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第十四讲 正弦定理
【提升训练】
一、单选题
1．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先化切为弦，再根据两角和正弦公式以及正弦定理得，最后根据余弦定理求结果.
【详解】
故选：D
【点睛】
本题考查两角和正弦公式、正弦定理、余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的形状为（ ）
A．等腰非等边三角形 B．直角非等腰三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【分析】
先利用正弦定理将中得边化成角，可以求出，再利用正弦定理将化简可以求出，从而判断的形状为等边三角形.21世纪教育网版权所有
【详解】
，由正弦定理得，
,
即
，，
，所以，
即，解得，
故的形状为等边三角形．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查利用正弦定理化简关系式，从而判断三角形得形状，属于基础题.
3．在△中，，那么这个三角形的最大角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由正弦定理，可得，设，易知该三角形的最大角是角，由余弦定理，可求出，进而可求出角.
【详解】
由正弦定理，，
设，
显然该三角形的最大角是角，
由余弦定理，可得，
因为，所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
4．在中，已知，，若的面积，则的外接圆直径为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【分析】
利用面积公式求出，再用余弦定理 求出可得
【详解】
，，，，得；
所以由余弦定理可得，则；
因此，由正弦定理可得，的外接圆直径为.
故选：C
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理及面积公式. 熟练运用正弦定理、余弦定理是解题关键，属于基础题型.
5．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若sin B＋2sin Acos C＝0，则当cos B取最小值时，＝（ ）【版权所有：21教育】
A． B．
C．2 D．
【答案】B
【分析】
把sin B＋2sin Acos C＝0利用正余弦定理统一成边，再利用余弦定理表示出cos B，结合基本不等式可得结果
【详解】
由sin B＋2sin Acos C＝0，根据正弦定理和余弦定理得，
∴，∴，
∴，
当且仅当，即时取等号，cos B取最小值．
故选：B．
【点睛】
此题考查正余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，属于基础题
6．中，，的对应边分别为，，，满足，则角的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
化简已知不等式可得，利用余弦定理得，利用余弦函数的图像和性质可求的范围.
【详解】
由，得：
，
化简得：，
同除以，利用余弦定理得，
所以.
故选：A
【点睛】
本题考查了余弦定理、余弦函数的图像与性质，属于基础题.
7．在中，已知，若该三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
若有两解，则，即可求出的取值范围
【详解】
如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
若该三角形有两解，则，
所以，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了三角形有两解的条件，采用数形结合的方法，属于基础题.
8．在中，D是边上一点，，，，，则的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知条件可得，记为利用两角差的正弦公式求出，在中利用正弦定理求出BD，代入得解.
【详解】
，，，，
，
在中，即，解得，
.
故选：C
【点睛】
本题考查正弦定理解三角形、两角差的正弦公式，属于基础题.
9．若为等腰直角斜边上的两个三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意，不放设，则，根据题意，以及余弦定理，求出，再由余弦定理，求出，进而可求出结果.
【详解】
由题意，不放设，则，
又为等腰直角斜边上的两个三等分点，
所以，，
由余弦定理可得：，
即，
因此，
所以，
故.
故选：D.
( http: / / www.21cnjy.com / )【点睛】
本题主要考查解三角形，熟记余弦定理即可，属于常考题型.
10．在中，角、、的对边分别为、、，若，则角的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】
先根据余弦定理进行化简，进而得到的值，再由角的范围和正弦函数的性质可得到最后答案．
【详解】
解：由，∴，即，
因为有意义，所以，，
∴，又在中，所以为或，
故选:D．
【点睛】
本题主要考查余弦定理的应用．考查计算能力，属于基础题．
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝1，∠A＝45°，S△ABC＝2，则a＝（ ）
A．5 B．25 C． D．
【答案】A
【分析】
在△ABC中，由S△ABC＝求得b，再利用余弦定理求解.
【详解】
在△ABC中， c＝1，∠A＝45°，
S△ABC＝，
解得 ，
由余弦定理得：
，
，
解得，
故选：A
【点睛】
本题主要考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
12．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意结合正弦定理得，再由同角三角函数的平方关系可得，再根据正弦定理即可得解.
【详解】
由正弦定理得，
所以，，
∴．
故选：D.
【点睛】
本题考查了正弦定理及同角三角函数平方关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
13．在△ABC中，若22=，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】
由已知利用平面向量数量积的运算，余弦定理可求c2=a2+b2，利用勾股定理即可判断得解．
【详解】
解：
，化简可得：，
∴△ABC是直角三角形．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的运算，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想．21cnjy.com
14．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，若＝＝，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．任意三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】
根据正弦定理及条件，可得sinB ＝ cosB，sinC ＝ cosC，有B＝C＝，A＝，△ABC即可确定
【详解】
解：∵由正弦定理得：，又
∴有sinB＝cosB，sinC＝cosC，即在△ABC中有B＝C＝， A＝
∴△ABC是等腰直角三角形
故选：D
【点睛】
本题考查了正弦定理，判断三角形的形状，属于基础题
15．在中，，，，则（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【分析】
利用余弦定理即可求出的值．
【详解】
解：因为，，，
，
故．
故选：．
【点睛】
本题考查余弦定理的应用，属于基础题．
16．在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由正弦定理化角为边，然后由余弦定理计算即可得角．
【详解】
∵，由正弦定理得，
设，
则，又是三角形内角，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理，解题是用正弦定理化角为边．属于基础题．
17．在中，，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
利用余弦定理求出，，即可得出结论．
【详解】
解：中，，，，
，，
，，
．
故选：．
【点睛】
本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．
18．在中，若，，则的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】
首先利用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式：即可求解.
【详解】
在中，若，
所以，
又，所以
所以，因为，
所以.
故选：C
【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形、三角形的面积公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
19．在△ABC中，，则△ABC的最小角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由小边对小角原理判断三边大小可知最小，求即可.
【详解】
由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，
则cosC=，所以C=.
故选：B.
【点睛】
本题考查由余弦定理求解最小角，属于基础题
20．在中，分别为的对边，，这个三角形的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据三角形的面积公式可求得c，再由余弦定理可求得a，得出选项.
【详解】
依题意，解得，
由余弦定理得.
故选：D.
【点睛】
本题考查三角形的面积公式和余弦定理，属于基础题.
21．在中，分别是内角的对边，，，当内角最大时，的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
已知等式利用正弦定理角化边化简，得到关系式，利用余弦定理表示出，把得出关系式整理后代入，利用基本不等式求出的最小值，然后利用三角形面积公式计算.21·世纪*教育网
【详解】
已知等式利用正弦定理化简得：，
两边平方得：，即，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时，
则的最小值为，此时C最大，且，
则的面积，
故选:A.
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.关键在于熟练掌握利用正弦定理进行边角互化，利用余弦定理求得cosC关于的表达式，并使用基本不等式求得cosC的最小值.21*cnjy*com
22．在中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：，化为，与．解出即可．
【详解】
解：，
，
，
所以，
因为．
解得或．
因为，所以舍去．
．
故选：．
【点睛】
本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21教育名师原创作品
23．已知的一个内角为，并且三边的长构成一个公差为4的等差数列，则的面积为（ ）.
A．15 B．14 C． D．
【答案】C
【分析】
设的三边为a，b，c，，根据三边的长构成一个公差为4的等差数列，设，利用余弦定理求得b，再利用三角形面积公式求解.
【详解】
设的三边为a，b，c，，
因为三边的长构成一个公差为4的等差数列，
设，
由余弦定理得，
即 ，
整理得 ，
解得或 （舍去）
所以，
故选：C
【点睛】
本题主要考查余弦定理和三角形面积公式的应用以及等差数列的知识，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
24．如图所示，在中，在线段上，，，，则边的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用余弦定理求得，由此求得，进而求得，利用正弦定理求得.
【详解】
在三角形中，由余弦定理得，
所以，由于，
所以.
在三角形中，由正弦定理得.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题.
25．已知直线：与圆：相交于，两点，为坐标原点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
因为圆周角等于所在圆的圆心角的一半，所以将 ( http: / / www.21cnjy.com )所求转化为求圆心角的余弦值，联立直线和圆，求出弦长和半径，利用余弦定理即可求出圆心角的余弦值，结合二倍角公式即可求出结果.
【详解】
设圆心为C，则，
设直线与圆的交点的坐标为 ，
联立 可得：，即，
所以=
又，所以圆的半径
即，解得：.
故选：A
【点睛】
本题考查直线和圆相交的性质，考查圆周角的性质以及余弦定理解三角形，考查二倍角的余弦公式，考查学生转化问题的能力和计算能力，属于中档题.【出处：21教育名师】
26．在中，角，，所对的边分别为，，，且边上的高为，则的最大值是（ ）
A．8 B．6 C． D．4
【答案】D
【分析】
首先利用面积公式可得：，再利用余弦定理，两者结合可得，而，即可得，再利用辅助角公式即可求解.
【详解】
由已知可得：，
所以，
因为，所以
所以，
所以的最大值是4
故选：D
【点睛】
本题主要考查了三角形面积公式、余弦定理、以及辅助角公式，属于中档题.
27．中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，c成等差数列，且，若边上的中线，则△的周长为（ ）
A．15 B．14 C．16 D．12
【答案】A
【分析】
由已知结合等差数列的性质及二倍角公式，正弦定理及余弦定理进行化简，即可求得结果.
【详解】
由a，b，c成等差数列可知，，
因为，
所以，
由正弦定理及余弦定理可得，，
所以，
所以，，
若边上的中线，
所以，
解可得，，，
故△的周长为15.
故选：A.
【点睛】
该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，等差数列的条件，以及边角关系，属于简单题目.www-2-1-cnjy-com
28．在锐角中，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由，可得；再结合正弦定理余弦定理，将中的角化边，化简整理后可求得；根据锐角和，可推出，，再根据可得，，于是，最后结合正弦的两角差公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质即可得解．
【详解】
由，得，，
，．
由正弦定理知，，
由余弦定理知，，
，
，化简整理得，，
，，
由正弦定理，有，，，
锐角，且，，，解得，，
，
，，，，，，
的取值范围为，．
故选：．
【点睛】
本题考查解三角形中正弦定理与余弦定理 ( http: / / www.21cnjy.com )的综合应用，还涉及三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的基础公式，并运用到了角化边的思想，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
29．已知非等腰的内角，，的对边分别是，，，且，若为最大边，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先将，转化为，即，再根据为最大边，得到，然后由余弦定理得到，再利用基本不等式得到即可.
【详解】
因为，
所以，即，
即
即，
所以，
因为为最大边，
所以，
由余弦定理得，
，
所以，
即，
又，
所以，
所以.
故选：A
【点睛】
本题主要考查余弦定理的应用以及基本不等式的应用，还考查了运算变形求解问题的能力，属于较难题.
30．在中，，点满足，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意，不妨用坐标法处理；建立平面直角坐标系，根据题意，求得点坐标，根据向量线性运算的几何意义，求得动点构成的图形形状以及范围，结合余弦定理和三角形面积公式，即可求得面积.
【详解】
根据题意，不妨过点作的垂线，垂足为，
以为坐标原点，建立平面直角坐标系如下所示：
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根据题意，可得坐标如下：
，
设点的坐标为，由
可得：，
故可得.则点坐标为.
设点的坐标为，由，
由向量的线性运算性质可知，点的轨迹是：
以为一组邻边的平行四边形内的任意一点，含边界.
故可得，
故可得,则.
则以为一组邻边的平行四边形的面积
.
故选：.
【点睛】
本题考查向量的线性运算，涉及余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用；需要注意，本题中，也可以通过几何方法确定点的轨迹图形，解析法只是方法之一；属综合困难题.
31．的内角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值是
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】
由，根据三角形内角和定理，结合诱导公式可得，再由正弦定理可得，从而由余弦定理求得，再利用基本不等式可得，由三角形面积公式可得结果.
【详解】
，且，
，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
，
又，即，
，
即最大面积为，故选B.
【点睛】
本题主要考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的应用，属于难题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
32．设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，已知，设D是BC边的中点，且的面积为，则等于
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】
利用三角形内角和定理可得．由正弦定理可得b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=，结合范围A∈（0，π）可得A的值，结合的面积求得bc,将利用向量加减法运算转化为,即可求得结果.
【详解】
∵，，
∴由正弦定理可得：，整理可得：b2+c2﹣a2=-bc，
∴由余弦定理可得：cosA=，∴由A∈（0，π），可得：A=，又的面积为，即,∴bc=4,21·cn·jy·com
又=-=-=-
===-bccosA=2.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了向量加减法的运算、数量积的运算，综合运用了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．
二、填空题
33．在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，并且，则的面积为___________.
【答案】
【分析】
由题知,进而根据，整理得，再结合得，，故，再结合正弦定理得，最后用面积公式计算即可.
【详解】
因为，，
所以.
又，
即：
结合，得，.
于是.
由及正弦定理，得.
故的面积.
故答案为：
【点睛】
本题考查同角间的三角函数关 ( http: / / www.21cnjy.com )系，考查两角和与差的正弦公式、诱导公式，考查正弦定理、三角形面积公式．解三角形中公式较多，掌握这些公式是解题基础，要善于从已知条件出发选用恰当地公式进行计算．本题属于中档题．
34．三条直线、、两两平行，到的距离为，到的距离为，等边三角形三个顶点分别在这三条直线上，则该三角形的面积为_______.
【答案】或
【分析】
分两种情况讨论：（1）、在的异侧；（2）、在的异侧.在两种情况下，设等边三角形的顶点、、，设等边三角形的边长为，设与直线的夹角为，根据已知条件建立关于、的等式组，求出的值，由此可求得等边三角形的面积.
【详解】
分以下两种情况讨论：
（1）若、在的异侧，设等边三角形的顶点、、，如下图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
过点作直线的垂线分别交直线、于点、，则，，
设等边三角形的边长为，设与直线的夹角为，则也为锐角，
由，解得，
由题意可得，解得，
此时，该三角形的面积为；
（2）若、在的异侧，设等边三角形的顶点、、，如下图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
过点作直线的垂线分别交直线、于点、，则，
设等边三角形的边长为，设与直线的夹角为，则也为锐角，
由，解得，
由题意可得，解得，
此时，该三角形的面积为.
综上所述，该等边三角形的面积为或.
故答案为：或.
【点睛】
关键点点睛：本题考查解三角形的实际应用，解题的关键就是选择合适的角，将问题中的边与相应的角用来边角，根据已知条件产生相等关系，结合三角函数相关知识求解.
35．在中，内角所对的边分别为，已知，则___________.
【答案】
【分析】
正弦定理边化角后，结合两角和差正弦公式以及辅助角公式可求得，根据的范围可确定结果.
【详解】
在中，由正弦定理得：，
，，
，
整理可得：，
，，，
即，，
，，，解得：.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查解三角形的知识，解题关键是能够利用正弦定理将已知边角关系式中的边化为角，从而利用三角恒等变换的知识来进行化简.
36．在△中，，那么这个三角形的最大角是___________
【答案】
【分析】
根据正弦定理，通过比例设出边长，借助余弦定理计算即可．
【详解】
由正弦定理，，
设，
显然该三角形的最大角是角，
由余弦定理，可得，
因为，所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查正、余弦定理的综合运用，关键点在于找到最大角，记住“大边对大角”即可.
37．在中，若，，，则的面积为___________.
【答案】
【分析】
利用公式求出，利用正弦定理求出，利用三角形的面积公式可求出结果.
【详解】
因为，所以，，
所以，所以，所以，
所以，，
所以，
由正弦定理得，得，得，
所以的面积.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：利用正弦定理、三角形面积公式求解是解题关键.
三、解答题
38．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abccosC．
（1）求角B的大小；
（2）若，求的值．
【答案】（1）60°；（2）．
【分析】
（1）由余弦定理可得，即，再利用正弦定理边化角得，利用三角恒等变换，即可得出结论．
（2）由（1）可得，化简即可解出的值，再由正弦定理即可得出答案．
【详解】
解：（1）因为，
所以，
所以，
所以，
因为由正弦定理可得：
，
所以，，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以．
（2）由（1）知，
因为，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
由正弦定理，，，
故得．
【点睛】
解三角形的基本策略：一是利用 ( http: / / www.21cnjy.com )正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.2·1·c·n·j·y
39．的三边a、b、c和面积，满足，试计算.
【答案】
【分析】
根据余弦定理及面积公式，整理可得，左右同时平方，利用同角三角函数的关系，结合角A的范围，即可求得答案.2-1-c-n-j-y
【详解】
由题意得，
根据余弦定理可得，
所以，即，
左右同时平方得，
所以，
上下同除可得，
解得，
因为，所以，所以.
故答案为：
【点睛】
解题的关键是熟练掌握余弦定理、面积公式，并灵活应用，再利用齐次化切，即可求得答案，考查计算求值的能力，属中档题.21*cnjy*com
40．在△中，，顶点在平行于且与相距为a的直线上滑动，求的取值范围.
【答案】
【分析】
设，则根据题意可知，，进而根据正弦定理可推出，进而代入余弦定理整理可得关于的一元二次不等式组求得的范围，即为的取值范围.
【详解】
令，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则总有，，
且由正弦定理得，所以，
由余弦定理，可得，
所以.
所以，所以.
所以的取值范围为.
【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关三角形的几何计算，解题的关键是灵活利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的互化.
41．在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a，b，c为三个连续整数，求a，b，c值.
【答案】
【分析】
首先利用边长关系设，，再结合正弦定理和余弦定理建立方程，求，即得的值.
【详解】
，设，，
则，
而，
即，得.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是根据正弦定理得出后，再和余弦定理结合求的值.
42．在中，角的对边分别为，已知．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由正弦定理化边为角后可求得角；
（2）由正弦定理求出，确定为锐角后求得，利用两角和的余弦公式及诱导公式可得结论．
【详解】
（1）因为，
所以，即，
又，所以，，所以；
（2）因为，所以，
又，则，是锐角，所以，
，
所以．
【点睛】
本题考查正弦定理，考查两角和与差 ( http: / / www.21cnjy.com )的正弦、余弦公式．在解三角形中，出现边角关系的条件时，常常利用正弦定理进行边角转换，角化边后应用代数式的变换求得边的关系，边化角后应用三角函数司徒变换公式变形求得角．
43．中，内角、、所对的边分别为、、.已知，，面积.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）点在线段上，满足，求线段的长.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）利用三角形的面积公式计算出的值，结合角的取值范围可求得角的值，然后利用正弦定理可求得的值；（Ⅱ）首先根据余弦定理求，以及 ,中，根据余弦定理求.
【详解】
（Ⅰ），，，
，，
由正弦定理得，；
（Ⅱ）由余弦定理可得，整理得，，解得.
，，，且，，
中，根据余弦定理可知
,
所以
【点睛】
方法点睛：本题考查正余弦定理解三角形，属 ( http: / / www.21cnjy.com )于基础题型，一般解三角形已知两角一边，首先用正弦定理解三角形，已知两边和其中一边的对角，求角用正弦定理解三角形，求边用余弦定理解三角形，已知两边和夹角，用余弦定理解三角形，已知三边，用余弦定理解三角形.21教育网
44．在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量与平行.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）由向量和正弦定理，求得，进而得到，即可求解；
（Ⅱ）根据为锐角三角形，求得，利用三角恒等变换的公式，化简得到，进而求得的取值范围.
【详解】
（Ⅰ）由向量与平行，
可得，
又由正弦定理得，
即，即.
因为，可得，所以，
又因为，所以.
（Ⅱ）因为为锐角三角形，可得，解得，
则，
又因为，所以，可得，即，
所以的取值范围为.
【点睛】
对于解三角形问题的常见解题策略：
对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转 ( http: / / www.21cnjy.com )角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.
45．在条件①向量与向量共线;②③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
在中，角所对的边分别为，且满足_ .求三角形的面积.
(注:如选择多个条件分别解答﹐按第一个解答计分.)
【答案】.
【分析】
若选①，根据向量共线，可得，利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式，即可求得，根据角B的范围，即可求得角B的值，根据余弦定理，可求得ac的值，代入面积公式，即可求得答案；若选②，利用正弦定理边化角，结合二倍角公式，即可求得的值，即可求得角B的值，根据余弦定理，可求得ac的值，代入面积公式，即可求得答案；若选③：根据正弦定理角化边，结合余弦定理，即可求得角B的值，根据余弦定理，可求得ac的值，代入面积公式，即可求得答案.
【详解】
解:若选①向量与向量共线，
由正弦定理边化角得，
即，
又，
，
，
，；
由余弦定理得，
，
三角形的面积为；
若选②：由题设及正弦定理得，
，
由，可得，
，
， ，
.
由余弦定理得，
，
三角形的面积为；
若选③：由已知得，
由正弦定理角化边得
由余弦定理得
，
由余弦定理得，
，
三角形的面积为；
【点睛】
解题的关键是熟练掌握正弦定理、余弦定理、面积公式并灵活应用，化简时需注意各角的范围，考查计算化简的能力，属中档题.【来源：21·世纪·教育·网】
46．设函数.
（1）求的最小正周期；
（2）已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，且，求△ABC的面积.
【答案】（1）π；（2）当时，△的面积为；当时，△的面积为.
【分析】
（1）先把化为“一角一名一次”的结构，求周期；
（2）由，求出A，利用余弦定理和勾股定理求出bc，再求出三角形的面积.
【详解】
（1）由
即最小正周期为π.
（2）由，即,
或，或.
当时，由余弦定理得：，即
又，解得：；
当时，则△ABC为直角三角形，所以，即
又，解得：；
综上所述：当时，△的面积为；当时，△的面积为.
【点睛】
在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：
(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；
(2)从式子结构来选择．
47．如图，已知正方形的边长为1，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），在运动的过程中，始终保持不变，设.【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）将的面积表示成的函数，并写出定义域；
（2）求面积的最小值.
【答案】（1）；定义域为；（2）
【分析】
（1）在与中，利用正方形的边长，求出，根据三角形的面积公式即可求解.
（2）由（1）利用三角函数的性质即可求解.
【详解】
（1）由，，则，
正方形的边长为，在中，，
在中，，
所以
，
由图可知，所以函数的定义域为.
（2）由，则，，
当，即时，面积的最小，
即面积的最小值为.
【点睛】
方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；
第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）.
48．若存在同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：
（1）求的大小；
（2）求和的值.
条件①：；
条件②：；
条件③：；
条件④：.
【答案】选择①②③（1）；（2）；；选择①②④（1）；（2）；.
【分析】
选择①②③
（1）根据，，利用正弦定理得到，再结合，得到求解.
（2）结合（1）由，利用正弦定理得到，然后由求解，再利用正弦定理得到，然后结合求解.
选择①②④
（1）根据，，利用正弦定理得到，再由，得到求解.
（2）由，利用正弦定理得到，由求解；再结合求得b，然后利用正弦定理求解.
【详解】
选择①②③
（1）因为，，
由正弦定理得.
因为，所以.
所以.所以.
（2）在中，，所以.
所以.
因为，所以.
所以
.
所以.
由正弦定理得，即.
因为，所以.
选择①②④
（1）因为，，
由正弦定理得.
在中，，
所以.
所以.
（2）在中，，所以.
所以.
因为，所以.
所以
.
所以.
因为，所以.
由正弦定理得.
【点睛】
方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要 ( http: / / www.21cnjy.com )有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．www.21-cn-jy.com
49．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.
（1）求角A；
（2）若，，求△ABC的面积.
【答案】（1）A；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理完成边化角，再根据在三角形中有，完成化简并计算出的值；
（2）利用的值以及余弦定理求解出的值，再由面积公式即可求解出△ABC的面积.
【详解】
（1）在三角形ABC中，，
由正弦定理得：，
化为： ，
三角形中，解得，，
∴A.
（2）由余弦定理得，
，，
，化为，
所以三角形ABC的面积S4
【点睛】
本题考查正余弦定理和三角形面积公式的综合运用，涉及三角函数恒等变换，属基础题.
熟练掌握利用正弦定理边化角，并结合三角函数两角和差公式化简，注意余弦定理与三角形面积公式的综合运用.
50．在中，角的对边分别为，且．
（1）求A；
（2）如果是锐角三角形，求的取值范围．
【答案】（1）；（2），．
【分析】
（1）利用正弦定理角化边可得，再利用余弦定理可得的余弦值，结合特殊角的三角函数值以及角的范围可求出的度数；
（2）由求出，并用表示出，根据与都为锐角求出的范围，将代入所求式子中，利用二倍角公式与辅助角公式化为一个角的正弦函数，由的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的性质求出的取值范围．
【详解】
（1）因为
所以由正弦定理得，，
化为，
可得，
因为，
则；
（2）由（1）得，则，所以，
因为为锐角三角形，所以，
解得，
设
，
因为，所以，
则，
即，
所以的取值范围是，．
【点睛】
解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可 ( http: / / www.21cnjy.com )用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
51．在平面四边形中，已知，，.
（1）若，，，求的长；
（2）若，求证：.
【答案】（1），；（2）见解析
【分析】
（1）根据题意，得出，，再利用正弦定理求得，结合已知条件，即可求出的长；
（2）利用余弦定理以及三角形的内角和，得出，通过判断三角形中边角关系，即可得出结论.
【详解】
（1）由已知得，，所以.
因为，所以，.
所以.
在中，由正弦定理得，所以，
所以.
又，所以，.
（2）在中，由余弦定理得.
在中，由余弦定理得
.
因为，，
所以，
即.
又，，所以，
所以.
【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理的应用，通过正弦定理和余弦定理、以及三角形边和角的有关性质等，同时考查学生化归和转化思想.
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第十四讲 正弦定理
【提升训练】
一、单选题
1．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的形状为（ ）
A．等腰非等边三角形 B．直角非等腰三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
3．在△中，，那么这个三角形的最大角是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，已知，，若的面积，则的外接圆直径为（ ）
A． B．5 C． D．
5．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若sin B＋2sin Acos C＝0，则当cos B取最小值时，＝（ ）21cnjy.com
A． B．
C．2 D．
6．中，，的对应边分别为，，，满足，则角的范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，已知，若该三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在中，D是边上一点，，，，，则的值为（ ）
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A． B． C． D．
9．若为等腰直角斜边上的两个三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
10．在中，角、、的对边分别为、、，若，则角的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝1，∠A＝45°，S△ABC＝2，则a＝（ ）
A．5 B．25 C． D．
12．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则（ ）
A． B． C． D．
13．在△ABC中，若22=，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
14．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，若＝＝，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．任意三角形 D．等腰直角三角形
15．在中，，，，则（ ）
A．2 B． C． D．1
16．在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
17．在中，，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
18．在中，若，，则的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
19．在△ABC中，，则△ABC的最小角为（ ）
A． B． C． D．
20．在中，分别为的对边，，这个三角形的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
21．在中，分别是内角的对边，，，当内角最大时，的面积为（ ）
A． B． C． D．
22．在中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
23．已知的一个内角为，并且三边的长构成一个公差为4的等差数列，则的面积为（ ）.
A．15 B．14 C． D．
24．如图所示，在中，在线段上，，，，则边的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
25．已知直线：与圆：相交于，两点，为坐标原点，则等于（ ）
A． B． C． D．
26．在中，角，，所对的边分别为，，，且边上的高为，则的最大值是（ ）
A．8 B．6 C． D．4
27．中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，c成等差数列，且，若边上的中线，则△的周长为（ ）21世纪教育网版权所有
A．15 B．14 C．16 D．12
28．在锐角中，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
29．已知非等腰的内角，，的对边分别是，，，且，若为最大边，则的取值范围是（ ）21教育网
A． B． C． D．
30．在中，，点满足，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（ ）
A． B． C． D．
31．的内角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值是
A． B． C． D．4
32．设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，已知，设D是BC边的中点，且的面积为，则等于 21·cn·jy·com
A．2 B．4 C． D．
二、填空题
33．在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，并且，则的面积为___________.www.21-cn-jy.com
34．三条直线、、两两平行，到的距离为，到的距离为，等边三角形三个顶点分别在这三条直线上，则该三角形的面积为_______.2·1·c·n·j·y
35．在中，内角所对的边分别为，已知，则___________.
36．在△中，，那么这个三角形的最大角是___________
37．在中，若，，，则的面积为___________.
三、解答题
38．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abccosC．
（1）求角B的大小；
（2）若，求的值．
39．的三边a、b、c和面积，满足，试计算.
40．在△中，，顶点在平行于且与相距为a的直线上滑动，求的取值范围.
41．在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a，b，c为三个连续整数，求a，b，c值.
42．在中，角的对边分别为，已知．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
43．中，内角、、所对的边分别为、、.已知，，面积.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）点在线段上，满足，求线段的长.
44．在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量与平行.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的取值范围.
45．在条件①向量与向量共线;②③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
在中，角所对的边分别为，且满足_ .求三角形的面积.
(注:如选择多个条件分别解答﹐按第一个解答计分.)
46．设函数.
（1）求的最小正周期；
（2）已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，且，求△ABC的面积.
47．如图，已知正方形的边长为1，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），在运动的过程中，始终保持不变，设.【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）将的面积表示成的函数，并写出定义域；
（2）求面积的最小值.
48．若存在同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：21·世纪*教育网
（1）求的大小；
（2）求和的值.
条件①：；
条件②：；
条件③：；
条件④：.
49．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.
（1）求角A；
（2）若，，求△ABC的面积.
50．在中，角的对边分别为，且．
（1）求A；
（2）如果是锐角三角形，求的取值范围．
51．在平面四边形中，已知，，.
（1）若，，，求的长；
（2）若，求证：.
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