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第十三讲 余弦定理
【提升训练】
一、单选题
1．在中，内角，，C所对的边分别为a，b，c，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合，可得，
根据题意可求范围，根据正弦函数的图象和性质即可求解的值.
【详解】
解：∵，
∴由正弦定理可得：，
∴
，
∴，
又∵，∴，
∴，可得，，
又，∴.
故选：C.
【点睛】
本题考查正弦定理和三角恒等变换的运用，考查运算求解能力，求解时注意角的范围.
2．已知的面积为30，且，则等于（ ）
A．72 B．144 C．150 D．300
【答案】B
【分析】
首先利用三角函数的平方关系得到，然后根据平面向量的数量积公式得到所求．
【详解】
解：因为的面积为30，且，所以，所以，得到，
所以；
故选：．
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积以及三角形的面积；属于中档题．
3．在中，，，，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意及正弦定理得，然后根据余弦定理求出，最后结合面积公式可得三角形的面积．
【详解】
由及正弦定理得．
在中，由余弦定理得，
所以，解得，
所以．
又，
所以．
故选D．
【点睛】
三角形的面积常与解三角形结合在一 ( http: / / www.21cnjy.com )起考查，解题时要根据条件得到求面积时的所需量，往往要用到三角形中边角间的互化，考查变形和计算能力，属于中档题．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知，，且，则的取值范围为（ ）
A．[，] B．(，) C．[，] D．(，)
【答案】D
【分析】
本题先求，再化简，接着求出，最后求出的取值范围即可.
【详解】
解：由题意有，，
由余弦定理得：，整理得： ，
所以，
则.
因为，所以，所以，
则.
故选：D.
【点睛】
本题考查余弦定理，利用函数，（）的单调性求范围，是中档题.
5．在中，若，，，则等于（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】
由正弦定理，求得，再由，且，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，在中，由正弦定理可得，
即，
又由，且，
所以或，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．C为直角的直角三角形 B．C为钝角的钝角三角形
C．B为直角的直角三角形 D．A为锐角的三角形
【答案】C
【分析】
由余弦定理将转化为，化简得到，结合勾股定理知△ABC为直角三角形.
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴B为直角.
故选：C.
【点睛】
本题考查了余弦定理；利用余弦定理将角化边，化简确定三角形三边关系.
7．中，角，，所对的边分别为，，，若，且的面积为，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】
由题意，根据二倍角公式和两角和差的余弦公式可得，再根据三角形的面积公式可得，，即可求出，再根据面积公式可得，即可求出
【详解】
解：，
，
即，
，①
的面积为，
，
，，②，
由①②可得，
即，
，
或，
当，由，可得，不合题意，故舍去，
故，
故选：．
【点睛】
本题主要考查三角函数的化简，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别 ( http: / / www.21cnjy.com )为a，b，c，若角A，B，C成等差数列，且直线ax+cy﹣12＝0平分圆x2+y2﹣4x﹣6y＝0的周长，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由三角形内角和公式以及等差数列的性质可得，根据直线过圆心可得，根据基本不等式可得，最后由三角形面积公式得结果.
【详解】
在△ABC中，A+B+C＝π，
∵角A，B，C成等差数列，∴2B＝A+C，
∴2B＝π﹣B，∴B．
∵直线ax+cy﹣12＝0平分圆x2+y2﹣4x﹣6y＝0的周长，
∴圆心（2，3）在直线ax+cy＝12上，则2a+3c＝12，
∵a＞0，c＞0，∴12＝2a+3c，即ac≤6．
当且仅当2a＝3c，即a＝3，c＝2时取等号．
∴，
∴△ABC的面积的最大值为．
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，基本不等式以及三角形面积公式的应用，属于中档题.
9．在中，角，，所对的边分别为，，．若，，时，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
结合同角三角函数的基本关系可求出，，，由两角和的正弦公式可求出，结合正弦定理即可求出，进而可求出三角形的面积.
【详解】
因为，且，解得，，
又，所以，
故．
因为，，故，
故．
故选:B．
【点睛】
本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦定理，考查了三角形的面积公式，属于中档题.
10．在中，角、、所对的边分别是、、，若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用同角三角函数基本关系式可得，进而可得，再利用正弦定理即可得出．
【详解】
解：，．
，
．
．
由正弦定理可得：，
．
故选：．
【点睛】
本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．在中，角所对的边长分别为．若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】
首先利用正弦定理，将题中的式子进行变形得到，应用正弦函数的差角公式得到，结合三角形内角的取值范围得到，从而进一步确定三角形的形状.
【详解】
根据题意及正弦定理得
，即，
所以，
结合三角形内角的取值范围得到，所以三角形是等腰三角形
故选：.
【点睛】
本题主要考查有关三角形形状判断的问题，在解 ( http: / / www.21cnjy.com )题过程中涉及到的知识点有正弦定理、正弦函数的差角公式、由三角函数值确定角的大小，最后应用两个角相等求得三角形的形状.
12．在中，D是边上的点，且，，，则的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设，则，，，过点A作，利用正弦定理，即可得答案；
【详解】
在中，D是边上的点，且，，，
设，则，，，
如图所示，过点A作，
( http: / / www.21cnjy.com / )
所以，，
所以，
在中，利用正弦定理，
所以，整理得,
故选：B.
【点睛】
本题考查正弦定理在解三角形中的运用，考查运算求解能力.
13．在中，内角、所对的边分别为、，若，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】B
【分析】
由余弦定理边角互化思想化简得出，可得出或，进而可判断出的形状.
【详解】
，，
即，即，
整理得，或，
因此，是等腰三角形或直角三角形.
故选：B.
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查了余弦定理边角互化思想的应用，属于中等题.
14．在锐角三角形中，，，分别是角，，的对边，已知，是方程的两个根，且，则c＝（ ）21*cnjy*com
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先根据韦达定理求出，，再根据余弦定理求.
【详解】
，是方程的两个根，
，，
因为，
, 是锐角三角形，
根据余弦定理可知
即，
故选：B
【点睛】
本题考查解三角形和二次方程韦达定理的综合应用，重点考查计算能力，转化与变形，属于基础题型.
15．在中，内角、、所对的边分别为，，，已知， ，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知利用正弦定理可得，利用，可得为锐角，然后求出，根据三角形内角和定理，求出的值．
【详解】
解：，，，
由正弦定理，
可得，，
，为锐角，，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了正弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16．中，内角所对的边分别为.若，则的面积为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【分析】
由条件和余弦定理得到，再根据三角形的面积公式计算结果.
【详解】
由条件可知：，①
由余弦定理可知：，②
所以由①②可知，，即，
则的面积为.
故选：B
【点睛】
本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.
17．在中，内角所对的边分别为a、b、c，给出下列四个结论：①若，则；②等式一定成立；③；④若，且，则为等边三角形；以上结论正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
①在三角形中“大角对大边”，可以得到，再根据正弦定理化简，进一步可以得到答案；
②在三角形中利用化简，利用正弦定理轻松可以得到答案；
③利用正弦定理化简得带入化简，就可以得到答案；
④根据表示， 再根据可以得到°,进一步得到答案.
【详解】
①∵，∴，
又∵
∴
∴
故①成立；
②∵
∴
∴
∴；
故②成立；
③∵
∴
∴
∴ ；
故③成立；
④∵表示为边的单位向量， 表示为边的单位向量，
∴所以（）.表示，
又∵，
∴°
所以为等边三角形
故④成立.
故选：D.
【点睛】
本题考查正弦定理在三角形中的应用，以及利用向量来解三角形的相关知识点，命题体现了数学基本运算的核心素养，属于比较常见的题型.21·世纪*教育网
18．在中，、、分别是角、、的对边，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先由条件和正弦定理判断是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积.【版权所有：21教育】
【详解】
由正弦定理可知
已知，所以和，
所以，，所以是等腰直角三角形，
由条件可知外接圆的半径是，即等腰直角三角形的斜边长为，
所以.
故选：A
【点睛】
本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型.
19．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.若，的面积为，则（ ）
A．5 B． C．4 D．16
【答案】C
【分析】
根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得,再根据面积公式可求得,再代入余弦定理求解即可.
【详解】
中,,由正弦定理得,
又,
∴,又,∴,∴,又,
∴.∵,
∴,∵,∴由余弦定理可得,
∴,可得.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.
20．在中，的角平分线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用已知条件求出A，C，然后利用正弦定理求出AC即可．
【详解】
由题意以及正弦定理可知：，得 ∠ADB＝45°，
A＝180°﹣120°﹣45°，可得A＝30°，则C＝30°，三角形ABC是等腰三角形，
AC＝2sin60°．
故选B．
【点睛】
本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力，属于基础题．
21．在中，角，，所对的边为，，，且为锐角，若，，，则
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用正弦定理化简，再利用三角形面积公式，即可得到，由，求得，最后利用余弦定理即可得到答案．
【详解】
由于，有正弦定理可得： ，即
由于在中，，，所以，
联立 ，解得：，
由于为锐角，且，所以
所以在中，由余弦定理可得：，故（负数舍去）
故答案选D
【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．
22．在斜中，设角的对边分别为，已知，是角的内角平分线，且，则
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用正弦定理角化边可构造方程，由可得；利用可构造方程求得，利用二倍角公式求得结果.
【详解】
由正弦定理得：
则
为斜三角形
即：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查解三角形的相关知识，涉及 ( http: / / www.21cnjy.com )到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.
23．在中，角对应的边分别是，已知，的面积为，则外接圆的直径为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据三角形面积公式求得；利用余弦定理求得；根据正弦定理求得结果.
【详解】
由题意得：，解得：
由余弦定理得：
由正弦定理得外接圆的直径为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用问题，考查学生对于基础公式和定理的掌握情况.
24．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，b＝10，则结合a的值解三角形有两解的为
A．a＝8 B．a＝9 C．a＝10 D．a＝11
【答案】B
【分析】
根据正弦定理得到，分情况讨论，得到正确的结果.
【详解】
由正弦定理知，
由题意知，若，则，只有一解；若，则A＞B，只有一解；
从而要使的值解三角形有两解，
则必有，且，即，
解得，即，因此只有B选项符合条件，
故选B.
【点睛】
该题考查的是有关根据三角形的解的个数选择边长的可取值的问题，涉及到的知识点有正弦定理，属于简单题目.21世纪教育网版权所有
25．角，，是三内角，且满足，则的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求出，利用，得出，进而利用合一定理即可求出的最大值.
【详解】
，，，
答案选B
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换问题，解题关键点在于利用合一定理即可求出的最大值.
26．在中，角的对边分别是，，，，则的面积为．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先由边化角，化简整理可求出角C，然后计算面积即可.
【详解】
解：由，得
所以，即
所以，得，所以
所以
故选C.
【点睛】
本题考查了利用正弦定理进行边角转化，三角形的面积公式，属于基础题.
27．已知的面积为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
将原式分离常数，然后利用正弦定理进行边角互化，化简为对勾函数，利用不等式求最值即可.
【详解】
解：，又，
= =，当且仅当时，等号成立.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用正弦定理边角互化，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题.
28．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据面积公式得到，再利用余弦定理得到，再利用正弦定理得到答案.
【详解】
利用余弦定理得到：
正弦定理：
故
故选
【点睛】
本题考查了面积公式，正弦定理，余弦定理，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.
29．在中，角的对边分别为，已知，且，点满足，，则的面积为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
运用正弦定理和余弦定理将角统一成边，再利用向量的数量积运算和三角形的面积公式结合求解.
【详解】
由，
可得，即.又，所以．
因为，所以点为的重心，
所以，所以，
两边平方得．
因为，所以，
于是，所以，
的面积为.
因为的面积是面积的倍.故的面积为．
【点睛】
本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积公式相结合求解，属于难度题.
30．三角形的三边分别是，若，，且，则有如下四个结论：
①
②的面积为
③的周长为
④外接圆半径
这四个结论中一定成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
由正弦定理可得三角形的外接圆的半径；由三角函数的恒等变换化简或，即；分别讨论，结合余弦定理和三角形面积公式，计算可得所求值，从而可得结论．21教育网
【详解】
，，可得，可得外接圆半径，④正确；
，即为，
即有，
则，即或，即；
若，，，可得，①可能成立；
由可得，，则三角形的周长为；面积为；
则②③成立；
若，由，
可得，，
则三角形的周长为；面积为；
则②③成立①不成立；
综上可得②③④一定成立,故选C．
【点睛】
本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公 ( http: / / www.21cnjy.com )式，考查三角函数的恒等变换，属于中档题．以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
二、填空题
31．中，三内角，，所对边的长分别为，，，已知，不等式的解集为，则______.
【答案】
【分析】
先解不等式求出，的值，再由余弦定理求解即可.
【详解】
解可得，因为不等式的解集为
所以，，又
余弦定理可得，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形和分式不等式的解法，解题的关键是熟练运用余弦定理，属于中档题.
32．的三边边长成递增的等差数列，且最大角等于最小角的倍，则______
【答案】
【分析】
由题意可得，又最大角等于最小角的倍，运用正弦定理求出，用余弦定理化简求出边长关系.
【详解】
的三边边长、、成递增的等差数列，，
最大角为，最小角为， ，
由正弦定理可得，化简可得，
用余弦定理代入并化简可得：，
，则，
，则，移项可得：，
，消去并化简可得，
设，，则，则.
故答案为：.
【点睛】
本题结合数列知识考查了运用正弦定理和 ( http: / / www.21cnjy.com )余弦定理来解三角形，探究出三角形根据已知条件得到的三边数量关系，有一定的计算量，需要熟练运用各公式进行化简.21·cn·jy·com
33．已知中，，，则______.
【答案】
【分析】
先由已知条件结合正弦定理得到与三边关系，再根据比例关系取特殊值，结合余弦定理计算b边，即可得值.21教育名师原创作品
【详解】
中，，∴，
∴，结合正弦定理得.
∵，结合正弦定理得，不妨设，则，结合余弦定理得且，即，
解得，∴.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.
34．在中，角、、所对的边分别为、、，若为锐角三角形，且满足，则的取值范围是________.【出处：21教育名师】
【答案】
【分析】
先根据余弦定理得到，再根据正弦定理和两角和差的正弦公式得到，根据三角形为锐角三角形，求得，以及的取值范围，再利用商的关系、两角差的正弦公式化简所求式子，由正弦函数的性质求得所求式子的取值范围.21*cnjy*com
【详解】
因为，所以，所以，
所以，即，，
即，因为三角形是锐角三角形，所以，所以，所以，且，所以.
所以=.由于，所以.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
35．中，若，则周长最大值为______．
【答案】.
【解析】
分析：根据正弦定理，将边长转化为角的表示形式，利用差角公式和辅助角公式，得到关于角A的表达式，然后根据角A的取值范围确定最值．
详解：由正弦定理
，
所以
所以周长
因为
所以当 时，
所以周长最大值为
点睛：本题考查了正弦定理的综合应用，通过边角转化求最值，关键是把角统一，再利用角的范围求得最大值，属于中档题．
三、解答题
36．在中，已知角所对的边分别是，若，且，试判断的形状.
【答案】等边三角形
【分析】
由已知2cosAsinB＝sinC＝sin（ ( http: / / www.21cnjy.com )A+B），结合和差角公式可求得A＝B，由（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab，可得a2+b2﹣c2＝ab，利用余弦定理可得C，从而可判断三角形的形状．
【详解】
方法一：由正弦定理得，∵，
，由余弦定理的推论得
∴， 化简得，∴；
又∵，∴，
化简得，∴，∴，即是等边三角形.
方法二：∵，∴，又，
∴， ∴，
∴，∴，
∵，∴， ∴，
又∵，∴，即，
由余弦定理的推论得
又，，又，∴是等边三角形.
【点睛】
方法点睛：
思路一：根据条件，判断三角形三边的关系，此时需要化角为边；思路二：可以把角和边巧妙地结合起来，同时考虑边之间的关系，角之间的关系.
37．在中，角，，所对的边分别为，，，，.
（1）求外接圆的面积；
（2）若，，求的周长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先利用诱导公式将原式化简，再运用正弦定理进行边角互化，得出角的大小，然后运用正弦定理求解外接圆的半径，从而得出外接圆的面积.
（2）由及可解出，的大小，得出角的大小，进而得出角，然后在中，由余弦定理可解得的值，得出的周长.
【详解】
（1）∵ ，
∴ ，由正弦定理得：，
因为 ，所以，得，
又，故 ，
∴外接圆的半径，
∴外接圆的面积为.
（2）由及得：，，
∵，则为锐角，
∴，故.
如图所示，在中，由余弦定理得，
，
解得，
则的周长为.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
解三角形时，若题目所给式 ( http: / / www.21cnjy.com )子中含有角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或者边的一次式时，则考虑用正弦定理；若以上特征不明显，则两个定理都有可能用到.
38．已知函数中，角的对边分别为，且．
（1）求的单调递减区间；
（2）若，求三角形中的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用降幂公式进行化简，得到，然后利用整体法求解的单调递减区间；
（2）先利用，求出，利用得出与的关系，再利用得出与或的关系.
【详解】
解(1)依题
又故的单调递减区间为
(2)由题意知，又，故，
依题意，
在三角形中，由余弦定理
故.
【点睛】
（1）分析三角函数的性质时，要灵活运用三角恒等变换公式将原函数解析式化为的形式，然后分析其单调区间、对称性、周期性、最值等问题；
（2）当已知一角及任意两边的关系求解三角形中边长的比例关系时，要注意运用正弦定理、余弦定理进行求解.
39．已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．
（1）求；
（2）若，且D为的中点，求的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据，利用正弦定理结合 ，得到求解.
（2）根据D为的中点，得到，然后两边平分结合余弦定理得到，再利用基本不等式求解.
【详解】
（1）因为
由正弦定理得：， ①
又因为， ②
由①②得：，
而，
所以，
又因为，
所以．
（2）因为，
所以
所以，
由余弦定理得：，
所以，
所以，
而（当且仅当时，取“=”），
所以，即：，
所以（当且仅当时，取“=”），
所以的最大值为．
【点睛】
方法点睛：(1)在解有关三角形的题 ( http: / / www.21cnjy.com )目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．
40．在中，它的内角，，的对边分别为，，，且满足．再从条件①，条件②，这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）的值
（2）的面积；
条件①：，；
条件②：，．
【答案】答案不唯一，具体见解析．
【分析】
题干条件可以进行角化边，再运用余弦定理求得，再结合所选条件求解即可.
【详解】
若选择条件①：
（1）∵，
∴，
由正弦定理得，
则，解得
（2）由（1）及余弦定理可得
∵，∴．
∵，，∴
∴
若选择条件②：
（1）∵，
∴，
由正弦定理得，
则由余弦定理可得．
又，所以．
∵，即，
则，所以．
由正弦定理及，可得．
（2）∵，，，
∴
∴
【定睛】
关键点点睛：本题的关键是对条件利用正弦定理进行化简，从而得出它的直接条件.
41．在中，分别为内角所对的边长，.
（1）求角；
（2）若的中线的长为，求的面积的最大值.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由正弦定理可得，即 ，由余弦定理可得，所以 ，即可求解；
（2）由是中线，可得，两边同时平方结合基本不等式可求得 的最大值，进而可得面积的最大值.
【详解】
（1）由正弦定理可得，，
所以可化为 ，
所以
在中，由余弦定理可得，
所以，解得：，
因为，所以，
（2）在中，若是中线，则，
所以，
即，
所以，所以 ，
所以，解得，
所以，
所以面积的最大值为
【点睛】
方法点睛：求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立，，之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.
42．在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由余弦定理结合，可得，即，又因为，即可得解；
（2）由正弦定理可得，
由，再结合三角形为锐角三角形可得，即可得解.
【详解】
（1）由余弦定理可得，
所以，
又，
所以，
因为为锐角三角形，所以，
即，又因为，所以；
（2）由（1）知，由，
可得，
,
由，且三角形为锐角三角形，
所以，且，
，
，
又，所以，
所以，，
所以的取值范围为.
【点睛】
本题考查了利用正余弦定理解三角形， ( http: / / www.21cnjy.com )考查了利用三角函数求最值，解三角形的基本思路是角化边或变化角，在解三角形中求最值有利用基本不等式和三角函数两种方法，本题属于中档题.www.21-cn-jy.com
43．如图，D为直角△ABC斜边BC上一点，，
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若，求角的大小；
（2）若，且，求的长；
【答案】（1） ；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理、外角性质、三角形内角和定理即可得出；
（2）设，则，，，于是，，，再利用余弦定理即可解出.
【详解】
（1）在中，根据正弦定理得：
因为，所以，
又因为，
所以，
所以，
所以.
（2）设，则，，，
所以，，，
在中，由余弦定理得：，
即，解得：，即
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.
44．在中，，，分别是角，，的对边，，.
（1）若，求；
（2）若______，求的值及的面积.
请从①，②，这两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择两种情况作答，以第一种情况的解答计分.【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】（1）；（2）选①：；选②：；.
【分析】
（1）由正弦定理可直接得值.
（2）选①：由余弦定理可求得的值，然后利用三角形的面积公式计算可得结果.
选②:由正弦定理可得，然后利用三角形的面积公式计算可得结果.
【详解】
（1）由，，，
由正弦定理可得，则.
（2） 若选①：由余弦定理可得，即，
整理可得，解得， （舍去），
∴；
选②:，可得，
∴
∴.
【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
45．的内角、、的对边分别为、、，已知，，.
（1）求角的大小；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用余弦定理求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用余弦定理求得的值，可求得的值，再利用两角和的正弦公式可求得的值.
【详解】
（1），，，由余弦定理可得，
，因此，；
（2）由余弦定理可得，则角为锐角，
所以，，
由两角和的正弦公式可得.
【点睛】
本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了利用两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.
46．在中，，D是的中点，，.
（1）求B；
（2）求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）直接由已知条件和正弦定理求出B的值.
（2）根据余弦定理求出c的值，再根据面积公式即可求出.
【详解】
解：（1）由及正弦定理，
可得：，
所以：，
由于：，，
因为，
解得：；
（2）延长线段到E，使得，
因为D是的中点，
所以是的中位线，
所以，
因为，
所以，
在中，由余弦定理
可得，解得，
所以.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查两角和正弦公式的应用，考查计算能力，属于中档题
47．在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求B的大小；
（2）若边上的中线的长为，面积的最大值．
【答案】（1）；（2）2.
【分析】
（1）由正弦定理化简可求出，即可求出B；
（2）由余弦定理结合基本不等式可求解.
【详解】
（1），由正弦定理得，
则，
，
因为，所以，
由，则；
（2）如图延长线段至，满足，联结，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在中，，
，，，
由余弦定理可得，
即，
因为，
所以，
则，即，
当且仅当时等号成立，
那么，
当且仅当时等号成立，
则面积的最大值为2．
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式的综合应用，属于中档题.
48．在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由正弦定理可将条件整理为，因为，故可求得，即可得；
（2）根据余弦定理得到关于的方程，解出即可.
【详解】
解：（1）因为，所以由正弦定理得，
所以，即，
整理可得，
因为中，，所以，所以；
（2）由余弦定理得，所以，
解得或(舍.
所以.
【点睛】
本题考查正余弦定理的应用，考查三角函数积化和差公式的应用，属于中档题.
49．在△ABC中，C－A＝，sinB＝.
（1）求sinA的值；
（2）设AC＝，求△ABC的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】
分析：（1）由已知和三角形的内角和定理得到与的关系式及的范围，然后利用二倍角的余弦函数公式化简得到一个关于的方程，即可求得结果；（2） 先根据可求出的值，再由正弦定理求出，最后根据三角形面积公式可得结果.21cnjy.com
详解：（1）由和π，得B＝－2A, 0
故，即2＝，.
（2）由(1)得 .
又由正弦定理，得，
所以.
点睛：本题考查了同角三角函数间 ( http: / / www.21cnjy.com )的基本关系、二倍角的余弦函数公式、诱导公式及三角形的面积公式和正弦定理，是一道综合题，做题时应注意角度的变换.www-2-1-cnjy-com
50．已知函数（其中，，，）的部分图象如图所示，是图象的最高点，为图象与轴的交点，为坐标原点.若，，.
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（1）求的大小；
（2）求函数的解析式；
（3）若，，求的值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）在中，由余弦定理求出，即可求出的大小；
（2）根据图象可计算出最高点，即求出A，找出周期，根据，求出，再将代入即可求出，即求出解析式.
（3）根据关系可求出，然后计算出，利用展开求解.
【详解】
（1）在中，,
;
（2）由（1）知，即，
，周期，
即，，
将代入，得，
，，
；
（3），
，
，，
，
.
【点睛】
本题考查了根据余弦定理求角，根据三角函数图象求解析式，以及相关角的三角函数的求法.
51．已知的内角、、的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，，求．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由余弦定理可求得；
（2）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求得，然后结合正弦定理即可求得.
【详解】
（1）由题意得，所以，
因为，所以；
（2）因为，由正弦定理可得，
故，
，
，因为，所以，
，
由正弦定理可得，．
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理及和差角公式，考查运算求解能力，属于中档题.
52．在中，内角、、所对的边分别为、、，.
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理边角互化思想可得出，结合余弦定理可求得，再由角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可求得的值，由此可求得的周长.
【详解】
（1），
由正弦定理有，可得，
有，得.
又由，可得；
（2）由三角形的面积公式可得，可得，
由余弦定理有，可得.
有，可得，
故的周长为.
【点睛】
本题考查利用余弦定理以及三角形的面积公式解三角形，同时也考查了正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.【来源：21·世纪·教育·网】
53．在中，.
（1）求的值；
（2）若①；② 请从以上两个条件中任选一个，求的面积.注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分.
【答案】（1）（2）.
【分析】
（1）由已知得.再由诱导公式和二倍角公式可得又，求得答案.
（2）选①：由正弦定理可得.再由诱导公式和三角形的面积公式可得答案；
选②：由正弦定理可得.再由诱导公式和三角形的面积公式可得答案.
【详解】
（1）由 .
又.
因为.
（2）选①：由正弦定理可得.
且.
故.
选②：由正弦定理可得.
且.
故.
【点睛】
本题考查诱导公式，同角三角函数间的关系，正弦定理，三角形的面积公式，属于中档题.
54．如图，在中，AB＝4 cm，AC＝3 cm，角平分线AD＝2 cm，求此三角形面积.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
设，由于是的角平分线，.设，则.在与中，分别利用余弦定理可得：，解得.再利用同角三角函数基本关系式和倍角公式可得，利用三角形的面积公式即可得出答案.
【详解】
解：设，
是的角平分线，.
设，则.
在与中，分别利用余弦定理可得：
，
.
，解得：.
，
.
此三角形的面积为：.
【点睛】
本题综合考查了角平分线的性质、余弦定理、同角三角函数基本关系式和倍角公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于中等题型.2·1·c·n·j·y
55．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若的面积，求a+c值；
（2）若2cosC（+）=c2，求角C．
【答案】（1）5（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知利用三角形面积公式可求ac=6，结合余弦定理可求a+c的值．
（2）利用平面向量数量积的运算，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求cosC=，结合范围C∈（0，π），可求C的值．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：（1）∵的面积，
∴=acsinB=ac，可得：ac=6，
∵由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得：7=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=（a+c）2-18，
解得：a+c=5．
（2）∵2cosC（+）=c2，
∴2cosC（accosB+bccosA）=c2，可得：2cosC（acosB+bcosA）=c，
∴由正弦定理可得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，即2cosCsinC=sinC，
∵sinC≠0，
∴cosC=，
∵C∈（0，π），
∴C=．
【点睛】
本题主要考查了三角形面积公式，余弦 ( http: / / www.21cnjy.com )定理，平面向量数量积的运算，正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
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第十三讲 余弦定理
【提升训练】
一、单选题
1．在中，内角，，C所对的边分别为a，b，c，已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知的面积为30，且，则等于（ ）
A．72 B．144 C．150 D．300
3．在中，，，，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知，，且，则的取值范围为（ ）21世纪教育网版权所有
A．[，] B．(，) C．[，] D．(，)
5．在中，若，，，则等于（ ）
A． B．或 C． D．或
6．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．C为直角的直角三角形 B．C为钝角的钝角三角形
C．B为直角的直角三角形 D．A为锐角的三角形
7．中，角，，所对的边分别为，，，若，且的面积为，则（ ）
A． B． C．或 D．或
8．在△ABC中，角A，B，C的对 ( http: / / www.21cnjy.com )边分别为a，b，c，若角A，B，C成等差数列，且直线ax+cy﹣12＝0平分圆x2+y2﹣4x﹣6y＝0的周长，则△ABC的面积的最大值为（ ）21教育网
A． B． C． D．
9．在中，角，，所对的边分别为，，．若，，时，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．在中，角、、所对的边分别是、、，若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
11．在中，角所对的边长分别为．若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
12．在中，D是边上的点，且，，，则的值为
A． B． C． D．
13．在中，内角、所对的边分别为、，若，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
14．在锐角三角形中，，，分别是角，，的对边，已知，是方程的两个根，且，则c＝（ ）21cnjy.com
A．4 B． C． D．
15．在中，内角、、所对的边分别为，，，已知， ，，则（ ）
A． B． C． D．
16．中，内角所对的边分别为.若，则的面积为（ ）
A．6 B． C． D．
17．在中，内角所对的边分别为a、b、c，给出下列四个结论：①若，则；②等式一定成立；③；④若，且，则为等边三角形；以上结论正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
18．在中，、、分别是角、、的对边，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
19．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.若，的面积为，则（ ）
A．5 B． C．4 D．16
20．在中，的角平分线，则（ ）
A． B． C． D．
21．在中，角，，所对的边为，，，且为锐角，若，，，则
A． B． C． D．
22．在斜中，设角的对边分别为，已知，是角的内角平分线，且，则
A． B． C． D．
23．在中，角对应的边分别是，已知，的面积为，则外接圆的直径为
A． B． C． D．
24．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，b＝10，则结合a的值解三角形有两解的为
A．a＝8 B．a＝9 C．a＝10 D．a＝11
25．角，，是三内角，且满足，则的最大值是
A． B． C． D．
26．在中，角的对边分别是，，，，则的面积为．
A． B． C． D．
27．已知的面积为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
28．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
29．在中，角的对边分别为，已知，且，点满足，，则的面积为
A． B． C． D．
30．三角形的三边分别是，若，，且，则有如下四个结论：
①
②的面积为
③的周长为
④外接圆半径
这四个结论中一定成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
31．中，三内角，，所对边的长分别为，，，已知，不等式的解集为，则______.www.21-cn-jy.com
32．的三边边长成递增的等差数列，且最大角等于最小角的倍，则______
33．已知中，，，则______.
34．在中，角、、所对的边分别为、、，若为锐角三角形，且满足，则的取值范围是________.2·1·c·n·j·y
35．中，若，则周长最大值为______．
三、解答题
36．在中，已知角所对的边分别是，若，且，试判断的形状.
37．在中，角，，所对的边分别为，，，，.
（1）求外接圆的面积；
（2）若，，求的周长.
38．已知函数中，角的对边分别为，且．
（1）求的单调递减区间；
（2）若，求三角形中的值．
39．已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．
（1）求；
（2）若，且D为的中点，求的最大值．
40．在中，它的内角，，的对边分别为，，，且满足．再从条件①，条件②，这两个条件中选择一个作为已知，求：【来源：21·世纪·教育·网】
（1）的值
（2）的面积；
条件①：，；
条件②：，．
41．在中，分别为内角所对的边长，.
（1）求角；
（2）若的中线的长为，求的面积的最大值.
42．在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若，求的取值范围.
43．如图，D为直角△ABC斜边BC上一点，，
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（1）若，求角的大小；
（2）若，且，求的长；
44．在中，，，分别是角，，的对边，，.
（1）若，求；
（2）若______，求的值及的面积.
45．的内角、、的对边分别为、、，已知，，.
（1）求角的大小；
（2）求的值.
46．在中，，D是的中点，，.
（1）求B；
（2）求的面积.
47．在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求B的大小；
（2）若边上的中线的长为，面积的最大值．
48．在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值.
49．在△ABC中，C－A＝，sinB＝.
（1）求sinA的值；
（2）设AC＝，求△ABC的面积．
50．已知函数（其中，，，）的部分图象如图所示，是图象的最高点，为图象与轴的交点，为坐标原点.若，，.
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（1）求的大小；
（2）求函数的解析式；
（3）若，，求的值.
51．已知的内角、、的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，，求．
52．在中，内角、、所对的边分别为、、，.
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
53．在中，.
（1）求的值；
（2）若①；② 请从以上两个条件中任选一个，求的面积.注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分.21·cn·jy·com
54．如图，在中，AB＝4 cm，AC＝3 cm，角平分线AD＝2 cm，求此三角形面积.
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55．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若的面积，求a+c值；
（2）若2cosC（+）=c2，求角C．
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