若以轴正向上的单位向量及轴正向上的单位向量表示各自方向上的力，则有，则的合力对质点M所做的功是
A．6000J B．1500J C． D．
37．一艘船从某河的一岸驶向另一岸，船速为、水速为，已知船可垂直到达对岸，则
A． B． C． D．
38．在四边形中，若，则四边形为
A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形
39．如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为21·cn·jy·com
A． B．
C． D．
40．已知作用在点的三个力，且，则合力的终点坐标为
A． B． C． D．
二、填空题
41．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且，则________.
42．如图，作用于同一点O的三个力处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为________．www-2-1-cnjy-com
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43．在中，若，，则_____.
44．小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________ km/h.2-1-c-n-j-y
45．已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E，F分别为BC，CD的中点，则___________.
46．一物体在力，，的共同作用下从点A(1，1)移动到点B(0，5).在这个过程中三个力的合力所做的功为________.【出处：21教育名师】
三、解答题
47．已知作用在原点上的三个力，，，求这些力的合力的坐标．
48．已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点.
（1）求力、分别对质点所做的功；
（2）求力、的合力对质点所做的功.
49．在风速为的西风中,飞机以的航速向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向.
50．已知作用在坐标原点的三个力对应向量分别为，求作用在原点的合力的坐标.
52．某人在静水中游泳，速度为千米/时，现在他在水流速度为4千米/时的河中游泳.
（1）若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
53．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小.21*cnjy*com
54．飞机从甲地沿北偏西15°的方 ( http: / / www.21cnjy.com )向飞行1400km到达乙地，再从乙地沿南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地，画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？
55．如图，在正中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，分别靠近点A，点B，且AE，CD交于点P.求证：BP⊥DC.
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56．有一艘在静水中速度为的船，现船沿与河岸成角的方向向河的上游行驶．由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设两岸平行，流速均匀．
（1）设船相对于河岸和静水的速度分别为，，河水的流速为 km/h，求，，之间的关系式；
（2）求这条河河水的流速．
57．某人在静水中游泳，速度为千米/小时，他在水流速度为千米/小时的河中游泳．他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
58．如图，在重300 N的物体上拴两根 ( http: / / www.21cnjy.com )绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？
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59．两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中，分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：
（1），分别对该质点做的功；
（2），的合力对该质点做的功.
60．在日常生活中，我们有这样的 ( http: / / www.21cnjy.com )经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？
61．两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为.
（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移；
（2）计算在上的投影向量.
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