6.4.1 平面几何中的向量方法 提升训练(原卷版+解析版)

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名称 6.4.1 平面几何中的向量方法 提升训练(原卷版+解析版)
格式 zip
文件大小 4.5MB
资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-03-08 19:47:06

文档简介

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第十一讲 几何中的向量方法
【提升训练】
一、单选题
1.已知平面四边形满足,则四边形为( )
A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
【答案】C
【分析】
根据向量的性质得出四边形边的关系再分析即可.
【详解】
因为,故四边形的对边平行且相等.故四边形为平行四边形.又故对角线互相垂直.故四边形为菱形.2·1·c·n·j·y
故选:C
【点睛】
本题考查了向量的性质与菱形的判定,属于基础题型.
2.若,且,则四边形ABCD的形状为( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
【答案】D
【分析】
根据向量共线的性质及平面几何的性质可判断.
【详解】
解:∵
所以四边形是梯形

所以梯形是等腰梯形
故选:
【点睛】
本题考查向量共线的应用,属于基础题.
3.已知平面向量,的夹角为,且,.在中,,,为的中点,则的长等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】A
【分析】
根据题意,得到,再由向量模的计算公式,即可得出结果.
【详解】
解:因为,
所以,
则,所以.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查平面向量的应用,熟记平面向量的基本定理,以及向量模的计算公式即可,属于常考题型.
4.在平行四边形中,,,为的中点,若,则的长为( )
A.1 B. C. D.
【答案】D
【分析】
作出图形,根据平面向量基本定理,得到,再由题中数据,根据向量数量积的运算,即可求出结果.
【详解】
解:如图.
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∴,即.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查平面向量的应用,熟记平面向量基本定理,以及向量数量积的运算法则即可,属于常考题型.
5.已知的外接圆圆心为O,且,则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
利用向量的运算法则将已知等式化简得到,进而得到为正三角形,从而得到结论.
【详解】
如图,由知O为BC的中点,
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又∵O为的外接圆圆心,

为正三角形,,
在上的投影向量为.
故选:A.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的含义,解题的关键是熟练掌握向量的运算法则,本题是基本知识与技能考查题,主要考查了向量运算能力,属于基础题.
6.在中,“”是“为钝角三角形”的
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
【答案】A
【分析】
由可得出角为钝角,然后再利用充分条件、必要条件定义得出两条件之间的关系.
【详解】
,,则为钝角,
“”“是钝角三角形”,
另一方面,“是钝角三角形”“是钝角”.
因此,“”是“为钝角三角形”的充分非必要条件.
故选:A.
【点睛】
本题考查充分不必要条件的判断,要结合充分条件与必要条件的定义来判断,考查推理能力,属于中等题.
7.设平面向量,,若与的夹角为锐角,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
根据与的夹角为锐角,得到,再由向量的夹角公式将其夹角余弦值表示出来,得到关于的不等式,解出的范围,从而得到答案.
【详解】
因为与的夹角为锐角,
所以,
向量,,
所以,
整理得,,
所以的范围为.
故选:B.
【点睛】
本题考查根据向量的夹角求参数的范围,属于简单题.
8.已知向量,,且与的夹角为锐角,则实数的取值范围为
A.B.C. D.
【答案】B
【分析】
先排除时x的值,再利用夹角为锐角的平面向量的数量积为正数即可求得结果.
【详解】
若,则,解得.
因为与的夹角为锐角,∴.
又,由与的夹角为锐角,
∴,即,解得.
又∵,所以.
所以本题答案为B.
【点睛】
本题考查利用平面向量的数量积判断角的类型,注意排除向量平行的可能,属基础题.
9.在四边形中,若,则四边形为
A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
【答案】D
【分析】
根据条件得到:与的位置和长度关系,再根据得到对角线的位置关系,从而判定四边形形状.
【详解】
因为,所以,所以四边形为平行四边形;又因为,所以,所以四边形是菱形.选D.
【点睛】
本题考查运用向量之间的关系证明几何图形的形状,难度较易.注意:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
10.在四边形中,若,且,则四边形是
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形
【答案】A
【分析】
根据向量相等可知四边形为平行四边形;由数量积为零可知,从而得到四边形为矩形.
【详解】
,可知且 四边形为平行四边形
由可知: 四边形为矩形
本题正确选项:
【点睛】
本题考查相等向量、垂直关系的向量表示,属于基础题.
11.在四边形ABCD中,,,,则四边形ABCD的形状是
A.长方形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形
【答案】D
【分析】
由向量的运算,可得++,得到AD∥BC,且AD≠BC,即可四边形ABCD的形状,得到答案.
【详解】
由题意,因为,,,
∴++,
∴AD∥BC,且AD≠BC,∴四边形ABCD为梯形,故选D.
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算及应用,以及向量的共线定理的应用,其中解答中利用向量的运算,求得是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
12.已知向量,则在方向上的投影为
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
先得到,计算出与的夹角余弦值,和的模长,再由模长乘夹角余弦值,得到投影.
【详解】

设与的夹角为,则
所求的在方向上的投影为=
故选B项.
【点睛】
考查向量的坐标运算,向量在某个方向上的投影的求法,属于简单题.
13.已知中,,则的形状为
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
【答案】B
【分析】
根据向量的运算法则可得,可得,即,得到答案.
【详解】
根据向量的运算法则可得,所以,
所以,所以为直角三角形,故选B.
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算,以及三角形形状的判定问题,其中解答中熟记向量的线性运算法则,合理化简、运算得出是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
14.中,,则一定是
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
【答案】C
【分析】
表示出向量的点乘,结合已知条件进行判定三角形形状
【详解】
因为中,,则,
即,,角为钝角,
所以三角形为钝角三角形
故选
【点睛】
本题考查了由向量的点乘判定三角形形状,只需运用公式进行求解,较为简单
15.如图,BC、DE是半径为1的圆O的两条直径, ,则
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
本题考查向量加法和减法的平行四边形分法则或三角形法则,向量的数量积.
因为圆半径为1是直径,所以根据向量加法和减法法则知:;又是直径,所以则
故选 B
16.是 所在平面上一点,满足,则 为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
试题分析:因为
所以,选B.
17.△ABC所在平面上一点P满足,则△PAB的面积与△ABC的面积之比为
A.2∶3 B.1∶4 C.1∶3 D.1∶6
【答案】C
【解析】
试题分析:由已知得,,解得,所以,作图如下:
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设点到线段的距离是,所以 ( http: / / www.21cnjy.com / ).
考点:向量的线性运算
18.如图所示,半圆的直径AB=2,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值是( )
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A. B. C.- D.
【答案】C
【分析】
根据题中条件,得到,根据向量数量积运算,得到,即可求出最小值.
【详解】
因为点是线段的中点,所以向量,
所以,
又因为向量,方向相反,
所以

故选:C.
19.已知点O、N、P在所在平面内,且,,,则点O、N、P依次是的( )
A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心
C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心
【答案】C
【分析】
由知O是的外心;利用共起点向量加法将变形为共线的两向量关系,得到N点在中线上的位置,从而判断为重心;由移项利用向量减法变形为,得出PB为CA边上的高,同理得PC为AB边上的高,故为垂心.
【详解】
,则点O到的三个顶点距离相等,
O是的外心.
,,
设线段AB的中点为M,则,由此可知N为AB边上中线的三等分点(靠近中点M),所以N是的重心.
,.
即,同理由,可得.
所以P是的垂心.
故选:C.
【点睛】
关于四心的向量关系式:
O是的外心;
O是的重心;
O是的垂心;
O是的内心.(其中 为的三边)
20.已知点O为△ABC所在平面内一点,且,则O一定为△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
【答案】C
【分析】
利用向量的等式关系,转化成,利用向量加减法运算化简得到,即证,再同理证得,即得是的垂心.
【详解】
由得:,
即,故,
故,,
又,,
,即,
同理,即,所以是的垂心.
故选:C.
【点睛】
关键点点睛:
本题的解题关键在于将模的平方转化成向量的平方,进行向量的灵活运算,才能证得垂直关系,突破难点.
21.中,,是中点,是线段上任意一点,且,则的最小值为( )
A.-2 B.2 C.-1 D.1
【答案】C
【分析】
根据向量求和的平行四边形法则可以得出,再利用向量的数量积的运算可以得到,因为,代入计算可求出最小值.【来源:21·世纪·教育·网】
【详解】
解:在直角三角形中,,则,因为M为BC的中点,所以.设,
所以当,即时,原式取得最小值为.
故选:C.
【点睛】
方法点睛:(1)向量求和经常利用平行四边形法则转化为中线的2倍;
(2)利用向量三点共线,可以将向量的数量积转化为长度的乘积;
(3)根据向量之间模的关系,二元换一元,转化为二次函数求最值即可.
22.设O是△ABC的内心,AB=c,AC=b,BC=a,若则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】
解法一:根据内心恒等式,利用向量的线性运算可以求得.进而根据平面向量基本定理中的唯一性可得到的值,进而得解.
解法二:将向量化为单位向量,根据向量的和的平行四边形法则及菱形的性质可以得到存在实数使得,进而得解;
解法三:设直线交于,由三角形内角平分线的性质,进而求得,根据共线,可得所求.
【详解】
解法一:O是△ABC的内心,AB=c,AC=b,BC=a
则,
所以,
所以,
所以.
又,
所以,
所以.
解法二:如图,设,,设,
则内心在射线上,所以,
∴;
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解法三:设直线交于,则,,,
∴,又∵内心O在射线AD上,所以存在常数>0,使得,∴.
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【点睛】
本题考查平面向量的几何应用,可以有多种方法解决,其中第一种方法应用了三角形内心的一个向量恒等式.
三角形内心恒等式:;
重心恒等式:;
垂心恒等式:;
外心恒等式:,
是很有意思的几个个恒等式.
这几个恒等式又都是面积恒等式:的特例,可以注意理解与掌握.
23.已知点是边长为的正方形的内切圆上一动点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
建立坐标系如图所示,设,利用坐标求出,即可根据三角函数的性质求出范围.
【详解】
建立坐标系如图所示,
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设,其中,
易知

.
故选:B.
【点睛】
关键点睛:本题考查数量积范围的求解,解题的关键是建立恰当的直角坐标系,将数量积的运算转化为坐标运算,将M设为更便于利用三角函数的性质求范围,这也是解决几何与向量结合的问题中常用的方法.21·cn·jy·com
24.在中,点D满足且,则当角A最大时,cosA的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
根据题意得到点的轨迹,利用圆的切线的几何性质求得最大时,的值.
【详解】
由于,所以在以为直径的圆上(除两点).
所以当直线与圆相切时,最大.
当直线与圆相切时,,
由于,设,则,.
,.
故选:C
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【点睛】
本题的关键条件为“”,由此可以判断出点的轨迹,从而可结合圆的切线的几何性质来进行求解.
25.已知平面向量,,满足:,,夹角为,且.则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
由题意知,可设,由向量的坐标运算可得,可转为在直线上取一点,使得最小,利用化曲为直的思想即可得到答案.
【详解】
由题意知,可设,因为,夹角为,则点B在直线上,如图,
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则,,

则的最小值可转化为在直线上取一点,使得最小,作点关于直线的对称点,则的最小值即为,21教育网
设点,则,解得,,
则,
故的最小值为.
故选:A.
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算及向量的几何意义,属于中档题.
26.已知,若对任意,恒成立,则为( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定
【答案】C
【分析】
在直线上取一点,根据向量减法运算可得到,由垂线段最短可确定结论.
【详解】
在直线上取一点,使得,则,
.
对于任意,都有不等式成立,由垂线段最短可知:,即,
为直角三角形.
故选:.
【点睛】
本题考查与平面向量结合的三角形形状的判断,关键是能够利用平面向量数乘运算和减法运算的几何意义准确化简不等式.21·世纪*教育网
27.在△ABC中,=,=,且0,则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
【答案】D
【分析】
由数量积的定义判断角的大小,得三角形形状.
【详解】
由题意,∴,,,又是三角形内角,∴.
∴是钝角三角形.
故选:D.
【点睛】
本题考查考查三角形形状的判断,解题关键是掌握数量积的定义.向量夹角的概念.
28.如图,在中,,分别为边,上的点,且,,为上任意一点,实数,满足,设,,,的面积分别为,,,,记,,,则当取最大值时,的值为( )
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A. B. C. D.
【答案】D
【分析】
由长度关系可确定,由,结合基本不等式可求得的最大值,并得到当时取得最大值,由此确定为中点;根据向量线性运算可得到,由此得到的值,代入可得结果.www-2-1-cnjy-com
【详解】
,;
,,且,
,即,,
又,即,(当且仅当时取等号),
当时,为中点,
则由得:,,
.
故选:D.
【点睛】
关键点点睛:本题考查平面向量在几何中的最值问题的求解,解题关键是能够结合基本不等式确定取最大值时的点的位置,进而根据向量线性运算构造方程求得的值.
29.设向量,,满足,,,则的最大值等于( )
A.1 B. C. D.2
【答案】D
【分析】
由题设知,的夹角为,又,若,则四点共圆或在以O为圆心的圆上,求两种情况下的最值,再确定其最大值即可.
【详解】
由,知:,的夹角为,又,
∴若,即,,
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1、如上图,当四点共圆,而,设圆的半径为R,则,即
∴当且仅当OC为圆的直径时,有最大值.
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2、如上图,当在以O为圆心的圆上,此时,
综上:的最大值为2.
故选:D.
【点睛】
关键点点睛:将平面向量转化为点共圆,根据,的夹角为,又,讨论位置关系,进而应用圆的性质确定的最大值.
30.在平面内,定点,,,满足,,动点,满足,,则的最大值是( ).
A.12 B.6 C. D.
【答案】A
【分析】
可证明点是△的垂心,又点是△的外心,可知△是正三角形,则,进而建立直角坐标系,可求得,进而可求出最大值.
【详解】
,即,所以,
同理可得,,所以点是△的垂心.
又,所以点是△的外心,
故△是正三角形,且,
建立如图所示的直角坐标系,,
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所以,则,,,
设,由,可设,,
因为,所以为的中点,所以,
则,,
所以,
所以当时,取得最大值12,
即的最大值为12.
故选:A.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的基本运算,考查平面向量在解决几何问题中的运用,考查学生的计算求解能力,属于难题.【版权所有:21教育】
二、填空题
31.已知和分别为的外心和重心,且,若,则面积的最大值为___________
【答案】
【分析】
根据重心和外心满足的几何性质,将进行转化,找到点满足的等量关系,然后求三角形的面积的最值.
【详解】
因为,是三角形的外心和重心,设为的中点,.
①,

将上式代入①式得,
,所以,点在以的中点为圆心,半径为的圆上.
故当时,面积的最大为.
故答案为:.
【点睛】
关键点点睛:求较复杂的平面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
32.在中,,,,点是内(包括边界)的一动点,且,则的最大值是_________.
【答案】
【分析】
取,,作,由平行四边形法则可得点轨迹,确定所求最大值为;利用平面向量数量积的定义和余弦定理可求得所需边长,利用勾股定理可求得结果.
【详解】
取,,作,
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为内(包含边界)的一动点且,
根据平行四边形法则可知:点的轨迹为线段,.
在中,,
,,
,,
即的最大值为.
故答案为:.
【点睛】
关键点点睛:本题考查平面向量模长最值的求解问题,解题关键是能够根据图形关系确定动点的轨迹,进而确定最大值点.
33.平行四边形中,,E是的中点,F是的中点,则向量的模长是______.
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【答案】
【分析】
利用向量的运算法则将,用已知向量表示,再利用向量数量积的运算律求解即可 .
【详解】
.
故答案为:.
【点睛】
关键点睛:解决本题主要掌握两点:一是数量积的基本公式;二是向量的平方等于向量模的平方.
34.正方形边长为,点在线段上运动,则的取值范围为__________.
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【答案】
【分析】
以为坐标原点建立平面直角坐标系,设出点坐标,求出各点及的坐标,代入所求表达式,化简后可求得取值范围.
【详解】
以,为,轴建立直角坐标系则,
,,,,
设,则
,,,

当时,函数有最大值为,
当时,函数有最小值为,
的取值范围是.
故答案为:.
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【点睛】
本小题主要考查平面向量的坐标运算,解题的关键点是建立平面直角坐标系,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.
35.如图,已知为边长为2的等边三角形,动点P在以BC为直径的半圆上,若,则的最小值为_______.
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【答案】1
【分析】
如图建系,设P点坐标,则可得的坐标,根据题意,可得的表达式,代入所求,根据的范围,利用三角函数求最值,即可得答案.
【详解】
取BC中点O,以O为原点,OC,OA方向为x轴y轴正方向建系,如图所示
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由题意得:,所以,
如图以BC为直径的半圆方程为:,
设,因为,所以,
则,,
因为,所以,
整理可得,
所以,
因为,所以,
当时,取最大值,
所以的最小值为,
故答案为:1
【点睛】
解题的关键是在适当位置建系,进而可得点的坐标及向量坐标,利用向量的坐标运算,即可求得的表达式,再利用三角函数图像与性质求解,综合性较强,考查分析理解,计算求值的能力,属中档题.
三、解答题
36.(1)对于平面向量,,求证:,并说明等号成立的条件;
(2)我们知道求的最大值可化为求的最大值,也可以利用向量的知识,将构造为两个向量的数量积形式,即:令,,则转化为,求出最大值.利用以上向量的知识,完成下列问题:
①对于任意的,求证:;
②求的最值.
【答案】(1)证明见解析,当且仅当时,即或,等号成立;(2)①证明见解析;②最大值为5,最小值为3.
【分析】
(1)由向量的数量积的定义并结合余弦函数的有界性即可证明;
(2)①设,再结合即可得证明;
②设,则,再结合向量数量积的几何意义求解即可.
【详解】
解:(1)设,所以
当且仅当时,即或,等号成立
(2)①设,则
∵,∴
两边平方得:.
②,所以,
所以
因为点在以圆点为圆心,1为半径的单位圆上的,即第一象限及,;
当时,在上的投影最小,即的最小值为3;
当共线同向时取得最大值,即的最大值为5,当且仅当时取得最大值.
【点睛】
本题考查向量的综合应用,考查运算求解能力,知识迁移与应用能力,是中档题.本题第二问的第二小问的解题的关键在于令,注意到为单位向量,进而利用向量几何意义(投影的概念)求解.
37.设P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点
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(1)试用向量证明:PQAB;
(2)若AB=3CD,求PQ:AB的值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【分析】
(1)用向量表示,得出向量与、的关系,再根据向量与共线,得出向量与共线即可;
(2)根据向量与反向,且||=3||得出向量与的数量关系,即得PQ:AB的值.
【详解】
(1)∵Q为BD中点,∴,
又P为AC中点,∴;
∴2(),
又向量与共线,
设向量,
则2(1+λ),
∴①,
又梯形ABCD中||≠||,∴λ≠﹣1,
∴,即PQAB;
(2)∵向量与反向,且||=3||;
所以,即λ代入①式,
得,
∴PQ:AB.
【点睛】
关键点点睛:熟练掌握平面向量的线性运算是解题关键.
38.已知,,向量与向量的夹角为,设向量,向量.
(1)求的值;
(2)设,求的表达式;若与的夹角为锐角,求实数的取值范围.
【答案】(1)1;(2),或且.
【分析】
(1)由数量积的定义计算;
(2)由数量积的运算法则计算出,解不等式,并去除掉向量共线的取值即可得.
【详解】
(1);
(2)

因为与的夹角为锐角,
所以,即,
解得或.
又由和共线,解得,
所以实数的取值范围是或且.、
【点睛】
本题考查向量的数量积.向量夹角为锐角是的充分不必要条件,夹角为0(即同向时)也有,同样向量夹角为钝角是的充分不必要条件.【来源:21cnj*y.co*m】
39.在中,设.
(1)求证:为等腰三角形;
(2)若且,求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【分析】
(1) ,知,由, 知,所以,即可证明为等腰三角形;
(2)由,知,设,由,知,所以,由此能够求出的取值范围.
【详解】
(1)因为,
所以,
因为,所以,
所以,所以,
所以,
故为等腰三角形,
(2)因为,所以,设,
因为,所以,
所以,所以,
又因为,
,,即.
【点睛】
本题主要考查了向量的加法和线性运算,是向量的综合应用,属于中档题.
40.在中,底边上的中线,若动点满足.
(1)求的最大值;
(2)若为等腰三角形,且,点满足(1)的情况下,求的值.
【答案】(1)8;(2)-5.
【分析】
(1)根据平面向量基本定理可知三点共线且在线段上,设,则,,可将整理为,根据二次函数图象可求得最值;(2)以为坐标原点,,所在直线分别为,轴建立平面直角坐标系,根据可求得坐标,根据数量积的坐标运算可求得结果.【出处:21教育名师】
【详解】
(1)且
三点共线,又
在线段上
为的中点,设,则,,
当时,取最大值
(2)为等腰三角形,且为底边的中线
以为坐标原点,,所在直线分别为,轴建立平面直角坐标系
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由(1)可得,又


【点睛】
本题考查平面向量数量积运算的相关计算,涉及到平面向量基本定理的应用、向量的坐标运算、二次函数最值的求解问题.
41.已知向量,的夹角为120°,且,当向量与的夹角为钝角时,求的取值范围.
【答案】或且.
【分析】
由条件可知,且两向量不共线,列式求参数的取值范围.
【详解】
因为,,的夹角为120°,
所以.
因为向量与的夹角为钝角,
所以,且两向量不共线.
又,
所以,
解得或.
又与共线时,存在使得,
所以,解得,
综上所述:或且
【点睛】
本题考查根据向量夹角的范围求参数的取值,重点考查转化与化归和计算能力,属于基础题型,本题的易错点是容易忽略不共线这个条件.
42.已知三个点,,.
(1)求证:;
(2)若四边形为矩形,求点的坐标及矩形两对角线所成锐角的余弦值.
【答案】(1)证明见详解;(2),矩形两对角线所成锐角的余弦值为.
【分析】
(1)利用向量垂直证明即可;
(2)设坐标,根据向量相等求点坐标,根据向量夹角求对角线所成锐角余弦值.
【详解】
解:(1)由题知,,,所以,所以,所以;
(2)设点的坐标为,则根据四边形为矩形得,即:,所以,解得,所以;
所以,,
所以,
矩形两对角线所成锐角的余弦值为.
【点睛】
本题考查利用向量解决平面几何问题,是中档题.
43.求证:三角形的三条高线交于一点.
【答案】证明见解析
【分析】
先分别做的高,且交于,连,只需证明,即证,转化为证明,由向量的数量积运算律结合
,,即可证明结论.
【详解】
如下图所示,中交于点,连接.
∵,,
∴,.


即.
∴的三条高线交于一点.
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【点睛】
本题考查向量法证明三角形中的定理,用已知垂直关系的向量表示需要证明垂直关系的向量是解题的关键,考查数形结合思想,属于中档题.21世纪教育网版权所有
44.在四边形ABCD中,已知,,,.
(1)判断四边形ABCD的形状;
(2)求向量与夹角的余弦值.
【答案】(1)等腰梯形;(2)
【分析】
(1)计算得到,且,得到答案.
(2),,利用夹角公式计算得到答案.
【详解】
(1),,故,
,,故,故四边形ABCD为等腰梯形.
(2),,故.
【点睛】
本题考查了根据向量判断四边形形状,向量夹角,意在考查学生的计算能力和应用能力.
45.在四边形中,已知,,,.
(1)判断四边形的形状;
(2)若,求向量与夹角的余弦值.
【答案】(1)四边形是等腰梯形.(2)
【分析】
(1)由题可得,且,即可判断四边形的的形状;
(2)设,,,由可得,即可求得和,进而求解即可.
【详解】
解:(1)由题,因为,,所以,
又因为, ,所以四边形是等腰梯形
(2)设,所以,,
因为,所以,解得,所以,,
设向量与夹角为,则,
故向量与夹角的余弦值为
【点睛】
本题考查向量在几何上的应用,考查向量的夹角,考查运算能力
46.如图,扇形所在圆的半径为2,它所对的圆心角为,为弧的中点,动点,分别在线段,上运动,且总有,设,.21cnjy.com
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(1)若,用,表示,;
(2)求的取值范围.
【答案】(1),;(2)
【分析】
(1)由,结合向量的线性运算及平面向量基本定理,即可,表示,.
(2)设,则,即可表示出.结合向量数量积的运算及,即可结合二次函数性质求得的取值范围.
【详解】
(1)由题知,均为等边三角形,所以四边形为菱形.
所以,
所以,
.
(2)设,则,.
∴,
,
∴,
∵,
∴当,上式最小值为;当或1时,上式最大值为2.
∴的取值范围.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算及平面向量基本定理的应用,平面向量数量积的运算,由二次函数性质求最值,属于中档题.www.21-cn-jy.com
47.在长方形中,,.M,N分别是线段,的中点,P是长方形(含边界)内一点.
(1)求的值;
(2)求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】
(1)根据题意,建立平面直角坐标系,由平面向量数量积的坐标运算,可求得,结合同角三角函数关系式即可求得.2-1-c-n-j-y
(2)设,表示出,,即可根据数量积的坐标运算求得.根据是长方形(含边界)内一点,可得的不等式组,即可利用不等式性质求得的取值范围.21*cnjy*com
【详解】
如图,以点A为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
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(1)由题意有,,,
,,
所以,
因为,
所以.
(2)设
则,,
所以,
因为所以,
所以,
所以,
即的取值范围是.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的坐标运算,利用数量积求向量的夹角,同角三角函数关系式的应用,不等式性质的应用,属于中档题.
48.如图,在中,,,为上一点,且满足,若的面积为.
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(1)求的值;
(2)求的最小值.
【答案】(1);(2)
【分析】
(1)建立如图所示直角坐标系,设,,求出,的坐标,可知由,,三点共线,即,列方程即可求出的值;
(2)由(1)得,由面积可得,利用基本不等式可得最小值.
【详解】
(1)建立如图所示直角坐标系,设,,
则,,
由得,
故,
由得,
所以,
因为,,三点共线,所以,
所以,
解得.
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(2)由(1)得,
因为,
所以,
所以,
所以,当且仅当,时取得等号.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算,考查三角形面积公式,属于中档题.
49.已知正方形,E F分别是 的中点, 交于点P,连接.用向量法证明:
(1);
(2).
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【分析】
建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设,求出的坐标,
(1)求出的坐标,求数量积即可得结果;
(2) 设,则,,由得,再由得,联立方程组,可得点坐标,计算可得,即可得结果.
【详解】
证明:如图,建立平面直角坐标系,其中A为原点,不妨设,
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则.
(1)∵,,
∴,
∴,
即;
(2)设,则,,
由(1)知,,
∵,
∴,即.
同理,由,得.
∴,解得,即,
∴,
∴,即.
【点睛】
本题考查向量坐标运算的应用,考查向量平行垂直的坐标表示,考查运算能力,是中档题.
50.如图,在中,BC、CA、AB的长分别为.
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(1)求证:;
(2)若,试证明为直角三角形.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【分析】
(1)用向量方法证明,由,两边同乘以,再利用向量数量积公式,即可得证;
(1)证法一:,结合向量数量积公式即可得证;
证法二:已知等式转化为三角形边角关系,再结合(1)的结论,即可得证.
【详解】
(1)∵,



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(2),由 得 ,

∴△ABC为直角三角形.
证法二:由(1)类似可证得:(*)
由得, 即:,
∴,结合(*)式得,
∴,∴△ABC为直角三角形 .
【点睛】
本题考查向量在三角形中的应用,考查等价转换思想,属于中档题.
51.在三角形ABC中,,,,是线段上一点,且,为线段上一点.
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(1)设,,设,求;.
(2)求的取值范围;
(3)若为线段的中点,直线与相交于点,求.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
(1)变换得到,对比得到,计算得到答案.
(2)设,,变换得到,计算得到答案.
(3)设,得到,化简得到解得答案.
【详解】
(1)
而,.
(2)在三角形中,,,,

不妨设,
①式,.
(3)为线段的中点
不妨设
,
、M、D三点共线.

【点睛】
本题考查了向量的应用,意在考查学生的计算能力和应用能力.
52.如图,已知直角梯形中,,过点作于点,为的中点,用向量的方法证明:
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(1);
(2)三点共线.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【分析】
先证明四边形为正方形,然后建立平面直角坐标系,分别写出各点的坐标,可得到,,即可证明结论.
【详解】
以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴建立平面直角坐标系,如图.令,
则,.∵,∴四边形为正方形.∴各点坐标分别为,.
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(1)∵,,
∴,∴,即.
(2)∵为的中点,∴,∴,.∵,
∴.又∵与有公共点,∴三点共线.
【点睛】
本题考查了平面向量在几何中的应用,属于基础题.
53.已知△AOB中,边,令过AB边上一点(异于端点)引边OB的垂线垂足为再由引边OA的垂线垂足为又由引边AB的垂线垂足为设.21教育名师原创作品
(1)求;
(2)证明:;
(3)当重合时,求的面积.
【答案】(1); (2)证明见解析;(3).
【分析】
(1)根据平面向量的模长公式和数量积的运算公式,即可求解;
(2)利用余弦定理,求得,然后求出,从而得到,即可得到结论;
(3)根据向量的夹角公式,求得和,从而求得和的值,当重合时,,求得,最后根据三角形的面积公式和,即可求解.21*cnjy*com
【详解】
(1)在中,因为,且,
可得,
则,所以.
(2)由(1)与已知,可得,
由余弦定理可得,
又因为,则,
则,所以.
(3)由已知可得,
因为,所以,

因为

所以,
当重合时,,解得,解得,
此时,
所以,
可得,
所以.
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【点睛】
解决向量在平面几何中的应用问题的两种方法:
(1)坐标法,把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示出来,这样就能进行相应的代数运算,从而使问题得到解决;
(2)基向量法,选取一组合适的基底,将未知向量用基底表示出来,然后根据向量的运算法则 运算律和性质求解.
54.如图,在△ABC的边上 ( http: / / www.21cnjy.com )做匀速运动的点D,E,F,当t=0时分别从点A,B,C出发,各以定速度向点B,C,A前进,当t=1时分别到达点B,C,A.
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(1)证明:在运动过程中,△DEF的重心保持不变;
(2)若△ABC的面积为S,求△DEF的面积的最小值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】
(1)解题的关键是得出同一时刻,、、分、、所成的比相同,进而设出坐标验证即可;
(2)易知,,进而表示出,由二次函数的图象以及性质即可得解.
【详解】
(1)证明:设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),△DEF的重心O(x0,y0),
由题意,在同一时刻t,D、E、F分所成的比相同,设为λ,则,
由定比分点坐标公式可得,D ( http: / / www.21cnjy.com )(txB+(1﹣t)xA,tyB+(1﹣t)yA),E(txC+(1﹣t)xB,tyC+(1﹣t)yB),F(txA+(1﹣t)xC,tyA+(1﹣t)yC),
由三角形重心坐标公式有,,,
把D、E、F的坐标代入x0,y0中,求得△DEF的重心坐标为,它与t无关,即在运动过程中,△DEF的重心保持不变;
(2)∵,
∴S△DFA:SABC=(AD AF):(AB AC)=t(1﹣t),即S△DFA=t(1﹣t)S,
同理,S△EFC=S△DEB=t(1﹣t)S,
∴,
∴当时,S△DEF的面积取得最小值.
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第十一讲 平面几何中的向量方法
【提升训练】
一、单选题
1.已知平面四边形满足,则四边形为( )
A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
2.若,且,则四边形ABCD的形状为( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
3.已知平面向量,的夹角为,且,.在中,,,为的中点,则的长等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
4.在平行四边形中,,,为的中点,若,则的长为( )
A.1 B. C. D.
5.已知的外接圆圆心为O,且,则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.在中,“”是“为钝角三角形”的
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
7.设平面向量,,若与的夹角为锐角,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知向量,,且与的夹角为锐角,则实数的取值范围为
A.B.C. D.
9.在四边形中,若,则四边形为
A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
10.在四边形中,若,且,则四边形是
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形
11.在四边形ABCD中,,,,则四边形ABCD的形状是
A.长方形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形
12.已知向量,则在方向上的投影为
A. B. C. D.
13.已知中,,则的形状为
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
14.中,,则一定是
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
15.如图,BC、DE是半径为1的圆O的两条直径, ,则
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A. B. C. D.
16.是 所在平面上一点,满足,则 为( )
A. B. C. D.
17.△ABC所在平面上一点P满足,则△PAB的面积与△ABC的面积之比为
A.2∶3 B.1∶4 C.1∶3 D.1∶6
18.如图所示,半圆的直径AB=2,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值是( )21世纪教育网版权所有
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A. B. C.- D.
19.已知点O、N、P在所在平面内,且,,,则点O、N、P依次是的( )
A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心
C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心
20.已知点O为△ABC所在平面内一点,且,则O一定为△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
21.中,,是中点,是线段上任意一点,且,则的最小值为( )
A.-2 B.2 C.-1 D.1
22.设O是△ABC的内心,AB=c,AC=b,BC=a,若则( )
A. B.
C. D.
23.已知点是边长为的正方形的内切圆上一动点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
24.在中,点D满足且,则当角A最大时,cosA的值为( )
A. B. C. D.
25.已知平面向量,,满足:,,夹角为,且.则的最小值为( )
A. B. C. D.
26.已知,若对任意,恒成立,则为( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定
27.在△ABC中,=,=,且0,则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
28.如图,在中,,分别为边,上的点,且,,为上任意一点,实数,满足,设,,,的面积分别为,,,,记,,,则当取最大值时,的值为( )
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A. B. C. D.
29.设向量,,满足,,,则的最大值等于( )
A.1 B. C. D.2
30.在平面内,定点,,,满足,,动点,满足,,则的最大值是( ).
A.12 B.6 C. D.
二、填空题
31.已知和分别为的外心和重心,且,若,则面积的最大值为___________
32.在中,,,,点是内(包括边界)的一动点,且,则的最大值是_________.
33.平行四边形中,,E是的中点,F是的中点,则向量的模长是______.
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34.正方形边长为,点在线段上运动,则的取值范围为__________.
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35.如图,已知为边长为2的等边三角形,动点P在以BC为直径的半圆上,若,则的最小值为_______.21cnjy.com
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三、解答题
36.(1)对于平面向量,,求证:,并说明等号成立的条件;
(2)我们知道求的最大值可化为求的最大值,也可以利用向量的知识,将构造为两个向量的数量积形式,即:令,,则转化为,求出最大值.利用以上向量的知识,完成下列问题:21·cn·jy·com
①对于任意的,求证:;
②求的最值.
37.设P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点
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(1)试用向量证明:PQAB;
(2)若AB=3CD,求PQ:AB的值.
38.已知,,向量与向量的夹角为,设向量,向量.
(1)求的值;
(2)设,求的表达式;若与的夹角为锐角,求实数的取值范围.
39.在中,设.
(1)求证:为等腰三角形;
(2)若且,求的取值范围.
40.在中,底边上的中线,若动点满足.
(1)求的最大值;
(2)若为等腰三角形,且,点满足(1)的情况下,求的值.
41.已知向量,的夹角为120°,且,当向量与的夹角为钝角时,求的取值范围.
42.已知三个点,,.
(1)求证:;
(2)若四边形为矩形,求点的坐标及矩形两对角线所成锐角的余弦值.
43.求证:三角形的三条高线交于一点.
44.在四边形ABCD中,已知,,,.
(1)判断四边形ABCD的形状;
(2)求向量与夹角的余弦值.
45.在四边形中,已知,,,.
(1)判断四边形的形状;
(2)若,求向量与夹角的余弦值.
46.如图,扇形所在圆的半径为2,它所对的圆心角为,为弧的中点,动点,分别在线段,上运动,且总有,设,.www.21-cn-jy.com
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(1)若,用,表示,;
(2)求的取值范围.
47.在长方形中,,.M,N分别是线段,的中点,P是长方形(含边界)内一点.
(1)求的值;
(2)求的取值范围.
48.如图,在中,,,为上一点,且满足,若的面积为.
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(1)求的值;
(2)求的最小值.
49.已知正方形,E F分别是 的中点, 交于点P,连接.用向量法证明:
(1);
(2).
50.如图,在中,BC、CA、AB的长分别为.
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(1)求证:;
(2)若,试证明为直角三角形.
51.在三角形ABC中,,,,是线段上一点,且,为线段上一点.
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(1)设,,设,求;.
(2)求的取值范围;
(3)若为线段的中点,直线与相交于点,求.
52.如图,已知直角梯形中,,过点作于点,为的中点,用向量的方法证明:
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(1);
(2)三点共线.
53.已知△AOB中,边,令过AB边上一点(异于端点)引边OB的垂线垂足为再由引边OA的垂线垂足为又由引边AB的垂线垂足为设.21教育网
(1)求;
(2)证明:;
(3)当重合时,求的面积.
54.如图,在△ABC的 ( http: / / www.21cnjy.com )边上做匀速运动的点D,E,F,当t=0时分别从点A,B,C出发,各以定速度向点B,C,A前进,当t=1时分别到达点B,C,A.2·1·c·n·j·y
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(1)证明:在运动过程中,△DEF的重心保持不变;
(2)若△ABC的面积为S,求△DEF的面积的最小值.
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