6.4.3 正弦定理 基础训练(原卷版+解析版)

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名称 6.4.3 正弦定理 基础训练(原卷版+解析版)
格式 zip
文件大小 3.6MB
资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-03-08 19:58:59

文档简介

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第十四讲 正弦定理
【基础训练】
一、单选题
1.的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c若, 则c等于( )
A.1 B. C. D.2
【答案】D
【分析】
计算,再利用正弦定理计算得到答案.
【详解】
由已知得,根据正弦定理: ,故.
故选:D.
2.若的内角,,所对的边分别为,,,,,,则的解的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.不确定
【答案】C
【分析】
首先利用正弦定理得,再利用的范围可得角的范围,即可求得结果.
【详解】
因为,,,
所以,即,所以,
而,所以或,
所以有两解.
故选:C.
3.在中,已知,,则( )
A. B.
C.或 D.或
【答案】C
【分析】
利用正弦定理即可求得的值,结合大边对大角即可求解.
【详解】
由正弦定理可得,
即可得,
因为可知所以,
因为,所以或
故选:C.
4.已知a,b,c分别是的三个内角A,B,C所对的边,若,,,则此三角形有( )
A.两解 B.一解
C.无解 D.无穷多解
【答案】B
【分析】
利用正弦定理即可求解.
【详解】
在中,由正弦定理可得
因为,,
所以,所以或(舍)
由三角形的内角和可得:,
所以此三角形为正三角形,有唯一解.
故选:B.
5.在中,,,,则中最小的边长为( )
A.2 B.4
C. D.
【答案】B
【分析】
首先根据三角形的内角和求出角,再根据小角对小边,利用正弦定理即可求解.
【详解】
因为,
由三角形的边角关系小边对小角,可知最小的边长为,
由正弦定理得,即
因为,
所以,
所以中最小的边长为,
故选:B.
6.在中,若,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
由余弦定理求解可得结果.
【详解】
由余弦定理可得:
又所以
故选:C
7.在中,,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
先利用正弦定理解得,然后根据同角三角函数的关系求出.
【详解】
由正弦定理得:,
又,所以或,
所以.
故选:A.
【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形,解答时注意角范围的确定,注意,易错选C或D.
8.已知中,,则等于( )
A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°
【答案】D
【分析】
根据正弦定理可求得结果.
【详解】
由正弦定理可得,
所以.
因为,
所以等于60°或120°.
故选:D
9.在中,已知BC=4,A=45°,B=60°,则AC等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
利用正弦定理有,结合已知即可求AC.
【详解】
由正弦定理知:,又BC=4,A=45°,B=60°,
∴,
故选:A
10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,右a=1,c=2,∠B=600,则b=( )
A.1 B. C. D.2
【答案】C
【分析】
由已知利用余弦定理即可求解的值.
【详解】
解:因为,,,
则由余弦定理可得.
故选:.
11.在中,角、、所对的边分别为、、.已知,,,则的大小为( )
A. B. C. D.或
【答案】A
【分析】
利用正弦定理求得的值,结合大边对大角定理可求得角的值.
【详解】
因为,,,所以由正弦定理可得.
因为,所以,知,解得.
故选:A.
12.在中,,,,则等于( )
A. B.3 C. D.21
【答案】A
【分析】
直接根据余弦定理即可得出结果.
【详解】
因为,,,
所以,
即,
故选:A.
【点睛】
本题主要考查了通过余弦定理解三角形,属于基础题.
13.在中,内角、、所对的边分别为、、,若,则的形状一定为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
【答案】B
【分析】
先由正弦定理化简得到,再求出,最后判断三角形形状.
【详解】
解:因为,所以由正弦定理有,
整理得,又因为,所以,
故为直角三角形.
故选:B
【点睛】
本题考查利用正弦定理判断三角形的形状,是基础题.
14.在中,内角,,所对的边分别为,,,,,,则最短边的长等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
利用内角和定理求得,由此得最短边为,再根据正弦定理即可求出答案.
【详解】
解:∵,,
∴,
∴最短边为,
∵,
∴由正弦定理得,,
故选:A.
【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用,属于基础题.
15.在中,角,,所对的边分别为,,,若,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
利用正弦定理进行求解.
【详解】
由正弦定理知即.
故选:C
【点睛】
本题考查正弦定理解三角形,属于基础题.
16.在中,,,,则此三角形解的情况是( )
A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解
【答案】A
【分析】
根据正弦定理可判断.
【详解】
根据正弦定理有,
则,
,,
这样的B只有一个,即此三角形有一个解.
故选:A.
【点睛】
本题考查三角形解的个数的判断,属于基础题.
17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,则bcosC+ccosB=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【分析】
直接利用余弦定理求解.
【详解】
由余弦定理得bcosC+ccosB=+==a=3,
故选:C.
【点睛】
本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题.
18.在中,,,,则( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】A
【分析】
先建立方程,再求解即可.
【详解】
由正弦定理知.
故选:A
【点睛】
本题考查正弦定理,是基础题
19.在中,,则此三角形解的情况是( )
A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解
【答案】B
【分析】
求出,将进行比较,即可判断.
【详解】
因为,所以有两解.
故选:B.
【点睛】
本题考查三角形解的情况的判断,属于基础题.
20.在中,若,,,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
利用正弦定理可求得的长.
【详解】
由正弦定理,因此,.
故选:C.
【点睛】
本题考查利用正弦定理求解三角形的边长,考查计算能力,属于基础题.
21.在中,,,所对的边分别为,,,若,则( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】
根据题意,由余弦定理,即可得出结果.
【详解】
由余弦定理的推论,得,
又,所以.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查由余弦定理解三角形,属于基础题型.
22.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若A=45°,B=30°,a=,则b=(  )
A. B.1 C.2 D.
【答案】B
【分析】
根据△ABC中A=45°,B=30°,a=,结合正弦定理的边角关系即可求的值
【详解】
△ABC中已知A=45°,B=30°,a=
由正弦定理
可得:
故选:B
【点睛】
本题考查了正弦定理,应用正弦定理的边角关系,根据已知角、边求未知边的长,属于简单题
23.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为,b,c,若,b=1,,则c=( )
A.1 B. C. D.2
【答案】C
【分析】
根据已知条件,用余弦定理,即可容易求得结果.
【详解】
根据题意,,
解得,(舍).
故选:C.
【点睛】
本题考查用余弦定理解三角形,属简单题.
24.已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,,则满足条件的( )
A.无解 B.有一个解
C.有两个解 D.不能确定
【答案】C
【分析】
根据题中条件,由正弦定理,求出,再验证,即可得出结果.
【详解】
因为,,
由正弦定理可得,,所以,
因为为三角形内角,所以,因此或,
若,则符合题意;若,则,符合题意;
因此有两个解;
故选:C.
25.在中,分别是角的对边,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】
先由正弦定理将化为,而,代入化简可求得的值,进而可得角
【详解】
解:因为,
所以由正弦定理得,
因为,
所以,
因为,所以,
因为,所以,
故选:D
26.在中,a,b,c分别为A,B,C的对边,,且,则的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
根据正弦定理,余弦定理求出A,b,利用三角形面积公式求解.
【详解】


即,
由正弦定理可知,,
即,所以,
由余弦定理,
解得(负值舍),
故三角形面积为,
故选:B
27.在中,角的对边分别为,若,则的面积是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
由已知利用余弦定理求出,进一步求面积.
【详解】

得,
故选:C
28.在中,已知,,若最长边为,则最短边长为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
根据同角公式求出、,根据两角和的余弦公式求出,利用得,利用得最短边长为,再根据正弦定理可得结果.21教育网
【详解】
在中,由得,又,
所以,即,
所以,,
由得,
因为.
所以,,
故最长边为c,最短边a,所以,
由正弦定理,
所以最短边长为.
故选:A
29.在中,角所对的边分别是,已知,则的形状为( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
【答案】A
【分析】
由余弦定理代入整理得,进而得答案.
【详解】
解:由余弦定理,
故代入边角互化得: ,整理得:
所以,故三角形为等腰三角形.
故选:A
【点睛】
本题考查利用边角互化判断三角形形状,考查化归转化思想,是基础题.解题的关键在于边角互化.
30.在锐角中,已知,,,则的面积为( )
A. B.或 C. D.
【答案】C
【分析】
用余弦定理求得,判断三角形的形状,由锐角三角形得正确的解,然后由三角形面积计算.
【详解】
由余弦定理得,即,解得或,
若,则由得,不合题意,
所以,.
故选:C.
31.已知内角,,所对的边分别为,,,面积为,若,,则的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形
【答案】C
【分析】
由结合正弦定理、二倍角的正弦公式可求得,由结合三角形的面积公式,平面向量的数量积知识可得,从而可得答案.www.21-cn-jy.com
【详解】
因为,所以,
因为,所以,
所以,
所以,
因为,所以,所以,
所以,所以,所以,
因为,所以,
所以,因为,所以,所以,
所以是正三角形.
故选:C
32.在中,若,,的面积,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
由三角形的面积公式、余弦定理即可得出结果.
【详解】
由三角形的面积公式可得:
由余弦定理可得:
所以
故选:A
33.在中,若,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
直接利用正弦定理即可.
【详解】
在中,由正弦定理:
,即,解得:.
故选:B
34.已知在中,角、、的对边分别为、、,若、是方程的两个实数根,且的面积为,则角的大小是( )【来源:21·世纪·教育·网】
A. B. C.或 D.或
【答案】D
【分析】
由韦达定理可求得的值,利用三角形的面积公式可求得的值,结合角的取值范围可求得结果.
【详解】
由于、是方程的两个实数根,由韦达定理可得,
据题意,得,
,解得或.
故选:D.
35.设的内角所对的边分别是,其中,那么满足条件的(  )
A.有一个解 B.有两个解 C.不能确定 D.无解
【答案】A
【分析】
先利用正弦定理求得 ,再由确定解的个数.
【详解】
在中,,
由正弦定理得:,
所以 ,
又因为 ,
所以 ,
所以满足条件的只有一个解,
故选:A
36.在△ABC中,a=3,A=30°,B=15°,则c等于( )
A.1 B. C.3 D.
【答案】C
【分析】
求出角,用正弦定理求得.
【详解】
C=180°30°15°=135°,所以c==3.
故选:C.
37.给出四个命题:
①若,则△ABC一定是锐角三角形;
②若,则△ABC一定是钝角三角形;
③若,则△ABC一定是钝角三角形;
④若,则△ABC一定是直角三角形.
其中正确的命题有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
【答案】A
【分析】
结合三角形角的性质和三角恒等变换逐一判断四个命题的正误,即得结果.
【详解】
①若,可取,则△ABC是钝角三角形,故命题错误;
②首先易见△ABC中至多有一个钝角,其余是锐角.若,则中比如存在一个角是钝角,使得余弦值为负值,故△ABC一定是钝角三角形,命题正确;21·世纪*教育网
③若,则,而三角形中的角的正弦均大于零,故,即,
故,即角C为钝角,命题正确;
④若,则利用正弦定理可知,,而三角形中,故,由,故,故△ABC一定是直角三角形,命题正确.2-1-c-n-j-y
故正确的命题为:②③④,有3个.
故选:A.
38.在中,若,则的形状是(  )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】
利用正弦定理、两角和差公式对化简变形可得,从而求得或,进而得以或,可得答案
【详解】

所以,
所以或,
因为,,
所以或,
所以为等腰三角形或直角三角形,
故选:D.
39.在三角形中,“”是“”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.以上都不是
【答案】C
【分析】
结合正弦定理,和三角形大边对大角,大角对大边的性质,判断选项.
【详解】
因为,由正弦定理可知,,在中,大边对大角,所以,反过来也成立,所以三角形中,“”是“”的充要条件.【版权所有:21教育】
故选:C
40.在中,若,,,则(  )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【分析】
由,可得,再利用正弦定理可求得
【详解】
解:因为,所以,
因为,,
所以解得,
由正弦定理得,,即,
解得,
故选:C
二、填空题
41.已知正方形的边长为1,M为内一点,满足,则___________.
【答案】
【分析】
中,由正弦定理求得,在中,由余弦定理求得,得,由等腰三角形可得所求角的大小.
【详解】
如图,由得,,
中,,,所以,
又,中,,
即,
所以.
故答案为:.
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42.已知的内角所对的边分别为,且,则的面积为___________.
【答案】
【分析】
先由余弦定理得,然后结合可求出的值,再利用三角形的面积公式可得结果
【详解】
解:因为,
所以由余弦定理得,
因为,
所以,化简得,
所以,
所以的面积为,
故答案为:
43.已知中,角,,的对边分别为,,,若,且,则________.
【答案】
【分析】
直接由正弦定理以及已知条件即可求得结论.
【详解】
,,
所以;
则.
又因为,
所以,
所以角一定是锐角,
因此.
故答案为:.
44.在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,=__________.
【答案】
【分析】
通过三角形的角的比,求出三个角的大小,利用正弦定理求出即可.
【详解】
∵A+B+C=π,A:B:C=1:1:4,
∴A=30°,B=30°,C=120°,
由正弦定理可知:
=sinA:sinB:sinC=.
故答案为:.
45.在中,若满足,,的三角形有两个,则实数x的取值范围为______.
【答案】
【分析】
利用正弦定理得得,因为满足条件的三角形有两个,所以,求解不等式即可.
【详解】
由正弦定理得 得
因为满足条件的三角形有两个,所以 得
故答案为:
46.中,分别为的对边,,则_____
【答案】
【分析】
由已知及余弦定理可求的值,再由正弦定理计算可得.
【详解】
解:由余弦定理可得:,可得:,
由正弦定理可得:,
故答案为:.
三、解答题
47.在中,角分别对应边,已知,.角,求角.
【答案】
【分析】
先通过正弦定理求出,再根据三角形的内角和为求出.
【详解】
解:由正弦定理得,
即,解得,
因为,则必为锐角,

.
【点睛】
本题考查正弦定理的应用,是基础题.
48.的内角,,的对边分别为,,.已知,,.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】(1);(2).
【分析】
由正弦定理求出,由余弦定理列出关于的方程,然后求出.
【详解】
解:(1)因为,,.
由正弦定理,可得,所以;
(2)由余弦定理,,
,(舍),所以.
【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理,在已知两边和一边对角时可用余弦定理列方程求出第三边.
49.在中,角的对边分别为,且满足.
(1)求角;
(2)若,求外接圆的半径.
【答案】(1);(2).
【分析】
(1)利用正弦定理边化角公式可得,再将
整理可得
(2)根据余弦定理可得再根据正弦定理求出,即可得
【详解】
解:(1)由正弦定理知
有,且
所以
(2)
所以
【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理的应用,属于基础题.
50.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
(1)求A;
(2)若A为锐角,,的面积为,求的周长.
【答案】(1)或; (2) .
【分析】
(1)由正弦定理将边化为对应角的正弦值,即可求出结果;
(2)由余弦定理和三角形的面积公式联立,即可求出结果.
【详解】
(I)
由正弦定理得,
,即又, 或.
(II),由余弦定理得,
即 ,
而的面积为 .
的周长为5+.
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,属于基础题型.
51.在①②③三个条件中选一个,补充在下面的横线处,然后解答问题.在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设的面积为S,已知________.21cnjy.com
(1)求角C的值;
(2)若,点D在边上,为的平分线,的面积为,求边长a的值.
【答案】(1);(2)
【分析】
(1)选①,可由余弦定理得,进而可得;
选②,由面积公式和余弦定理可得,进而可得;
选③,可得,进而可得.
(2)设,由,,联立可求得.
【详解】
(1)选①,由余弦定理得,
整理得,所以,又,故.
选②,因为,,
故,可得,又,故.
选③,可得,
所以,又,所以,故.
(2)在中,因为是的平分线,且,设,所以
,又,联立以上两式得:
,又,解得.
( http: / / www.21cnjy.com / )
52.新冠肺炎过后,全国中小型企业开始复工复产.其中某工厂拟对一块扇形空地进行改建.如图所示,平行四边形为作业区域,其余部分为绿化带.点B在弧上,点A和点C分别在和边上,且米,,设.21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求作业区域面积S关于的函数关系式,并指出的取值范围;
(2)当为何值时,作业区域S最大,并求出最大值.
【答案】(1),;(2)时;.
【分析】
(1)根据三角形面积公式,结合正弦定理、两角和的正弦公式、辅助角公式进行求解即可;
(2)根据正弦型函数的性质进行求解即可.
【详解】
解:(1)
在中,由正弦定理得:,


所以,;
(2)
当时,即时,
.
53.在中,角的对边分别是,且满足
(1)求和的值
(2)若,且的面积,求边的值.
【答案】(1);(2).
【分析】
(1)利用余弦定理化简已知条件,求得的值,进而求得的值.
(2)利用正弦定理化简已知条件,结合三角形的面积公式列方程,由此求得的值.
【详解】
(1)由题意,又因为
为内角,所以
(2)因为,所以得,
的面积
得,所以.
54.在中,角的对边分别为为的面积,若.
(1)求;
(2)若,求周长的范围.
【答案】(1);(2).
【分析】
(1)根据面积公式可得,进而可得解;
(2)根据正弦定理可得周长为,进而利用三角函数恒等变换化简,结合范围可得解.
【详解】
(1)
,所以
(2)根据正弦定理可得
设周长为C.
55.已知的内角的对边分别是,且.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,求的面积.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【分析】
(Ⅰ)将已知条件变形,借助于余弦定理可求得的大小;
(Ⅱ)由与解方程组可求得的值,进而利用三角形面积公式求解即可.
【详解】
(Ⅰ)依题意:
(Ⅱ)由余弦定理得:
即:,
,即
56.在中,角的对边分别为,若,且.
(1)求角的值;
(2)若,且的面积为,求边上的中线的长.
【答案】(1);(2).
【分析】
(1)先由正弦定理边角互化,计算求得;(2)由(1)可知是等腰三角形,根据面积公式求边长,中,再根据余弦定理求中线的长.www-2-1-cnjy-com
【详解】
(1)∵,
由正弦定理边角互化得,
由于,∴,即,得.
又,∴,∴.
(2)由(1)知,若,故,则,
∴,(舍)
又在中,,
∴,∴.
57.在中,,,分别为角,,的对边,且.
(1)求角;
(2)若的面积为,边上的高,求,.
【答案】(1);(2),.
【分析】
(1)化角为边,化简得,再利用余弦定理求角;
(2)由正弦定理算出,由面积公式算出,由余弦定理计算中即可.
【详解】
解:(1)因为,所以,
所以,即.
由余弦定理可得,
因为,所以.
(2)由正弦定理可得.
因为的面积为,所以,解得.
由余弦定理可得,
则.
【点睛】
在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为 ( http: / / www.21cnjy.com )角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围.【来源:21cnj*y.co*m】
58.下列三角形是否有解?有解的作出解答.
(1);
(2);
(3).
【答案】(1)无解;(2)一解,;
(3)两解,或.
【分析】
(1)由,得到,结合,可判定无解;
(2)由,结合,可判定只有一解,结合正弦定理,即可求解;
(3)由,结合且,可判定两解,利用正弦定理,分类讨论,即可求解.
【详解】
(1)由,可得,所以,
又由,所以这样的三角形无解.
(2)由,可得,所以,
又由,所以这样的三角形只有一解.
由正弦定理,可得,所以,
所以,
所以.
(3)由,可得,
又由,且,所以,
所以这样的三角形有两解;
由正弦定理可得,所以或,
当时,,;
当时,,,
所以或.
59.已知半圆的直径为2,为直径延长线上一点,且.为半圆周上任意一点,以为边,作等边,角等于何值时,四边形的面积最大 最大面积为多少
【答案】,
【分析】
,为半圆周上任意一点,那么是直角三角形,,三角形,三角形,可得四边形面积,利用三角函数的有界性,可求得面积的最大值.
【详解】
为正三角形,则面积为,半径
过作垂直,则
由余弦定理:
设所求的四边形面积,


时,,.
60.在△ABC中,BC=a,AC=b,a、b是方程的两个根,且,求的面积及AB的长.
【答案】
【分析】
利用韦达定理求出,再利用余弦定理,得到关于的方程,解之可得的长;再结合面积公式可得.
【详解】
是方程的两个根, ,
又因为则,所以由余弦定理得:
,解得,
所以;
的面积
61.在中,内角的对边长分别为,已知,且 ,求b
【答案】4
【分析】
根据题意,在中,因为,由正弦定理及余弦定理可得: 化简并整理得:,结合已知条件,联立即可得解.21·cn·jy·com
【详解】
在中,因为,
由正弦定理及余弦定理可得:
化简并整理得:,
又由已知,所以,
解得或,
由,所以.
62.中,.
(1)求;
(2)若,且,求面积.
【答案】(1);(2).
【分析】
(1)通过正弦定理把中的边换成角的正弦值,化简求得cosB,进而求得sinB.
(2)通过余弦定理求得c,代入三角形的面积公式,进而求得△ABC的面积.
【详解】
(1)由正弦定理,得
即sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB
∴sin(B+C)=3sinAcosB
∵A+B+C=180°
∴sinA=3sinAcosB
∵0°<A<180°
∴cosB
∴sinB
(2)由余弦定理,cosB,再由b=4,a=c,cosB得c2=24
∴S△ABCacsinBc2sinB=8
63.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,若C=,求的值
【答案】
【分析】
利用二倍角公式,结合正弦定理化简可得,即,代入余弦定理,化简整理,即可得答案.
【详解】
利用二倍角公式可得,
所以,
利用正弦定理角化边可得,因为,
所以,即,
由余弦定理知得
所以,即,
所以.
64.在锐角中,内角的对边分别为,且.
(1)求角的大小;
(2)若,求的面积.
【答案】(1);(2)
【分析】
(1)由正弦定理将已知等式化成角的正弦的形式,化简解出,再由是锐角三角形,即可算出角的大小;
(2)由余弦定理的式子,结合题意化简得,与联解得到的值,再根据三角形的面积公式加以计算,可得的面积.21世纪教育网版权所有
【详解】
解:(1)中,,
根据正弦定理,得,
锐角中,,
是锐角的内角,;
(2),,
由余弦定理,得,
化简得,
,平方得,
两式相减,得,可得.
因此,的面积.
【点睛】
解三角形的基本策略:一是利用正弦定理实 ( http: / / www.21cnjy.com )现“边化角”,二是利用余弦定理实现“角化边”;求三角形面积的最大值也是一种常见类型,主要方法有两类,一是找到边之间的关系,利用基本不等式求最值,二是利用正弦定理,转化为关于某个角的函数,利用函数思想求最值.【出处:21教育名师】
65.在中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,.
(1)求的值;
(2)若,,求c.
【答案】(1)1;(2).
【分析】
(1)利用正弦定理化边为角,即可化简整理求出;
(2)可先求出,再由余弦定理即可求出.
【详解】
(1)解:,
由正弦定理可得,
则,
即,即,

(2)可得,则,
∴,
∴.
66.在中,内角,,的对边分别为,,,若,.
(1)求的值;
(2)设在边上,且,求的面积.
【答案】(1);(2).
【分析】
(1)利用正弦定理化角为边,再由余弦定理求出cosB,从而求出sinB的值;
(2)根据题意画出图形,利用余弦定理求出BD的值,再求△ABC的面积.
【详解】
(1)△ABC中,sin2A+sin2C﹣sin2B=sinAsinC,由正弦定理得,a2+c2﹣b2=ac,
所以cosB===;又B∈(0,π),所以sinB===;
(2)如图所示,
( http: / / www.21cnjy.com / )
设BD=AD=2DC=x,由c=AB=2,利用余弦定理得,AD2=AB2+BD2﹣2AB BD cosB,
即x2=22+x2﹣2×2×x×,解得x=3,CD=x=,
所以△ABC的面积为S△ABC=AB BC sinB=×2×(3+)×=3.
【点睛】
方法点睛:三角形面积的常用方法:.
67.已知分别为内角的对边,.
(1)若,求角;
(2)若的周长为,面积为,求角.
【答案】(1);(2).
【分析】
先由题中条件,根据正弦定理,得到;
(1)由,得到,由余弦定理,计算,即可得出结果;
(2)根据三角形的周长和面积,分别得到,,求出,,由余弦定理,计算,即可得出结果.
【详解】
由,根据正弦定理可得,
(1)若,则,
因此,
因为角为三角形的内角,所以,因此;
(2)由的周长为,可得,
所以①,则;
又的面积为,所以,则②,
由①②解得,
所以,
因为角为三角形的内角,所以,因此.
【点睛】
思路点睛:
对于解三角形的问题,通常情况下,根据题中所给条件,结合正弦定理或余弦定理,化为所需要的条件,再结合三角形的面积、周长等条件求解即可.2·1·c·n·j·y
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第十四讲 正弦定理
【基础训练】
一、单选题
1.的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c若, 则c等于( )
A.1 B. C. D.2
2.若的内角,,所对的边分别为,,,,,,则的解的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.不确定
3.在中,已知,,则( )
A. B.
C.或 D.或
4.已知a,b,c分别是的三个内角A,B,C所对的边,若,,,则此三角形有( )
A.两解 B.一解
C.无解 D.无穷多解
5.在中,,,,则中最小的边长为( )
A.2 B.4
C. D.
6.在中,若,,,则( )
A. B. C. D.
7.在中,,,,则( )
A. B. C. D.
8.已知中,,则等于( )
A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°
9.在中,已知BC=4,A=45°,B=60°,则AC等于( )
A. B. C. D.
10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,右a=1,c=2,∠B=600,则b=( )
A.1 B. C. D.2
11.在中,角、、所对的边分别为、、.已知,,,则的大小为( )
A. B. C. D.或
12.在中,,,,则等于( )
A. B.3 C. D.21
13.在中,内角、、所对的边分别为、、,若,则的形状一定为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
14.在中,内角,,所对的边分别为,,,,,,则最短边的长等于( )
A. B. C. D.
15.在中,角,,所对的边分别为,,,若,,,则( )
A. B. C. D.
16.在中,,,,则此三角形解的情况是( )
A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解
17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,则bcosC+ccosB=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
18.在中,,,,则( )
A.5 B.6 C.7 D.8
19.在中,,则此三角形解的情况是( )
A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解
20.在中,若,,,则等于( )
A. B. C. D.
21.在中,,,所对的边分别为,,,若,则( ).
A. B. C. D.
22.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若A=45°,B=30°,a=,则b=(  )
A. B.1 C.2 D.
23.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为,b,c,若,b=1,,则c=( )
A.1 B. C. D.2
24.已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,,则满足条件的( )
A.无解 B.有一个解
C.有两个解 D.不能确定
25.在中,分别是角的对边,且,则( )
A. B. C. D.
26.在中,a,b,c分别为A,B,C的对边,,且,则的面积为( )
A. B. C. D.
27.在中,角的对边分别为,若,则的面积是( )
A. B. C. D.
28.在中,已知,,若最长边为,则最短边长为( )
A. B. C. D.
29.在中,角所对的边分别是,已知,则的形状为( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
30.在锐角中,已知,,,则的面积为( )
A. B.或 C. D.
31.已知内角,,所对的边分别为,,,面积为,若,,则的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形
32.在中,若,,的面积,则( )
A. B. C. D.
33.在中,若,,,则( )
A. B. C. D.
34.已知在中,角、、的对边分别为、、,若、是方程的两个实数根,且的面积为,则角的大小是( )21世纪教育网版权所有
A. B. C.或 D.或
35.设的内角所对的边分别是,其中,那么满足条件的(  )
A.有一个解 B.有两个解 C.不能确定 D.无解
36.在△ABC中,a=3,A=30°,B=15°,则c等于( )
A.1 B. C.3 D.
37.给出四个命题:
①若,则△ABC一定是锐角三角形;
②若,则△ABC一定是钝角三角形;
③若,则△ABC一定是钝角三角形;
④若,则△ABC一定是直角三角形.
其中正确的命题有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
38.在中,若,则的形状是(  )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
39.在三角形中,“”是“”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.以上都不是
40.在中,若,,,则(  )
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题
41.已知正方形的边长为1,M为内一点,满足,则___________.
42.已知的内角所对的边分别为,且,则的面积为___________.
43.已知中,角,,的对边分别为,,,若,且,则________.
44.在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,=__________.
45.在中,若满足,,的三角形有两个,则实数x的取值范围为______.
46.中,分别为的对边,,则_____
三、解答题
47.在中,角分别对应边,已知,.角,求角.
48.的内角,,的对边分别为,,.已知,,.
(1)求的值;
(2)求的值.
49.在中,角的对边分别为,且满足.
(1)求角;
(2)若,求外接圆的半径.
50.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
(1)求A;
(2)若A为锐角,,的面积为,求的周长.
51.在①②③三个条件中选一个,补充在下面的横线处,然后解答问题.在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设的面积为S,已知________.21教育网
(1)求角C的值;
(2)若,点D在边上,为的平分线,的面积为,求边长a的值.
52.新冠肺炎过后,全国中小型企业开始复工复产.其中某工厂拟对一块扇形空地进行改建.如图所示,平行四边形为作业区域,其余部分为绿化带.点B在弧上,点A和点C分别在和边上,且米,,设.21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求作业区域面积S关于的函数关系式,并指出的取值范围;
(2)当为何值时,作业区域S最大,并求出最大值.
53.在中,角的对边分别是,且满足
(1)求和的值
(2)若,且的面积,求边的值.
54.在中,角的对边分别为为的面积,若.
(1)求;
(2)若,求周长的范围.
55.已知的内角的对边分别是,且.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,求的面积.
56.在中,角的对边分别为,若,且.
(1)求角的值;
(2)若,且的面积为,求边上的中线的长.
57.在中,,,分别为角,,的对边,且.
(1)求角;
(2)若的面积为,边上的高,求,.
58.下列三角形是否有解?有解的作出解答.
(1);
(2);
(3).
59.已知半圆的直径为2,为直径延长线上一点,且.为半圆周上任意一点,以为边,作等边,角等于何值时,四边形的面积最大 最大面积为多少
60.在△ABC中,BC=a,AC=b,a、b是方程的两个根,且,求的面积及AB的长.
61.在中,内角的对边长分别为,已知,且 ,求b
62.中,.
(1)求;
(2)若,且,求面积.
63.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,若C=,求的值
64.在锐角中,内角的对边分别为,且.
(1)求角的大小;
(2)若,求的面积.
65.在中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,.
(1)求的值;
(2)若,,求c.
66.在中,内角,,的对边分别为,,,若,.
(1)求的值;
(2)设在边上,且,求的面积.
67.已知分别为内角的对边,.
(1)若,求角;
(2)若的周长为,面积为,求角.
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