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第一讲 平面向量的概念
一、单选题
1．（2021·江苏高一课时练习）下列结论正确的个数是（ ）
①温度含零上和零下，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③向量与不共线，则与都是非零向量；
④若，则.
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2021·全国高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量是相等向量
B．与实数类似，对于两个向量有，，三种关系
C．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合
3．（2021·全国高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．若与平行, 与平行，则与一定平行
B．终点相同的两个向量不共线
C．若，则
D．单位向量的长度为1
4．（2021·全国高一课时练习）下列命题：（1）零向量没有方向；（2）单位向量都相等；（3）向量就是有向线段；（4）两向量相等，若起点相同，终点也相同；（5）若四边形为平行四边形，则．其中正确命题的个数是（ ）21教育网
A．1 B．2
C．3 D．4
5．（2021·全国高一课时练习）如图所示，点是正六边形的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线且模相等的向量共有（ ）www.21-cn-jy.com
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A．2个 B．3个
C．6个 D．7个
6．（2021·全国高一课时练习）如图所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量是（ ）2-1-c-n-j-y
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A．与 B．与
C．与 D．与
7．（2021·全国高一课时练习）在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是（ ）21*cnjy*com
A．单位圆 B．一段弧
C．线段 D．直线
8．（2021·江苏高一课时练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．2 020 cm长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，使得是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D．一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
9．（2021·江苏高一课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．零向量是没有方向的
C．零向量与任一向量平行
D．零向量的方向是任意的
10．（2021·江苏高一单元测试）下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）
（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；
（3）若，则；
（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（2021·全国高一课时练习）以下说法正确的是（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．零向量没有方向
C．共线向量又叫平行向量
D．若和都是单位向量，则
12．（2021·浙江高一课时练习）下列说法中正确的是（ ）．
A．零向量没有方向
B．平行向量不一定是共线向量
C．若向量与同向且，则
D．若向量，满足且与同向，则
13．（2021·浙江高一课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等
14．（2021·浙江高一课时练习）下列各量中是向量的是（ ）
A．时间 B．速度 C．面积 D．长度
15．（2021·全国高一课时练习）下列说法中，正确的个数是（ ）
①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量与不共线，则与都是非零向量（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
16．（2021·江苏高一课时练习）下列关于向量的命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
17．（2021·全国高一课时练习）下列说法正确的个数为（ ）
①零向量没有方向；②向量的模一定是正数；③与非零向量共线的单位向量不唯一
A．0 B．1 C．2 D．3
18．（2021·江苏高一）在平行四边形中，是对角线的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
19．（2021·全国）已知，，则与平行的单位向量为( )
A． B．或
C．或 D．
20．（2021·江苏高一）下列说法正确的是( )
A．有向线段与表示同一向量
B．两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量
C．零向量与单位向量是平行向量
D．对任一向量，是一个单位向量
二、填空题
21．（2021·全国高一课时练习）给出下列命题：
①若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；
②在中，一定有＝；
③若，，则＝；
④若，，则．
其中所有正确命题的序号为________．
22．（2021·全国高一课时练习）已知中，，O为的外心，则，，三个向量中，长度相等且共线的两个向量为__________．21cnjy.com
23．（2021·江苏高一课时练习）已知四边形中，，且，则四边形ABCD的形状是___________.【来源：21·世纪·教育·网】
24．（2021·全国高一课时练习）下面几个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若向量满足，则．
其中正确命题的是________
25．（2021·山东潍坊市·高三一模）已知正方形ABCD的边长为1，，，，则=________.21·cn·jy·com
三、解答题
26．（2021·江苏高一课时练习）如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形.21·世纪*教育网
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（1）写出与相等的向量；
（2）写出与共线的向量；
（3）向量与是否相等？
27．（2021·浙江高一课时练习）已知，那么两两一定共线吗？
28．（2021·浙江高一课时练习）老鼠由A向东北方向以的速度逃窜,猫由B向东南方向以的速度追.问题:猫能追上老鼠吗 为什么 www-2-1-cnjy-com
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29．（2021·全国高一课时练习）在图中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离（精确到）.2·1·c·n·j·y
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第一讲 平面向量的概念
一、单选题
1．（2021·江苏高一课时练习）下列结论正确的个数是（ ）
①温度含零上和零下，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③向量与不共线，则与都是非零向量；
④若，则.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
利用向量的基本概念逐一判断即可.
【详解】
①错，温度只有大小，没有方向，是数量不是向量；
②错，的模等于0；
③正确，根据零向量与任何向量共线；
④错，向量不能比较大小.
故选：B
2．（2021·全国高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量是相等向量
B．与实数类似，对于两个向量有，，三种关系
C．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合
【答案】D
【分析】
由相等向量和平行向量的定义进行判断
【详解】
解：对于A，向量与向量是相反向量，所以A错误；
对于B，因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以B错误；
对于C，当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以C错误；
对于D，由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，有向量所在的直线可以平行，也可以重合，所以D正确，www.21-cn-jy.com
故选：D
3．（2021·全国高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．若与平行, 与平行，则与一定平行
B．终点相同的两个向量不共线
C．若，则
D．单位向量的长度为1
【答案】D
【分析】
根据共线向量，单位向量，向量的模等相关概念逐项分析即可.
【详解】
A中，因为零向量与任意向量平行，若则与不一定平行.B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线.C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小.21教育名师原创作品
D正确.
故选：D.
4．（2021·全国高一课时练习）下列命题：（1）零向量没有方向；（2）单位向量都相等；（3）向量就是有向线段；（4）两向量相等，若起点相同，终点也相同；（5）若四边形为平行四边形，则．其中正确命题的个数是（ ）2·1·c·n·j·y
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】A
【分析】
零向量的方向是任意的可判断（1）；单位 ( http: / / www.21cnjy.com )向量方向不一定相同可判断（2）；有向线段只是向量的一种表示形式可判断（3）；根据向量的二要素可判断（4）；由相等向量的定义可判断（5），进而可得正确答案.
【详解】
对于（1）：零向量不是没有方向，而是方向是任意的，故（1）不正确．
对于（2）：单位向量只是模均为单位，而方向不相同，所以单位向量不一定都相等，故（2）不正确．
对于（3）：有向线段只是向量的一种表示形式，向量是可以自由移动，有向线段不可以自由移动，不能把两者等同起来，故（3）不正确，21*cnjy*com
对于（4）：两向量相等，若起点相同，终点也相同；故（4）正确；
对于（5）： ( http: / / www.21cnjy.com / )
如图：若四边形为平行四边形，则，且方向相同，但方向相反，所以与不相等，故（5）不正确；
所以正确的有一个，
故选：A.
5．（2021·全国高一课时练习）如图所示，点是正六边形的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线且模相等的向量共有（ ）【版权所有：21教育】
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A．2个 B．3个
C．6个 D．7个
【答案】D
【分析】
根据题中条件，由共线向量的概念，结合图形，即可得出结果.
【详解】
因为点是正六边形的中心，所以，
且，三点共线；
所以除向量外，与向量共线且模相等的向量有：，，，，，，，共7个．
故选：D.
6．（2021·全国高一课时练习）如图所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量是（ ）21·cn·jy·com
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A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】B
【分析】
根据向量相等即模长相等，方向相同，结合中位线性质，即得结果.
【详解】
向量相等即模长相等，方向相同.
依题意，是三角形的中位线，故，，即.
因此与都是和相等的向量．
故选：B.
7．（2021·全国高一课时练习）在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是（ ）21*cnjy*com
A．单位圆 B．一段弧
C．线段 D．直线
【答案】A
【分析】
根据单位向量的概念，以及圆的定义，即可得出结果.
【详解】
平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆，所以将所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是单位圆．
故选：A.
8．（2021·江苏高一课时练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．2 020 cm长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，使得是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D．一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
【答案】B
【分析】
根据单位向量的定义，向量的概念及共线向量的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】
由一个单位长度取作2020 cm时，2020 cm长的有向线段就表示单位向量，故A错误；
根据单位向量的定义，在直线上有且仅有两个点使得为单位长度，所以B正确；
方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是平行的，所以两向量为共线向量，故C错误；
根据位移的定义，向量表示点到点的位移，所以D不正确.
故选：B.
9．（2021·江苏高一课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．零向量是没有方向的
C．零向量与任一向量平行
D．零向量的方向是任意的
【答案】B
【分析】
由零向量的性质：长度为0，方向是任意的，与任何向量都平行，即可判断各项正误.
【详解】
A：由零向量的模为0，故正确；而由零向量的长度为0，方向是任意的，与任何向量都平行，故B错误，C、D正确；www-2-1-cnjy-com
故选：B
10．（2021·江苏高一单元测试）下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）
（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；
（3）若，则；
（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
根据相等向量的有关概念判断．
【详解】
由相等向量的定义知（1）正确；
平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；
方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；
相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错，
所以正确答案只有一个．
故选：B．
11．（2021·全国高一课时练习）以下说法正确的是（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．零向量没有方向
C．共线向量又叫平行向量
D．若和都是单位向量，则
【答案】C
【分析】
根据向量的基本概念逐一判断即可.
【详解】
只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A错误，
零向量是没有方向的向量，B错误；
共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C正确；
若，都是单位向量，两向量的方向不定，D错误；
故选：C.
12．（2021·浙江高一课时练习）下列说法中正确的是（ ）．
A．零向量没有方向
B．平行向量不一定是共线向量
C．若向量与同向且，则
D．若向量，满足且与同向，则
【答案】C
【分析】
由零向量，平行向量，相等向量的定义逐一判断可得选项.
【详解】
对于A，零向量的方向是任意的，故A错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故B错误；
对于C，由相等向量的定义：两向量的方向相同，大小相等可知，C正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故D错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查向量的基本定义，在判断关于向量的命题时注意向量的方向，属于基础题.
13．（2021·浙江高一课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等
【答案】D
【分析】
向量有方向、有大小，平行包含同向与反向两种情况.向量相等意味着模相等且方向相同，根据定义判断选项.
【详解】
A.向量与向量的方向相反，长度相等，故A正确；
B.规定零向量与任意非零向量平行，故B正确；
C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；
D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.
【点睛】
本题主要考查向量的基本概念及共线（平行）向量和相等向量的概念，属于基础概念题型.
14．（2021·浙江高一课时练习）下列各量中是向量的是（ ）
A．时间 B．速度 C．面积 D．长度
【答案】B
【分析】
根据向量的概念进行判断即可.
【详解】
解：既有大小，又有方向的量叫做向量；
时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量．
而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．
故选：．
【点睛】
此题是个基础题，本题的考点是向量的概念，纯粹考查了定义的内容．注意数学知识与实际生活之间的联系．
15．（2021·全国高一课时练习）下列说法中，正确的个数是（ ）
①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量与不共线，则与都是非零向量（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据向量的相关概念，逐项判定，即可得出结果.
【详解】
①时间没有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故①错误；
②零向量的模为零，故②错；
③相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故③正确；
④零向量与任意向量都共线，因此若向量与不共线，则与都是非零向量，即④正确.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查向量有关命题的判定，熟记向量的相关概念即可，属于基础题型.
16．（2021·江苏高一课时练习）下列关于向量的命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【分析】
利用向量的知识对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
A. 若，则不一定相等，因为向量是既有大小，又有方向的，只能说明向量的大小相等，不能说明方向相同，所以该选项错误；【来源：21·世纪·教育·网】
B. 若，则不一定平行，所以该选项错误；
C. 若，，则，所以该选项是正确的；
D. 若，，则错误，如：，都是非零向量，显然满足已知，但是不一定满足，所以该选项错误.
故选：C
【点睛】
本题主要考查平面向量的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
17．（2021·全国高一课时练习）下列说法正确的个数为（ ）
①零向量没有方向；②向量的模一定是正数；③与非零向量共线的单位向量不唯一
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
零向量的方向是任意的；向量的模一定是非负数；与非零向量共线的单位向量有两个.
【详解】
零向量的方向是任意的，故①错；向量的模是非负数，故②错；
与非零向量共线的单位向量不唯一，分别是，故③正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查与向量有关的概念，考查学生对概念的理解与辨析，是一道基础题.
18．（2021·江苏高一）在平行四边形中，是对角线的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据平面向量的共线定理和减法法则，即可求出结果.
【详解】
根据题意，作出草图，如下：
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根据平面向量的共线定理和减法法则，可得.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的共线定理和减法法则，属于基础题.
19．（2021·全国）已知，，则与平行的单位向量为( )
A． B．或
C．或 D．
【答案】B
【分析】
先求出的模，再利用平行的单位向量公式加以计算，可得所求的单位向量的坐标
【详解】
解：∵，，
，
，
则与平行的单位向量为，
化简得，或．
故选：B．
【点睛】
本题着重考查了向量的坐标运算、向量模的公式和单位向量等知识．
20．（2021·江苏高一）下列说法正确的是( )
A．有向线段与表示同一向量
B．两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量
C．零向量与单位向量是平行向量
D．对任一向量，是一个单位向量
【答案】C
【分析】
由平面向量的定义、平行向量及单位向量的可依次对选项判断.
【详解】
对于选项A，向量与方向相反，不是同一向量，故选项A错误；
对于选项B，有公共终点的有向线段的方向不一定相同或相反，故B错误；
对于选项C，零向量与任意向量都是平行向量，故C正确；
对于选项D，当时，无意义，故D错误.
故选：C
【点睛】
本题考查了平面向量的定义与平行向量的应用，属于基础题．
二、填空题
21．（2021·全国高一课时练习）给出下列命题：
①若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；
②在中，一定有＝；
③若，，则＝；
④若，，则．
其中所有正确命题的序号为________．
【答案】②③
【分析】
对于①，由两向量共线可知A、B、C、D四点有可能在同一条直线上；对于②，由平行四边形的对边平行且相等可判断；对于③，由相等向量的定义判断即可；对于④，由于零向量与任何向量都共线，所以当时，不一定成立21教育网
【详解】
解：＝，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故①不正确；
在中，，与平行且方向相同，故＝，故②正确；
，则，且与方向相同；，则，且与方向相同，则与长度相等且方向相同，故＝，故③正确；2-1-c-n-j-y
对于④，当时，与不一定平行，故④不正确．
故答案为：②③
22．（2021·全国高一课时练习）已知中，，O为的外心，则，，三个向量中，长度相等且共线的两个向量为__________．【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】与
【分析】
利用相等向量的定义即可得正确答案.
【详解】
如图所示，
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因为为的外心，
所以
，，三个向量中，共线且长度相等的有：与.
故答案为：与.
23．（2021·江苏高一课时练习）已知四边形中，，且，则四边形ABCD的形状是___________.【出处：21教育名师】
【答案】等腰梯形
【分析】
由，得到且，得出是梯形，再根据，得到四边形是等腰梯形.
【详解】
由题意，向量，可得且，
即线段平行于线段，且线段的长度是线段长度的一半，
所以四边形是梯形，
又因为，所以梯形的两个腰相等，所以四边形是等腰梯形.
故答案为：等腰梯形.
24．（2021·全国高一课时练习）下面几个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若向量满足，则．
其中正确命题的是________
【答案】①
【分析】
对于①，由相等向量的定义判断即可；对于②，若，则可得，而不是向量为零；对于③，当两向量的模相等时，不一定有两个向量相等；对于④，当两共线向量的模相等时，则这两向量相等或是相反向量
【详解】
解：对于①，由相等向量的定义可知，时，则有，所以①正确；
对于②，当时，则有，所以②错误；
对于③，当时，与的方向不一定相同，所以③错误；
对于④，当向量满足时，有或，所以④错误．
故答案为：①
25．（2021·山东潍坊市·高三一模）已知正方形ABCD的边长为1，，，，则=________.
【答案】
【分析】
由向量的加法可得，再求解正方形的对角线即可.
【详解】
由题意可得，是正方形的对角线长，故，
又
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查向量的加法，以及模长的求解，属向量基础题.
三、解答题
26．（2021·江苏高一课时练习）如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形.21世纪教育网版权所有
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（1）写出与相等的向量；
（2）写出与共线的向量；
（3）向量与是否相等？
【答案】（1）；（2）；（3）不相等.
【分析】
（1）根据相等向量的概念，结合图形，即可求解；
（2）由共线向量的定义，结合图形，即可求解；
（3）根据相等向量的定义，可得向量与不相等.
【详解】
（1）根据相等向量的概念，可得与相等的向量有：向量.
（2）由共线向量的定义，可得与共线的向量有.
（3）根据图形，可得与的方向相反，所以向量与不相等.
27．（2021·浙江高一课时练习）已知，那么两两一定共线吗？
【答案】两两共线，且同向．
【分析】
利用分析得解.
【详解】
因为，当且仅当三个向量同向时成立，
故若则三个向量同向，满足两两一定共线．
即若，则两两共线，且同向.
28．（2021·浙江高一课时练习）老鼠由A向东北方向以的速度逃窜,猫由B向东南方向以的速度追.问题:猫能追上老鼠吗 为什么 21·世纪*教育网
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【答案】不能,理由见解析
【分析】
根据猫和老鼠的跑路方向不同分析即可.
【详解】
猫追不上老鼠,因为猫和老鼠跑的方向是不同的,所以猫的速度再快也追不上老鼠.
【点睛】
本题主要考查了对向量的方向的理解,属于基础题型.
29．（2021·全国高一课时练习）在图中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离（精确到）.
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【答案】A地至B，C两地的位移分别用表示；A地至B，C两地的实际距离分别为.
【分析】
用向量的写法写出A地至B，C两地的位移的表示方法，用刻度尺量出图上AB两点距离，AC点距离，最后用根据比例尺计算出实际距离即可.
【详解】
A地至B，C两地的位移分别用表示，图上A，B两点距离、A，C点距离分别为：，所以A地至B实际距离为：，
A地至C地的实际距离为：.
【点睛】
本题考查了向量的实际应用，属于基础题.
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