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第十三讲 余弦定理
【基础训练】
一、单选题
1．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝10，b＝15，C＝60°，则cos B＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据余弦定理算出，再根据余弦定理可计算.
【详解】
由余弦定理得，
故，
所以.
故选：A.
2．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC中点，则cos ∠BDC＝（ ）
A．－ B．
C．0 D．
【答案】B
【分析】
在Rt△ABC中利用勾股定理求AC，即可确定BD、AD，进而应用余弦定理根据相应边求出对应角的余弦值.
【详解】
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC中点
∴，BD＝AD＝CD＝5
在△BDC中，利用余弦定理
故选：B.
3．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
直接利用正弦定理求解即可.
【详解】
因为，，，
所以由正弦定理可得，
则，
故选：A.
4．在中，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用正弦定理、余弦定理以及诱导公式判断四个选项的正误，即可得正确答案.
【详解】
对于选项A：由正弦定理有，故，故选项A错误；
对于选项B：因为，故，故选项B错误；
对于选项C：，由余弦定理得；故选项C错误；
对于选项D：由正弦定理可得，再根据诱导公式可得：，即，故选项D正确；
故选：D
5．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由正弦定理即可求解.
【详解】
由正弦定理可得，
.
故选：B.
6．在中，，则（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
【分析】
由正弦定理即可求出，进而求出.
【详解】
由正弦定理可得，
，
，或.
故选：B.
7．若的内角、、所对的边，，满足，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据余弦定理可得得，整理可得，通过配方即可得解.
【详解】
由余弦定理，得，
即，
所以，
解得.
故选：C.
8．中，，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用余弦定理求，即可求得.
【详解】
由余弦定理可得，
又，所以.
故选：C
【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，属于基础题.
9．在中，，，，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】
直接利用三角形面积公式进行计算.
【详解】
的面积为.
故选：C
【点睛】
本题考查三角形面积公式，属于基础题.
10．已知的三边长满足等式，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的大小.
【详解】
，，由余弦定理得，
，因此，.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.
11．在中，，，分别是内角，，的对边，，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由可得，再利用余弦定理即可得，从而可得角.
【详解】
由可得，
由余弦定理可得：，
因为，
所以，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了余弦定理解三角形，属于基础题.
12．在△ABC中，角所对的边分别为，若，则角（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由余弦定理可得，再根据C为△ABC内角，即可求出结果.
【详解】
由余弦定理得，
得，
又为内角，所以.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题.
13．已知△ABC中，，则b等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】
直接用正弦定理求角．
【详解】
由正弦定理，得.
故选：D．
【点睛】
本题考查正弦定理，正弦定理一般解决两类问题：（1）已知两角及一角对边，求另一角的对边，（2）已知两边及一边对角，求另一边的对角．21世纪教育网版权所有
14．三角形两边分别为5和3，它们夹角的余弦值是方程的根则三角形的另一边长为（ ）
A． B． C．52 D．13
【答案】A
【分析】
设已知两边的夹角为．求出，再利用余弦定理求解.
【详解】
设已知两边的夹角为．根据题意得或（舍去），
∴三角形的另一边长为．
故选：A
【点睛】
本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
15．中，若，则的面积为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】
直接利用三角形面积公式进行计算.
【详解】
因为，
又
所以的面积为.
故选：A.
【点睛】
本题考查了三角形的面积公式.属于容易题.
16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a：b：c＝4：5：6，则cosA＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据边长比，设出边长，再利用余弦定理推导即可求解.
【详解】
在△ABC中，a：b：c＝4：5：6，
不妨设，且，
所以.
故选：C
【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2﹣c2+bc＝0，则∠A等于（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【分析】
结合余弦公式即可求解
【详解】
由，又，解得，
故选：B
【点睛】
本题考查由余弦定理求角，属于基础题.
18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a，则等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】
由已知结合正弦定理即可直接求解．
【详解】
A＝60°，a，
由正弦定理可得，2，
∴b＝2sinB，c＝2sinC，
则2．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础试题．
19．在中，若角，，，则角（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】
由正弦定理，则有，再根据，从而可求角.
【详解】
由正弦定理可得：，则，
因为，所以，
故或.
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.
20．在中，若，，，则A等于（ ）
A．30° B．150° C．60° D．60°或120°
【答案】A
【分析】
直接利用正弦定理求解.
【详解】
在中，，，，
由正弦定理得：，
所以，
因为，
所以 ，
故选：A
【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.
21．在中，角的对边分别为，若，则角的大小为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】
将，变形为求解.
【详解】
因为，
所以，
即，
因为，
所以，
因为，
所以或，
故选：C
22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝4，b＝4，C＝30°，则c2等于（ ）
A．32－16 B．32＋16
C．32＋16 D．48
【答案】A
【分析】
运用余弦定理解题即可.
【详解】
解析：由余弦定理得
故选：A.
23．的三边上的高分别为，若，则最大角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由三角形高之比可得三角形边长之比，由余弦定理即可得结果.
【详解】
因为的三边上的高满足，
故可得对应的边长之比为：，可记为，
故最大角的余弦值为：，
故选：C.
24．如图，平面四边形中，，，点E在对角线上，，，则的值为（ ）
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A．17 B．13 C．5 D．1
【答案】D
【分析】
利用余弦定理求出，，再根据二倍角公式得出，从而可计算出结论．
【详解】
解：由题意可知，，
，
，
．
．
故选：．
25．已知的三边a、b、c满足，则为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．120°
【答案】C
【分析】
将等式变形得，再利用余弦定理即可求出.
【详解】
由可得, ,
即有,又,所以.
故选：C．
26．若是锐角三角形的三边长，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据大边对大角，只需边长对应的角为锐角，由余弦定理即可求出.
【详解】
因为三角形是锐角三角形,所以最大边长对应的角为锐角，设该角为,
所以,即,解得或（舍去）.
故选：C.
27．下列命题中，不正确的是（ ）
A．若a、b、c是三角形三边，且，则C是锐角
B．在中，若则
C．在中，若，则一定是直角三角形
D．任何三角形的三边之比不可能是1:2:3
【答案】B
【分析】
利用余弦定理，可得角C、A的范围， ( http: / / www.21cnjy.com )即可判断选项A、B的正误；根据题意，结合角A的范围，可判断选项C的正误，根据三角形两边之和大于第三边，可判断选项D的正误，即可得答案.
【详解】
对于A：由余弦定理可得，又，所以，
所以角C是锐角，故A正确；
对于B：由余弦定理可得，又，所以，
所以角A是锐角，所以，故B错误；
对于C：因为，，所以，
所以，则，所以一定是直角三角形，故C正确；
对于D：若三角形三边之比是1:2:3， ( http: / / www.21cnjy.com )不妨设三边为a,2a,3a,则两短边之和为3a，不满足三角形两边之和大于第三边，故任何三角形的三边之比不可能是1:2:3，故D正确.21cnjy.com
故选：B
28．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为（ ）
A． B．8－4 C．1 D．
【答案】A
【分析】
已知条件变形后由余弦定理计算．
【详解】
由 (a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C＝2abcos 60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝.www.21-cn-jy.com
故选：A．
29．在中，已知，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】
利用余弦定理表示出和，代入已知等式整理可得到或，即可确定三角形的形状.
【详解】
由余弦定理的：，，
代入中，
得，
等式两边同乘得：
，
移项合并得：，
整理得：，
即，
可得或，
则三角形为等腰三角形或直角三角形，
故选：D.
【点睛】
解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只 ( http: / / www.21cnjy.com )含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．2·1·c·n·j·y
30．在中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】
根据，利用正弦定理得到求解.
【详解】
因为在中，，
所以
因为，
所以，
因为则,
或
故选：D
31．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到的近似值为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
首先判断等腰三角形的个数，根据割圆术的思想，等腰三角形的面积和近似为圆的面积，列出面积公式，求的近似值.www-2-1-cnjy-com
【详解】
圆的周角为，，所以当等腰三角形的顶角为时，共割了60个等腰三角形，设圆的半径为，则由题意可知，解得：，2-1-c-n-j-y
所以的近似值是.
故选：A
32．中，边，，的对角分别是，，，若，则角（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】
利用正弦定理的边角互化即可求解.
【详解】
在中，由正弦定理知
则，
因为角是的内角，
所以，
所以角等于或．
故选：D．
33．在锐角中，角A、B所对的边长分别为a、b，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由条件结合正弦定理可得，然后得到即可选出答案.
【详解】
因为
所以由正弦定理可得，因为，所以
因为角A为锐角，所以
故选：A
34．若，且，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】
先利用余弦定理求出角，再利用正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可得，即可求出角，进而可得角，即可判断出的形状.【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
由余弦定理得推论可得，
因为，
所以，
因为，
由正弦定理可得：，
整理可得：，所以，
所以或，
因为，所以，所以，
所以是等腰直角三角形，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是熟练运用余弦定理得推论求出角，运用正弦定理化边为角求出角和角的关系，求出角，判断三角形形状的关键就是化边为角或化角为边.21*cnjy*com
35．正三角形的外接圆和内切圆半径的比值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【分析】
设正三角形的边长为，外接圆的半径为，内切圆的半径为，根据正弦定理得，等面积法得，进而得.【出处：21教育名师】
【详解】
解：设正三角形的边长为，外接圆的半径为，内切圆的半径为，
则根据正弦定理得：，解得，
根据等面积法得：，解得，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查正弦定理求三角形外接圆的半径，等面积法求三角形内切圆的半径，是基础题.
36．在中，若，则角的值为（ ）.
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【分析】
利用正弦定理将边化角，即可得解；
【详解】
解：因为，所以由正弦定理可得，又，所以，即，所以
故选：B
【点睛】
本题考查正弦定理的应用，属于基础题.
37．中，，．则三角形的面积（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【分析】
利用余弦定理求出角B，即可代入三角形面积公式求三角形的面积.
【详解】
由余弦定理知，又，所以，
则三角形的面积.
故选：B
【点睛】
本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式，属于基础题.
38．在△ABC中，已知A，B，C成等差数列，且b=3，则=（ ）
A． B．2
C．3 D．6
【答案】B
【分析】
先算出，再利用正弦定理可得，最后利用等比定理可得所求的值.
【详解】
因为成等差数列且，
所以即，所以外接圆的直径 ，
由正弦定理可得，
故选：B.
【点睛】
本题考查正弦定理，属于基础题.
39．在中，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用特殊值排除错误选项，利用正弦定理证明正确选项.
【详解】
若，由于,则，所以A选项错误.
若，则，
，所以BC选项错误.
在三角形中，大角对大边，由于，所以，由正弦定理得①，是三角形外接圆的半径.
由①得.所以D选项正确.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查三角函数的单调性，考查正弦定理，属于基础题.
40．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则（ ）
A． B．2 C． D．34
【答案】B
【分析】
利用余弦定理即可求解.
【详解】
在中，，，，
所以，
即，
或，又，
所以，
故选：B
【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记公式，属于基础题.
二、填空题
41．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最小值为________．
【答案】
【分析】
由余弦定理及基本不等式求解．
【详解】
，当且仅当时等号成立．
故答案为：．
42．在中，若，则=______
【答案】
【分析】
先将已知式整理得，即得，再利用余弦定理求，结合范围即得结果.
【详解】
由得，，
，
，
，而，
故，即，
，而中，，故.
故答案为：.
43．中，设为锐角且满足，则的形状是_________.
【答案】等腰直角三角形
【分析】
由得，，再结合余弦定理即可得结果.
【详解】
由得，
所以又为锐角，则，
由余弦定理得得
所以，，则的形状是等腰直角三角形.
故答案为：等腰直角三角形
44．在中，，边上的中线长为____________.
【答案】
【分析】
取中点，由余弦定理得及可得答案.
【详解】
如图取中点，连接，且，
由余弦定理得，
，
所以.
故答案为：.
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三、解答题
45．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝3，cosB＝．求边b的值．
【答案】
【分析】
由余弦定理即可求出.
【详解】
解：由余弦定理，得，所以．
46．已知在△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求角A的大小.
【答案】
【分析】
利用余弦定理可求的大小.
【详解】
由题设可设，
由余弦定理得，，
而为三角形内角，故.
47．半径为1，圆心角为的扇形，点是扇形弧上的动点，设．
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（1）用表示平行四边形的面积；
（2）求平行四边形面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
(1)利用正弦定理求出PC,OC,即可用x表示平行四边形ODPC的面积;
(2)利用辅助角公式化简,即可求平行四边形ODPC面积的最大值．21教育网
【详解】
(1)由题意得:
在中,设,由正弦定理得
所以,
(2)由(1)得：
当时达最大值
即,当平行四边形面积达到最大值．
【点睛】
本题考查正弦定理,考查辅助角公式的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题．
48．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.21·世纪*教育网
问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，_____？
【答案】答案见解析
【分析】
由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围，可求，
若选择条件①，利用正弦定理可得，由余弦定理即可求得的值.
若选择条件②，由条件可求的值，进而可求得，由正弦定理即可解得的值.
若选择条件③，由已知利用三角形内角和定理可求，推出矛盾即可得解.
【详解】
因为，
由正弦定理可得：，
因为为三角形内角，，
所以，即，可得，
因为，所以，
若选择条件①，由，
利用正弦定理，可得，
由余弦定理，
则，解得.
若选择条件②，由于，可得，
又因为，所以是以为顶角的等边三角形，
所以，可得，
由正弦定理，可得，解得.
若选择条件③，
由于，又因为，
可得，这与矛盾，则这样的三角形不存在.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.【版权所有：21教育】
49．中的内角，，的对边分别是，，，若，.
（1）求；
（2）若，点为边上一点，且，求的面积.
【答案】（1）（2）10
【分析】
（1）由二倍角的正弦公式以及正弦定理，可得，再根据二倍角的余弦公式计算即可；
（2）由已知可得，利用余弦定理解出，由已知计算出与，再根据三角形的面积公式求出结果即可.
【详解】
（1），
，
在中，由正弦定理得，，
又，
，
，
（2），，
，
由余弦定理得，，
则，
化简得，，
解得或（负值舍去），
，，
，，
，
的面积.
【点睛】
本题考查了三角形面积公式以及正弦定理、余弦定理的应用，考查了二倍角公式的应用，考查了运算能力，属于基础题.21教育名师原创作品
50．在△ABC中，B＝45°，AC＝，AB＝2，试用余弦定理求BC边的长．
【答案】
【分析】
根据已知条件，应用余弦定理有，结合三角形的性质，求解即可.
【详解】
由余弦定理，得：AC2＝BC2＋AB2－2BC·AB·cosB，又B＝45°，，AB＝2，
∴，整理，得，
∴，解得或 (舍去)，
∴BC边的长为．
51．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2．求c．
【答案】c＝4
【分析】
由已知求得tanA＝－，再由余弦定理可求得答案，
【详解】
解：由已知可得tanA＝－，又，所以A＝．在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos，即c2＋2c－24＝0，解得c＝4(负值舍去)．21*cnjy*com
52．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程的两根，.
（1）求角的度数；
（2）求的长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用诱导公式可得角的余弦值，从而可求的大小.
（2）利用余弦定理和韦达定理可求的长.
【详解】
（1）由题设可得即，
而为三角形内角，故.
（2）由韦达定理可得，
由余弦定理可得，
故.
53．证明：若D是△ABC的边BC上一点，则
【答案】证明见解析.
【分析】
先根据∠ADB+∠ADC=，有 ，再利用三角形中的余弦定理代入化简即得结论.
【详解】
证明：易见△ABC中，∠ADB+∠ADC=，故，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由余弦定理代入即得，，
两边同乘以得，
+，
故，
即.
54．在△ABC中，所示，AM是△ABC边BC上的中线，求证：
【答案】证明见解析.
【分析】
先利用向量表示，再计算模长，结合余弦定理化角为边，即得结论.
【详解】
解：AM是△ABC边BC上的中线，故，
( http: / / www.21cnjy.com / )
故，
而，
故.
55．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－ac.
（1）求cos B的值；
（2）若b＝，且a＋c＝2b，求ac的值.
【答案】（1）；（2）12.
【分析】
（1）由条件展开，变形，再结合余弦定理求得；（2）由余弦定理，再结合公式，计算的值.
【详解】
(1)由，可得.所以，即cos B＝.
(2)因为，，由余弦定理，得，
又，所以，解得ac＝12.
56．已知的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，求周长l的最大值.
【答案】（1）；（2）3.
【分析】
（1）由题意利用正弦定理，两角和差的三角公式，求得的值，可得A的值.
（2）利用正弦定理求得b c的解析式，可得周长l的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得的周长l的最大值.
【详解】
解：（1）中，∵，
∴由正弦定理可得，
∴，∴.
结合，可得.
（2）由正弦定理得，，
∴周长
.
∵，∴，，
∴，故的周长l的最大值为3.
【点睛】
本题考查了正弦定理的边角互化、三角恒等变换以及正弦函数的性质，属于基础题.
57．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，成等比数列，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由条件结合正弦定理可得，然后可求出答案；
（2）由余弦定理可得，然后利用基本不等式求出的最大值即可.
【详解】
（1）因为，，成等比数列，
所以．
由正弦定理得．
又，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以或．
又，，成等比数列，
所以或，即不是的最大边，故．
（2）由余弦定理，得，即，
所以．
当时，的面积取得最大值．
【点睛】
本题主要考查的是等比数列、正余弦定理、三角形的面积公式及基本不等式的应用，考查了学生对基础知识的掌握情况.
58．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且．
（1）求；
（2）若的面积为，求的周长．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由正弦定理角化边得，又由余弦定理算出即可；
（2）由（1）得，再由三角形面积公式可得，进而得到三角形的周长.
【详解】
（1）因为，所以，
因为，所以，
（2）因为，所以，
因为的面积为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
故的周长为．
【点睛】
本题考查正余弦定理的应用，考查学生的逻辑推理与运算求解能力.
59．在中，已知，，，求边c和.
【答案】，.
【分析】
根据余弦定理计算边c，结合同角三角关系和正弦定理求即可.
【详解】
由余弦定理得：；
而中，，故，
根据正弦定理，，
则.
【点睛】
本题考查了正、余弦定理，属于基础题.
60．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.
（1）求角B的大小；
（2）若，求b的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由题可得，，即可求出，进而求出角B；
（2）利用余弦定理即可解出.
【详解】
（1）因为，所以，
又，所以，
因此，又，所以；
（2）若，则，
由余弦定理，
得，
所以.
【点睛】
本题考查三角形正余弦定理的应用，属于基础题.
61．已知△ABC的面积三边长分别为AB=8，BC=5，AC=7.
（1）求cosB；
（2）求△ABC的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用余弦定理可直接计算；
（2）先计算出，然后用面积公式直接计算.
【详解】
（1）由余弦定理得；
（2），，
.
【点睛】
本题考查余弦定理的应用以及面积公式的使用，属于基础题.
62．在中，角，，的对边分别是，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，，求，的长．
【答案】（1）；（2）；．
【分析】
（1）首先利用正弦定理对题中所给的式子进行变形，整理得到，即可求得结果；
（2）代入条件可直接求出，再由余弦定理可求出c.
【详解】
（1）由及正弦定理，
得，
又，所以，
因为，所以；
（2）由，，，
得，解得,
由余弦定理，得，，
即．解得或，
又，，所以．
【点睛】
该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，余弦定理，已知三角函数值求角，属于简单题目.21·cn·jy·com
63．设△的内角所对的边分别为，已知．
（1）求的值；
（2）求△的面积．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由正弦定理可求得；
（2）由诱导公式求得，再由面积公式得三角形面积．
【详解】
（1），，由正弦定理，得
（2）由题，
的面积为．
【点睛】
本题考查正弦定理，考查三角形面积公式，属于基础题．
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第十三讲 余弦定理
【基础训练】
一、单选题
1．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝10，b＝15，C＝60°，则cos B＝（ ）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC中点，则cos ∠BDC＝（ ）
A．－ B．
C．0 D．
3．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．在中，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，则（ ）
A． B．或 C． D．
7．若的内角、、所对的边，，满足，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．中，，．则（ ）
A． B． C． D．
9．在中，，，，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．已知的三边长满足等式，则（ ）
A． B． C． D．
11．在中，，，分别是内角，，的对边，，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
12．在△ABC中，角所对的边分别为，若，则角（ ）
A． B．
C． D．
13．已知△ABC中，，则b等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
14．三角形两边分别为5和3，它们夹角的余弦值是方程的根则三角形的另一边长为（ ）
A． B． C．52 D．13
15．中，若，则的面积为（ ）
A． B． C．1 D．
16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a：b：c＝4：5：6，则cosA＝（ ）
A． B． C． D．
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2﹣c2+bc＝0，则∠A等于（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a，则等于（ ）
A． B． C． D．2
19．在中，若角，，，则角（ ）
A． B． C．或 D．或
20．在中，若，，，则A等于（ ）
A．30° B．150° C．60° D．60°或120°
21．在中，角的对边分别为，若，则角的大小为（ ）
A． B． C．或 D．或
22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝4，b＝4，C＝30°，则c2等于（ ）
A．32－16 B．32＋16
C．32＋16 D．48
23．的三边上的高分别为，若，则最大角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
24．如图，平面四边形中，，，点E在对角线上，，，则的值为（ ）
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A．17 B．13 C．5 D．1
25．已知的三边a、b、c满足，则为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．120°
26．若是锐角三角形的三边长，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
27．下列命题中，不正确的是（ ）
A．若a、b、c是三角形三边，且，则C是锐角
B．在中，若则
C．在中，若，则一定是直角三角形
D．任何三角形的三边之比不可能是1:2:3
28．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为（ ）
A． B．8－4 C．1 D．
29．在中，已知，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
30．在中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A． B．或 C． D．或
31．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到的近似值为（ ）
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A． B．
C． D．
32．中，边，，的对角分别是，，，若，则角（ ）
A． B． C．或 D．或
33．在锐角中，角A、B所对的边长分别为a、b，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
34．若，且，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
35．正三角形的外接圆和内切圆半径的比值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
36．在中，若，则角的值为（ ）.
A．30° B．45° C．60° D．90°
37．中，，．则三角形的面积（ ）
A．2 B． C． D．1
A． B．2
C．3 D．6
39．在中，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
40．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则（ ）
A． B．2 C． D．34
二、填空题
41．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最小值为________．
42．在中，若，则=______
43．中，设为锐角且满足，则的形状是_________.
44．在中，，边上的中线长为____________.
三、解答题
45．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝3，cosB＝．求边b的值．
47．半径为1，圆心角为的扇形，点是扇形弧上的动点，设．
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（1）用表示平行四边形的面积；
（2）求平行四边形面积的最大值．
48．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.21世纪教育网版权所有
问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，_____？
49．中的内角，，的对边分别是，，，若，.
（1）求；
（2）若，点为边上一点，且，求的面积.
50．在△ABC中，B＝45°，AC＝，AB＝2，试用余弦定理求BC边的长．
51．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2．求c．
52．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程的两根，.
（1）求角的度数；
（2）求的长.
53．证明：若D是△ABC的边BC上一点，则
54．在△ABC中，所示，AM是△ABC边BC上的中线，求证：
55．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－ac.
（1）求cos B的值；
（2）若b＝，且a＋c＝2b，求ac的值.
56．已知的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，求周长l的最大值.
57．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，成等比数列，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值．
58．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且．
（1）求；
（2）若的面积为，求的周长．
59．在中，已知，，，求边c和.
60．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.
（1）求角B的大小；
（2）若，求b的值.
61．已知△ABC的面积三边长分别为AB=8，BC=5，AC=7.
（1）求cosB；
（2）求△ABC的面积.
62．在中，角，，的对边分别是，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，，求，的长．
63．设△的内角所对的边分别为，已知．
（1）求的值；
（2）求△的面积．
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