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第一讲 平面向量的概念
一、单选题
1．（2020·全国高三专题练习）已知，，是平面内三个单位向量，若，则的最小值（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】
由于，且为单位向量，所以可令，，再设出单位向量的坐标，再将坐标代入中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：设，，，则，从而
，等号可取到．
故选：A
【点睛】
此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题．
2．（2020·全国）已知，则的取值范围是（ ）
A．[0，1] B． C．[1，2] D．[0，2]
【答案】D
【分析】
设，可得，构造（）22，结合，可得，根据向量减法的模长不等式可得解.
【详解】
设，则，
，
∴（）2 2
||22＝4，所以可得：，
配方可得，
所以，
又
则[0，2]．
故选：D．
【点睛】
本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
3．（2019·全国高三其他模拟（文））点在所在的平面内，，，，，且，则（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
确定点为外心，代入化简得到，，再根据计算得到答案.
【详解】
由可知，点为外心，
则，，又，
所以①
因为，②
联立方程①②可得，，，因为，
所以，即．
故选：
【点睛】
本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.
4．（2016·上海市实验学校高三月考）已知两个不相等的非零向量与，两组向量，，，，和，，，，均有2个和3个按照某种顺序排成一列所构成，记，且表示所有可能取值中的最小值，有以下结论：①有5个不同的值；②若，则与无关；③ 若∥，则与无关；④ 若，则；⑤若，且，则与的夹角为；正确的结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②④ C．②③ D．①⑤
【答案】B
【分析】
按照中的对数分3种情况,求出的值:共3个值,故①不正确;作差比较可得最小,再逐个分析②③④⑤可得.21cnjy.com
【详解】
当有零对时,;
当有2对时,;
当有4对时,;
所以有3个不同的值,所以①不正确;
因为,
,
因为,所以,
所以,所以,
对于②,因为,所以,则与无关,只与有关,所以②正确;
对于③,当时,设,则与有关,所以③不正确;
对于④,设与的夹角为,因为,所以 ,所以,故④正确;
对于⑤,因为,所以,因为,所以,所以, 因为,所以,所以与的夹角为,故⑤不正确.21·世纪*教育网
故选.
【点睛】
本题考查了分类讨论思想,平面向量的数量积和夹角,向量共线和垂直,属于难题.
5．（2019·全国高三专题练习）已知是两个单位向量，共面的向量满足，则的最大值为（ ）21·cn·jy·com
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【分析】
先将因式分解，由此得到，利用向量运算的几何意义，用三角函数表示出，再用辅助角公式和三角函数求最值的方法，求得的最大值.【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
由得：，即，设，则，则点在以为直径的圆上运动，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由图知：当时，，设，则，所以当时，取最大值，
故选C．
【点睛】
本小题主要考查平面向量的运算，考查平面向量运算的几何意义，考查三角函数求最值的方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21教育名师原创作品
6．（2020·河南南阳市·南阳中学高一月考）在中，若，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．以上都不对
【答案】A
【分析】
由题中，结合三角形图像找准向量夹角，得出基本关系式，再根据几何关系进行求解
【详解】
如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
.
∵，∴.作于，则，∴，
∴为的中点，∴.
同理可证，∴为等边三角形.
答案选A
【点睛】
个别设及三角形形状题型， ( http: / / www.21cnjy.com )可先进行预判，再想法设法去进行证明比如此题，可先预判为等边三角形，再进行证明，对于复杂的几何问题，需要借助图形来辅助求解21*cnjy*com
7．（2020·临猗县临晋中学高一开学考试）为所在平面上动点，点满足, ,则射线过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】
将变形为，因为和的模长都是1，根据平行四边形法则可得，过三角形的内心.
【详解】
因为和分别是和的单位向量
所以是以和为邻边的平行四边形的角平分线对应的向量
所以的方向与的角平分线重合
即射线过的内心
故选B
【点睛】
本题主要考查平面向量的平行四边形法则、单位向量的性质以及三角形四心的性质，属于中档题.
8．（2019·浙江高三专题练习）点D为内一点，且，则=( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com / )
分别延长至 ，使得 ，则 ，则 ， ， ，故选D.
二、填空题
9．（2016·上海市实验学校高三月考）若平面向量满足，且，则可能的值有______个.
【答案】
【分析】
由可得出，分类作图可得出结论.
【详解】
由可得出.
若四向量首尾相连构成正方形（图），则；
当四向量如图所示时，则；
当四向量如图所示时，则.
故答案为：.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查向量模的计算，分类讨论作出图形是解题的关键，考查分类讨论与数形结合思想的应用，属于中等题.
10．（2020·全国高一课时练习）如图，已知的面积为，分别为边，上的点，且，交于点，则的面积为 _____.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】4
【解析】
【分析】
以，建立一组基底向量，再利用点与点分别共线的性质表示出，建立二元一次方程，再采用间接法，根据求出答案，属于难题
【详解】
设，以，为一组基底，则.
∵点与点分别共线，
∴存在实数和，使.
又∵，
∴解得
∴，
∴.
【点睛】
复杂的三角形线段关系问题 ( http: / / www.21cnjy.com )，借鉴向量法进行求解时，还是需要根据向量基底进行基础运算，如本题中面积问题最终转化成线段比例问题，在处理正面入手不好解决的问题时，可从对立面入手，采用间接法来进行求解【来源：21·世纪·教育·网】
11．（2020·全国高一课时练习）设点是的外心，，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由三角形外心的性质，再结合图形，利用向量的线性运算，转化成跟两组基底向量相关的向量来进行求解
【详解】
设为平面内的一组基底.如图所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
设为的中点，连接，则.
又∵，
∴
.
【点睛】
考生需熟悉三角形外心一些基本特点。三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形外心为外接圆的圆心，外心到三个顶点的距离相等、外心为各边中垂线的交点。在运用向量基底解决几何问题时，关键是学会将任何一组向量转化成跟基底向量有关的向量进行表示2-1-c-n-j-y
12．（2019·浙江舟山市·高二期末）已知是两个非零向量，且，，则的最大值为_____．
【答案】
【分析】
构造，从而可知，于是的最大值可以利用基本不等式得到答案.
【详解】
由题意，令，所以，，所以，所以，所以，当且仅当，且时取等号.故答案为.
【点睛】
本题主要考查平面向量的几何意义，模，基本不等式等知识，考查学生的运算求解能力，难度较大.
13．（2020·浙江高三其他模拟）设向量满足，，，．若，则的最大值是________．21*cnjy*com
【答案】
【解析】
【分析】
令，计算出模的最大值即可，当与同向时的模最大．
【详解】
令，则，因为，所以当，，因此当与同向时的模最大，
【点睛】
本题主要考查了向量模的计算，以及二次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数在给定区间上的最值．整体换元的思想，属于较的难题，在解二次函数的问题时往往结合图像、开口、对称轴等进行分析．【版权所有：21教育】
三、解答题
14．（2020·海伦市第一中学高三月考）已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）；（2）或
【分析】
（1）由共线定理结合齐次式弦化切可求；
（2）由数量积运算性质结合三角函数的恒等变换得，再结合三角函数的性质可得到结果．
【详解】
解：（1），，，
，，
（2），，
，
，
，
，，
或，
或．
【点睛】
本题考查了平面向量的共线定理、数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【出处：21教育名师】
15．（2021·江苏高一课时练习）在中，已知，，．
（1）求的值；
（2）若，且，求在上的投影的取值范围．
【答案】（1）1，（2）
【分析】
（1）由，两边平方化简可求得的值；
（2）先表示出，，从而可得在上的投影为，然后由的不同取值范围求其值可得结果.
【详解】
解：（1）因为，所以，
，
因为 ，，
所以，即
，所以，
（2）因为，且，
所以，
因为，，，，
所以，
由，得
，
所以在上的投影为，
当时，，
因为，所以，所以，
时，
当且 时，
时，， 所以，
时，，所以 ，
综上，在上的投影的取值范围为.
【点睛】
此题考查向量的模，向量上的投影，考查了分类讨论思想，考查了计算能力，属于中档题.
16．（2021·全国高一课时练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
【答案】（1）5；（2）2.
【分析】
根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可.
【详解】
解：由题可知，每个小方格都是单位正方形，
每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，
则，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，
则与相等的向量共有5个，如图1；
（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查理解能力和数形结合思想.
17．（2020·全国高一课时练习）已知点是锐角三角形的外心，，，.若，求的值.
【答案】5
【分析】
连接，过点作，，垂足分别为，，根据三角形外接圆的圆心的形成得，分别为，的中点.再根据向量的数量积运算求得，
，建立关于的方程组，可求得所求的值.
【详解】
连接，过点作，，垂足分别为，，则，分别为，的中点.
∴，
.
∵，∴.
∵，∴，，
即，，联立解得，.
∴.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查向量的数量积运算，关键在于运用三角形的外接圆的几何性质，得出所需向量间的数量积，属于难度题.
18．（2020·全国高一课时练习）如图，在中，设，，的中点为，的中点为，的中点恰为，，求和的值.
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【答案】，
【分析】
根据向量的加法和减法运算得，.再由，可得，从而求得和的值.
【详解】
因为的中点为，的中点为，的中点为，所以，
.
因为，所以，
解得，又，
所以，.
【点睛】
本题考查向量的线性运算，关键在于运用向量的加法和减法运算表示向量，并根据向量的和为零向量求解所求的向量，属于中档题.
19．（2020·全国高一课时练习）设两个不共线的向量，若，问是否存在实数，使与共线？
【答案】存在实数和，使得与共线
【分析】
先将向量用向量表示出，然后假设与共线可得：存在实数，使．即可得到的关系式，从而得到答案．
【详解】
解析，
要使与共线，则存在实数，使得
即
，又是两个不共线的向量，，解得.
故存在实数和，使得与共线，此时.
【点睛】
本题主要考查了向量共线的问题，属于基础题．
20．（2019·胶州市实验中学）设是两个不共线的向量，已知.
（1）求证：，，三点共线；
（2）若，且，求实数的值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【分析】
（1）证明，，三点共线，只需证明与共线，根据向量减法的三角形法则求出，利用向量共线定理可证.
（2）由，则，再将条件代入，由是两个不共线的向量，从而可求解.
【详解】
解析（1）由已知得.
.
又与有公共点，，，三点共线.
（2）由（1）可知，又，
∴可设，
，即，解得.
【点睛】
本题考查向量共线定理、减法的三角形法则，考查学生分析解决问题的能力．属于基础题.
21．（2019·浙江杭州市·学军中学高一期末）在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且．2·1·c·n·j·y
（1）当λ，求||；
（2）求的最小值．
【答案】（1）（2）
【分析】
以等腰梯形的底所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立如图所示的坐标系，根据向量的坐标运算求出，，
（1）当时，，即可求出答案；
（2）根据向量的数量积和基本不等式即可求出答案.
【详解】
以等腰梯形ABCD的底AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，
∴A（﹣1，0），B（1，0），C（，），D（，），
∴（2，0）+λ（，）=2λ，λ），
（1）当λ时，（，），则||
（2）∵（，）（1，0）＝（，），
∴2，当且仅当λ时取得最小值．
【点睛】
本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值，属于基础题.21教育网
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第一讲 平面向量的概念
一、单选题
1．（2020·全国高三专题练习）已知，，是平面内三个单位向量，若，则的最小值（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．5
2．（2020·全国）已知，则的取值范围是（ ）
A．[0，1] B． C．[1，2] D．[0，2]
3．（2019·全国高三其他模拟（文））点在所在的平面内，，，，，且，则（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
4．（2016·上海市实验学校高三月考）已知两个不相等的非零向量与，两组向量，，，，和，，，，均有2个和3个按照某种顺序排成一列所构成，记，且表示所有可能取值中的最小值，有以下结论：①有5个不同的值；②若，则与无关；③ 若∥，则与无关；④ 若，则；⑤若，且，则与的夹角为；正确的结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②④ C．②③ D．①⑤
5．（2019·全国高三专题练习）已知是两个单位向量，共面的向量满足，则的最大值为（ ）21cnjy.com
A． B．2 C． D．1
6．（2020·河南南阳市·南阳中学高一月考）在中，若，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．以上都不对
7．（2020·临猗县临晋中学高一开学考试）为所在平面上动点，点满足, ,则射线过的（ ）www.21-cn-jy.com
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
8．（2019·浙江高三专题练习）点D为内一点，且，则=( )
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2016·上海市实验学校高三月考）若平面向量满足，且，则可能的值有______个.
10．（2020·全国高一课时练习）如图，已知的面积为，分别为边，上的点，且，交于点，则的面积为 _____.
( http: / / www.21cnjy.com / )
11．（2020·全国高一课时练习）设点是的外心，，则_______.
12．（2019·浙江舟山市·高二期末）已知是两个非零向量，且，，则的最大值为_____．
13．（2020·浙江高三其他模拟）设向量满足，，，．若，则的最大值是________．【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题
14．（2020·海伦市第一中学高三月考）已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的值．
15．（2021·江苏高一课时练习）在中，已知，，．
（1）求的值；
（2）若，且，求在上的投影的取值范围．
16．（2021·全国高一课时练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：21教育网
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（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
17．（2020·全国高一课时练习）已知点是锐角三角形的外心，，，.若，求的值.
18．（2020·全国高一课时练习）如图，在中，设，，的中点为，的中点为，的中点恰为，，求和的值.2·1·c·n·j·y
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19．（2020·全国高一课时练习）设两个不共线的向量，若，问是否存在实数，使与共线？
20．（2019·胶州市实验中学）设是两个不共线的向量，已知.
（1）求证：，，三点共线；
（2）若，且，求实数的值.
21．（2019·浙江杭州市·学军中学高一期末）在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且．21·世纪*教育网
（1）当λ，求||；
（2）求的最小值．
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